% Compilation :
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\errorcontextlines=10
\documentclass[latin1,crop, realfonts,rabat]{prepamath}
\usepackage{rabat}
\usepackage{multirow}
\graphicspath{{figures/}}
\title{Rabat pour le livre 2M}
\author{Eric De Brauwer}
\definecolor{OR}{cmyk}{0,0.2,0.5,0}
\begin{document}

% VOLET : ALGORITHMIQUE

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Algorithmique sur calculatrices} 
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabular}{|Z{>{\cellcolor{OR}\arraybackslash}m{32.5mm}}|@{\,}Z{m{41mm}}@{\,}|@{\,}Z{m{32mm}}|@{\kern-0.2pt}}
\hline\rowcolor{OR}
Langage & 
\psline(-0.07,-0.2)(-0.07,0.4)\hspace{20mm}TI & 
\psline(-0.07,-0.2)(-0.07,0.4)\hspace{12mm}Casio \\
\hline
Lecture & 
Prompt X & 
$\text{?}~\rightarrow~\text{X}$  \\
\hline
Affichage & 
Disp X & 
X \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.1,0)(0.1,0.1) \\\hline
Affectation & 1\(\rightarrow\)X & 1\(\rightarrow\)X \\\hline
Conditionnelle &
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
If \textit{Condition}\\ Then \textit{Instruction 1}\\ Else 
\textit{Instruction 2}\\ End
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
If \textit{Condition} :\\ 
Then \textit{Instruction 1} :\\ 
Else \textit{Instruction 2}: 
\\ EndIf
\end{tabular} \\ \hline %% Boucle avec compteur
Boucle avec compteur &
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
For(X,1,N)\\ 
\hspace*{5mm}\textit{Instruction}\\
End 
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
For 1\(\rightarrow\)X To N\\ 
\hspace*{5mm}\textit{Instruction}\\ Next 
\end{tabular} \\ \hline 
Boucle "Tant que" & %% Boucle "Tant que"
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
While \textit{Condition}\\ 
\hspace*{5mm}\textit{Instruction}\\ End 
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
While \textit{Condition}\\ 
\hspace*{5mm}\textit{Instruction}\\ 
WhileEnd 
\end{tabular}
\\
\hline 
\end{tabular}
\end{cadre}
\Par\Par
\begin{cadre}{Mémento Python}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabular}{|>{\centering\cellcolor{OR}\arraybackslash}Z{m{35mm}}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{7cm}}|}
\hline\rowcolor{OR}
Instructions & Python 3\\\hline
Lecture &  X=input() \\\hline
Affichage &  print(X) \\\hline
Affectation & X=1\\\hline
Séquence d'instructions &
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
Instruction 1\\
Instruction 2\\
etc.
\end{tabular}\\\hline
Conditionnelle &
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
\texttt{if} \textit{Condition}:\\ 
\hspace{10pt}\textit{Instruction 1} \\
\texttt{else:} \\
\hspace{10pt} \textit{Instruction 2}\\
\end{tabular}\\\hline
Boucle bornée &
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
\texttt{for X in range}(\textit{début},\textit{fin}):\\ 
\hspace*{5mm}\textit{Instruction}\\
(la valeur finale est exclue) \end{tabular}\\\hline 
Boucle non bornée &
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
\texttt{while} \textit{Condition} :\\
\hspace{5mm}\textit{Instruction} \\
\end{tabular}\\\hline 
Fonctions & 
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
\texttt{def} $f(x)$ :\\
\hspace{5mm}\textit{Instructions} \\
\hspace{5mm}\texttt{return} \textit{valeur}
\end{tabular}\\\hline 
Appel & 
\begin{tabular}{@{}l@{}} 
\texttt{f(3)} (image d'une constante)\\
\texttt{f(a)} (image d'une variable) \\
\texttt{f()} (fonction sans argument
\end{tabular}\\\hline 
\end{tabular}
\end{cadre}
\end{colonne}

% VOLET 1

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Vocabulaire des fonctions}
\novspace
\begin{tabularx}{\linewidth}{*2{Z{>{\centering\arraybackslash}X}}}
\begin{minipage}{\linewidth}
Une fonction $f$ est définie sur\\
l'ensemble ${\cal D}$ si chaque élément de ${\cal D}$ a une image et une seule.

${\cal D}$ : ensemble de définition de $f$.

$f(x)$ : image de $x$.

$x$ : un antécédent de $f(x)$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{\linewidth}
\centering
\includegraphics{fct1}
\end{minipage}
\\
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
\multicolumn{1}{|Zl|}{\textcolor{DO}{Fonction strictement croissante}} & \multicolumn{1}{Zl|}{\textcolor{DO}{Fonction strictement décroissante}}\\
\hfil\includegraphics{fct2} 
& 
\hfil\includegraphics{fct3}
\\
Si $u<v$ alors $f(u)< f(v)$.
&
Si $u<v$ alors $f(u)> f(v)$.
\\
\hline
\end{tabularx}

\Par

Fonction paire : pour tout $x\in\mathcal{D}$, $f(-x)=f(x)$.
\hfill
\textit{Exemple :} $x\mapsto x^2$.\hspace*{12mm}

Fonction impaire : pour tout $x\in\mathcal{D}$, $f(-x)=-f(x)$. 
\hfill
\textit{Exemples:} $x\mapsto x$, $x\mapsto x^3$. 
\vspace*{-1.8em}
\end{cadre}

\begin{cadre}{Fonctions affines}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{Z{>{\centering\arraybackslash}X}}|}
\hline
\multicolumn{3}{|Zl|}{Il existe $a$ et $b$ deux réels tels que pour tout $x$ réel : $f(x)=ax+b$}\\
\includegraphics{R1} 
& 
\includegraphics{R2} 
& 
\includegraphics{R3} \\
\hline
\end{tabularx}

\vspace*{0.5em}
La fonction est représentée par la droite ${\cal D}$ d'équation $y=ax+b$. 
\Par
$b$~: ordonnée à l'origine.

$a$~: coefficient directeur.

$\text{A}(x_\text{A};x_\text{B})$ et $\text{B}(x_\text{B};y_\text{B})$ sont deux points distincts de ${\cal D}$. $\boxed{a=\dfrac{y_\text{B}-y_\text{A}}{x_\text{B}-x_\text{A}}}$
\Par
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. 
\vspace*{-7mm}
\end{cadre}

\begin{cadre}{Droites particulières}
\begin{minipage}[t]{62mm}
\begin{center}
Fonction linéaire : pour tout $x$,  $f(x)=ax$

(fonction affine avec $b=0$).

\vspace*{2mm}
\includegraphics{R4} 
\end{center}
\vspace*{0.5mm}
La droite ${\cal D}$ passe par l'origine du repère.

Les valeurs $f(x)$ et $x$ sont proportionnelles.
\end{minipage}
\hspace*{5mm}
\begin{minipage}[t]{46mm}
\begin{center}
$x=c$ est l'équation d'une droite ${\cal D}$ parallèle à l'axe des $y$. 

\vspace*{2mm}
\includegraphics{R5}
\end{center}
\vspace*{0.5mm}
${\cal D}$ ne représente pas une fonction\\
car $c$ a une infinité d'images.
\end{minipage}
\vspace*{-0.5em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% VOLET 2

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Fonction carré, fonction inverse}
\vspace*{-1em}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
\textit{Fonction carré} : \hspace*{28mm}\phantom{.} &  \textit{Fonction inverse} : \hspace*{23mm}\phantom{.} \\[-3mm]
pour tout $x$ réel, $f(x)=x^2$\hspace*{12mm}\phantom{.} & pour tout $x$ réel non nul, $f(x)=\dfrac{1}{x}$\\[6pt]
\includegraphics{R6} 
& 
\includegraphics{R7} \\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1mm}
\end{cadre}

\Par

\begin{cadre}{Fonction racine carrée, fonction cube}
\vspace*{-1em}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
\textit{Fonction racine carrée} : \hspace*{19mm}\phantom{.} &  \textit{Fonction cube} : \hspace*{29mm}\phantom{.} \\[-1mm]
pour tout $x$ réel positif, $f(x)=\sqrt{x}$\hspace*{12mm}\phantom{.} & pour tout $x$ réel, $f(x)=x^3$\hspace*{12mm}\phantom{.}\\[6pt]
\includegraphics{fctRC} 
& 
\includegraphics{fctCube} 
\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{-1mm}
\end{cadre}

\Par

\begin{cadre}{Arithmétique}
\vspace*{-5mm}
\begin{itemize}
\item $b$ est multiple de $a$ (ou $a$ est diviseur de $b$)
s'il existe $m$ entier tel que $b=am$.
\item entier pair : multiple de $2$ (sous la forme $2k$); \par 
entier impair : sous la forme $2k+1$ (avec $k\in\Z$). 
\item nombre premier : entier naturel avec exactement 2 diviseurs dans $\N$\\
comme $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, etc.
\end{itemize}
\vspace*{-5mm}
\end{cadre}

\Par

\begin{cadre}{Projection orthogonale}
\vspace*{2mm}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7cm}
$H$ est le projeté orthogonal de $M$. C'est le point de $\mathcal{D}$
le plus proche de $M$. 
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics{projection}
\end{minipage}
\vspace*{-6mm}
\end{cadre}
\end{colonne}

% VOLET 3

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Produits remarquables -- Distributivité}
\vspace*{-1.5em}
Pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$, on a les égalités suivantes :
\vspace*{1.7em}
\begin{center}
\begin{minipage}{65mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.9}
\begin{tabular}{|Zr@{$\;=\;$}Zl|}
\hline
$k(a+b)$ & $ka+kb$\\
$(a+b)(c+d)$ & $ac+ad+bc+bd$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{tabular}{|Zl|}
\hline
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$\\
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$\\
$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1.8em}
\end{cadre}
\Par
\begin{cadre}{Intervalles}
\vspace*{-1.5em}
\begin{minipage}{42mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
$\begin{array}{|c@{~:~}c|}
\hline
x \in [a\,;b] & a\leqslant x \leqslant b \\\hline
x \in [a\,;b[ & a\leqslant x < b \\\hline
x \in ]a\,;b] & a< x \leqslant b \\\hline
x \in ]a\,;b[ & a < x < b \\\hline
\end{array}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{42mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
$\begin{array}{|c@{~:~}c|}
\hline
x \in [a\,;+\infty[ & a\leqslant x \\\hline
x \in ]a\,;+\infty[ & a< x \\\hline
x \in ]-\infty\,;b] & x \leqslant b \\\hline
x \in ]-\infty\,;b[ & x < b \\\hline
\end{array}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{42mm}
\includegraphics{intervalles}
\vspace*{13mm}
\end{minipage}

\vspace*{7mm}
\point{Valeur absolue}
\vspace*{-7mm}
\[
\boxed{|x|=\begin{cases}x & \text{ si }x\geq 0\\
-x & \text{ si }x\leq 0
\end{cases}}
\]

$|a-b|$~: distance entre les nombres $a$ et $b$.

\vspace*{-4mm}
\point{Intervalles centrés}
\vspace*{-7mm}

\begin{minipage}{8cm}
$|x-a|\leq r$ si et seulement si $x\in [a-r,a+r]$.

$|x-a|<r$ si et seulement si $x\in ]a-r,a+r[$. 
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-85mm}
\includegraphics{valabs}
\end{minipage}
\vspace{-3mm}
\end{cadre}
\Par
\begin{cadre}{Vocabulaire des ensembles}
\begin{tabular}{@{}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{44mm}}|Z{m{82mm}}|@{}}
\hline
$a\in A$ & $a$ est élément de l'ensemble $A$.\\\hline
$A\subset B$  & $A$ est un sous-ensemble (ou une partie) de l'ensemble $B$ ; tous les éléments de $A$ sont éléments de $B$.\\\hline
Réunion $A\cup B$ ($A$ union $B$) & ensemble des éléments de $A$ et de $B$. \\\hline
Intersection $A\cap B$ ($A$ inter $B$) & ensemble des éléments
communs de $A$ et $B$. \\\hline
\end{tabular}

\vspace*{-4mm}
\point{Sous-ensembles de $\R$}
\vspace*{-4mm}
Un nombre réel est l'abscisse d'un point sur une droite.

$\R$~: ensemble des nombres réels.

\Par

%\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{@{}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{36mm}}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{12mm}}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{35mm}}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{34mm}}|@{}}
\rowcolor{OR}\hline
Désignation & Notation & Description & Exemples\\
\hline
Entiers naturels &$\N$& $\{0;1;2;\dots\}$ & 12; 78; 100\\
\hline
Entiers relatifs &$\Z$& $\{0;-1;+1;-2;\dots\}$ & $-100$; $-45$; $89$ \\
\hline
Nombres décimaux &$\mathbb{D}$ & $\dfrac{n}{10^p}$ ($n\in\Z$, $p\in\N$) & $-\dfrac{3}{10}$; $\dfrac{78}{100}$\\
\hline
Nombres rationnels &$\Q$& $\dfrac{a}{b}$ ($a\in\Z$, $b\in\N^*$) & $-\dfrac{2}{7}$; $\dfrac{1}{3}$; $\dfrac{100}{11}$\\
\hline
\end{tabular}

\Par

$\N^*$, $\R^*$, etc~: ensemble sans l'élément $0$.

\Par

$\varnothing$~: ensemble vide (sans élément).

\Par

$\R\setminus\Q$~: ensemble des réels sans les rationnels (donc 
ensemble des irrationnels).

\Par

Inclusions : $\N\subset \Z \subset \Bbb{D} \subset \Q \subset \R$. 
\end{cadre}
\end{colonne}


% VOLET 4

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Trigonométrie}
\vspace*{-1.5em}
\begin{tabular}{|>{\rule[-4mm]{0pt}{11mm}
\columncolor{OR}\arraybackslash}c|*3{c|}}
\hline\rowcolor{OR} 
\textbf{Angle} $\pmb{\theta}$ & 
$\pmb{30\degres}$ & 
$\pmb{45\degres}$ & 
$\pmb{60\degres}$ \\
\hline
$\cos \theta$ & 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & 
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & 
$\dfrac{1}{2}$\\ 
\hline
$\sin \theta$ &
$\dfrac{1}{2}$ & 
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
\hline
\end{tabular}
\hspace*{4mm}
\begin{minipage}{50mm}
\includegraphics{trigo} % nouvelle illus
\end{minipage}

\vspace*{7mm}

\begin{center}
$\boxed{\cos\theta = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}}$
\qquad
$\boxed{\sin\theta = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}}$
\qquad
$\boxed{\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 
= \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}}$
\end{center}
\Par
Relation fondamentale :  $\boxed{(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2 =1}$
\vspace*{-2mm}
\end{cadre}
\Par
\begin{cadre}{Vecteurs du plan}
\begin{minipage}{80mm}
\point{Coordonnées de $\gvec{\text{AB}}$}
\vspace*{-1.5em}
\[ \gvec{\text{AB}}\big(x_\text{B}-x_\text{A}\,;y_\text{B}-y_\text{A}\big)\]
\vspace*{-2.4em}
\point{Norme $\|\gvec{\text{AB}}\|$ ou longueur AB}
\vspace*{-1.2em}
Dans un repère orthonormé:
\[ \boxed{\text{AB}=\sqrt{(x_\text{B}-x_\text{A})^2+(y_\text{B}-y_\text{A})^2}} \]
\vspace*{-1.8em}
\point{Milieu M de [AB]}
\vspace*{-1.5em}
\[ \boxed{x_\text{M}=\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2} \;,\; y_\text{M}=\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}} \]
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\centering
\includegraphics{vec1}
\end{minipage}

\vspace*{-3mm}
\point{Colinéarité et déterminant}
\vspace*{-3mm}
\begin{minipage}[t]{54mm}
Soient $k$ un réel et $\vec{u}$ un vecteur.\\
$k\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{u}$ (même direction). \\[0.2em]
\begin{center}
\includegraphics{vec3}
\end{center}
\vspace*{0.55em}
Si $\vec{u}(a\,;b)$ alors $k\vec{u}(ka\,;kb)$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{70mm}
Pour $\vec{u}\dbinom{a}{b}$ et $\vec{v}\dbinom{c}{d}$, le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est: 
\[
\boxed{\mathrm{Det}(\vec{u},\vec{v})=ad-bc}
\]
\Par
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si 
$\mathrm{Det}(\vec{u},\vec{v})=0$. 
\end{minipage}

\vspace*{1.5em}
\begin{minipage}{75mm}
\point{Règle du parallélogramme}
\vspace*{-0.7em}
$\gvec{AB}+\gvec{AD}=\gvec{AC} \iff$ ABCD parallélogramme.
\vspace*{4mm}
\begin{center}
\includegraphics{R12}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
\point{Relation de Chasles}
%\vspace*{-0.3em}
\begin{center}
$\boxed{\gvec{\text{AB}}+\gvec{\text{BC}}=\gvec{\text{AC}}}$
\Par
\includegraphics{chasles}
\end{center}
\end{minipage}
\vspace*{-3mm}
\end{cadre}
\end{colonne}

% VOLET : STATISTIQUES, PROBA, ECHANT.

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Statistiques}
Soit une série de $p$ valeurs $x_1$, ... , $x_p$, pondérées respectivement par $n_1$, ... , $n_p$.

\vspace*{-1.2em}
\point{Moyenne pondérée}
\vspace*{-2em}
\[
\boxed{\bar{x}=\dfrac{n_1x_1+\cdots +n_px_p}{n_1+\cdots+n_p}}
\]

\vspace*{-1.4em}
\point{Linéarité de la moyenne}
\vspace*{-1em}
$k$ et $c$ sont deux nombres réels.
\[
\boxed{\Moy{kx}=k\bar{x}}\qquad\text{et}\qquad 
\boxed{\Moy{x+c}=\bar{x}+c}
\]

\vspace*{-1.7em}
\point{Médiane}
\vspace*{-1em}
Nombre $m$ tel que la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à $m$ et la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à $m$.

\vspace*{-1.7em}
\point{Quartiles}
\vspace*{-1em}
$q_1$, $q_2$, $q_3$ sont les plus petites valeurs de la série qui permettent de dire~:

\og Pour $25\%$ des valeurs $x$, $x\leqslant q_1$
($50\%$ pour $q_2$, $75\%$ pour $q_3$) \fg.

\'Ecart inter-quartile : $q_3-q_1$. 

\vspace*{-1.8em}
\point{Écart-type}
\vspace*{-1.5em}
\[
\boxed{\sigma = \sqrt{\dfrac{n_1(x_1-\bar{x})^2+\dots (x_p-\bar{x})^2}{n_1+\dots+n_p}}}
\]
\vspace*{-7mm}
\end{cadre}


\begin{cadre}{Probabilités}
\novspace
\point{Univers d'une expérience aléatoire ($\pmb{\Omega}$)}
\vspace*{-1.2em}
Ensemble des $n$ issues possibles de l'expérience : $\Omega=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$0 \leqslant P(x_i) \leqslant 1$ pour $1\leqslant i \leqslant n$\\
$P(x_1)+P(x_2)+\cdots+P(x_n)=1$\\
$P(\Omega)=1$ (événement certain)\\
$P(\varnothing)=0$ (événement impossible)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-4mm}
\point{Probabilité d'un événement $\pmb{A}$}
\vspace*{-1.2em}
$A=\{x_1,\ldots,x_k\}$ est un sous-ensemble de $\Omega$.
\hfill $\boxed{P(A)=P(x_1)+\cdots+P(x_k)}$\hspace*{3mm}\\[-1mm]

Si les issues sont équiprobables :
\hfill$\boxed{P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}}$\\[1mm]

$\overline{A}$ : événement contraire de $A$.
\hfill $\boxed{P\big(\overline{A}\big)=1-P(A)}$\hspace*{11mm}

\vspace*{-3mm}
\point{Probabilité de la réunion de deux événements $\pmb{A}$ et $\pmb{B}$}
\vspace*{-1.8em}
\[
\boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}
\]
\vspace*{-8mm}
\point{\'Echantillon}
\vspace*{-3mm}
Suite de $n$ résultats obtenue par répétition indépendante d'une même expérience. 

\vspace*{-4mm}
\point{Loi des grands nombres}
\vspace*{-3mm}
Si $n$ est grand, la fréquence d'un événement observée sur un échantillon de taille $n$ est, sauf exception, proche de sa probabilité. Par exemple pour un jeu de pile ou face, la proportion de « pile » est proche de 50\% lorsqu'on effectue un grand nombre de lancers d'une pièce équilibrée. 
\vspace*{-2mm}
\end{cadre}
\end{colonne}
\end{document}
