\chapter{Le second degré}

\begin{exointro}{Lycée Mansart, Saint-Cyr-l'École}
Soit $f(x) = x^2 - x + 1$,
        $g(x) = - 2x^2 + 7x -3$ et 
        $h(x) = 4\sqrt{2} x -x^2 -8$.
Pour chaque trinôme donner :
\begin{itemize}
\item ses racines (éventuelles) ;
\item sa factorisation (s'il est factorisable) ;
\item son signe dans un tableau.
\end{itemize}
\end{exointro}

Il s'agit dans ce chapitre d'apprendre:
\begin{itemize}
 \item à  résoudre une équation
du type $ax^{2}+ bx + c=0$,  ($a \neq 0$) ;
\item à étudier le signe du trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$).
\end{itemize}


\section{Vocabulaire}

\begin{itemize}
\item On appelle \textit{fonction polynôme du second degré} (ou \textit{trinôme du second degré}) toute fonction :
\[f: \R \to \R,\qquad x \mapsto ax^{2}+bx+c, \qquad (a \neq 0)\,.\]

\item  On appelle \textit{équation du second degré} une équation de la forme : $f(x)=0$.

\item  On appelle \textit{discriminant} du trinôme $ax^2+bx+c$ ($a\neq0$) le réel $\Delta$ définie= par :
\[
\Delta  = b^{2}-4ac.
\]
\item On appelle \textit{racines} de ce trinôme les solutions de l'équation $f(x)=0$.
\end{itemize}

\newpage

\section{Résolution d'une équation du second degré}

\enlargethispage*{3em}

\nathanLive{Retrouvez cette partie du cours en vidéo avec}
\label{video:ch1crs}

\subsection{Formules générales}

On recherche les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, en utilisant les règles suivantes :
\begin{itemize}
        \item  Si $\Delta<0$, il n'y  pas de solution dans $\R$. 

        \item  Si $\Delta=0$, il y a une solution unique :
        \[x_{0}=-\frac{b}{2a}.\]
 
         \item  Si $\Delta>0$, il y a deux solutions distinctes :
        \[
        \left\lbrace\begin{aligned}
         x_{1}& = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
         x_{2}& = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
        \end{aligned}\right.\]
 
\end{itemize}

\subsection{Racines, signe et factorisation d'un polynôme du second\newline degré}

On considère le polynôme du second degré $f(x) = ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.\\
Si :
\begin{itemize}
\item  $\Delta<0$, le trinôme n'a pas de racine; $f(x)$ est du signe de $a$ sur $\R$ et $f(x)$ ne se factorise pas dans $\R$.

\item  Si $\Delta=0$, le trinôme a une racine, appelée racine double, $x_{0}$; $f(x)$ est du signe de $a$ sur $\R - \{x_{0}\}$, nulle en $x_{0}$ et $f(x) = a(x-x_{0})^2$.

\item  Si $\Delta>0$, le trinôme a deux racines distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$; $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines (soit, par exemple, sur \mbox{$\left]-\infty~; x_{2}\right[ \cup \left]x_{1}~;+\infty\right[$}), nulle en $x_1$ et $x_2$, et du signe de $-a$ à l'intérieur des racines (soit, 
        pour le même exemple, sur \mbox{$\left]x_{2}~; x_{1}\right[$}), et $f(x) = a(x-x_{1})(x-x_{2})$.
\end{itemize}

\begin{Remarque}le calcul du discriminant n'est pas indispensable pour étudier le signe et la factorisation d'un polynôme du second degré. Il suffit en effet de connaître ses racines, lesquelles peuvent avoir été déterminées dans une question précédente, ou bien sont des racines \og évidentes \fg.
\end{Remarque}

\subsection{Interprétation graphique}

La courbe représentative de la fonction trinôme du second degré
\[T: x\mapsto ax^2+bx+c\quad (a\neq0)\]
est une parabole.
\par
Le nombre de racines du trinôme  $T(x)$ et le signe de $T(x)$ se déduisent de la position de cette parabole $\mathcal{P}$ par rapport à l'axe des abscisses. 

\begin{itemize}
\item Premier cas : $\Delta<0$.

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Le trin\^ome $T(x)$ n'a pas de racine}\\
\hline
$a>0$&$a<0$\\
\hline
\includegraphics{003_1_fig_1}
&
\includegraphics{003_1_fig_4}\\
\hline
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{C|ccc}
x&-\infty&&+\infty\\
\hline
T(x)&&+&
\end{array}$}&
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccc}
x&-\infty&&+\infty\\
\hline
T(x)&&-&
\end{array}$}\\
\hline
\end{tabularx}

\Par

\item Deuxième cas : $\Delta=0$.
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Le trin\^ome $T(x)$ a une racine double $x_0$}\\
\hline
$a>0$&$a<0$\\
\hline
\includegraphics{003_1_fig_2}
&
\includegraphics{003_1_fig_5}\\
\hline
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccccc}
x&-\infty&&x_0&&+\infty\\
\hline
T(x)&&+&0&+&
\end{array}$}&
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccccc}
x&-\infty&&x_0&&+\infty\\
\hline
T(x)&&-&0&-&
\end{array}$}\\
\hline
\end{tabularx}

\Par
 
\item Troisième cas : $\Delta>0$.
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Le trin\^ome $T(x)$ a deux racines distinctes 
$x_{1}$ et $x_{2}$}\\
\hline
$a>0$&$a<0$\\
\hline
\includegraphics{003_1_fig_3}
&
\includegraphics{003_1_fig_6}\\
\hline
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccccccc}
x&-\infty&&x_1&&x_2&&+\infty\\
\hline
T(x)&&+&0&-&0&+&
\end{array}$}&
{\morestretch\setlength{\arraycolsep}{2pt}
$\begin{array}{c|ccccccc}
x&-\infty&&x_1&&x_2&&+\infty\\
\hline
T(x)&&-&0&+&0&-&
\end{array}$}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{itemize}

\subsection{Forme canonique}

%%% modif. 2019 ---

\begin{prop}
Tout trinôme $ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme dite \textit{canonique} :
\[
a(x-\alpha)^{2}+\beta\,\]
où $(\alpha~;~\beta)$ sont les coordonnées de la représentation graphique du trinôme.
\end{prop}

\begin{methode}
Soit $f(x)=3x^2-12x+15$. Cherchons sa forme canonique.
\begin{itemize}
\item \textit{\'Etape 1 : on factorise par $a=3$.} On obtient alors:
\[
f(x)=3(x^2-4x+5).
\]
\item \textit{\'Etape 2 : on recherche le début d'une identité remarquable.}

On peut voir dans les parenthèses : $x^2-4x$, qui est le début du développement de $(x-2)^2=x^2-4x+4$. On peut alors écrire :
\[
x^2-4x = (x-2)^2-4
\]
et donc:
\[
f(x)=3\big[ (x-2)^2-4+5 \big]
\]
\item \textit{\'Etape 3 : on réduit dans les crochets et on distribue $a$.}
\[
f(x)=3\big[ (x-2)^2 + 1 \big]=3(x-2)^2+3.
\]
\end{itemize}
\end{methode}

\section{Compléments}

\subsection{Racines évidentes}

\begin{defin}
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$. On dit que $x_1$ est une \textit{racine évidente} si $f(x_1)=0$ et s'il est facile de voir cette égalité (cas où $b=0$, racines entières détectées par calcul mental,...).
\end{defin}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $f(x)=x^2-9$ admet deux racines évidentes : 3 et $-3$.
\item $g(x)=x^2-4x+3$ admet $x=1$ comme racine évidente car la somme des coefficients est nulle ($1-4+3=0$).
\item $h(x)=2x^2+x-1$ a $x=-1$ pour racine évidente car \mbox{$2(-1)^2-1-1=0$}. 
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsection{Somme et produits des racines}

\begin{prop} % VIDEO
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $\Delta>0$. Si $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines de $f(x)$ alors :
\[
x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\qquad\text{et}\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
\]
\end{prop}

Cette propriété est très utile quand $f(x)$ admet une racine évidente pour trouver la seconde racine.

\begin{Exemple}
soit $f(x)=5x^2+9x-14$. On constate que la somme des coefficients est nulle ($5+9-14=0$) donc $x_1=1$ est une racine évidente.

D'après la propriété précédente, on déduit que la seconde racine $x_2$ est telle que:
\[
x_1x_2=\dfrac{-14}{5}\qquad\text{soit}\qquad x_2=-\dfrac{14}{5}.
\]
\end{Exemple}

\begin{prop}
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $\Delta>0$, où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines de $f(x)$. Posons :
\[
S = x_1+x_2\qquad\text{et}\qquad P=x_1x_2.
\]
Alors, $x_1$ et $x_2$ sont aussi les racines du trinôme $x^2-Sx+P$.
\end{prop}

\begin{Exemple}
on sait que la somme de deux nombres est égale à \numprint{2019} et que leur produit est égal à \numprint{778500}. Quels sont ces deux nombres ?

\Par

Posons $x_1$ et $x_2$ des deux nombres, puis :
\[
S=x_1+x_2=\numprint{2019}\qquad\text{et}\qquad P=x_1x_2=\numprint{778500}.
\]
Alors, $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme:
\[
x^2-Sx+P = x^2-\numprint{2019}x+\numprint{778500},
\]
dont le discriminant est :
\[
\Delta=\numprint{962361}=981^2.
\]
On en déduit alors que :
\[
x_1=\dfrac{\numprint{2019}-981}{2}=519
\]
et
\[
x_2=\dfrac{\numprint{2019}+981}{2}=\numprint{1500}.
\]
Les deux nombres sont donc 519 et \numprint{1500}.
\end{Exemple}

%%% modif. 2019 --- fin

\newpage

\begin{solintro}
\begin{itemize}
\item  Soit $f(x) = x^2 -x + 1$. \par
Calculons son discriminant :  $\Delta = 1 -4 = -3$.\par
Comme $\Delta$ est strictement négatif, ce trinôme n'admet pas de racines réelles. Il n'est donc pas factorisable dans $\R$.
De plus, $f(x)$ est toujours du signe de $a$ donc $f(x)$ est toujours strictement positif.
\item Soit $g(x ) = - 2x^2 + 7x -3$.\par
Le discriminant est : $\Delta = 7^2 -24 = 25$.\par
Comme le discriminant est strictement positif, ce trinôme admet deux \linebreak racines réelles distinctes :
\[        
x' = \frac{-7 -5}{-4}   \qquad  x'' = \frac{-7 + 5}{-4}\;,\]
soit $x' = 3$ et $x'' =\dfrac{1}{2}$.
                
On en déduit que $g(x)$ est factorisable sous la forme :
      \[ g(x) = - 2 (x -3) \left(x -\frac{1}{2}\right)=(x-3)(1-2x)\,.\]

Le trinôme $- 2x^2 + 7x -3$ est du signe de $-2$ à l'extérieur des racines $\dfrac{1}{2}$ et $3$ et du signe 
contraire entre $\frac{1}{2}$ et $3$.
\[\morestretch
\begin{array}{|c|ccccccc|} %\begin{array}{|C|ccccccc|} %%% MODIF CLASSE
\hline\tabulartitle
x&-\infty&&\tfrac{1\strut}{2\strut}&&3&&+\infty\\
\hline
g(x)&&-&0&+&0&-&\\
\hline
\end{array}
\]

\item Soit $h(x) =  -x^2 + 4\sqrt2 x -8$.\par

Le discriminant est : $\Delta = \left(4\sqrt2\right)^ 2 - 32 = 0$.
Comme le discriminant est nul, le trinôme admet une racine double :
                                   \[ x = \frac{- 4\sqrt2}{- 2}\]
                             soit  $x =  2\sqrt 2$.

On en déduit que $h(x)$ est factorisable sous la forme :
                             \[h(x) =  - {\left( x -2\sqrt2\right)}^2\,.\]
Le trinôme est nul en $2\sqrt2$ et du signe de $a$, soit négatif, sur 
$\R \setminus\left\{2\sqrt2\right\}$.
\[\morestretch
\begin{array}{|c|ccccc|} %%% MODIF CLASSE
\hline\tabulartitle
x&-\infty&&2\sqrt2&&+\infty\\
\hline
h(x)&&-&0&-&\\
\hline
\end{array}
\]
\end{itemize}
\end{solintro}