\chapter{Statistiques et probabilités}

%\begin{flushright}
%\em Il appartenait à la société de statistique,\\ et il voyait des statisticiens partout.\\
%(Reybaud)
%\end{flushright}

\vspace*{-2em}

\section{Traitement de l'information}
\begin{exointro}{Lycée Saint Aspais, Melun}
\nathanliveVideo\label{video:ch9crs}

	Dans une classe de 30 élèves, il y a 12 filles et 18 garçons. Au contrôle de
	mathématiques, les filles ont obtenu :
	\[7~,~8~,~10~,~11~,~11~,~11~,~12~,~12~,~12~,~14~,~17~,~18\]
	et les garçons :
	\[5~,~7~,~7~,~8~,~8~,~8~,~9~,~9~,~9~,~10~,~10~,~11~,~11~,~11~,~12~,~12~,~14~,~16.\]
	\begin{questions}
		\item Calculer la moyenne des notes pour les deux groupes
		(on arrondira les résultats au dixième près). 
		\item \`A partir de ces résultats, calculer la moyenne de la classe. 		
		\item Par mesure de clémence, le professeur ajoute 1 point à toutes les
		notes. Quelle est la nouvelle moyenne ?
		\item Le dernier garçon n'avait en fait pas $5$, mais $8$. Quelle est, 
		finalement, la 
		moyenne de la classe ?
	\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Bien manier les pourcentages}

\enlargethispage*{\baselineskip}
À la rentrée 2020, on compte en 2de A 
20 filles et 15 garçons, soit 35 élèves en tout. 

La \emph{proportion} de filles dans la classe
est $\dfrac{20}{35}\simeq 0,571$. 

Pour comparer plus aisément les proportions, on 
les exprime avec un dénominateur 100~:
$\dfrac{20}{35}\approx \dfrac{57,1}{100}$ (le numérateur n'est pas toujours entier). 

On dit alors que la proportion est de $57,1\%$. 

\newpage

\begin{aretenir}
Si $n_{\text{total}}$ est l'effectif total d'une population 
(ici, le nombre d'élèves de 2de A) et 
$n_{\text{partiel}}$ celui d'une sous-population (le nombre
de filles de 2de A), alors
\[\text{\emph{proportion}}=
\frac{n_{\text{partiel}}}{n_{\text{total}}}=\frac{\text{\emph{pourcentage}}}{100}.\]
En renversant l'égalité, 
on obtient : 
$\text{\emph{pourcentage}}=100\times \dfrac{n_{\text{partiel}}}{n_{\text{total}}}$.
\end{aretenir}
On note qu'une proportion exprime un quotient entre des grandeurs
de même nature exprimées dans la même unité. Une proportion n'a donc
pas d'unité. Si on divise le nombre d'élèves du lycée par le nombre
de classes, on obtient une grandeur utile, exprimée en \og élèves par classe
\fg, mais \emph{ce n'est pas une proportion}. 

Si un escargot a parcouru 15 cm sur une barre de 2 m, il faut
exprimer ces deux longueurs \emph{dans la même unité} pour calculer
le pourcentage de la barre parcouru par l'escargot~: 
$\frac{15}{200}=0{,}075$, soit $7{,}5 \%$. 




En 2019, il y avait 36 élèves en 2de A. 
L'effectif total a donc diminué de 1. 

La \emph{variation absolue} de l'effectif est~: $-1$. 
La variation est ici absolue parce qu'elle
n'exprime pas une proportion. On ne confondra pas avec la notion
de valeur absolue, qui n'a rien à voir (distance entre un réel et $0$). 

La \emph{variation relative} 
exprime quelle proportion de la population initiale représente
la variation absolue. Il y avait 36 élèves en 2019, la baisse représente 
$\frac{1}{36}=2{,}8 \%$ de l'effectif. 

\begin{aretenir}
\[\text{Variation relative}
=\frac{\text{Variation absolue}}{\text{Valeur initiale}}
= \frac{\text{Valeur finale}-\text{Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}.\]
\end{aretenir}


On prévoit pour 2021 une augmentation
de l'effectif de $8{,}6\%$. La valeur de référence est
l'effectif de 2020 ($n_{2020}=35$) et l'effectif prévu est donc~: 
\[
n_{2021}=n_{2020} + n_{2020} \times \frac{8,6}{100}, 
\]
ou plus simplement~: $n_{2021}=1,086 \times n_{2020} \simeq 38$. 

Pour 2022, on s'attend cette fois à une baisse de 
$10{,}5\%$. Attention, l'effectif de référence a changé~: 
c'est maintenant celui de 2021, soit 38 élèves, puisqu'on parle
d'une baisse entre 2021 et 2022.  

On peut calculer l'effectif de 2022 de deux manières. 

Premièrement, on peut appliquer la méthode précédente~:
\[
n_{2022}=n_{2021}\times (1-0{,}105)=38\times (1-0{,}105)\simeq 34.
\]
Une autre méthode est de \emph{composer} les pourcentages. 
L'effectif de 2020 est multiplié par $1+0{,}086$ pour 
obtenir $n_{2021}$, qui lui-même est multiplié par $1-0{,}105$.
On peut donc calculer directement~:
$n_{2022}=n_{2020}\times (1+0{,}086)\times (1-0{,}105)\simeq 34$. 


\begin{Remarque} 
il arrive souvent que le calcul des pourcentages à la calculatrice
donne une approximation avec de nombreux chiffres après la virgule, 
par exemple~: $\frac{20}{35}\simeq 57{,}14285714$. Une telle précision
n'a pas de sens. En général, on se contente de 3 chiffres significatifs : 
le premier chiffre significatif est le premier chiffre non nul
le plus à gauche (ici, 5). On conserve tous les zéros 
à sa gauche, s'il y en a (ne pas retirer les $0$ de $0{,}0124$, par exemple).
Si on veut 3 chiffres significatifs, on
conserve aussi les 2 chiffres suivants (qui peuvent être égaux à $0$).
Notez bien qu'il ne s'agit pas
d'un nombre de chiffres après la virgule. Par exemple, 
$0{,}0023$ a deux chiffres significatifs, $401$ en a trois. 
On arrondit le troisième chiffre en fonction de ce qui suit
(par exemple $0{,}5714\simeq 0{,}571$ mais $0{,}5718\simeq 0{,}572$).  
\end{Remarque}

\subsection{Comment comparer des séries quantitatives ?}


Un professeur compare les notes de deux élèves :
 
 \Par
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Paul & 19&6&18&5\\\hline
Pierre & 10&10&12&12\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par
On observe deux suites de quatre valeurs, appelées 
\emph{séries statistiques}. 

La moyenne de Paul est plus élevée que celle de Pierre.
%
%Les notes de Paul sont-elles meilleures que celles de Pierre ?
%
%\Par
%
%Globalement, les notes de Paul sont plus élevées. 

\begin{multicols}{2}
La moyenne de Paul est : 
\[
\dfrac{19+6+18+5}{4}=12.
\] 

La moyenne de Pierre est : 
\[
\dfrac{10+10+12+12}{4}=11.
\]
\end{multicols}

La moyenne reflète la \textit{position} de la série statistique.
On parle également d'indicateur de \emph{tendance centrale}, ce
qui signifie simplement qu'elle indique le \og centre \fg de la 
série statistique. Dans notre exemple, les notes
de Paul sont \emph{globalement} meilleures. 

La médiane, qui sépare les valeurs de la série (une fois ordonnée)
en deux moitiés, est un autre indicateur de tendance centrale.



\Par

Cependant, Pierre est plus régulier que Paul. Paul a complètement raté deux devoirs. Les notes de Pierre sont moins \emph{dispersées}.

\Par

Pour comparer deux séries statistiques, on doit tenir compte de ces deux caractéristiques : position et dispersion. 

\emph{L'étendue} $e=\max x_i - \min x_i$ 
est l'écart entre la plus grande valeur ($\max x_i$) et la plus petite ($\min x_i$). C'est un indicateur de dispersion~: une faible étendue montre
que la série est resserrée autour de sa moyenne. Il est rudimentaire car il ne dépend que des deux valeurs extrêmes de la série. 



\subsection{Qu'est-ce qu'une moyenne pondérée ?}

On considère une série statistique de $n$ valeurs réelles. 

Nous utilisons les notations suivantes :
\begin{itemize}
	\item $x_1$, $x_2$,\ldots{}, $x_k$ sont les valeurs observées;
	\item $n_1$, $n_2$,\ldots{}, $n_k$ les
	effectifs correspondants, ce qui signifie
	que la valeur $x_i$ apparaît $n_i$ fois dans la série;
	\item $f_1$, $f_2$,\ldots{}, $f_k$ les
	fréquences~:
	$f_i=\frac{n_i}{n}$ est la \emph{proportion} (donc, entre 0 et 1) 
	du nombre des valeurs égales
	à $x_i$ par rapport à l'effectif total $n$. 
\end{itemize}

%L'ensemble des valeurs observées est appelé la \emph{série statistique}.

La moyenne de la série statistique est donnée par~:
\[\bar{x}=\dfrac{x_1+\dots + x_1 +x_2\dots x_2+\dots +x_k + \dots x_k}{n}\]
où chaque $x_i$ est compté $n_i$ fois. 

On peut simplifier la formule~: 

\begin{itemize}
\item \emph{Calcul à partir des effectifs :}
$\bar{x}=\displaystyle\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}$.
%=\frac{1}{n_1+n_2+\cdots+n_k}\sum_i^k n_ix_i.\]

\item \emph{Calcul à partir des fréquences :} 
%on utilise $f_i=\dfrac{n_i}{n_1+\cdots+n_k}$ :
$\bar{x}=f_1x_1+f_2x_2+\cdots+f_kx_k$.
%=\sum_i^k f_ix_i.\]
\end{itemize}

Pour calculer la moyenne des valeurs $x_i$, 
on ne s'est pas contenté de la moyenne simple 
$\frac{x_1+x_2+\dots + x_k}{k}$. On a donné à chaque valeur
$x_i$ un \emph{poids} correspondant à son effectif. 
On dit qu'on a calculé une moyenne des valeurs
$x_i$, pondérée par les effectifs $n_i$ ou les fréquences $f_i$
(\emph{poids} et \emph{pondéré} sont des mots qui viennent 
du latin \emph{pondus}, \emph{ponderis} : le poids).

On peut décider d'accorder un poids qui n'est pas relatif à la 
fréquence. Par exemple, si on a eu 14 au devoir commun (coefficient 2),
12 au contrôle (coefficient 1) et 18 à l'interrogation surprise 
(coefficient $0{,}5$), la moyenne pondérée est~: 
\[m=\frac{2\times 14 + 1\times 12 + 0{,}5\times 18}{2+1+0{,}5}=14.\]
Les coefficients sont choisis pour que la note du devoir
commun ait plus d'importance que celle de l'interrogation surprise. 



\subsection{La linéarité de la moyenne, qu'est-ce que c'est ?}


Nous étudions une série statistique donnée comme ci-dessus par les valeurs $x_i$, leurs effectifs respectifs $n_i$. 

Si on applique une fonction affine aux valeurs $x_i$, c'est-à-dire
que l'on calcule, pour chaque $i$, la valeur $y_i=mx_i+p$ (où $m$ et $p$ sont deux constantes). 

\newpage

Alors :

\begin{align*}
\bar{y}
&=\dfrac{n_1y_1+n_2y_2+\cdots+n_ky_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=\dfrac{n_1(mx_1+p)+n_2(mx_2+p)+\cdots+n_k(mx_k+p)}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=\dfrac{n_1mx_1+n_2mx_2+\cdots+n_kmx_k + n_1p+n_2p+\cdots+n_kp}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=\dfrac{m(n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k) + p(n_1+n_2+\cdots+n_k)}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=m\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}+p\dfrac{n_1+n_2+\cdots+n_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=m\bar{x}+p.
\end{align*}

On peut donc retrouver la moyenne $\bar{y}$ 
de la nouvelle série en appliquant
la même fonction affine à la moyenne $\bar{x}$ de l'ancienne. 

On utilise la linéarité de la moyenne sans même y penser lorsque l'on change d'unité. Par exemple, si dans un concours de saut en hauteur, la moyenne des sauts (en mètres) a été de $1,81$, il est évident que la moyenne des sauts (en centimètres) a été de $181$. Les valeurs $x_i$ étaient exprimées en mètres, on obtient les valeurs $y_i$ en centimètres en calculant $y_i=100x_i$, et donc $\bar{y}=100\bar{x}$.

\begin{Remarque}
par linéarité, la précision des données
se retrouve sur la moyenne. 

Lorsqu'on calcule une moyenne, on doit donc fournir 
un résultat raisonnable compte tenu de 
la précision des données. Donner une moyenne au cm près des
distances parcourue en km par des avions n'a pas de sens. 

En revanche, parler d'une moyenne de 1{,}96 enfants par femme
a un sens car le nombre d'enfants, dans chaque cas, est un 
entier, donc connu avec une précision infinie. On pourrait
donc donner encore plus de chiffres. Cependant, 
on s'arrête en général à 3 chiffres significatifs car
cela suffit pour les comparaisons et interprétations courantes.
\end{Remarque}


\subsection{L'écart inter-quartile}

On compare deux séries de vingt notes rangées par ordre croissant. 
La série 1 : 

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{10}{Zc|}}
\hline
6&6&7&8&8&10&10&10&11&11\\\hline
12&12&12&14&15&17&17&18&18&20
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

et la série 2 : 

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{10}{Zc|}}
\hline
6&12&12&12&12&12&12&12&12&12\\\hline
12&12&12&12&12&12&12&12&12&20
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ces deux séries ont la même moyenne ($12{,}1$) 
et la même étendue $20-6=14$.  
Or elles sont très différentes. 

Pour mieux caractériser leur dispersion, on parcourt 
les valeurs dans l'ordre croissant. On atteint un \emph{quartile}
lorsque $25\%$, $50\%$, puis $75\%$ des valeurs sont dépassées. 
Observons que les quartiles sont toujours des valeurs de la série.

La série 1 contient 20 notes. Lorsqu'on atteint la 5\fup{ème} note, 
c'est-à-dire 8, on peut affirmer qu'un quart des notes sont inférieures
ou égales à 8~: 8 est le \emph{premier quartile} $q_1$ de la série 1. 

Le second quartile $q_2$ correspond à la 10\fup{ème} note, 11
(la moitié des notes sont inférieures ou égales à 11). 
Il est très proche de la \emph{médiane} de la série 
(ici, 10 notes sont inférieures à 11, 10 notes supérieures à 12,
la médiane est donc $11{,}5$). 

Le troisième quartile $q_3$ correspond à la 15\fup{ème} note, 15.

%\begin{defin}
%\begin{itemize}
%\item Le premier quartile d'une série est la plus petite valeur $q_1$ de la série telle qu'au moins 25\% des valeurs sont inférieures ou égales à $q_1$.
%
%\item Le deuxième quartile d'une série est la plus petite valeur $q_2$ de la série telle qu'au moins 50\% des valeurs sont inférieures ou égales à $q_2$.
%
%\item Le troisième quartile d'une série est la plus petite valeur $q_3$ de la série telle qu'au moins 75\% des valeurs sont inférieures ou égales à $q_3$.
%\end{itemize}
%\end{defin}




Par définition, l'écart inter-quartile est $q_3-q_1$. 
Plus il est petit, plus la série est resserrée.

Il est moins sensible aux valeurs extrêmes de la série, puisqu'on 
ne tient compte ni du quart supérieur, ni du quart inférieur de la série.

Dans la série 2, on a~: $q_1=q_3=12$, donc l'écart inter-quartile est
nul. La série est quasiment constante
(les deux valeurs extrêmes 6 et 20 sont \emph{aberrantes}). 



%\begin{Remarque} 
%La médiane, qui a été abordée au collège, 
%est une valeur $m$ (qui n'appartient pas nécessairement 
%à la série), telle que la moitié des valeurs sont inférieures à $m$
%et l'autre moitié, supérieures. Donnons deux exemples~:
%\begin{itemize}
%\item Cas d'un effectif impair~: 
%$m=12$ est la médiane de 
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*5{Zc|}}
%\hline
%1&8&12&16&17
%\\\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\item Cas d'un effectif pair~: $m=14$ est la médiane de
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*6{Zc|}}
%\hline
%1&8&12&16&17&18
%\\\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%On trouve 14 en faisant la moyenne de 12 (maximum de la première moitié)
%et de 16 (minimum de la seconde moitié). 
%\end{itemize}
%
%
%La notion de médiane est donc très proche du second quartile $q_2$,
%et les renseignements donnés par ces deux indicateurs sont les mêmes. 
%
%\end{Remarque}

\subsection{Écart-type}
L'étendue ou l'écart inter-quartile ont l'inconvénient de ne
reposer, finalement, que sur deux valeurs particulières de la série. 

Pour fabriquer un indicateur qui rende compte de tous les
écarts $|x_i-\bar{x}|$, on pourrait calculer la moyenne 
de ces écarts.

Pour éviter les calculs avec les valeurs absolue, on préfère
faire la moyenne des \emph{carrés}~:  $(x_i-\bar{x})^2$.
Une moyenne de carrés est homogène au carré des valeurs de la séries. 
On obtient une grandeur comparable à celles de la série en 
revenant à la racine carrée, d'où la formule de
l'écart type~:
\[\sigma = \displaystyle \sqrt{\dfrac{n_1 (x_1-\bar{x})^2+\dots 
+n_p(x_p-\bar{x})^2}{n_1+\dots + n_p}}.\]

Lorsque $\sigma$ est petit, tous les carrés $(x_i-\bar{x})^2$ et
donc, comme la fonction carré est croissante sur $\R_+$, tous
les écarts $|x_i-\bar{x}|$ sont petits, et la série est resserrée
autour de sa moyenne. 

Dans une série \og normale \fg, on observe habituelle 
$66\%$ des données dans\linebreak $[\bar{x}-\sigma,\bar{x}+\sigma]$
et $95\%$ des données dans l'intervalle $[\bar{x}-2\sigma,\bar{x}+2\sigma]$. 

\newpage

%\subsubsectionnn{Médianes} 
%
%Une médiane d'une série statistique est une valeur $m$ telle que :
%\begin{itemize}
%\item au moins la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $m$;
%\item au moins la moitié des valeurs de la série sont supérieurs ou égales à $m$.
%\end{itemize}
%C'est une caractéristique de \emph{position} de la série.
%
%\begin{Exemple}
%on considère la série statistique $\{1;1;2;3;3;4\}$. Une médiane est une valeur qui partage cette série en deux séries de même effectif :
%\[
%\boxed{1;1;2}~;~\boxed{3;3;4}
%\]
%Une médiane peut donc être le nombre 2,5, mais aussi 2,8 ou encore 2,999.
%\end{Exemple}
%\newpage
%
%\subsubsectionnn{Classe médiane}
%
%Dans le cas d'une série donnée par classes, c'est-à-dire où ce que l'on observe est regroupé en intervalles, la classe médiane est une classe qui contient une médiane.
%
%
%\subsubsectionnn{Quartiles}
%
%\begin{itemize}
%\item Le premier quartile d'une série est la plus petite valeur $q_1$ de la série telle qu'au moins 25\% des valeurs sont inférieures ou égales à $q_1$.
%
%\item Le deuxième quartile d'une série est la plus petite valeur $q_2$ de la série telle qu'au moins 50\% des valeurs sont inférieures ou égales à $q_2$.
%
%\item Le troisième quartile d'une série est la plus petite valeur $q_3$ de la série telle qu'au moins 75\% des valeurs sont inférieures ou égales à $q_3$.
%\end{itemize}
%
%\begin{Remarque} 
%les quartiles sont toujours des valeurs de la série.
%
%Le quartile $q_2$ n'est pas souvent utilisé car la médiane représente sensiblement la même chose.
%
%$q_1$ et $q_3$ sont des caractéristiques de \emph{dispersion} ; ils permettent de voir si la série est resserrée autour de sa médiane $m$, ou au contraire très dispersée.
%\end{Remarque}
%
%\begin{Remarque} la médiane possède la même propriété.
%\end{Remarque}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item \rput(-1.5,1){\nathanliveVidWithoutText}La calculatrice permet de calculer la moyenne des filles : environ $11,9$,  et la moyenne des garçons :
environ $9,8$.
\item On a calculé la moyenne de deux sous-groupes, on peut donc  calculer celle de la classe :
\[\bar{x}\approx\frac{12\times 11,9 + 18\times 9,8}{12+18}\approx10,6.\]
\item On avait des notes $x_i$, on ajoute $1$ point à chacune, 
on obtient de nouvelles notes $y_i=x_i+1$. Par linéarité de la
moyenne :
\[\bar{y}=\bar{x}+1\approx11,6.\]

\item On ajoute $3$ points au garçon, donc $3$ points au total des notes. Dans le calcul de la moyenne, ce total  est divisé par $30$ (effectif de la classe). Finalement, on a ajouté $\dfrac{3}{30}=0,1$ à la moyenne, qui devient : $11,7$.
\end{questions}
\end{solintro}

%\section{Fluctuations et échantillonnage}
%
%\begin{exointro}{Lycée Claude Bernard, Paris}
%\begin{questions}
%\item Lors d'un sondage, on a déterminé que 
%$[0,246~;0,554]$ est un intervalle de fluctuation au seuil de 95\;\%.
%Quelle est la taille de l'échantillon considéré ?
%\item Un institut de sondage communique à un candidat aux élections régionales l'intervalle de confiance au niveau 0,95 de son futur score. Cet intervalle a une amplitude de 0,04.
%Combien de personnes a interrogé l'institut de sondage ?
%\item Au deuxième tour d'une élection s'affrontent les candidats A et B. 
%
%L'expérience passée a montré que ces deux candidats bénéficieront de scores proches de 50\;\%. On interroge un échantillon de 1000 personnes. Quelle est l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\;\%~? 
%\end{questions}
%\end{exointro}
%
%\subsection{Intervalle de fluctuation}
%
%Considérons des boules rouges et bleues dans une urne, et supposons que $p$ soit  la proportion de boules rouges. La probabilité de tirer une boule rouge est $p$. Néanmoins, la boule tirée sera \emph{entièrement} rouge, ou \emph{entièrement} bleue, et le résultat du tirage ne reflétera certainement pas la proportion rouges/bleues dans l'urne~!
%
%
%Si l'on veut un résultat qui rendra compte de cette proportion, il faut répéter l'expérience~: on remet la boule dans l'urne et on tire de nouveau.  Ce nouveau tirage est \emph{indépendant} du premier puisqu'on a remis la première boule dans l'urne. On répète ainsi l'opération $n$ fois. Un tel mécanisme s'appelle un schéma de Bernoulli. La suite des $n$ résultats obtenus est un \emph{échantillon} de taille $n$.
%
%La fréquence des boules rouges dans un échantillon, 
%même de grande taille, n'est jamais exactement la même~: il y a des \emph{fluctuations}. Néanmoins, plus l'échantillon est grand, plus la proportion 
%de boules rouges dans l'échantillon reflétera celle dans l'urne et plus
%la probabilité qu'il y ait de grandes fluctuations devient faible~: ce résultat
%s'appelle la \emph{loi faible des grands nombres}.
%\enlargethispage*{1.5em}
%
%%Précisément, on peut démontrer (mais pas en Seconde) que si $n\geq 25$ et que si $0{,}2\leq p\leq 0{,}8$, alors la probabilité que la fréquence $f$ des boules rouges dans un échantillon de taille $n$ soit comprise entre $p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ et $p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est supérieure à $0{,}95$. 
%
%%L'intervalle $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}},p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ s'appelle \emph{l'intervalle de fluctuation} au seuil de 95\;\% des échantillons de taille $n$. 
%
%%Remarque~: $n\geq 25$ est indispensable, car sinon l'échantillon est trop petit pour en tirer de bonnes information. En revanche, si $p<0{,}2$ ou $p>0{,}8$, le résultat n'est pas faux mais l'intervalle donné par la formule n'est pas utile (il est beaucoup trop grand).
%
%Le résultat suivant est utilisé dans la pratique : pour des échantillons de taille $n\geq25$ et des proportions $p$ vérifiant $0,2 \leqslant  p \leqslant 0,8$, si $f$ désigne la fréquence du caractère dans l'échantillonnage, alors $f\in\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ avec une probabilité voisine de 0,95.
%
%L'intervalle ~$\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$~ est un \emph{intervalle de fluctuation} (centré en $p$)\\[0.5em]au seuil de 95\% des échantillons de taille $n$.
%
% 
%\begin{solintro}
%\begin{questions}
%\item L'amplitude de cet intervalle est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$, donc on résout l'équation suivante (d'inconnue $n$) :
%\begin{align*}
%\dfrac{2}{\sqrt{n}} & =0,554-0,246\\
%\text{soit}\quad:\quad\dfrac{2}{\sqrt{n}} & =0,308\;,
%\end{align*}
%
%ce qui donne $n=42$.
%
%La proportion théorique est $p=0,400$ (milieu de l'intervalle).
%
%\item On a encore~: 
%\[\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04\;,\]
%donc $n=\numprint{2500}$. L'institut a interrogé \numprint{2500} personnes (ce qui paraît beaucoup, pour des élections régionales~!). 
%
%
%\item Nous sommes ici dans les conditions d'application de la formule, car $\numprint{1000}>25$ et on a supposé $p$ proche de $0,50$, donc $0,2\leq p \leq 0,8$. 
%
%On calcule :
%\[\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}\approx 0,03\;,\] donc l'amplitude de l'intervalle de fluctuation à 95\;\% pour un échantillon de taille \numprint{1000} est $2\times0,03=0,06$.
%\end{questions}
%\end{solintro}




\section{Probabilités}

\begin{exointro}{Lycée Montaigne, Paris}
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. 

On suppose qu'il y a équiprobabilité.
	\begin{questions}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir un as~?
		\item La carte obtenue est un as. On le remet dans le paquet, on 
mélange et on tire de nouveau une carte. Quelle est la probabilité d'obtenir 
encore un as~?
		\item On a encore obtenu un as~! On ne le remet pas dans le paquet et
on tire une nouvelle carte. Quelle est la probabilité d'obtenir encore un as~?
	\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Expérience aléatoire}

Une expérience aléatoire est une expérience (concrète ou abstraite), dont le résultat (appelé \emph{issue}) n'est pas déterminé à l'avance. Par exemple, le jeu de pile ou face, un lancer de dé, la distribution de cartes à jouer sont des expériences aléatoires. 
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{itemize}
\item \emph{L'univers} est l'ensemble des issues de l'expérience. On le note souvent $\Omega$. 

Par exemple, si on lance un dé à 6 faces, l'ensemble des 
issues est :
\[
\Omega=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}.
\]

\item Un \emph{événement} regroupe une ou plusieurs issues de l'expérience. 
C'est un sous-ensemble de $\Omega$. Il est décrit par
une propriété, par ex. $A=\text{\og le résultat est pair \fg}$, 
ou tout simplement par ses éléments~: $A=\{2 ; 4 ; 6 \}$. 
\end{itemize}

On considère deux événements $A$ et $B$. 

\begin{itemize}
\item $A\cup B$ (lu : \og A ou B \fg) est l'événement qui contient 
toutes les issues de l'événement $A$ et toutes celles de $B$.

\item $A\cap B$ (lu : \og A et B\fg) est l'événement qui contient les issues communes à $A$ et $B$. Deux événements sont
\emph{incompatibles} s'ils ne comportent aucune issue commune 
(par exemple : \og le résultat est 2 \fg et \og le résultat est impair \fg).

\item $\bar{A}$ est l'événement contraire de $A$. Il contient exactement toutes les issues qui ne sont pas dans $A$. 
En particulier, $A$ et $\bar{A}$ sont incompatibles.
\end{itemize}

\subsection{Loi de probabilité}

Soit un univers $\Omega=\{x_1~;x_2~;\ldots~;x_n\}$ contenant $n$ issues.

Une \emph{loi de probabilité} sur $\Omega$ est la donnée de $n$ nombres $p_i$ associés à chaque valeur $x_i$, pour $1\leqslant i \leqslant n$, avec :
\[ p_i\geqslant0\qquad\text{et}\qquad p_1+p_2+\cdots+p_n=1.
\]

Dans le cas où $p_1=p_2=\cdots=p_n$, on dit que
les issues sont \emph{équiprobables} 
et dans ce cas, $p_i=\dfrac{1}{n}$ pour $1\leqslant i\leqslant n$.

Cette situation est souvent indiquée dans l'énoncé par des expressions
comme \og on choisit au hasard \fg, \og le dé n'est pas truqué \fg, etc. 

Lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience et 
qu'on observe la fréquence d'apparition $f_i$ de chaque issue $x_i$, 
on s'aperçoit que ces fréquences sont toujours très proches d'une certaine
valeur, qui est la probabilité théorique $p_i$~: c'est ce
qu'on appelle la \emph{loi des grands nombres}. 

Simulons avec Python une suite de \numprint{100000} tirages à pile ou  face avec une pièce équilibrée. 
On obtient ainsi un échantillon de \numprint{100000} tirages. 
Pour chaque échantillon, notons la proportion de \og pile \fg
obtenus (la fonction \texttt{randint(2)} fournit $0$ ou $1$ de 
manière équiprobable).

\begin{listing}{}{08-crs.py}\end{listing}

\Par

On répète plusieurs fois l'expérience, et on obtient les
proportions~:
\begin{center} 
0,49808 ; 0,49783 ; 0,50053 ; 0,49804 ; 0,50163 ; 0,49903 ; 0,50104.
\end{center}
On n'obtient pas exactement $0{,}5$, mais des valeurs très proches.
 
Plus précisément, la loi des grands nombres prévoit qu'au moins $95\%$ des échantillons devrait présenter une fréquence comprise entre $p-\frac{1}{\sqrt{n}}$ et $p+\frac{1}{\sqrt{n}}$, avec ici $n=\numprint{100000}$ et $p=0,5$. Toutes les valeurs ci-dessus sont bien comprises entre $0,497$ et $0,503$, ce qui est conforme à la théorie. 

Inversement, on peut utiliser cette méthode pour estimer expérimentalement une probabilité qui n'est pas connue. 


\subsection{Probabilité d'un événement}
Si $A=\{x_{i_1},x_{i_2},\dots,x_{i_k}\}$ est un événement, 
la probabilité de l'événement $A$ est, par définition~: 
$P(A)=p_{i_1}+\dots + p_{i_k}$. 

Dans le cas d'issues équiprobables, tous les $p_i$ étant égaux à 
$\frac{1}{n}$, on a donc~: 
\[
P(A)=\frac{k}{n}=\dfrac{\text{nombre d'éléments de }A}{\text{nombre d'éléments de }\Omega}.
\]


%
%\item Les \emph{événements élémentaires} sont les singletons. 
%Ils correspondent à une seule issue (\og le 6 sort \fg). 
%
%\item Une loi (ou distribution) de probabilité est 
%une fonction $P$ qui associe à chaque événement $A$ un 
%réel de $[0,1]$. 
%
%\begin{itemize}
%\item On appelle \emph{événement élémentaire} un des résultats possibles de l'expérience. 
%
%Par exemple, si on note $X$ le numéro indiqué par un dé à 6 faces, les événements
%élémentaires sont : $X=1$, $X=2$, $X=3$, $X=4$, $X=5$ et $X=6$. 
%
%\item On appelle \emph{univers} l'ensemble des issues de l'expérience.
%
%\item Soit un univers $\Omega=\{x_1~;x_2~;\ldots~;x_n\}$ contenant $n$ issues.
%
%Une \emph{loi de probabilité} sur $\Omega$ est la donnée de $n$ nombres $p_i$ associés à chaque valeur $x_i$, pour $1\leqslant i \leqslant n$, avec :
%\[ p_i\geqslant0\qquad\text{et}\qquad p_1+p_2+\cdots+p_n=1.
%\]
%$p_i$ est ici la probabilité de l'événement élémentaire $\{x_i\}$.
%
%\Par
%
%Dans le cas où $p_1=p_2=\cdots=p_n$, on dit qu'il y a \emph{équiprobabilité} et dans ce cas, $p_i=\dfrac{1}{n}$ pour $1\leqslant i\leqslant n$.
%
%\item Les événements élémentaires sont dits \emph{équiprobables}. Ce n'est pas toujours le cas : si on tire au hasard une boule provenant d'un sac avec 9 boules blanches et 1 boule
%noire, la probabilité de l'événement élémentaire \og Boule noire\fg{} est $\dfrac{1}{10}$ alors que celle de l'événement élémentaire \og Boule blanche \fg{} est $\dfrac{9}{10}$ (ces valeurs sont justifiées plus bas). Dans cet exemple, les deux événements élémentaires ne sont pas équiprobables.
%\end{itemize}
%
%\begin{Remarque}
% lorsqu'on répète un très grand nombre de fois l'expérience, on peut montrer que 
%les fréquences observées $f_i$ se rapprochent effectivement des probabilités $p_i$.
%\end{Remarque}
%
%
%\subsection{\'Evénements}
%
%\begin{itemize}
%\item Un \textit{événement} regroupe un ou plusieurs événements élémentaires.  
%
%\item Dans une situation d'équiprobabilité, pour tout événement $A$ de $\Omega$, sa probabilité est :
%\[
%P(A)=\dfrac{\text{nombre d'éléments de }A}{\text{nombre d'éléments de }\Omega}.
%\]
%\end{itemize}
%
%Par exemple, dans le jet d'un dé non truqué, l'événement $(X\leq 3)$ contient les événements élémentaires : $X=1$, $X=2$ et $X=3$ qui ont la même probabilité.
%
%Sa probabilité est alors :
%\[P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.\]
%
%\newpage

Il existe deux cas particuliers :

\begin{itemize}
\item l'événement \emph{certain} $\Omega$ regroupe tous les événements élémentaires. 

On a donc : 
\[
P(\Omega)=1~;
\]

\item l'événement \emph{impossible} $\varnothing$ ne contient aucun événement élémentaire. 

On a donc : 
\[
P(\emptyset)=0.
\]
\end{itemize}

%\subsection{Opérations sur les événements}
%
%On considère deux événements $A$ et $B$. 
%
%\begin{itemize}
%\item $A\cup B$ (lu : \og A ou B \fg) est l'événement qui contient tous les événements élémentaires de $A$ et 
%tous ceux de $B$.
%\item $A\cap B$ (lu : \og A et B\fg) est l'événement qui contient les événements élémentaires communs à $A$ et $B$. Deux événements sont
%\emph{incompatibles} s'ils ne comportent aucun événement élémentaire commun (par exemple : $(X\leq 2)$ et $(X\geq 5)$).
%\item $\bar{A}$ est l'événement contraire de $A$. Il contient exactement tous les événements élémentaires qui ne sont pas dans $A$. 
%En particulier, $A$ et $\bar{A}$ sont incompatibles.
%\end{itemize}

En faisant $P(A)+P(B)$, on compte deux fois la probabilité des événements élémentaires communs à $A$ et $B$. On en déduit la formule :
\[P(A)+P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B).\]
En particulier :
\begin{itemize}
\item si $A$ et $B$ sont incompatibles, on a $A\cap B=\emptyset$, donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ;
\item comme $A\cup \bar{A}=\Omega$, on a : $P(A)+P(\bar{A})=1$.
\end{itemize}

\enlargethispage*{3em}

\begin{solintro}
\begin{questions}
	\item Il y a 32 cartes dans le jeu (32 issues possibles), dont 4 as (4 issues favorables). La probabilité d'obtenir un as est donc $\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.
	\item Comme on remet la carte dans le paquet, le second tirage s'effectue
dans les mêmes conditions que le précédent, et la probabilité d'obtenir 
un second as est encore de $\dfrac{1}{8}$.
	\item Cette fois, au moment du second tirage, le paquet contient 31 cartes (31 issues possibles) et seulement 3 as (3 issues favorables) car on n'a pas
remis la carte dans le paquet. La probabilité d'obtenir un as est cette fois~: $\dfrac{3}{31}$. 
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}
