\thumb

%%% 1

\begin{vf}{Variation d'une série statistique}{3}
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

\Par

Si un commerçant augmente tous ses prix de 1\,\euro :

\choix La moyenne des prix ne change pas.\\[1mm]
\choix L'étendue des prix ne change pas.\\[1mm]
\choix Le prix médian augmente de 1\,\euro.\\[1mm]
\choix L'écart inter-quartile augmente de 1\,\euro. 
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix &Faux. La moyenne augmente également de 1\,\euro.\\[1mm]
\choix & Vrai. Le prix minimal et le prix maximal augmentent de 1\,\euro donc leur différence ne change pas.\\[1mm]
\choix &Vrai, puisque tous les prix ont augmenté de 1\,\euro. \\[1mm]
\choix &Faux, puisque tous les prix ont augmenté de la même façon, 
l'écart inter-quartile est inchangé.
\end{tabularx}
\end{corrige}


%%% 2

\begin{vf}{Jets de dé}{5}
On représente les résultats obtenus en jetant 80 fois un dé à 6 faces.
\begin{center}
\includegraphics{308_09-01}
\end{center}
Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont correctes ?

\begin{tabular}{@{}ll@{}}
\choix Ce graphique est un histogramme. & 
\choix La moyenne est 3,1.\\[2mm]
\choix L'écart inter-quartile est 3&
\choix Le mode est 3.\\[1mm]
\choix Le maximum est 3.&
\choix La fréquence de 5 est $\dfrac{4}{80}$.\\[2mm]
\choix Le dé est pipé (truqué). &
\end{tabular}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix &Faux, c'est un diagramme en bâtons.\\[1mm]
\choix &Vrai. $\dfrac{1\times12+2\times16+3\times32+4\times4+5\times4+6\times12}{12+16+32+4+4+12}=3,1$.\\[1mm]
\choix &Faux. 
Dans l'ordre croissant, la 20\ieme{} valeur vaut 2 et 
la 60\ieme{} valeur vaut 3, donc l'écart inter-quartile est 1.\\[1mm]
\choix &Vrai. L'effectif le plus grand est atteint pour la valeur 3.\\[1mm]
\choix &Faux. Le maximum est 6 (ne pas confondre avec le mode, qui concerne \emph{l'effectif} 
maximal).\\[1mm]
\choix &Vrai. \\[1mm]
\choix &On ne peut pas en être absolument certain, mais il est très improbable 
que la fréquence du 3 soit 8 fois celle du 4 ou du 5 avec un dé normal (on peut calculer
qu'avec un dé normal, une telle répartition arrive dans 1 cas sur \numprint{1800} milliards !).
\end{tabularx}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% NEW2017
%\newpage
%\begin{vf}{Fluctuations et échantillonnage}{5}
%Répondre par \og vrai \fg{}  ou \og faux \fg{} aux propositions des questions suivantes.
%\begin{questions}
%\item On lance un dé 50 fois de suite. On obtient 7 fois la face \og 1 \fg.
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
%\choix & La fréquence de la face \og 1 \fg{} est égale à 0,14.\\[1mm]
%\choix & L'intervalle de fluctuation de la fréquence d'apparition de la face \og 1 \fg{}  au seuil de 95\;\% est environ $[-0,002~;0,281]$.
%\end{tabularx}
%
%\item Selon l'INSEE, au 1\ier{} janvier 2014, il y avait 24,6\% de personnes de moins de 20 ans en France. Dans un village de \numprint{5000} habitants,  l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence de personnes de moins de 20 ans est environ $[0,232~;0,260]$.
%\end{questions}
%\end{vf}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item \raisebox{-0.5\totalheight+1.2em}{\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
%\choix & Vrai. La fréquence de la face \og 1 \fg{} est égale à $\dfrac{7}{50}=0,14$.\\[1mm]
%\choix & Faux. L'intervalle de fluctuation de la fréquence d'apparition de la face \og 1 \fg{}  au seuil de 95\;\% est : $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ si\linebreak $0,2\leqslant p \leqslant 0,8$ et $n\geqslant25$. Or ici, $p=\dfrac{1}{6}\approx0,17<0,2$ et $n=50$. La formule peut quand-même s'appliquer, bien que $p<0,2$ mais l'intervalle que l'on trouvera sera trop grand. 
%
%On trouve alors l'intervalle $\left[\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{\sqrt{50}}~;\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right]$, soit $[0,025~;0,308]$.
%
%Il ne fallait pas tomber dans le piège de calculer $\left[\dfrac{7}{50}-\dfrac{1}{\sqrt{50}}~;\dfrac{7}{50}+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right]$, qui n'est pas l'intervalle de fluctuation...
%\end{tabularx}}
%
%\item Vrai. Ici, $n=\numprint{5000}>25$ et $p=0,246>0,2$ donc on peut utiliser la formule du cours : $\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] \approx [0,232~;0,260]$.
%\end{questions}
%\newpage
%\end{corrige}




%%% 3
\newpage

\begin{vf}{Probabilités}{5}
Un jeu de 52 cartes contient 4 couleurs : pique, c\oe ur, carreau, trèfle ~;
chaque couleur possède 13 cartes : as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet,
dame roi. On tire au hasard une carte et on suppose qu'il y a équiprobabilité.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

\choix La probabilité de tirer l'as de pique est de $\dfrac{1}{52}$.\\[1mm]
\choix La probabilité de tirer un as est de $\dfrac{1}{4}$.\\[1mm]
\choix La probabilité de tirer un roi ou une reine est de $\dfrac{2}{13}$.
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix &Vrai. Si le jeu n'est pas truqué, le tirage de chaque carte est
équiprobable, or le jeu contient 52 cartes, 
donc la probabilité de tirer une carte particulière
est $\dfrac{1}{52}$.\\
\choix &Faux. Il y a 4 as. L'événement \og tirer un as \fg{} contient les 4 événements élémentaires \og tirer l'as de pique \fg{}, \og tirer l'as de c\oe ur \fg{}, \og tirer l'as de trèfle \fg{}, \og tirer l'as de
carreau\fg{}. La probabilité de tirer un as est donc
$4\times\dfrac{1}{52}=\dfrac{1}{13}$.\\
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & Vrai. Comme dans la question précédente, la probabilité de tirer un roi est de $\dfrac{1}{13}$, celle de tirer une reine  est de $\dfrac{1}{13}$. Comme ces deux événements sont disjoints (incompatibles), leur réunion a pour probabilité $\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{13}=\dfrac{2}{13}$. 
\end{tabularx}
\newpage
\end{corrige}



\sectionnn{Statistiques}

%%% 4

\begin{exo}{Temps de trajet}{Lycée Brizeux, Quimper}{1}{10}
La répartition des 200 salariés d'une entreprise d'après la durée du trajet aller qu'ils 
effectuent pour se rendre à leur lieu de travail est relevée dans un tableau. 

\begin{questions}
\item 
Compléter ce tableau :\enlargethispage*{1.5em}

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{>{\centering\arraybackslash}m{0.2\linewidth}|}}
\hline
\tabulartitle
Durée en minutes & 
$n_i$ (effectifs) & 
$f_i$ (fréquences) en \% & 
Effectifs cumulés croissants\\\hline
$[5~;10[$ & & 5 & \\\hline
$[10~;15[$ & 30 &  &  \\\hline 
$[15~;20[$ & &    &110 \\\hline
$[20~;25[$ &  & 30 &  \\\hline
$[25 ~; 30[$ & &  &  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On identifie chaque classe à son centre (ce qui revient, par
exemple, à considérer qu'un temps de trajet entre 5 et 10 min.
est égal à $7{,}5$ min.) Déterminer la moyenne du temps
de trajet. Expliquer pourquoi on peut arrondir à la minute près.

\item Calculer l'écart-type $\sigma$ du temps de trajet. 
Pour combien de valeurs, approximativement, l'écart à la moyenne
est-il inférieur à $\sigma$~?

\end{questions} 


\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \raisebox{-0.5\totalheight+0.7em}{\begin{tabular}{|*4{>{\centering\arraybackslash}m{0.2\linewidth}|}}
\hline
\tabulartitle
Durée en minutes & $n_i$ (effectifs) & $f_i$ (fréquences)  en \% & Effectifs cumulés croissants \\\hline
$[5~;10[$ & 10 & 5 &  10\\\hline
$[10~;15[$ & 30 & 15 & 40 \\\hline 
$[15~;20[$ &70 &  35  &110 \\\hline
$[20~;25[$ & 60 & 30 & 170 \\\hline
$[25~;30[$ &30 & 15 & 200 \\\hline
\end{tabular}}

\item 
On calcule $\bar{x}=(10\times 7,5+\dots + \dots + 30\times 27,5)/200
= 19,25$, soit 19 min et 15 s. 

En assimilant chaque classe à son centre, on a pu faire une erreur de 
$2,5$ min. sur chaque valeur, et donc également sur la moyenne
(par linéarité de la moyenne).  
Une précision à la seconde près est donc un peu exagérée. 

Cependant, on peut espérer que les erreurs se compensent dans une 
certaine mesure, donc il est pertinent d'arrondir à 19 min. 

\item En utilisant la valeur 19 pour la moyenne, on obtient 
$\sigma\simeq 5,3$. Ceci est cohérent avec la série, où
on observe 130 valeurs entre 15 et 25 min. (environ deux tiers
des valeurs). 
\end{questions}
 
\end{corrige}




%%% 5

\newpage

\begin{exo}{Lait en poudre}{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes}{1}{10}
Les quantités de lait en poudre consommées dans une journée par les 45 bébés d'une crèche sont 
fournies, en grammes, dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle Consommation & Effectifs \\\hline
40&2 \\\hline
45&3\\\hline
50&5\\\hline
55&9\\\hline
60&7\\\hline
65&8\\\hline
70&5\\\hline
75&4\\\hline
80&2\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Déterminer la consommation journalière moyenne des bébés. 
\item Déterminer les effectifs cumulés croissants et les effectifs cumulés décroissants.
\item En déduire les quartiles et l'écart inter-quartile. 
\item Quel pourcentage de bébés consomment dans une journée au moins
60~g de lait en poudre ?
\item Quel pourcentage consomment moins de 70~g de lait en poudre ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
On obtient une moyenne d'environ 60,2 g. :

\Par

\begin{center}
\scalebox{1.2}{$\frac{2\times\nombre{40}+3\times\nombre{45}+5\times\nombre{50}+9\times\nombre{55}+7\times\nombre{60}+8\times\nombre{65}+5\times\nombre{70}+4\times\nombre{75}+2\times\nombre{80}
}{45}$}$\approx60,2.$
\end{center}


\item %\mbox{}\hspace*{-7mm}
\raisebox{-0.5\totalheight+0.7em}{\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{2.2cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1.2cm}|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|}
\hline \tabulartitle
\small Consommation & \small Effectifs &\small Effectifs cumulés croissants & \small Effectifs cumulés décroissants \\\hline
40& 2&2 & 45\\\hline
45& 3& 5 & 43\\\hline
50&5&10 & 40\\\hline
55&9&19 & 35\\\hline
60&7&26 & 26\\\hline
65&8&34 & 19\\\hline
70&5&39 & 11\\\hline
75&4&43 & 6\\\hline
80&2&45 & 2\\\hline
\end{tabular}}

\newpage

\item Comme il y a 45 bébés, on dépasse le premier quart au
12\ieme bébé et le troisième au 34\ieme bébé. 
D'après la colonne des effectifs croissants, $q_1=55$~g
(consommation du 12\ieme bébé) et $q_3=65$~g, donc 
l'écart inter-quartile est de 10~g (la série est peu dispersée). 

\item 
D'après les effectifs cumulés décroissants, 26 bébés consomment au
moins 60~g de lait en poudre, soit:
\[
\dfrac{26}{45}\times 100 \approx 58\%. 
\]

\item D'après les effectifs cumulés croissants, 34 bébés consomment moins de 70~g de lait en poudre soit :
\[
\frac{34}{35}\times 100\approx 76\%.
\]


\end{questions}

\end{corrige}


%%% 6

\begin{exo}{Série de masses}{Lycée Henri IV, Béziers}{1}{20}%\enlargethispage*{3em}
Les masses en kilogrammes d'une série de personnes se répartissent ainsi :

\Par

\begin{center}%\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc|}}
\hline 
Masses & 62&66&70&74&78&82&86\\\hline
Fréquences & 7\;\% & 12\;\% & 36\;\% & 15\;\% & 16\;\% & 10\;\% & 4\;\% \\\hline
Fréquences  & & & & & & & \\
cumulées &&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculer la moyenne des masses de ces personnes.
\item Compléter le tableau par les fréquences cumulées croissantes.
\item Déterminer l'écart inter-quartile et l'écart-type. 
\item Quel est le pourcentage des personnes pesant moins de 72 kg ?
\item Quel est le pourcentage des personnes pesant au moins 80 kg ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Pour calculer la moyenne $\bar{x}$, on utilise la formule :
\[\bar{x}=f_1 x_1 + \dots \]
où $x_i$ sont les valeurs et $f_i$ leur fréquence. 

On a donc :
\begin{align*}
\bar{x} & = 
62\times 0{,}07
+66\times 0{,}12
+70\times 0{,}36
+74\times 0{,}15\\
&\phantom{=}+78\times 0{,}16
+82\times 0{,}10
+86 \times 0{,}04\\
&\approx 72{,}7\text{ kg}
\end{align*}

Comme les valeurs de la série sont visiblement à 2 kg près, 
donner la moyenne avec une précision beaucoup plus grande
est illusoire. Donnons la moyenne au kg près : 73~kg. 


\item Pour les fréquences cumulées, on ajoute les fréquences au fur et à mesure des valeurs. 
Pensez à contrôler que la dernière fréquence cumulée est de
100\% ~; si ce n'est pas le cas ... vérifiez vos calculs !

%\setlength{\tabcolsep}{2pt}
%\hspace*{-4pt}
\begin{center}
\begin{tabular}{|M{1.7cm}|*7{Zc|}}
\hline 
Masses & 62&66&70&74&78&82&86\\\hline
Fréquences & 7\% & 12\% & 36\% & 15\% & 16\% & 10\% & 4\% \\\hline
Fréquences cumulées & 7\% & 19\% & 55\% & 70\% & 86\% & 96\% & 100\% \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
%\setlength{\tabcolsep}{3pt}

\item La première fréquence cumulée supérieure ou égale à 25\;\% 
correspond à 70 kg. Celle ou ou dépasse 75\;\% correspond à 78 kg. 
Ces deux valeurs sont donc respectivement les premiers et troisième
quartiles de la série, et l'écart inter-quartile est de 8 kg. 

%
%fréquence cumulée correspondant à la classe $[68~;72[$ est 55\;\%. Elle était de 19\;\% pour la classe précédente. Cela signifie que l'on atteint la moitié (50\;\%) de la population totale à l'intérieur de cette classe. C'est donc la classe médiane.
%
%\medskip
%
%\begin{methode}
%On peut appliquer le critère suivant :
%la classe $[68~;72[$ est la classe médiane, car moins de 50\;\% des individus de la série ont une masse
%inférieure à 68~kg et moins de 50\;\% des individus de la série ont une masse supérieure à 72~kg. 
%\end{methode}

%\medskip
\enlargethispage*{3em}
\item Le pourcentage de personnes pesant moins de 72 kg est justement la fréquence cumulée croissante correspondant à 70 kg, soit 55\;\%. 

\item Dans cette série, \og au moins 80 kg \fg 
signifie 82 ou 86 kg, donc 14~\% de la population totale.
\end{questions}
\end{corrige}






%%% 

%\begin{exo}{Usinage}{Lycée Montaigne, Paris}{1}{10}
%Dans une usine, on étudie le nombre de pièces fabriquées par une machine pendant dix heures
%de fabrication :
%\[
%\begin{array}{|C|*5{Zc|}}\hline
%\text{Heure}& [0~;2[ & [2~;4[ & [4~;6[ & [6~;8[ & [8~;10[\\\hline
%\text{Nb pièces} & 300&500&\numprint{1600}&\numprint{2100}&900\\\hline
%\text{Fréquences}& & & & & \\\hline
%\text{F. cumulées}& & & & & \\\hline
%\end{array}
%\]
%\begin{questions}
%\item Calculer le nombre moyen de pièces fabriquées par heure.
%\item Calculer les fréquences cumulées (en \%) et les indiquer dans le tableau.
%\item Quelle est la classe médiane ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item \numprint{5400} pièces ont été fabriquées en 10 heures, soit une moyenne de 540 pièces à l'heure.
%\item \raisebox{-2.4em}{$\begin{array}{|C|*5{Zc|}}\hline
%\text{Heure}& [0~;2[ & [2~;4[ & [4~;6[ & [6~;8[ & [8~;10[\\\hline
%\text{Nb pièces} & 300&500&\numprint{1600}&\numprint{2100}&900\\\hline
%\text{Fréquences}& 5{,}6\;\% &9{,}3\;\% &29{,}6\;\% &38{,}9\;\% & 16{,}6\;\%\\\hline
%\text{F. cumulées}& 5{,}6\;\% &14{,}9\;\% &44{,}5\;\% & 83{,}4\;\%& 100\;\% \\\hline
%\end{array}$}
%
%
%\item La classe médiane est $[6~;8[$. En effet, moins de la moitié des valeurs se trouvent
%dans les classes inférieures ~; moins de la moitié se trouvent dans la classe supérieure. 
%\end{questions}
%\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%% NEW2017

%\begin{exo}{Histogramme}{Lycée Les Francs-Bourgeois, Paris}{1}{10}
%On a relevé les vitesses (en km/h) d'un certain nombre de voitures lors d'un contrôle routier. La série statistique obtenue est représentée par l'histogramme suivant :
%\begin{center}
%\includegraphics{09-02}
%\end{center}
%\begin{questions}
%\item Compléter le tableau suivant :
%
%\hspace*{-2.5em}
%\scalebox{0.9}{
%\begin{tabular}{|L|*6{>{\centering\arraybackslash}m{10mm}|}}
%\hline\tabulartitle
%Classes & [56~;60[ &  &  &  &   & Total\\
%\hline
%Effectifs &   & & &8 & & \\
%\hline
%Fréquences (en \%) &&&&&&\\
%\hline
%F.C.C. &&&&&&\multirow{2}{*}{\cellcolor{gray}} \\
%\hline
%Centres des classes&58&&&&&\cellcolor{gray}\\
%\hline
%\end{tabular}}
%
%\item Quelle est la classe médiane ?
%\item Calculer la vitesse moyenne des voitures lors de ce contrôle.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item \raisebox{-0.5\totalheight+0.6em}{\scalebox{0.85}{
%\begin{tabular}{|C|*6{c|}}
%\hline\tabulartitle
%Classes & [56~;60[ & [60~;62[ & [62~;66[ & [66~;70[ & [70~;78[  & Total\\
%\hline
%Effectifs & 8 &14&12&8&8&50 \\
%\hline
%Fréquences (en \%) & 16&28&24&16&16&100\\
%\hline
%F.C.C. & 16&44&68&84&100&\multirow{2}{*}{\cellcolor{gray}} \\
%\hline
%Centres des classes&58&61&64&68&74&\cellcolor{gray}\\
%\hline
%\end{tabular}}}
%
%
%\item La classe médiane est l'intervalle pour lequel la fréquence cumulée croissante dépasse 50\%; il s'agit ici de [62~;66[.
%
%\item La vitesse moyenne est :
%\[
%\dfrac{58\times8+61\times14+64\times12+68\times8+74\times8}{50}\approx64,44~\text{km/h}.
%\]
%\end{questions}
%\end{corrige}
%



%%% 7

\begin{exo}{Âge des élèves}{Lycée Jacques Monod, Clamart}{1}{15}
L'âge des élèves d'un lycée, à leur entrée en Seconde, se répartit comme suit :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc|}}
\hline
\^Age (ans) & 13 & 14 & 15 & 16  & 17  \\
\hline
Répartition (\%) & 4 & 12  & 52 & 24 & 8 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculer l'âge moyen
à l'entrée en Seconde dans le lycée.
\item Déterminer l'écart inter-quartile et l'écart-type. 
Que peut-on en dire~?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'âge moyen est $\bar{x}=15{,}2$ (donc 15 ans).
\item On dépasse 25\% à partir de 15 ans et 75\% à partir de 
16 ans. L'écart inter-quartile est donc de 1 an. 

La calculatrice donne un écart-type de 0,89. 

Ces deux valeurs montrent que la série n'est pas très 
dispersée. Il fallait s'y attendre puisque la plupart
des élèves ont des âges très proches dans une classe.



\end{questions} 
\end{corrige}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\begin{exo}{Vitesse automobile}{Lycée Vial, Nantes}{1}{10}
%Sur une route normalement limitée à 70 km/h, on relève la vitesse de 5~000
%automobilistes :
%\[\begin{array}{|C|*5{Zc|}}
%\hline
%\text{Vitesses (km/h)} & ]0~;30] & ]30~;50]& ]50~;70]& ]70~;100]& ]100~;130] \\
%\hline
%\text{Effectifs} & 600 & 900 & \numprint{1800} & \numprint{1200}  & 500 \\\hline
%\end{array}\]
%
%\begin{questions}
%\item Donner le tableau des fréquences (en pourcentages) de cette série statistique.
%\item 
%Déterminer la classe médiane de cette série. On appellera médiane le centre de cette classe.
%\item Déterminer la vitesse moyenne des automobilistes.
%\item Que signifie l'écart entre la moyenne et la médiane ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\enlargethispage*{4em}
%\begin{questions}
%\item \raisebox{-0.5\totalheight+0.5em}{%
%$\begin{array}{|C|*5{Zc|}}
%\hline
%\text{Vitesses (km/h)} & ]0~;30] & ]30~;50]& ]50~;70]& ]70~;100]& ]100~;130] \\
%\hline
%\text{Effectifs} & 600 & 900 & \numprint{1800} & \numprint{1200}  & 500 \\\hline
%\text{Fréquences (\%)} & 12 & 18 & 36 & 24 & 10\\
%\hline
%\end{array}$}
%
%
%\item 30\;\% des automobilistes ont une vitesse inférieure à 50 km/h.
%
%$24\%+10\%=34$\;\% d'entre eux ont une vitesse supérieure à 70 km/h. La classe médiane est donc $]50~;70]$. Par convention, la vitesse médiane est de 60 km/h. 
%\item La vitesse moyenne est de $62{,}5$ km/h. 
%\item La médiane est légèrement inférieure à la moyenne, ce qui signifie que la moyenne des vitesses est
%tirée vers le haut par une minorité de conducteurs qui roulent à très grande vitesse (cette conclusion doit être relativisée, car d'une part l'écart entre moyenne et médiane est ici assez faible, et d'autre part on a choisi arbitrairement le centre de la classe médiane comme médiane de la série).
%\end{questions} 
%\end{corrige}
%


%%% 8

\begin{exo}{Notes à un contrôle}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{1}{15}
On relève les notes obtenues au même contrôle par les élèves d'une même classe :
\[\begin{array}{|*7{Zc|}}\hline
11&12&9&15&1&18&7\\\hline
6&10&7&2&14&2&15\\\hline
4&7&14&13&16&6&17\\\hline
13&9&15&5&10&4&5\\\hline
15&7&5&9&11&14&14\\\hline
\end{array}\]

\Par

Calculer la moyenne et l'écart inter-quartile de cette
série. 
\end{exo}


\begin{corrige}
On peut ranger les différentes notes dans un tableau d'effectifs (on a indiqué également les effectifs cumulés croissants) :

\Par

\hspace*{-2em}
\scalebox{0.8}{
\begin{tabular}{|C|*{19}{Zc|}}
\hline
$x_i$ & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10& 11&12&13&14&15&16&17&18&19\\\hline
$n_i$ & 1 & 2 & 0 & 2 & 3 & 2 & 4& 0& 3 & 2& 2& 1&2&4 & 4& 1 & 1 & 1 & 0\\\hline
$s_i$ & 1 & 3& 3 & 5 & 8 & 10&14&14&17&19& 21 &22&24&28&32 &33&34&35&35\\\hline
\end{tabular}}

\Par

Les données étaient rangées dans un tableau de 7 colonnes et 5 lignes, donc l'effectif total est $n=35$. 
On calcule la moyenne :
\[\bar{x}=
\frac{n_1 x_1+\dots }{n}\approx 9,77.\]

Le premier quart est atteint à partir de la 9\ieme note, donc 6, et
le troisième à partir de la 27\ieme, donc 14. 

On a donc le premier quartile $q_1=6$, le troisième quartile
$q_3=14$, et l'écart inter-quartile est 8. 

\end{corrige}


%%% 9

\begin{exo}{Lancers de dé}{Lycée Sacré-C{\oe}ur, Aix-en-Provence}{1}{15}
On lance deux dés et on ajoute les numéros obtenus à chaque lancer. On remplit le
tableau suivant :

\Par

\hspace*{-2em}
\scalebox{0.85}{
\begin{tabular}{|C|*{11}{Zc|}}
\hline
Résultats & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 1 0 & 11 & 12\\
\hline
Effectifs & 302 & 497 & 904 & \numprint{1086} & \numprint{1408} & \numprint{1640} & \numprint{1341} & \numprint{1122} & \numprint{813} & 575 & 312\\
\hline
Fréquences &&&&&&&&&&&\\
(en \%) &&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
}

\begin{questions}
\item Déterminer pour chaque colonne la fréquence (en $\%$). 
\item Quelle est la moyenne et l'écart-type de cette série ?
\item Quelle est la fréquence de l'événement : \og la somme des deux dés est supérieure
ou égale à 5\fg ?
\end{questions}
\end{exo}



\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On calcule l'effectif total : $N=\numprint{10000}$. Le calcul des fréquences se borne donc à \og ajouter \fg{} une virgule :

\hspace*{-2em}
\scalebox{0.75}{
\begin{tabular}{|C|*{11}{Zc|}}
\hline
Résultats & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 1 0 & 11 & 12\\
\hline
Effectifs & 302 & 497 & 904 & \numprint{1086} & \numprint{1408} & \numprint{1640} & \numprint{1341} & \numprint{1122} & 813 & 575 & 312\\
\hline
Fréquences &3,02 & 4,97 & 9,04 & 10,86 & 14,08 & 16,40 & 13,41 & 11,22 & 8,13 & 5,75 & 3,12\\\hline
\end{tabular}
}

\enlargethispage*{4em}
\item Avec la calculatrice, on obtient une moyenne de $7,0$ et
un écart-type de $2,4$

\item On peut se contenter d'ajouter les fréquences, pour les résultats allant de 5 à 12. Essayons
une autre méthode. La somme des 2 dés est strictement inférieure à 5 avec la fréquence :
\[3{,}02+4{,}97+9{,}04=17{,}03\;\%.\]
Elle est donc supérieure ou égale à 5 avec la fréquence :
\[100-17{,}03=82{,}97\;\%.\]
\end{questions} 
\end{corrige}




%%% 10

\newpage

\begin{exo}{Prix de la baguette}{Lycée Descartes, Tours}{1}{15}
Le prix d'une baguette a été relevé dans les boulangeries de Farineville :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc|}}
\hline
Prix (en centimes)  & $75$ & $80$ & $85$ & $90$ & $95$ \\
\hline
Effectifs & 2 & 5 & 8 & 4 & 1\\\hline
Fréquences & & & & &\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Compléter le tableau.
\item Déterminer la moyenne de cette série.
\item Quelle est sa classe médiane ?  
\item Une boulangerie supplémentaire ouvre et vend sa baguette à 70 centimes. Quel est l'effet  sur la moyenne ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'effectif total est $n=20$.

\hspace*{-3pt}
\scalebox{0.88}{
\begin{tabular}{|C|*5{Zc|}}
\hline
Prix (en centimes)  & $75$ & $80$ & $85$ & $90$ & $95$ \\
\hline
Effectifs & 2 & 5 & 8 & 4 & 1\\\hline
Fréquences & 0{,}1 &0{,}25 & 0{,}4 &0{,}2 &0{,}05 \\\hline
Fréquences cumulées & 0{,}1 & 0{,}35 & 0{,}75 & 0{,}95 & 1{,}00 \\\hline
\end{tabular}}

\item 
La moyenne est $\bar{x}=84{,}25$ centimes. 
La précision des données est au centime près, on 
donne donc la moyenne au centime près également~:
\[\bar{x}\approx 84~\text{centimes}.\]

\item On dépasse $0{,}25$ en fréquences cumulées à partir de 80 c,
et $0{,}75$ à partir de 85 c. L'écart inter-quartile est donc de 5 c. 


\item Tout se passe comme si on avait dans notre nouvelle série deux sous-groupes. Le premier
est le sous-groupe des 20 premières boulangeries, de moyenne $84$~c.
Le second est le sous-groupe
constitué par la seule nouvelle boulangerie, de moyenne $70$~centimes. 
La moyenne finale est donc :
\[\bar{X}=\frac{20\times 84+1\times 70}{21}\simeq 83{,}6.\]
La moyenne n'a donc pratiquement pas été modifiée. 
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{exo}{Salaires horaires}{Lycée Janson de Sailly, Paris}{1}{15}
%Voici un tableau présentant la répartition des salaires horaires dans une entreprise :
%\[\begin{array}{|C|*5{Zc|}}\hline
%\text{Salaire (en \euro)}& [7~;10[& [10~;13[ & [13~;16[ & [16~;19[ & [19~;22[ \\\hline
%\text{Effectifs} & 120&480&490&160&60\\\hline
%\end{array}\]
%\begin{questions}
%\item Calculer la moyenne des salaires dans cette entreprise.
%\item On décide d'augmenter tous les salaires d'un euro. Quelle est la nouvelle moyenne ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item L'effectif total est $n=\numprint{1310}$ et la moyenne de $13{,}49$\,\euro.
%\item Par linéarité de la moyenne, si les salaires augmentent de 1\,\euro, alors la moyenne
%également. La nouvelle moyenne sera donc de $14{,}49$\,\euro. 
%\end{questions}
%\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{exo}{Saut en hauteur}{Lycée Lakanal, Sceaux}{1}{20}
%On a relevé les performances de $200$ sauteurs en hauteur au cours d'une compétition scolaire :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|C|*7{Zc|}}
%\hline
%Classes (en cm) & $[60~;80[$ &$[80~;100[$ & $[100~;110[$ & $[110~;120[$ \\
%\hline
%Effectifs $n_i$ & 24 & 32 & 32 & 40 \\
%\hline
%\multicolumn{5}{l}{}\\[-10pt]
%\hline
%Classes (en cm) & $[120~;130[$ & $[130~;150[$ & 
%$[150~;180[$ & \\
%\hline 
%Effectifs $n_i$ & 60 & 10 & 2 & \\\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\begin{questions}
%\item Calculer le pourcentage de sauteurs ayant franchi moins de 110~cm.
%\item Calculer la moyenne de cette série.
%\item Quelle est la classe médiane de cette série ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Il suffit d'ajouter les effectifs correspondant à des valeurs inférieures
%à 110~cm, soit $24+32+32=88$. Il n'y a plus qu'à déterminer le pourcentage :
%\[\frac{88}{200}=\frac{44}{100}=44\;\%.\]
%
%\item Pour calculer la moyenne, on remplace
%chaque classe par son centre, on obtient le tableau de valeurs :
%\[\begin{array}{|C|*7{Zc|}}
%\hline
%%centres (en cm) & $70$ &$90$ & $105$ & $115$ & $125$ & $140$ & $165$\\
%\text{Centres (en cm)} & 70&90&105&115&125&140&165\\
%\hline
%\text{Effectifs $n_i$ }& 24 & 32 & 32 & 40 & 60 & 10 & 2 \\\hline
%\end{array} 
%\]
%On calcule alors la moyenne :
%
%\hspace*{-2em}$\begin{aligned}
%\bar{x}&=\frac{24\!\times\! 70+32\!\times\! 90 + 32\!\times\! 105 + 40\!\times\! 115 + 60 \!\times\! 125 + 10\!\times\! 140 + 2\!\times\! 165}{200} \\
%&=\frac{21\,750}{200} \\
%&=108{,}75~\text{cm}.
%\end{aligned}$
%
%\item On a vu que 88 candidats (moins de la moitié)
%avaient effectué un saut inférieur à 110~cm. Il y a de même
%$60+10+2=72$ candidats (moins de la moitié) avec un saut supérieur à 120~cm. 
%La classe médiane est donc $[110~;120[$. 
%\end{questions} 
%\end{corrige}
%
%

%%% 11

\begin{exo}{Télévision}{Lycée Paul Lapie, Courbevoie}{1}{30}
Dans une classe de cinquième et une classe de seconde, on a demandé aux élèves le nombre d'heures par semaine consacrées à regarder la télévision. 

Classe de seconde (32 élèves) :
\[
\begin{array}{|C|*9{Zc|}}
\hline
\text{Temps (h)} & 2&6&7&8&9&10&11&14&15\\\hline
\text{Effectifs}  &1&2&1&1&2&5&1&1&4\\\hline
\multicolumn{10}{l}{}\\[-10pt]
\hline
\text{Temps (h)}& 16&17&18&20&21&22&23&\multicolumn{2}{c|}{24}\\\hline
\text{Effectifs} & 1&1&4&3&1&1&2&\multicolumn{2}{c|}{1}\\\hline
\end{array}
\]

\Par

Classe de cinquième (27 élèves) :
\[
\begin{array}{|C|*{10}{Zc|}}
\hline
\text{Temps (h)} & 0&4&5&8&9&10&11&12&\multicolumn{2}{c|}{13}\\
\hline
\text{Effectifs} & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & \multicolumn{2}{c|}{1}\\
\hline
\multicolumn{10}{l}{}\\[-10pt]
\hline
\text{Temps (h)} & 15&16&20&28&30&31&32&40&54&56\\\hline
\text{Effectifs} & 3&1&1&1&1&1&1&2&1&1\\\hline
\end{array}
\]

\begin{questions}
\item Pour chaque série, calculer la moyenne, 
et l'écart inter-quartile.
\item Comparer et commenter les résultats des deux séries à l'aide des résultats de la
question précédente.
\item Donner la distribution des fréquences en pourcentage de la classe de seconde.
Quelle est la fréquence en pourcentage de l'événement : \og temps inférieur à 14 h\fg ?
\item On regroupe les données des deux séries pour construire une nouvelle série. 
Calculer la moyenne de la nouvelle série en utilisant les moyennes des deux séries 
précédentes.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour la classe de seconde : la moyenne est $\bar{x}\approx14,4$.

Il y a 32 élèves en seconde. Les premiers et troisièmes quartiles
correspondent donc à la 8\ieme valeur (10 h) et la 24\ieme (18 h). 
L'intervalle inter-quartile est donc de 8 h. 

Pour la classe de cinquième, on trouve une moyenne de 
$\bar{y}\approx 19,1$. 

Il y a 27 élèves en cinquième, on s'intéresse donc 
à la 7\ieme valeur (10 h) et la 21\ieme (30 h). 
On obtient donc un intervalle inter-quartile  de 20 h. 

\item Si on regarde la seule moyenne, on voit que les élèves de cinquième regardent la télévision plus longtemps que leurs camarades de seconde.

Néanmoins, la comparaison de la dispersion montre que
les situations des élèves du collège sont beaucoup plus diverses : certains ne regardent pas du tout la télévision, l'un d'entre eux la regarde... 8 heures par jour ! C'est ce petit nombre de \og téléphages \fg qui tire la moyenne vers le haut.

\newpage

\item Donnons le tableau des fréquences :

$
\begin{array}{|C|*9{Zc|}}
\hline
\text{Temps (h)} & 2&6&7&8&9&10&11&14&15\\\hline
\text{Effectifs}  &1&2&1&1&2&5&1&1&4\\\hline
\text{Fréquences (\%)} & 3{,}1 & 6{,}3 & 3{,}1 &3{,}1 &6{,}3 &15{,}6 & 3{,}1 &3{,}1 &
12{,}5 \\ \hline
\multicolumn{10}{l}{}\\[-10pt]
\hline
\text{Temps (h)}& 16&17&18&20&21&22&23&\multicolumn{2}{c|}{24}\\\hline
\text{Effectifs} & 1&1&4&3&1&1&2&\multicolumn{2}{c|}{1}\\\hline
\text{Fréquences (\%)} &3{,}1 &3{,}1 &12{,}6 &9{,}4 & 3{,}1 &3{,}1 &6{,}3 & \multicolumn{2}{c|}{3,1}\\ \hline
\end{array}
$

\Par

La somme des fréquences vaut $100\;\%$. Si, pour
des raisons d'arrondi, ce n'était pas le cas, l'habitude 
veut que l'on corrige les résultats en modifiant la fréquence maximale.

La fréquence cherchée est d'environ 44\;\%.


\item On connaît les moyennes de deux-sous groupes, la moyenne générale est donnée par :
\[\bar{X}=\frac{32\bar{x}+27\bar{y}}{32+27}\approx16,6.\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 12


\begin{exo}{Course à pied}{Lycée Claude Bernard, Paris}{2}{20}
Dans un groupe de 25 coureurs de 100~m (15 femmes et 10 hommes) :
\begin{questions}
\item 
La moyenne des temps des femmes est de $12{,}32$~s ~;
celle des hommes est de $11{,}48$~s.
Quelle est la moyenne de l'ensemble des coureurs ?

\item 
Après un mois d'entraînement, la moyenne des temps des femmes a diminué
de $0{,}21$~s et celle des hommes a diminué de $0{,}13$~s.
De combien la moyenne de l'ensemble a-t-elle varié ?
\item 
L'entraîneur sélectionne alors 10 hommes et 10 femmes. Outre les 10 hommes, il
choisit les 10 femmes les plus rapides, dont la moyenne des temps est de $11{,}97$~s. 
Quelle est la moyenne des temps des femmes qui n'ont pas été sélectionnées ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On calcule la moyenne pondérée :
\[m=\frac{15\times 12{,}32+10\times 11{,}48}{25}=11{,}984.\]
$11{,}984$ est le résultat exact donné par la calculatrice. Pour formuler sa réponse, il
faut également s'interroger sur la précision des mesures des temps de chaque coureur.
Les moyennes sont données au centième près, il faut donc se contenter de ce niveau de 
précision. Une réponse plus raisonnable est donc : $11,98$~s. 

\item Pour connaître la variation, on calcule la moyenne pondérée des variations :
\[\Delta=\frac{15\times 0{,}21+10\times 0{,}13}{25}=0{,}178.\]
Au centième près, on calcule donc une amélioration de $0{,}18$ s de l'ensemble des
performances. 

\item 
La moyenne de l'ensemble des femmes (on la note $F$) est donnée par l'énoncé, compte
tenu de l'amélioration de leurs performances :
\[F=12{,}32-0{,}21=12{,}11\textup{ s}.\]

$\bar{x}$ la moyenne des femmes sélectionnées et $\bar{y}$ celle des autres
femmes.
\newpage
La moyenne du groupe féminin est la moyenne pondérée de $\bar{x}$  et $\bar{y}$, d'où
l'équation :
\begin{align*}
F&=\frac{10\bar{x}+5\bar{y}}{15}\\
& \iff 15\times F =  10 \bar{x}+5\bar{y}\\
& \iff \frac{15\times F-10 \bar{x}}{5} =\bar{y}.
\end{align*}
Comme $\bar{x}=11{,}97$ et $F=12{,}11$, il vient : $\bar{y}=12{,}39$.
\end{questions} 
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\begin{exo}{Hausse des prix}{Lycée Masséna, Nice}{2}{10}
%Au premier janvier, une augmentation de la TVA cause une hausse des prix de 3\%. 
%Le responsable des ventes d'un magasin
%répercute cette augmentation sur tous les prix. Suite à cette augmentation, il regroupe
%les articles d'un rayon suivant leurs nouveaux prix et l'on établit le tableau suivant :
%\[
%\begin{array}{|C|*4{Zc|}}\hline
%\text{Prix (\euro)} & [5~;10[& [10~;50[ & [50~;100[ & [100~;120[\\\hline
%\text{Nb articles} & 10&120&70&40\\\hline
%\end{array}
%\]
%Calculer le prix moyen des articles avant augmentation. 
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%On calcule le prix moyen après l'augmentation :
%$\bar{y}=55{,}52\,\text{\euro}$.
%
%Notons $\bar{x}$ le prix moyen avant l'augmentation. Par linéarité de la moyenne,\linebreak  $\bar{x}$ a augmenté de $3\%$, c'est-à-dire :
%\[\bar{y}=(1+\frac{3}{100})\bar{x}.\]
%Il vient :
%\[\bar{x}=53{,}90.\] 
%\end{corrige}

%%% 13

\begin{exo}{Notes d'un élève}{Lycée Camille Sée, Paris}{2}{10}
Après 4 devoirs, la moyenne d'un élève est $9{,}5$. 
Quelle doit être sa cinquième note pour que sa moyenne soit de $10$ ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour avoir une moyenne de 10 sur 5 notes, il faut que le total des notes obtenu soit 50.
Pour l'instant, l'élève a une moyenne de $9{,}5$ sur 4 notes, soit un total de 
$4\times 9{,}5=38$. Il lui faut donc obtenir $50-38=12$ au prochain devoir pour obtenir
$10$ de moyenne. 
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{exo}{Salaires mensuels}{Lycée \'Evariste Gallois, Noisy-le-Grand}{2}{15}
%Dans une entreprise de 50 salariés, la répartition des salaires, en centaines d'euros, est
%donnée par le tableau suivant :
%\[\begin{array}{|C|*5{Zc|}}\hline
%\text{Salaires (\euro)} & [9~;12[ & [12~;15[ & [15~;18[ & [18~;25[ & [25~;37]\\\hline
%\text{Effectifs} & 12 &20&8&6&4\\\hline
%\end{array}\]
%\begin{questions}
%\item Quelle est la fréquence des salaires inférieurs à \numprint{1800}~\euro ?
%\item Calculer les effectifs cumulés croissants. Déterminer la classe médiane et le
%salaire médian (centre de la classe médiane).
%\item En présentant les calculs dans un tableau $(x_i,n_i)$ puis en indiquant la formule
%utilisée, calculer le salaire moyen $\bar{x}$ dans cette entreprise.
%\item Quelle augmentation des salaires, en pourcentage, aura pour effet une hausse de 40\,\euro
%du salaire moyen ? 
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item 40 salariés sur 50 ont un salaire inférieur à \numprint{1800}~\euro, soit 80~\% des effectifs.
%\item \raisebox{-1.5em}{$
%\begin{array}{|C|*5{Zc|}}\hline
%\text{Salaires (\euro)} & [9~;12[ & [12~;15[ & [15~;18[ & [18~;25[ & [25~;37]\\\hline
%\text{Effectifs} & 12 &20&8&6&4\\\hline
%\text{Eff. cum.} & 12 & 32& 40&46&50\\\hline
%\end{array}
%$}
%
%La classe médiane est $[12~;15[$ car moins de la moitié des salariés (12) touchent un salaire inférieur
%à \numprint{1200}~\euro, et moins de la moitié (18) touchent un salaire supérieur. 
%D'où un salaire médian de \numprint{1350}~\euro.
%\item On remplace chaque classe par son centre de classe :
%\[\begin{array}{|C|*5{Zc|}}\hline
%\text{Salaires (\euro)} & \numprint{1050} & \numprint{1350} & \numprint{1650} & \numprint{2150} & \numprint{3100}\\\hline
%\text{Effectifs} & 12 &20&8&6&4\\\hline
%\end{array}\]
%Le salaire moyen obtenu est $\bar{x}=\numprint{1562}$~\euro.
%\item Il suffit de calculer le pourcentage d'une augmentation de 40\,\euro par rapport à \numprint{1562}.
%On obtient :
%\[\frac{40}{\numprint{1562}}=2{,}56\;\%.\]
%Par linéarité de la moyenne, une telle augmentation de tous les salaires augmentera le salaire
%moyen de 2,56 \%.
%\end{questions} 
%\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sectionnn{Probabilités}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% 14

\begin{exo}{Cartes}{Lycée Marie Curie, Sceaux}{1}{10}
On dispose d'un jeu de 52 cartes. On tire une carte au hasard. On suppose qu'il y a équiprobabilités. On note $A$ l'événement \og la carte est un as \fg{} et $P$ l'événement \og la carte est un pique \fg. 
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité de $A$ ? De $P$~?
\item Décrire l'événement $A\cap P$ et donner sa probabilité.
\item Décrire l'événement $A\cup P$ est donner sa probabilité. 
\item Quelle est la probabilité que la carte obtenue ne
soit pas un as~?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il y a 4 as dans le jeu, donc 4 issues favorables. Le jeu contient 52 cartes, donc 52 issues possibles. L'événement $A$ a donc pour probabilité la valeur suivante : $4\times \dfrac{1}{52}=\dfrac{1}{13}$.

Chaque couleur ayant le même nombre de cartes, on peut considérer que le tirage de chaque couleur est équiprobable. Il y a 4 couleurs, donc la probabilité de tirer un pique est $\dfrac{1}{4}$.

\item L'événement $A\cap P$ est \og la carte est l'as de pique \fg. 
Une seule issue favorables pour 52 possibles, donc la probabilité de
cet événement 
est $\dfrac{1}{52}$.

\item $A\cup B$ signifie \og la carte est un as ou un pique \fg. 
Il y a 13 piques, auxquels on ajoute les 3 autres as, donc 16 issues 
favorables, pour 52 possibles, donc~: $P(A\cup P)=\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}$.\\
On peut également appliquer directement la formule du cours~:
\[P(A\cup P)=P(A)+P(P)-P(A\cap P)=\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{52}
=\dfrac{4}{13}.\] 

\item Il s'agit de l'événement contraire $\bar{A}$ dont la probabilité est~:
\[P(\bar{A})=1-P(A)=\dfrac{12}{13}.\]
\end{questions} 
\end{corrige}




%%% 15

\begin{exo}{Jeu de dés}{Lycée Edgar Quinet, Paris}{1}{15}
Les faces d'un dé sont numérotées de 1 à 6. On jette ce dé deux fois de suite et on forme un nombre à 2 chiffres, celui des dizaines étant le chiffre obtenu au premier jet, celui des unités étant celui obtenu au second jet. 
\begin{questions}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous, afin d'écrire tous les résultats possibles. 
\[\begin{array}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
&1&2&3&4&5&6\\\hline
1&11&12&13&&&\\\hline
2&21&&&&&\\\hline
3&&32&&&&\\\hline
4&&&&&&\\\hline
5&&&&&&\\\hline
6&&&&&&\\\hline
\end{array}\]
Quelle est la probabilité de 
chaque résultat~?
\item Calculer~: la probabilité $p_1$ que le résultat soit un multiple
de $5$, la probabilité $p_2$ qu'il soit pair, la probabilité $p_3$
qu'il soit supérieur à 30. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On complète le tableau~:
\[\begin{array}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
&1&2&3&4&5&6\\\hline
1&11&12&13&14&15&16\\\hline
2&21&22&23&24&25&26\\\hline
3&31&32&33&34&35&36\\\hline
4&41&42&43&44&45&46\\\hline
5&51&52&53&54&55&56\\\hline
6&61&62&63&64&65&66\\\hline
\end{array}\]
\Par

Si les dés ne sont pas pipés, les 6 valeurs sont équiprobables pour les deux
chiffres, donc chaque résultat est équiprobable. On dénombre \linebreak $6\times 6=36$ résultats, qui ont donc tous une probabilité de $\dfrac{1}{36}$. 

\item 
\begin{itemize}
\item Le résultat est un multiple de $5$ si et seulement si le deuxième jet donne 5, ce qui arrive 
avec probabilité $p_1=\dfrac{1}{6}$. 

\item Le résultat est pair si et seulement si le deuxième jet donne 2, 4, ou 6, ce
qui est la moitié des cas possibles, donc $p_2=\dfrac{1}{2}$. 

\item Le résultat est supérieur à 30 si et seulement si le premier jet donne 3, 4, 5 ou 6, soit deux tiers des cas possibles, d'où $p_3=\dfrac{2}{3}$. 
\end{itemize}
\end{questions} 
\end{corrige}

%%% 16

\begin{exo}{Des urnes}{Lycée La Folie Saint James, Neuilly-sur-Seine}{1}{15}
Une urne contient 100 boules numérotées 00, 01, 02,..., 99. On tire au
hasard une boule et on lit le numéro obtenu. On considère les événements 
$A$~: \og Le numéro obtenu contient au moins un 0 \fg et 
$B$~: \og Le numéro obtenu contient au moins un 9 \fg.
\begin{questions}
\item Déterminer la probabilité des événements $A$ et $B$.
\item Déterminer la probabilité de l'événement $A\cap B$.
\item Déterminer la probabilité de l'événement $A\cup B$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On dénombre 100 issues possibles (les 100 numéros). 
10 numéros commencent par 0, 10 numéros se terminent par 0. 
Attention à ne pas compter deux fois 00, qui relève des deux cas.
Il y a donc 19 cas favorables. La probabilité de $A$
est donc $P(A)=0{,}19$.\\
De même, 19 numéros contiennent au moins un 9, donc $P(B)=0{,}19$.

\item On cherche les numéros qui contiennent au moins un 0 et au moins un 9. Comme les numéros ont deux chiffres, il y a donc deux issues favorables~: 09 et 90. On en déduit~: $P(A\cap B)=\dfrac{2}{100}=0{,}02$.

\item  $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}36$.
\end{questions} 
\newpage
\end{corrige}


%%% 17

\begin{exo}{Tirages dans un jeu de cartes}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{20}
Un jeu de 32 cartes contient les cartes 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As dans les quatre couleurs trèfle, carreau, c{\oe}ur, pique. Les \emph{figures} sont 
les Valets, Dames et Rois. On tire au hasard une carte en supposant qu'il y ait équiprobabilité. Soit $C$ l'événement \og tirer un c{\oe}ur\fg
et $H$ l'événement \og tirer une figure \fg. 
\begin{questions}
\item Définir par une phrase les événements $\bar{C}$, $C\cap H$, $C\cup H$, 
$C\cap \bar{H}$.  
\item Calculer la probabilité des événements $C$, $\bar{C}$, $H$, $\bar{H}$,  $C\cap H$, $C\cup H$ et $C\cap\bar{H}$. 
\item \'Ecrire $C\cap\bar{H}$ sous la forme d'un ensemble. 
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\bar{C}$ est l'événement \og tirer une autre couleur que c{\oe}ur \fg.

$C\cap H$ est l'événement \og tirer une figure de c{\oe}ur \fg.

$C\cup H$ est l'événement \og tirer une figure ou un c{\oe}ur \fg.

$C\cap \bar{H}$ est l'événement \og tirer un c{\oe}ur qui n'est pas une figure \fg.

\item Il y a 32 cartes, donc 32 cas possibles. Il suffit de dénombrer pour chaque événement les cas favorables~: 
\begin{itemize}
\item $P(C)=\dfrac{1}{4}$ car un quart des cartes sont des c{\oe}urs.
\item $P(\bar{C})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ (événement contraire)
\item $P(H)=\dfrac{3}{8}$ car pour chaque couleur, on dénombre 3 figures sur 8 cartes.
\item $P(\bar{H})=1-\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}$ (événément contraire)
\item $P(C\cap H)=\dfrac{3}{32}$ (trois figures c{\oe}urs, donc 3 cas favorables sur 32 cartes possibles). Si vous avez répondu $\dfrac{3}{8}$, c'est que vous 
avez oublié que la carte prise au hasard n'a pas de raison d'être un c{\oe}ur.
\item $P(C\cup H)=\dfrac{8+3\times 3}{32}=\dfrac{17}{32}$ (huit c{\oe}urs, et trois figures dans les trois autres couleurs, soit 17 cas favorables sur 32 cartes possibles).
\item $P(C\cap\bar{H})=\dfrac{5}{32}$ (5 c{\oe}urs ne sont pas des figures,  soit 5 cas favorables sur 32 cartes possibles).
\end{itemize}

\item Il s'agit de recenser les cartes à c{\oe}ur qui ne sont pas des figures, donc~: $C\cap\bar{H}=\{7C,8C,9C,10C,AC\}$ (xC désignant la carte x de  c{\oe}ur).
\end{questions} 
\end{corrige}

%%% 18

\begin{exo}{Jetons}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{15}
Une urne contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton dans l'urne, on note son numéro, on le remet dans l'urne, on tire à nouveau
au hasard un jeton dans l'urne et on note son numéro. On forme ainsi
une suite $(J_1,J_2)$ de 2 numéros. 
Attention, la suite $(2,1)$, par exemple, est 
différente de la suite $(1,2)$. 
\begin{questions}
	\item Justifier brièvement que la probabilité de chaque issue est égale à
$\dfrac{1}{16}$. 
	\item Soit $A$ l'événement~: \og $J_1<J_2$ \fg. 
Soit $B$ l'événement~: \og $J_1+J_2=4$ \fg. 
	\begin{questions}
		\item \'Ecrire les événements $A$ et $B$ comme des ensembles.
		\item Déterminer $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$, $P(A\cap\bar{B})$.
		\item En déduire $P(\bar{A})$, $P(A\cup B)$, $P(A\cup\bar{B})$.
	\end{questions}
\item Soit $E$ l'événement~:  \og $J_1$ et $J_2$ sont impairs \fg
et $F$ l'événement~:\linebreak \og $J_1+J_2$ est impair \fg.
Déterminer $P(E)$, $P(F)$, $P(E\cap F)$, $P(E\cup F)$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Une issue est une suite $(J_1,J_2)$. Il y a donc 4 possibilités pour $J_1$, et pour chaque valeur de $J_1$, 4 possibilités pour $J_2$, soit 16 issues possibles, l'expression \og au hasard \fg signifiant, sauf mention contraire, que les valeurs possibles pour $J_1$ ou $J_2$ sont équiprobables, les issues $(J_1,J_2)$ le sont également, donc la probabilité de chaque issue est $\dfrac{1}{16}$. 
\item 
\begin{questions}
\item 
$A=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\}$\newline et 
$B=\{(1,3),(2,2),(3,1)\}$.

\item L'événement $A$ contient 6 issues favorables, donc nous avons \\$P(A)=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$.\\
L'événement $B$ contient 3 issues favorables, donc 
$P(B)=\dfrac{3}{16}$.\\
$(1,3)$ est la seule issue commune aux deux événements, 
donc nous avons $P(A\cap B)=\dfrac{1}{16}$.\\
$A\cap\bar{B}$ contient toutes les issues de $A$ qui
ne sont pas dans $B$, donc 5 issues favorables, d'où
$P(A\cap\bar{B})=\dfrac{5}{16}$.
\item $P(\bar{A})=1-P(A)=\dfrac{5}{8}$ (événement contraire), et nous avons 
$P(A\cup B)=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$ (8 issues favorables distinctes
au total), $P(A\cup\bar{B})=\dfrac{14}{16}=\dfrac{7}{8}$.
\end{questions}
\item On peut expliciter $E=\{(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)\}$\\ et 
$F=\{(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)\}$. 
On en déduit facilement~:
$P(E)=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$, $P(F)=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$, 
nous avons aussi $P(E\cap F)=0$ (la somme de deux nombres impairs est paire), 
et l'égalité suivante $P(E\cup F)=P(E)+P(F)=\dfrac{3}{4}$ (événements \emph{incompatibles}).
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 19	

\begin{exo}{Au supermarché}{Lycée Marie Curie, Versailles}{2}{15}
\nathanliveVideo\label{video:ch9exo}

Un supermarché de quartier est ouvert de 9h à 19h. 
Le gérant a mesuré que la première caisse
est occupée 5 h par jour (événement $A$) et la seconde, 
6 heures sur dix (événement $B$). 
Les deux sont occupées simultanément 3 h par jour. 

\begin{questions}
\item Donner les probabilités des événements $A$, $B$
et $A\cap B$. 
\item Quelle est la probabilité que la seconde caisse 
soit libre~?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une des caisses
soit libre~? 
\item Quelle est la probabilité que les deux caisses soient
libres~?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
%\nathanliveVideo

%\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item \rput(-1.1,0.1){\nathanliveVidWithoutText}Il s'agit d'une simple traduction de l'énoncé. On obtient
$P(A)=0{,}5$~~; $P(B)=0{,}6$ et $P(A\cap B)=0{,}3$ car $A\cap B$
est l'événement~: \og les deux caisses sont occupées \fg. 
\item \og La seconde caisse est libre \fg est $\bar{B}$, 
l'événement contraire de $B$. Or $P(\bar{B})=1-P(B)=0{,}4$. 
\item \og Au moins une des deux caisses est libre \fg 
est l'événement contraire de $A\cap B$. On calcule
$P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=0{,}7$. 
\item Considérons l'événement contraire, c'est-à-dire~:
\og au moins une caisse est occupée \fg. Il s'agit de 
$A \cup B$. On a~:
\[P(A)+P(B)=P(A\cap B)+P(A\cup B)\]
donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. 
L'événement cherché, $\overline{A\cup B}$, a pour probabilité~:
\[P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B).\]
On en déduit~ que $P(\overline{A\cup B})=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)$, et donc $P(\overline{A\cup B})=1-0{,}5-0{,}6+0{,}3=0{,}2$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 20
\begin{exo}{Groupes sanguins}{Lycée Fernand Daguin, Mérignac}{2}{10}
La répartitions des groupes sanguins dans la population française est présentée dans le tableau suivant :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|C|*5{Zc|}}
\tabulartitle
\multicolumn{2}{l|}{\cellcolor{white}} &  \multicolumn{5}{c|}{Groupe sanguin}\\
\tabulartitle
\multicolumn{2}{l|}{\cellcolor{white}} & \psline(-0.41,0.37)(4.86,0.37)\psline(-0.43,0.79)(4.9,0.79) O & A & B & AB & Total\\
\hline
\multirow{2}{*}{ } & Rh+ & 37\% & 39\% & 7\% & 2\% & \\
\cline{2-7}
& Rh-   & 6\% & 6\% & 2\% & 1\% & \\
 \hline
 \multicolumn{2}{|l|}{\cellcolor{LY}Total} &  &  &   &  &  100\%\\
 \hline
\end{tabular}
\put(-192,-15){\rotatebox{90}{\small rhésus}}
\end{center}

\Par

L'expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une personne dans cette population. On assimile les probabilités aux fréquences observées.
\begin{questions}
\item Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ?
\item Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants :
\begin{questions}
\item A : \og la personne est du groupe A \fg{} 
\item Rh+ : \og la personne a un rhésus positif \fg{} 
\item AB- : \og la personne est du groupe AB rhésus négatif \fg{} 
\end{questions}
\item La personne que l'on a choisie est rhésus négatif. Quelle est la probabilité qu'elle soit du groupe AB ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Complétons avant tout le tableau :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|C|*5{Zc|}}
\tabulartitle
\multicolumn{2}{l|}{\cellcolor{LG}} &  \multicolumn{5}{c|}{Groupe sanguin}\\
\tabulartitle
\multicolumn{2}{l|}{\cellcolor{LG}} & \psline(-0.41,0.37)(4.86,0.37)\psline(-0.43,0.79)(4.9,0.79) O & A & B & AB & Total\\
\hline
\multirow{2}{*}{ } & Rh+ & 37\% & 39\% & 7\% & 2\% & 85\% \\
\cline{2-7}
& Rh-   & 6\% & 6\% & 2\% & 1\% & 15\% \\
 \hline
 \multicolumn{2}{|l|}{\cellcolor{LY}Total} & 43\; & 45\% &   9\% & 3\% &  100\%\\
 \hline
\end{tabular}
\put(-192,-15){\rotatebox{90}{\small rhésus}}
\end{center}
\begin{questions}
\item L'univers de l'expérience est la population française.
\item 
\begin{questions}
\item Il y a 45\% de personnes qui ont un groupe sanguin A, donc\linebreak $P(A)=0,45$.
\item Il y a 85\% de personnes ayant un rhésus positif, donc\linebreak $P(Rh+)=0,85$.
\item Il y a 1\% de personnes ayant un groupe sanguin AB avec un rhésus négatif, donc $P(AB-)=0,01$.
\end{questions}
\item Ici, l'univers change : c'est désormais l'ensemble des personnes ayant un rhésus négatif. Il y a 1\% de personnes du groupe AB sur les 15\%, donc la probabilité demandée est égale à $\dfrac{1}{15}$.
\end{questions}
\end{corrige}
%
%\newpage
%
%\sectionnn{Intervalle de fluctuation}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%
%\begin{exo}{Machine à café}{Jules Ferry, Versailles}{1}{5}
%Une machine à café propose de nombreuses boissons. 
%Chaque semaine, 38\% des 400 boissons distribuées sont
%des cafés. On considérera que la proportion théorique
%correspondant au choix \og café \fg est $0{,}38$.
%\begin{questions}
%\item Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil
%de 95\% relatif à la proportion de café.
%\item Le vendeur a changé de marque de café
%et il constate une baisse de la consommation de café~: 31\% seulement de café vendu pendant la semaine qui suit le
%changement sur les 400 boissons vendues. Doit-il mettre
%en cause son nouveau choix~?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item La proportion théorique est $p=0,38$ et 
%la taille de l'échantillon est donnée par $n=400$, donc  
%l'intervalle de fluctuation au seuil
%de 95\% 
%est donné par $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$,  soit $[0,33~;0,43]$. 
%
%\item Cette fois, on ne connaît pas p, mais on observe une fréquence $f = 0{,}31$ sur un échantillon.
%Cette fréquence n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation calculé à la question 1. Il y a seulement une probabilité de 5\;\% que la baisse de consommation
%puisse être attribuée à une simple fluctuation. On peut estimer (avec une probabilité de 95\;\%) que la proportion de choix \og{}café\fg{} dans la population a baissé : le vendeur devrait sans doute revenir à la marque précédente.
%\end{questions} 
%\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%% NEW2017
%
%\begin{exo}{Prise de décision}{Lycée Fénelon, Paris}{1}{5}
%Dans une usine, le responsable de la fabrication affirme que le nombre de produits fabriqués
%présentant un léger défaut caché est égal à 21\%.
%
%Sur la chaîne de fabrication, on a prélevé 38 produits, et on a relevé 9 produits présentant un défaut.
%
%Qu'en pensez-vous ? 
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%La fréquence de produits défectueux est égale à :
%\[
%f=\dfrac{9}{38}\approx0,2368.
%\]
%Un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de cette fréquence est :
%\[
%I=\left[ 0,21-\dfrac{1}{\sqrt{38}}~;0,21+\dfrac{1}{\sqrt{38}}\right]\approx[0,0478~;0,3722].
%\]
%On voit alors que $f\in I$ donc l'échantillon de 38 produits est conforme à l'observation faite par le responsable de la fabrication. Il n'y a donc pas à s'inquiéter, même si le pourcentage de produits défectueux est supérieur à 21\%.
%\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%% NEW2017
%
%\begin{exo}{Une condamnation controversée}{Lycée Fernand Daguin, Mérignac}{1}{10}
%L'ensemble des faits évoqués ci-dessous est réel.
%
%En novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, RODRIGO PARTIDA était condamné à huit ans de prison pour cambriolage d'une résidence et tentative de viol.
%
%Il attaqua ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté était discriminante à l'égard des Américains d'origine mexicaine. Alors que 79,1\% de la population de comté était d'origine mexicaine, sur les 870 personnes convoquées pour être jurés lors d'une certaine période de référence, il n'y eût que 339 personnes d'origine mexicaine.
%
%\begin{questions}
%\item Déterminer l'intervalle de fluctuation correspondant à la proportion d'origine mexicaine pour un échantillon de taille 870.
%\item La fréquence des personnes d'origine mexicaine dans les personnes convoquées est-elle dans cet intervalle ?
%\item Qu'en conclure ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Il y a 79,1\% de la population du comté qui est d'origine mexicaine (donc $p=0,791$) et $n=870$. On a  $0,2 \leqslant p \leqslant 0,8$ et $n\geqslant25$ donc un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la proportion d'origine mexicaine est :
%\[
%I=\left[0,791-\dfrac{1}{\sqrt{870}}~;0,791+\dfrac{1}{\sqrt{870}}\right]\approx[0,7571~;0,8249].
%\]
%
%\item La fréquence des personnes d'origine mexicaine dans les personnes convoquées est $f=\dfrac{339}{870}\approx0,39$. Ainsi, $f\notin I$.
%\enlargethispage*{2em}
%
%\item Nous pouvons conclure du fait que $f \notin I$ 
%que la population mexicaine n'est pas correctement représentée dans ce jury.
%\end{questions}
%\newpage
%\end{corrige}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\begin{exo}{Contrôle d'un dé}{Lycée Lakanal, Sceaux}{2}{10}
%Après avoir jeté 600 fois un dé à 6 faces, on a obtenu 145 fois la face 6. 
%\begin{questions}
%\item Quelle est la fréquence d'apparition du 6~?
%\item En supposant le dé équilibré, quel est l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 \% de cette fréquence~? Le dé paraît-il équilibré~?
%\item Donner une estimation de la probabilité d'obtenir 
%$6$ avec ce dé, au seuil de confiance 95 \%.
%\item À partir de quel nombre de lancers peut-on, en observant cette fréquence d'apparition du 6, conclure que le dé n'est pas équilibré~?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item La fréquence est donnée par $f=\dfrac{145}{600}\simeq{0,24}$.
%\item Si le dé est équilibré, la probabilité d'apparition du 6 est $p=\dfrac{1}{6}\approx 0,17$. Ici, les 600 jets de dés forment un échantillon de taille $n=600$, et l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 \% s'écrit $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$,
%soit $[0,12~;0,21]$. La fréquence d'apparition du 6 est en dehors de l'intervalle de fluctuation, le dé n'est probablement pas équilibré. 
%\item Au seuil de confiance 95\;\%, la probabilité $p$ est dans l'intervalle\linebreak $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$, 
%soit $[0,20~;0,28]$. 
%\item La fréquence $f$ permet de conclure dès qu'on observe $f-\dfrac{1}{6}\geq \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, 
%c'est-à-dire $n\geqslant \dfrac{1}{\left(f-\dfrac{1}{6}\right)^2}\approx 186$. 
%Noter que cela ne signifie pas qu'on aurait pu arrêter le test au bout de 186 lancers, car la fréquence observée n'était peut-être pas de $0,24$ à ce moment-là. Si, par exemple, la \og vraie \fg probabilité $p$ se trouve aux alentours de $0,20$, alors l'intervalle de fluctuation au bout de 186 lancers a pour amplitude, d'après les calculs ci-dessus, $2(f-p)$, donc 
%$[0,13~;0,27]$. Ceci signifie qu'au bout de 186 lancers, on a très bien pu observer une fréquence effective inférieure à $0,24$, et qui ne permettait pas de conclure.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%
%\begin{exo}{Parité}{Lycée Rodin, Paris}{2}{15}
%La multinationale \textsc{Responsable} est fière de ses efforts en
%terme de parité. Parmi ses 10000 employés, 48 \% sont des femmes. 
%En comparaison, l'entreprise \textsc{Grosbras} fait piètre figure, 
%avec seulement 42 femmes sur un effectif de 100 employés. Mais est-ce
%si clair~? Considérons que la proportion théorique des femmes soit
%de $0{,}5$. 
%\begin{questions}
%\item Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil
%de 95\% relatif à l'effectif de \textsc{Responsable}.
%\item Même question pour l'entreprise \textsc{Grosbras}.
%\item Conclure.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item La taille de l'échantillon est $n=\numprint{10000}$ et la  proportion théorique est $p=0{,}5$, donc  l'intervalle de fluctuation au seuil
%de 95\;\% est $[0{,}49~;0{,}51]$.
%
%\item Cette fois, la taille de l'échantillon est $n=100$, donc  l'intervalle de fluctuation au seuil
%de 95\% est $[0{,}40~;0{,}60]$.
%
%\item La fréquence observée dans l'entreprise \textsc{Grosbras} n'est que de $0{,}42$, mais elle est incluse dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\;\%. On ne peut donc pas affirmer qu'il y ait une discrimination envers les femmes dans cette entreprise. \\
%En revanche, la fréquence $0{,}48$ observée chez \textsc{Responsable}, bien que plus élevée, est en dehors de l'intervalle de fluctuation que nous avons calculé pour l'effectif de \numprint{10000}, il est donc probable qu'il y ait une discrimination envers les femmes dans cette entreprise. Les apparences sont donc trompeuses ... 
%\end{questions} 
%\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% NEW2017
%
%\begin{exo}{Groupes de malades}{Lycée Montaigne, Bordeaux}{2}{15}
%Deux groupes de malades ont été soignés avec deux médicaments différents. 
%
%\Par
%
%Dans le groupe A, il y a eu 50\% de guérison. 
%
%Dans le groupe B, il y a eu 31\% de guérison. 
%
%\Par
%
%\begin{questions}
%\item À la vue de ces résultats, peut-on s'autoriser à penser que le médicament administré au groupe A est plus efficace que le médicament administré au groupe B dans les cas suivants ?
%\begin{questions}
%\item Les groupes A et B ont pour effectif 30. 
%\item Les groupes A et B ont pour effectif 180. 
%\end{questions}
%
%\item Que vous inspire ces conclusions ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Il est nécessaire de déterminer les intervalles de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence de malades guéris dans chaque groupe afin de conclure.
%\begin{questions}
%\item Posons $n=30$, $p_A=0,5$ (qui correspond à la probabilité qu'un malade soit guéri dans le groupe A) et $p_B=0,31$  (qui correspond à la probabilité qu'un malade soit guéri dans le groupe B).
%
%L'intervalle de fluctuation pour le groupe A est :
%
%\[
%I_A=\left[0,5-\dfrac{1}{\sqrt{30}}~;0,5+\dfrac{1}{\sqrt{30}}\right]\approx[0,3175~;0,6825].
%\]
%
%\Par
%
%L'intervalle de fluctuation pour le groupe B est :
%
%\[
%I_B=\left[0,31-\dfrac{1}{\sqrt{30}}~;0,31+\dfrac{1}{\sqrt{30}}\right]\approx[0,1275~;0,4925].
%\]
%
%\Par
%
%Ainsi, on peut estimer que 95\% des fréquences vont fluctuer entre 31,75\% et 68,25\% pour le groupe A, et entre 12,75\% et 49,25\% pour le groupe B.
%
%\Par
%
%$I_A \cap I_B \neq \varnothing$ (ce qui signifie que les deux intervalles de fluctuation se chevauchent) donc on ne peut pas conclure que l'un des deux médicaments est plus efficace que l'autre.
%
%
%\item On fait de même avec $n=180$, et on trouve :
%
%\[
%I_A=\left[0,5-\dfrac{1}{\sqrt{180}}~;0,5+\dfrac{1}{\sqrt{180}}\right]\approx[0,4255~;0,5745]
%\]
%
%et
%
%\[
%I_B=\left[0,31-\dfrac{1}{\sqrt{180}}~;0,31+\dfrac{1}{\sqrt{180}}\right]\approx[0,2355~;0,3845].
%\]
%
%\Par
%
%Cette fois, $I_A \cap I_B = \varnothing$ donc les fluctuations de fréquences ne se chevauchent plus. On peut alors conclure que le médicament donné au groupe A guérit plus de malades que celui donné au groupe B.
%\end{questions}
%
%\item Ces résultats montrent l'important de connaître l'effectif total des groupes sur lesquels on effectue les tests. En effet, plus le nombre de personnes est élevé, plus les résultats seront précis et plus la décision finale (quand il y en a) sera précise.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% NEW2017
%
%\begin{exo}{Les élections}{Lycée Les-Francs-Bourgeois, Paris}{3}{15}
%Au second tour des élections municipales d'une ville, deux candidats s'affrontent. On les notera \og Candidat A \fg{}  et \og Candidat B \fg.
%
%Selon un sondage, 48\% des électeurs ont l'intention de voter pour le candidat~A.
%
%L'institut de sondages affirment que le nombre de personnes interrogées est suffisant pour considérer que le candidat B a de grandes chances d'être élu.
%
%\Par
%
%Que peut-on dire du nombre de personnes interrogées ?
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%Notons $n$ le nombre de personnes sondées.
%
%Affirmer que le candidat B a de grandes chances d'être élu sous-entend que les intervalles de fluctuation des fréquences correspondant aux personnes ayant l'intention de voter pour l'un des deux candidats ne se chevauchent pas.
%
%L'intervalle de fluctuation au seuil de 95\% correspondant au candidat A est :
%\[
%I_A = \left[0,48-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;0,48+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]
%\]
%et celui du candidat B est :
%\[
%I_B = \left[0,52-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;0,52+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right].
%\]
%Si les deux intervalles ne se chevauchent pas, alors :
%\begin{align*}
%0,48+\dfrac{1}{\sqrt{n}} < 0,52-\dfrac{1}{\sqrt{n}}
%& \iff
%\dfrac{2}{\sqrt{n}} < 0,52-0,48\\
%& \iff
%\dfrac{2}{\sqrt{n}} < 0,04\\
%& \iff \dfrac{\sqrt{n}}{2} > \dfrac{1}{0,04}\\
%& \iff \sqrt{n} > \dfrac{2}{0,04}\\
%& \iff \sqrt{n} > 50\\
%& \iff n > 50^2\\
%& \iff n > \numprint{2500}.
%\end{align*}
%
%Ainsi, le nombre de personnes sondées est assurément supérieur à \numprint{2500}.
%\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% NEW2017
%
%\begin{exo}{Le virus}{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux}{3}{15}
%Nous sommes en 3528. Une pandémie menace l'humanité. La cause : le virus M$_A$TH (Mutagène A TransHumaniste) qui décime 9 personnes contaminées sur 10.
%
%Heureusement, les docteurs Mate et Matik ont peut-être trouvé un remède.
%
%\Par
%
%Le docteur Mate teste le remède sur un groupe de 312 individus ; 247 d'entre eux guérissent.
%
%Le docteur Matik teste le même remède sur un groupe et constate que 528 personnes guérissent. 
%
%\Par
%
%Donner un encadrement possible de l'effectif du second groupe.
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%Un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence de malades guéris  par le remède dans le groupe testé par le docteur Mate est :
%
%\[
%I=\left[\dfrac{247}{312}-\dfrac{1}{\sqrt{312}}~;\dfrac{247}{312}+\dfrac{1}{\sqrt{312}}\right]\approx[0,7351~;0,8482].
%\]
%
%\Par
%
%Ainsi, la fréquence de malades guéris dans le groupe du docteur Matik doit être comprise entre 0,7351 et 0,8482. 
%
%\newpage
%
%En notant $n$ le nombre de personnes dans ce groupe, cette fréquence est égale à $\dfrac{528}{n}$, car il y a eu 528 guérisons sur les $n$ malades, d'où :
%\begin{align*}
%0,7351 \leqslant \dfrac{528}{n} \leqslant 0,8482 & 
%\iff \dfrac{1}{0,8482} \leqslant\dfrac{n}{528} \leqslant \dfrac{1}{0,7351}\\
%& \iff \dfrac{528}{0,8482} \leqslant n \leqslant \dfrac{528}{0,7351}\\
%& \iff 622,49 \leqslant n \leqslant 718,27
%\end{align*}
%
%\Par
%
%Ainsi, le groupe testé par le docteur Matik comprend entre 623 et 718 individus.
%\end{corrige}

\begin{exo}{Feu tricolore}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{10} 
Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux
fonctionnent de manière indépendante, que l'automobiliste s'arrête s'il voit le feu orange ou rouge et qu'il passe
si le feu est vert. On suppose de plus que chaque feu est vert durant un temps égal à rouge et orange (autrement
dit, l'automobiliste à autant de chance de passer que de s'arrêter).
\begin{questions}
	\item Faire un arbre représentant toutes les situations possibles.
	\item Quelle est la probabilité que l'automobiliste ait :

\begin{questions}
	\item les trois feux verts ?
	\item deux des trois feux verts ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
	\item On note $V$ l'événement \og le feu est vert\fg{} et $\overline{V}$ son événement contraire :
	
	\begin{center}
	\includegraphics{327_09-arbre}
	\end{center}
	
	\item 

\begin{questions}
	\item Nous sommes en situation d'équiprobabilité donc la probabilité qu'il rencontre trois feux verts est $\dfrac{1}{8}$ car une seule issue sur 8 réalise cet événement.
	\item D'après l'arbre, dans 3 cas sur 8, deux des feux sont verts donc la probabilité cherchée est $\dfrac{3}{8}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}
\thumb
\AfficheCorrige
