\thumb

% QCM 1

\begin{vf}{Dérivabilité}{10}
  Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
  \begin{questions}
  \item Si une fonction $f$ est définie en $x_0$, alors $f$ est dérivable
    en $x_0$.
    \item La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 donc la
      fonction $f : x \mapsto x\sqrt{x}$ ne l'est pas non plus.
    \item La dérivée d'une fonction polynôme de degré $n$ ($n\in
      \mathbb{N}^*$) est une\linebreak fonction polynôme de degré $n$.
    \item Soit $f$ une fonction telle que $f(1) = 5$, alors $f'(1) = 0$.
  \end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item \emph{Faux}. Les fonctions : $x \mapsto |x|$ et $x \mapsto
    \sqrt{x}$ sont toutes les deux définies en $x_0 = 0$ ; cependant, elles n'y sont pas dérivables.
  \item \emph{Faux}. Il est exact que la fonction : $x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0 ; cependant, $f$ est dérivable en 0.

    On a, pour tout $h>0$, $T(h) = \frac{f(h) - f(0)}{h}$. 
    Soit :    \[T(h) = \frac{h\sqrt{h}}{h} = \sqrt{h}. \]

    $T(h)$ admet une limite finie égale à 0 lorsque $h$ tend vers
    0. Donc la fonction $f$ est dérivable en 0 et $f'(0)= 0$.
  \item \emph{Faux}. La dérivée de la fonction $f(x)=x^n$ est $f(x)=nx^{n-1}$ qui est de degré $n-1$. 
  
  \item \emph{Faux}. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =x^2 + 4$. On a bien $f(1) = 5$.

    La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel  $x$, $f'(x) = 2x$. Par suite, $f'(1)=2$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2

\begin{vf}{Extremum}{10}% min.}
  Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
  \begin{questions}
    \item Soit $f$ la fonction définie sur $I = [1~; 2]$ par $f(x) =
      x^2 + 1$. La fonction $f'$ ne s'annule pas sur $I$ donc $f$
      n'admet pas d'extremum sur $I$.
    \item Si deux fonctions ont la même dérivée, alors elles sont égales.
    \item Si $f'(x_0) = 0$, alors la fonction $f$ admet un extremum en $x_0$.
  \end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item \emph{Faux}. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; sa dérivée est définie sur $\mathbb{R}$ par $f'(x) = 2x$. On peut donc remarquer que $f'$ ne s'annule pas sur $I$. Cependant, $f$ est
strictement croissante sur $I$. Elle admet donc un minimum en 1 et un maximum en 2.

  \item \emph{Faux}. Considérons, par exemple, les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 13$ et $g(x) = x^2 - 5$.

    Ces deux fonctions sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x$ réel, 
    \[f'(x) = g'(x) = 2x\,.\]
    
  \item \emph{Faux}. La fonction $f : x \rightarrow x^3$ a pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f'(x) = 3x^2$. $f'$ s'annule en 0 mais ne change pas de signe. La fonction $f$ n'admet pas d'extremum en 0.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 3

\begin{qcm}{Ensemble de définition et de dérivabilité}{10}
Parmi les propositions faites, une seule est correcte. Laquelle ? Justifier en donnant, selon les cas, l'ensemble de définition ou l'ensemble de dérivabilité le plus grand qui convienne.
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est définie sur $\R_+$ par $f(x) = 2x\sqrt{x}$.\\
La fonction $f$ est dérivable sur :\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $]0~;+\infty[$ & \choix{} $[0~;+\infty[$ & \choix{} $\R\setminus\{0\}$
\end{tabularx}

\item La fonction $g:x\mapsto -\dfrac{3}{x^2+5}$ est définie sur :\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\R$ & \choix{} $\R\setminus\left\lbrace\sqrt{5}\right\rbrace$ & \choix{} $\R_+$
\end{tabularx}

\item La fonction $h:x\mapsto \dfrac{x^3}{5}-4x^2+\sqrt{3}$ est définie sur :\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\R$ & \choix{} $\R\setminus\left\lbrace 5 \right\rbrace$ & \choix{} $\R_+$
\end{tabularx}

\item La fonction $h$ définie à la question précédente est dérivable sur :\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\R_+$ & \choix{} $\R$ & \choix{} $\R_+^*$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. En effet, la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.\\\enlargethispage*{2em}
\'Etudions maintenant la dérivabilité de $f$ en 0 en revenant à la définition :
\[ \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to 0}\sqrt{h}=0. \]
Donc $f$ est dérivable en 0 et $f '(0) = 0$.

\item Réponse \choix[a]. En effet, $x^2 + 5\geqslant 5$ puisque $x^2$ ne peut être négatif. Donc le dénominateur ne s'annule jamais.

\item Réponse \choix[a]. L'erreur consisterait à confondre $\sqrt{3}$ et $\sqrt{x}$.

\item Réponse \choix[b]. De même la dérivée de $x\mapsto\sqrt{3}$ est 0, puisque $\sqrt{3}$ est un nombre réel.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 4
\newpage
\begin{qcm}{Dérivée et lecture graphique}{10}
Sur la figure ci-dessous sont représentées la fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$, et ses tangentes aux points d'abscisse $-2$, et 3.
\begin{center}
\includegraphics{062_2_fig_2}
\end{center}

Donner la ou les bonnes réponses aux suivantes.

\begin{questions}
\item $f'(-2) =$\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1.6cm}p{1.6cm}X}
\choix{} $-\frac{5}{2}$ & \choix{} $\frac{1}{5}$ & \choix{} 5
\end{tabularx}

\item $f'(3)=$\par\hskip-0.6em\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1.6cm}p{1.6cm}X}
\choix{} 0 & \choix{} 1 & \choix{} On ne peut pas savoir
\end{tabularx}

\item $f'(5)=$\par\hskip-0.6em\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1.6cm}p{1.6cm}X}
\choix{} $\frac{1}{7}$  & \choix{} 7& \choix{} On ne peut pas savoir
\end{tabularx}

\item L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point\linebreak d'abscisse $-2$ est :\par\hskip-0.6em\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $y=-\frac{5}{2}x+2$ & \choix{} $y=5x+2$ & \choix{} $y=-5x-3$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. La tangente au point d'abscisse $-2$ passe par les points $A(-2~;7)$ et $B(0~;2)$.\\
Son coefficient directeur est donc $\dfrac{2-7}{0-(-2)}=-\frac{5}{2}$. Or par définition, ce coefficient directeur est $f'(-2)$.

\item Réponse \choix[a]. La double flèche horizontale au point de la courbe d'abscisse 3 signifie qu'il y a en ce point une tangente horizontale, donc $f'(3) = 0$.

\item Réponse \choix[c]. La tangente en ce point n'est pas tracée donc il n'y a aucun moyen de déterminer son coefficient directeur.

\item Réponse \choix[a]. On sait déjà que le coefficient directeur de cette tangente est $-\frac{5}{2}$. De plus la droite, qui a donc une équation de la forme \linebreak$y = -\frac{5}{2}x + p$, passe par le point $A(-2~;7)$.\\
Les coordonnées de $A$ vérifient donc l'équation de la tangente et on a : $7 = -\frac{5}{2} \times (-2) + p$, ce qui donne $p = 2$.\\
L'équation de la tangente est donc $y = -\frac{5}{2}x+2$.
\end{questions}
\end{corrige}

\newpage

%%%

\begin{exo}{Lecture graphique avec la dérivée}{Lycée Hector Berlioz, Vincennes}{1}{10}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-4~;4]$.\\
La courbe ci-dessous représente la fonction $f'$ dérivée de $f$.
\begin{center}
\includegraphics{063_2_fig_4}
\end{center}

Dire si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.
Justifier dans chaque cas.

\begin{questions}
\item $f '(-2) = 0$.
\item La fonction $f$ admet un extrémum local en $-\frac{1}{2}$.
\item La fonction $f$ est décroissante sur $[1~;4]$.
\item La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 2.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. La dérivée admet une tangente horizontale, donc $f''(-2) = 0$, mais $f'(-2) = -2$.
\item \emph{Vrai}. En effet, pour $x =-\frac{1}{2}$, la dérivée s'annule et change de signe. $f$ admet donc un extremum en cette valeur. Il s'agit d'ailleurs d'un minimum, puisque $f'$ est d'abord négative, puis positive, donc $f$ est d'abord décroissante, puis croissante.
\item \emph{Faux}. Sur cet intervalle, la fonction dérivée est positive, donc $f$ est croissante.
\item \emph{Vrai}. $f '(1) = 2$, donc le coefficient directeur de la tangente sera bien 2.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Nombres dérivés et tangentes}

%%%

\begin{exo}{Équations de tangentes}{Lycée Kremlin-Bicêtre, Meaux}{1}{10}
Dans chacun des cas suivants, écrire une équation de la tangente en $M$ à la courbe $\mathcal{C}$ 
d'équation $y=f(x)$.
\begin{questions}
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\item $y = \dfrac{1}{x},\ M(-2~;-\dfrac{1}{2})$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\item $y = \sqrt{x} + x,\ M(1~;2)$.
\end{minipage}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On sait que le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé en ce point et l'on a  $f(x) = \frac{1}{x}$.\\
La fonction $f$ est dérivable sur $\left]-\infty~;0\right[ \cup \left]0~;+\infty\right[$ et $f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$. En particulier en $-2$ :
\[f'(-2) = -\frac{1}{4}\quad\text{et}\quad f(-2) = -\frac{1}{2}.\]
Une équation de la tangente est : \[y = -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x+2)\]
ou encore :
\[ y = -\frac{1}{4}x-1. \]

\item  En utilisant le même raisonnement pour $f(x) = \sqrt{x}+x$, on a: \[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}+1\]
et en particulier  :
\[f'(1) = \frac{3}{2}\quad\text{et}\quad f(1) = 2. \]
Une équation de la tangente est $y = 2 + \frac{3}{2}(x-1)$, soit :
\[y= \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}. \]
\end{questions}
\end{corrige}

\newpage

%%%

\begin{exo}{Lecture graphique et tangente}{Lycée international Victor Hugo, Colomiers}{1}{10}
On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;6]$. La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant $f$ est donnée ci-dessous :
\begin{center}
\includegraphics{064_2_fig_3}
\end{center}

Cette courbe passe par les points $A(1~;0)$, $B(2~;1)$, $D(4~;4)$ et $E(6~;1)$.\\
La tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ est confondue avec l'axe des abscisses ; la tangente en $D$ à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à cet axe.\\
La tangente à la courbe au point $E$ passe par le point $F(5~;5)$.\\
Par lecture graphique ou à l'aide des renseignements donnés :
\begin{questions}
\item Déterminer $f(4)$ et $f(6)$.
\item Déterminer $f'(4)$ et $f'(6)$.
\item Résoudre les équations $f(x) = 0$ et $f'(x) = 0$.
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}_1$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $D$, puis celle de la tangente $\mathcal{T}_2$ au point $E$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(4) = 4$ ; $f(6) = 1$.
\item $f'(4) = 0$ (on a une tangente parallèle à l'axe des abscisses) et\linebreak $f'(6) = -4$. En effet, la tangente en $E$ passe par $E(6~;1)$ et $F(5~;5)$, donc son coefficient directeur est $\frac{5-1}{5-6}=-4$.\\
Or, par définition, ce coefficient directeur est égal à $f'(6)$.
\item $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ : le point $A$ est le seul point de la courbe sur l'axe des abscisses.\\
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x = 4$. En effet, pour ces deux valeurs on a une tangente horizontale, donc de coefficient directeur 0.
\item Pour ${\cal T}_1$ : le coefficient directeur est nul (voir question 3), et cette droite passe par le point $D$. Donc l'équation de ${\cal T}_1$ est $y = 4$.

\newpage

Pour ${\cal T}_2$ : on sait déjà que le coefficient directeur est $-4$, donc l'équation est de la forme $y = -4x + $p.\\
De plus, le point $E$ appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l'équation.\\
On a donc : $1 = -4 \times  6 + p$, et donc $p = 25$.\\
L'équation réduite de ${\cal T}_2$ est $y = -4x + 25$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Hyperbole}{Lycée Sophie Germain, Paris}{2}{20}
\enlargethispage*{2em}
On considère la fonction $f:x\mapsto \frac{a}{x}$, $a\in\R_+^*$.\\
On désigne par $\mathcal{H}_a$ l'hyperbole représentant cette fonction dans un plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ .\\
Dans la suite du problème, $M_0$ désigne le point d'abscisse $x_0$ sur $\mathcal{H}_a$, où $x_0\in\R_+^*$.
\begin{questions}
\item Donner une équation de la tangente $\Delta$ au point d'abscisse $x_0$, en fonction de $x_0$.
\item $\Delta$ coupe les droites $(Ox)$ et $(Oy)$ en $H$ et $K$.\\
Montrer que $M_0$ est le milieu du segment $[HK]$.
\item En déduire un procédé géométrique pour construire la tangente à $\mathcal{H}_a$ en $M_0$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f'(x)=-\frac{a}{x^2}$ donc $f'(x_0)=-\frac{a}{x_0^2}$.\\
L'équation de la tangente est donc : $y=-\frac{a}{x_0^2}(x-x_0)+\frac{a}{x_0}$, soit :
\[y=-\frac{a}{x_0^2}x+\frac{2a}{x_0}.\]
\item $\Delta$ coupe l'axe des abscisses lorsque $y=0$. On a alors $-\frac{a}{x_0^2}x+\frac{2a}{x_0}=0$, et donc :
\[ x=\frac{-\frac{2a}{x_0}}{-\frac{a}{x_0^2}}=-\frac{2a}{x_0}\times\frac{-x_0^2}{a}=2x_0.\]
$H$ a donc pour coordonnées $(2x_0~;0)$.\\
$\Delta$ coupe l'axe des ordonnées lorsque $x = 0$, on a alors $y = \frac{2a}{x_0}$.\\
$K$ a donc pour coordonnées $\left(0~;\frac{2a}{x_0}\right)$.\\
Le milieu de $[HK]$ a pour coordonnées $\left(\frac{2x_0+0}{2}~;\frac{0+\frac{2a}{x_0}}{2}\right)$, soit\linebreak $\left(x_0~;\frac{a}{x_0}\right)$,  et ce sont bien les coordonnées de $M_0$.

\item Il y a en fait deux constructions possibles :
\begin{itemize}
\item Soit on s'intéresse au triangle $OHK$ : il est rectangle en $O$, et sa\linebreak médiane issue de O est $[OM_0]$ d'après le résultat précédent.\\
Or, dans un triangle rectangle, la médiane a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.\\
Donc on peut tracer un cercle de rayon $OM_0$ et de centre $M_0$.\\ Il coupera les deux axes en $H$ et $K$.
\begin{center}
\includegraphics{077_2_fig_18}
\end{center}
\item On pourrait aussi n'utiliser que le résultat intermédiaire, qui est l'abscisse de $H$ : on reporte deux fois l'abscisse $x_0$ à partir de $O$ sur l'axe des abscisses, puis on joint les points $H$ et $M_0$, ce qui permet de tracer la tangente.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2019 

\begin{exo}{Étude d'une tangente}{Lycée Camille See, Paris}{2}{20}
\nathanliveVideo\label{video:ch2exo}
Déterminer $m$ pour que la courbe représentative ${\cal C}$ de la fonction définie par :
\[f(x)=\frac{mx+1}{(2-m)x+3}\]
admette au point d'abscisse $-1$ une tangente de coefficient directeur $-2$.
\end{exo}

\begin{corrige}
\rput(-0.5,0.1){\nathanliveVidWithoutText}
Pour que la courbe représentative ${\cal C}$ de la fonction définie par\linebreak $f(x)=\frac{mx+1}{(2-m)x+3}$ admette au point d'abscisse $-1$ une tangente de\linebreak coefficient directeur $-2$, il faut d'abord que $f$ soit définie en $-1$, donc que $(2-m)(-1)+3\neq 0$, c'est-à-dire $m \neq-1$.

$f$ est alors dérivable en $-1$ et on doit avoir $f'(-1) = -2$. La dérivée de $f$ vaut :
\begin{align*}
f'(x) & = \frac{m(2x-mx+3)-(mx+1)(2-m)}{(2x-mx+3)^{2}} \\      
&= \frac{2mx-m^{2}x+3m-2mx-2+m^{2}x+m}{(2x-mx+3)^{2}} \\      
&= \frac{4m-2}{(2x-mx+3)^{2}}.
\end{align*}
Au point $-1$, on a:
 \[f'(-1) = \frac{4m-2}{(m+1)^{2}}.\]
 Il faut donc avoir : $\begin{aligned}[t] 
 \frac{4m-2}{(m+1)^{2}} &= -2 \\
 2-4m &= 2m^{2}+4m+2\\
 2m^{2}+8m& = 0.
 \end{aligned}$
 
 On obtient alors $m=0$ ou  $m=-4$, qui sont donc les deux solutions\linebreak recherchées : $S = \{-4, 0\}$.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Tangentes parallèles}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{20} 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2-9x+6$ et $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\begin{questions}
\item Soit $a\in \R$. Exprimer $f'(a)$.
\item Donner une équation de la droite $(T)$, tangente à $\cal C$ au point d'abscisse~2.
\item Montrer qu'il existe un autre point de $\cal C$ en lequel la tangente est parallèle à $(T)$.
\item La courbe $\cal C$ admet-elle des tangentes parallèles à l'axe des abscisses ? Si oui, préciser en quel(s) point(s).
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La dérivée de $f$ est :
\[
f'(x)=3x^2+6x-9.
\]
Ainsi, 
\[
\forall a\in\R,\ f'(a)=3a^2+6a-9.
\]

\item D'après le cours, l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse $a$ est:
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a).
\]
Pour $a=2$, on obtient:
\begin{align*}
&y=f'(2)(x-2)+f(2)\\
\iff & y=(3\times2^2+6\times2-9)(x-2)+(2^3+3\times2^2-9\times2+6\\
\iff & y= 15(x-2)+8\\
\iff & y=15x-22
\end{align*}
L'équation réduite de $(T)$ est donc $y=15x-22$.

\item S'il existe un point d'abscisse $b$ en lequel la tangente à $\cal C$ est parallèle à $(T)$, alors $f'(b)=15$ (les coefficients directeurs des tangentes sont nécessairement égaux).
\begin{align*}
f'(b)=15 & \iff 3b^2+6b-9=15\\
& \iff 3b^2+6b-24=0\\
& \iff b^2+2b-8=0\text{ (en divisant tout par 3)}.
\end{align*}
Le discriminant du trinôme $b^2+2b-8$ est :
\[
\Delta=2^2-4\times1\times(-8)=36.
\]
Il a donc deux racines:
\[
b_1=\dfrac{-2-6}{2}=-4\qquad\text{ et }\qquad b_2=\dfrac{-2+6}{2}=2.
\]
Il y a donc deux points en lesquels le coefficient directeur de la tangente à $\cal C$ est égal à 2 : celui d'abscisse $-4$ et celui d'abscisse 2 (déjà vu précédemment).

\item $\cal C$ admet une ou des tangentes parallèles à l'axe des abscisses s'il existe au moins une valeur de $a$ pour laquelle $f'(a)=0$
\begin{align*}
f'(a)=0 & \iff 3a^2+6a-9=0\\
& \iff a^2+2a-3=0\text{ (en divisant tout par 3)}.
\end{align*}
$a_1$ est une racine évidente de $a^2+2a-3$ donc la seconde racine est $a_2=-3$ (on utilise le résultat $a_1a_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{1}$).

Il existe donc bien deux points (d'abscisses respectives 1 et $-3$) en\linebreak lesquels la tangente à $\cal C$ est horizontale.
\end{questions}
\end{corrige}


\begin{exo}{Utiliser des renseignements}{Lycée du Parc, Lyon}{3}{15}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $]0~;+\infty[$, strictement croissante sur l'intervalle $]0 ~; 2]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;+\infty[$. La fonction n'est pas définie en 0.
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur son ensemble de définition.\\
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.\\
$\mathcal{C}$ passe par les points A$\left(\dfrac{1}{2}~;-2\right)$, B$(1~;0)$ et C$(2~;1)$. E est le point de coordonnées $\left(1~;\dfrac{3}{2}\right)$.\\
La courbe $\mathcal{C}$ admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses.\\
La droite (AE) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en A.
\begin{questions}
\item Que vaut $f(2)$, $f'(2)$, $f\left(\frac{1}{2}\right)$ et $f'\left(\frac{1}{2}\right)$ ?
\item Donner l'équation de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$.
\item On sait de plus que l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions, 1 et $3,5$.\\
Tracer, dans un repère orthonormal, une courbe pouvant représenter la fonction $f$, ainsi que les tangentes aux point A et C.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item C a pour coordonnées $(2 ~; 1)$ et appartient à $\mathcal{C}$. 

Donc $f(2) = 1$.

\Par

La tangente en C à $\mathcal{C}$ est parallèle à l'axe des abscisses donc:
\[
f'(2) = 0.
\]

\Par

A$\left(\dfrac{1}{2}~;-2\right)$ appartient à $\mathcal{C}$, donc :
\[
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-2.
\]

\Par

(AE) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en A, donc le coefficient directeur de (AE) est égal à la dérivée de $f$ en l'abscisse de A. 

\Par

Ce coefficient directeur est égal à :
\[
\dfrac{\frac{3}{2}-(-2)}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}}=7.
\]

\Par

On a donc $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=7$.

\item On utilise la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
\[ y=7\left(x-\frac{1}{2}\right)-2=7x-\frac{7}{2}-2=7x-\frac{11}{2}. \]
L'équation de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$ est $y=7x-\dfrac{11}{2}$.

\newpage

\item On a le graphique suivant :
\begin{center}
\includegraphics{080_2_fig_8}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Ensembles de définition et dérivabilité}

%%%

\begin{exo}{Dérivabilité en \boldmath$a=1$}{Lycée Alain, Le Vésinet}{1}{10}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par : $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$.
\Par
On pose, pour $h \neq 0$ : $t(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
\begin{questions}
\item Montrer que l'on a : $t(h)=\frac{-2-h}{(1+h)^{2}}$.
\item Montrer que $f$ est dérivable en $1$ et préciser son nombre dérivé.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On a :
\begin{align*}
t(h) & =  \frac{f(1+h)-f(1)}{h} =   \frac{\dfrac{1}{(1+h)^{2}}-\dfrac{1}{1^{2}}}{h}  = \frac{ \dfrac{1}{(1+h)^{2}}-1}{h} 
\\
     & =  \frac{1-(1+h)^{2}}{h(1+h)^{2}}  =  \frac{-h^{2}-2h}{h(1+h)^{2}} =   \frac{-2-h}{(1+h)^{2}}.
     \end{align*}
\item On a donc $\lim_{h \to 0}t(h) = -2$, d'où:
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = -2.\]
$f$ est dérivable en $1$ et son nombre dérivé en $1$ vaut $-2$. 
\par
Soit : $f'(1) = -2$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Ensemble de définition}{Lycée Jean Renoir, Bondy}{1}{15}
Déterminer le domaine de définition ${\cal D}_{f}$ des fonctions suivantes, ainsi que leur dérivée $f'(x)$.
\begin{questions}
\item  $f(x) = \dfrac{3x^{2}-4x+7}{2x^{2}-x-1}$.
\item  $f(x) = 3-5x + \dfrac{1}{4x-7}$.
\item $f(x)=\frac{2x+3}{(-x^2+2)(x+3)}$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  $f(x)$ existe si et seulement si $2x^{2}-x-1 \neq 0$.
\par
Étudions le trinôme $2x^{2}-x-1$ :\\
$\Delta=9$ donc ses racines sont :
\[
x_1=\frac{1+3}{4}=1 \qquad \text{et} \qquad x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}.
\]
Finalement :
\[
{\cal D}_f=\R \setminus \left\{ -\frac{1}{2}~; 1 \right\}
\]
La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition.
        \begin{align*}
        f'(x) &= \displaystyle \frac{(6x-4)(2x^{2}-x-1)-(3x^{2}-4x+7)(4x-1)}{(2x^{2}-x-1)^{2}} \\
              &= \displaystyle \frac{12x^{3}-14x^{2}-2x+4-(12x^{3}-16x^{2}+28x-3x^{2}+4x-7)}{(2x^{2}-x-1)^{2}} \\
              &= \displaystyle \frac{5x^{2}-34x+11}{(2x^{2}-x-1)^{2}}.
        \end{align*}
        \item  $f(x)$ existe si et seulement si $4x-7 \not= 0$, 
        \par
        d'où :
        \[\mathcal{D}_{f} = \R \setminus \left\{\frac{7}{4}\right\}\]
        La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition et :
        \[
        f'(x) = -5-\frac{4}{(4x-7)^{2}}.
        \]

        \item $f(x)$ existe si et seulement si $(-x^2+2)(x+3)\not=0$, 
        soit si et seulement si $-x^2+2\not=0$ et $x+3\not=0$, 
        d'où :
        \[\mathcal{D}_f=\R\setminus\left\{ -3\,;-\sqrt{2}\,;\sqrt{2} \right\}\]

        La fonction $f$ est une fonction rationnelle, dérivable sur son ensemble de définition avec, pour tout  $x\in\mathcal{D}_f$, $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, 
        où :
        \[u(x)=2x+3\quad \text{et}\quad v(x)=(-x^2+2)(x+3)\,.\]

        On a $u'(x)=2$ et, en utilisant la formule de dérivation d'un
        produit, 
        $v'(x)=(-2x)(x+3)+(-x^2+2)(1)=-3x^2-6x+2$. 

        On a donc :
        \[\begin{aligned}
        f'(x)&=\frac{2(-x^2+2)(x+3)-(2x+3)(-3x^2-6x+2)}{(-x^2+2)^2(x+3)^2}\\
        &=\frac{4x^3+15x^2+18x+6}{(-x^2+2)^2(x+3)^2}.
        \end{aligned}
        \]
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Ensemble de dérivabilité}{Lycée Sophie Germain, Paris}{1}{20}
Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de la\linebreak fonction $f$, l'ensemble de dérivabilité de $f$, puis calculer $f'(x)$ sur son ensemble de dérivabilité.
\begin{questions}
\item $f:x\mapsto(2x-3)\sqrt{x}$.
\item $g:x\mapsto\frac{2-3x}{x^2-5x+4}$.
\item $k:x\mapsto\frac{x\sqrt{x}}{x^2+3}$.
\end{questions}
\end{exo}

%%%

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f$ est définie sur $\R_+$ et dérivable sur $\R^*_+$.\\
\begin{align*}
f'(x) & = 2\sqrt{x}+(2x-3)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = \frac{2\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+2x-3}{2\sqrt{x}}\\
& = \frac{6x-3}{2\sqrt{x}}.
\end{align*}

\Par
\begin{methode}
Il est intéressant d'aller jusqu'à la dernière écriture, car elle nous permettra d'étudier le signe de $f'(x)$.
\end{methode}

\Par

$f$ n'est pas dérivable en 0 : en effet, en revenant à la définition :
\[ \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(2h-3)\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to 0}\left(2\sqrt{h}-\frac{3}{\sqrt{h}}\right).\]
Or, lorsque $h$ se rapproche de 0, $\frac{3}{\sqrt{h}}$ devient de plus en plus grand ; on dit que cette quantité tend vers l'infini. La limite du taux de variation n'est donc pas un réel, et donc $f$ n'est pas dérivable en 0.

\item $g$ est définie et dérivable comme quotient de deux fonctions polynômes, lorsque le dénominateur est non nul.\\
$\Delta= 9$, le trinôme a donc deux racines, 1 et 4.\\
La fonction $f$ est donc définie et dérivable sur $\R\setminus\{1~;4\}$.
\begin{align*}
g'(x) & = \frac{-3(x^2-5x+4)-(2-3x)(2x-5)}{(x^2-5x+4)^2}\\
& = \frac{-3x^2+15x-12-4x+10+6x^2-15x}{(x^2-5x+4)^2}\\
& = \frac{3x^2-4x-2}{(x^2-5x+4)^2}.
\end{align*}

Là encore, $g'(x)$ est sous une forme où l'étude de son signe sera facile.

\item Le dénominateur de $k(x)$ ne s'annule jamais. Par contre il y a une racine carrée.\\
Donc $k$ est définie sur $\R_+$ et dérivable sur $\R_+^*$.
\newpage
\begin{align*}
k'(x) & = \frac{\left(\sqrt{x}+x\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x^2+3)-x\sqrt{x}\times 2x}{(x^2+3)^2}\\
& = \frac{\left(\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}\right)(x^2+3)-2x^2\sqrt{x}}{(x^2+3)^2}\\
& = \dfrac{ \frac{3\sqrt{x}}{2}x^2 + \frac{3}{2}\sqrt{x}\times 3-2x^2\sqrt{x} }{(x^2+3)^2}\\
& = \frac{\sqrt{x}\left(\frac{9-x^2}{2}\right)}{(x^2+3)^2}.
\end{align*}

La forme obtenue à la fin peut laisser penser que $k$ est dérivable en 0, puisque rien ne s'opposerait à remplacer $x$ par 0 dans cette formule.

Il nous faut revenir à la définition :

\[ \lim_{h\to 0}\frac{k(0+h)-k(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{h\sqrt{h}}{h^2+3}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h}}{h^2+3}=0.\]

\Par

Donc la fonction $k$ est bien dérivable en 0, et son ensemble de dérivabilité est finalement $\R_+$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%  

\begin{exo}{Valeur absolue et dérivabilité}{Lycée Jeanne d'Albret, Saint-Germain-en-Laye}{2}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = |x^2 - 4| - 1$. 
\par
\'Etudier la dérivabilité de $f$ en $a = 2$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Soit $h$ un réel non nul, le taux de variation de la fonction $f$ entre $2$ et $2+h$ est :
\[ t(h) = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}. \]
Comme $f(x) = |x^2-4| - 1$, alors $t(h ) = \dfrac{|(2+h)^2 - 4| - 1+1}{h}$.
\par
Soit après réduction :
\[
t(h) = \frac{ |h^2 + 4h|}{h}.
\]
On écrit $t(h)$ sous la forme $\dfrac{|h|}{h} \times |h+4|$.
\Par
Deux cas doivent alors être distingués :
\begin{itemize}
\item Si $h > 0$, alors $t(h) = h + 4$.
\item
Si $h < 0$, alors $t(h) = -|h + 4|$.
\end{itemize}
Il en résulte que $t(h)$ n'a pas de limite en $0$. En effet, si $h$ tend vers $0$ par valeurs positives, $t(h)$ tend vers $4$ (calcul effectué dans la première expression) et si $h$ tend vers $0$ par valeurs négatives, alors $t(h)$ tend vers $-4$ (calcul effectué dans la seconde expression).
\Par
On en déduit que $f$ n'est pas dérivable en $a = 2$.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Dérivabilité d'un produit}{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse}{2}{15}
On sait que si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables en $a$, alors la fonction $fg$ est dérivable en $a$ et on sait que $(fg)'(a)  = f '(a) g(a) + f(a) g'(a)$.

Soit  la fonction $\phi$ définie sur $\R$ par $\phi(x)=x|x|$. 
\begin{questions}
\item La fonction $\phi$ est-elle dérivable en $0$ ?
\item La condition \og $f$ et $g$ dérivables en $a$ \fg{} est-elle nécessaire pour que $(fg)$ soit dérivable en $a$ ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $\phi$ est définie sur $\R$ par $x \mapsto x|x|$.

Soit $h$ un réel non nul, on pose : 
\[t(h) = \dfrac{\phi(h) - \phi(0)}{h}.\]
On a alors :
\[t(h) = \dfrac{h|h|}{h} = |h|. \]
Il s'ensuit que $\lim_{h \to 0}  t(h) = 0$.

On en déduit que la fonction $\phi$ est dérivable en $0$ et que $\phi' (0) = 0$.

\item Considérons les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = x$ et\linebreak $g(x) = |x|$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ donc en particulier, elle est dérivable en $0$.

En revanche, la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.
Or, $\phi = fg$ et on a prouvé que la fonction $\phi$ est dérivable en $0$.

On peut alors conclure que la condition \og{}$f$ et $g$ dérivables en $a$\fg{}  n'est pas nécessaire pour 
que $fg$ soit dérivable en $a$. Puisque $f$ est dérivable en $0$, $g$ ne l'est pas et néanmoins le produit $fg$ est dérivable en $0$.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{\'Etude de fonctions}

%%%

\begin{exo}{Recherche de fonctions dérivées}{Lycée Richelieu, Rueil-Malmaison}{1}{30}
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
\begin{questions}
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\item  $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^{2}-x+1}$. & 
\item  $g(x) = \dfrac{1}{x^{4}-x^{2}+1}$.\\
\item  $h(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. & 
\end{tabularx}  
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x) = \frac{2x+1}{x^{2}-x+1}$.\\
La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition. Or, le discriminant du trinôme $x^{2}-x+1$ est~$-3$.

Donc l'équation $x^{2}-x+1=0$ n'admet pas de solution réelle.\\
On en déduit que $f$ est définie et dérivable sur $\R$.
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{2(x^{2}-x+1)-(2x+1)(2x-1)}{(x^{2}-x+1)^{2}} \\
              &= \frac{2x^{2}-2x+2-4x^{2}+1}{(x^{2}-x+1)^{2}} \\
              &= \frac{-2x^{2}-2x+3}{(x^{2}-x+1)^{2}}.
\end{align*}

\item On doit chercher si le dénominateur s'annule pour certaines valeurs de~$x$.

$x^4-x^2 +1 = 0$ est une équation dite \textit{bicarrée} : pour la résoudre, on pose $X = x^2$, et l'équation devient alors:
\[
X^2 - X + 1 = 0.
\]
Cette équation est celle de la question 1., et nous avons montré qu'elle n'avait pas de solution réelle (discriminant négatif).\\
Donc l'équation $x^4-x^2 +1 = 0$ n'a pas de solution non plus, et $g$ est définie et dérivable sur $\R$.
\[g'(x) = -\dfrac{4x^{3}-2x}{(x^{4}-x^{2}+1)^{2}}.\]              

\item  $h(x)= \frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{x}}$. La fonction $h$ est définie et dérivable sur $\left]0~;+\infty \right[$.
\[ h'(x) = \frac{1}{2} \left( - \frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} \right) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% (modif. 2019) % import

\begin{exo}{Coût marginal}{Lycée Fénelon, Paris}{2}{20}
Le coût de production de $x$ objets est donné par la fonction :
\[C(x) = 180 + 12x-0,01 x^2.\]
\begin{questions}
\item  Le coût marginal $C_m(x)$ est défini comme l'accroissement du coût total occasionné par la production de la $x$\ieme{} pièce, ce qu'on peut écrire :
\[ C_m(x) = C(x)-C(x-1).\]
Donner l'expression de $C_m(x)$ dans le cas étudié.
\item Donner l'expression de la dérivée $C'(x)$.
\item Si l'on utilise $C'(x)$ comme valeur approchée du coût marginal $C_m(x)$, quelle erreur commet-on ?\\
Donner la valeur de cette erreur lorsqu'on produit le 100\ieme{} objet.
\end{questions}
\end{exo}
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
{\fontsize{9}{11}\selectfont
$\begin{aligned}[t]
C_m(x) & = C(x)-C(x-1) \\
& = 180 + 12x-0,01x^2 - \left[180 + 12(x-1)-0,01(x-1)^2\right]\\
& = 180 + 12x-0,01x^2 -180 - 12x + 12 + 0,01x^2  - 0,02x + 0,01 \\
& = -0,02x +12,01.
\end{aligned}$
}
\item $C'(x) = 12-0,02x$.
\item L'erreur commise est $C_m(x) - C'(x) = + 0,01$, et ce, quel que soit l'objet produit.\\
Donc l'erreur produite lorsqu'on produit le 100\ieme{} objet est $0,01$.
\end{questions}
\end{corrige}

\newpage

%%% 

\begin{exo}{Valeur annulant la dérivée}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{20}
\enlargethispage*{2em}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle I de $\R$ telles que $v$ et $v'$ ne s'annulent pas sur cet intervalle.
\begin{questions}
\item On considère la fonction $f =\frac{u}{v}$.\\
Prouver que si $a$ est un nombre de I tel que $f'(a) = 0$, alors\linebreak $f(a)=\frac{u'(a)}{v'(a)}$.
\item Application.\\
On pose $f(x) =\frac{x^2+3x-4}{x^2+1}$ définie pour tout $x$ de $\R$.
\begin{questions}
\item Calculer $f'(x)$ et donner la valeur exacte de $a$, nombre positif tel que $f'(a) = 0$.
\item Utiliser le résultat de la question 1. pour donner la valeur exacte de $f(a)$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Avec la définition de $f$, on peut calculer sa dérivée :
\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}. \]
On sait que $f'(a) = 0$, donc on a $u'(a)v(a)-u(a)v'(a) = 0$ (un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul, ce qui est le cas d'après les hypothèses).\\
On a donc $u'(a)v(a)=u(a)v'(a)$, et en divisant successivement par $v'(a)$ et $v(a)$ (on peut le faire puisque $u$ et $v$ ne s'annulent pas sur $I$), on obtient : $\frac{u'(a)}{v'(a)}=\frac{u(a)}{v(a)}=f(a)$ par définition.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \frac{(2x+3)(x^2+1)-(x^2+3x-4)(2x)}{(x^2+1)^2}\\
& = \frac{2x^3+3x^2+2x+3-2x^3-6x^2+8x}{(x^2+1)^2}\\
& = \frac{-3x^2+10x+3}{(x^2+1)^2}.
\end{aligned}$

Cette dérivée s'annule si et seulement si $-3x^2 + 10x + 3 = 0$.\\
$\Delta = 100 + 36 = 136 = 4 \times  34$.\\
Les racines sont donc $x' = \frac{-10-2\sqrt{34}}{-6}$ et $x'' = \frac{-10+2\sqrt{34}}{-6}$. Seule $x'$ est positive, donc c'est elle qui est notée $a$. $a = \frac{5+\sqrt{34}}{3}$.

\item D'après la question 1, $f(a) = \frac{u'(a)}{v'(a)}$ avec $u(x) = x^2 + 3x -4$ et $v(x) = x^2 + 1$.

\begin{align*}
f(a) & =\frac{2a+3}{2a}\\
& = \frac{2\times\frac{5+\sqrt{34}}{3}+3}{2\times\frac{5+\sqrt{34}}{3}}\\
& = \frac{19+2\sqrt{34}}{10+2\sqrt{34}}\\
& = \frac{(19+2\sqrt{34})(10-2\sqrt{34})}{(10+2\sqrt{34})(10-2\sqrt{34})}
\end{align*}

\begin{align*}
f(a)  & = \frac{190-4\times 34+20\sqrt{34}-38\sqrt{34}}{100-4\times 34}\\
& = \frac{54-18\sqrt{34}}{-36}\\
& = \frac{18\sqrt{34}-54}{36}\\
& = \frac{\sqrt{34}-3}{2}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% VIDEO

\begin{exo}{Position d'une parabole et de droites}{Lycée Thiers, Marseille}{3}{30}
Dans un repère orthonormal, soit ${\cal P}$ la parabole d'équation : \[ y=\frac{1}{4}x^{2}. \]
Soit ${\cal D}_{m}$ la droite d'équation $mx-y+1=0$, $m$ étant élément de $\R$.\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item  
\begin{questions}
\item  Montrer que, quel que soit $m$, ${\cal D}_{m}$ et ${\cal P}$ se coupent en deux points distincts $A$ et $B$ d'abscisses $x'$ et $x''$.
\item Montrer que $x'x''$ ne dépend pas de $m$.
\end{questions}
\item  
\begin{questions}
\item  Calculer les coordonnées du point d'intersection $I_{m}$ des tangentes à ${\cal P}$ aux points $A$ et $B$. 
\item Déterminer la longueur $AI_m^2+BI_m^2-AB^2$.\\
En déduire que les tangentes à ${\cal P}$ aux points $A$ et $B$ sont perpendiculaires. 
\item  Quel est l'ensemble des points $I_{m}$ lorsque $m$ décrit $\R$ ? 
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Donnons pour commencer un schéma de $\mathcal{P}$ et de $\mathcal{D}_{m}$ (avec $m=1$, à titre d'exemple) :
\begin{center}
\includegraphics{087_2_fig_9}
\end{center}

\begin{questions}
\item  Les points d'intersection de ${\cal D}_{m}$ et ${\cal P}$ ont pour coordonnées $(x~;y)$, avec :
\[ \left\{\begin{aligned}
                y& = \frac{1}{4}x^2 \\
                y &= mx+1
                \end{aligned}\right. \eqno{(1)}
                \]
soit :\enlargethispage*{3em}
           \[
           \left\{\begin{aligned}
               & y = mx+1\\
       &\frac{1}{4}x^2 = mx+1
                \end{aligned}\right.
                \]
                soit encore :
                \[
                \left\{\begin{aligned}
               & y = mx+1\\
                           & x^2 - 4mx - 4 = 0
                \end{aligned}\right.
                \]                
La seconde équation est une équation du second degré dont le discriminant est :
                \[
                \Delta = (4m)^2 + 16 = 16(m^2+1).
                \]
                \newpage
                 $\Delta$ est strictement positif, ce qui assure l'existence de deux solutions 
                distinctes $x'$ et $x''$ auxquelles correspondent deux points d'intersection distincts 
                $A(x'~;y')$ et $B(x''~;y'')$, avec :
                \begin{align*}
                 y' &= mx' + 1 = \frac{1}{4}{x'}^2 \\
                 y'' &= mx'' + 2 = \frac{1}{4} {x''}^2
                \end{align*}
                \item  L'abscisse de $A$ est :
\[
x'=\frac{4m+\sqrt{16(m^2+1)}}{2}=2m+2\sqrt{m^2+1}.
\]
L'abscisse de $B$ est :
\[
x''=\frac{4m-\sqrt{16(m^2+1)}}{2}=2m-2\sqrt{m^2+1}.
\]
On a alors :
\[
\begin{aligned}
x' \times x''&=(2m+2\sqrt{m^2+1})(2m-2\sqrt{m^2+1}) \\
&=(2m)^2-(2\sqrt{m^2+1})^2 \\
&=4m^2-4m^2-4 \\
&=-4.
\end{aligned}
\]
La relation cherchée est donc : $x'x''=-4$.
\end{questions}
\item  
\begin{questions}
\item  On a :
\[A\left(x'~;\dfrac{{x'}^2}{4}\right),~B\left(x''~;
\dfrac{{x''}^2}{4}\right),~f(x) = \frac{x^2}{4}\text{ et } f'(x)=\frac{x}{2}.\]
La tangente à la courbe en $A$ a pour équation :
\[y = f(x') + f'(x')(x-x') = \frac{x'^2}{4} + \frac{x'}{2}(x-x').\]
De même, la tangente à la courbe en $B$ a pour équation :
\[ y = \frac{x''^2}{4} + \frac{x''}{2}(x-x'').\]

L'abscisse $x$ de leur point d'intersection vérifie donc :

\begin{align*}
& \frac{{x'}^2}{4}+\frac{x'}{2}(x-x') = \frac{{x''}^2}{4}+\frac{x''}{2}(x-x'')\\
\iff\ & \frac{x'^2}{4}+\frac{xx'}{2}-\frac{x'^2}{2} = 
\frac{x''^2}{4}+\frac{xx''}{2}-\frac{x''^2}{2} \\
\iff\ & -\frac{x'^2}{4}+\frac{xx'}{2} = -\frac{x''^2}{4}+\frac{xx''}{2}
\end{align*}

\begin{align*}
\iff\ & \frac{x}{2}(x'-x'') = \frac{x'^2-x''^2}{4}\\
\iff\ & \frac{x}{2}(x'-x'') = \frac{(x'-x'')(x'+x'')}{4}.
\end{align*}

Et comme $x'-x'' \neq 0$, 
\[ x = \frac{x'+x''}{2} = \frac{4m}{2} = 2m \qquad (\text{car } 
x'+x''=4m).\]
L'ordonnée vaut : \[y = \frac{{x'}^2}{4} + \frac{x'}{2}(2m-x') = \frac{{x'}^2}{4} + mx' - \frac{{x'}^2}{2} = -\frac{{x'}^2}{4} + mx'.  \]
Or, ${x'}^2-4mx' = 4$, donc :
\[-\frac{{x'}^2}{4}+mx' = \frac{4}{-4} = -1.\]
Donc  $I_{m}$ a pour coordonnées $(2m~;-1)$.

\item On a: 
\[
                AI_m^2=\left(2m-x'\right)^2+\left(1+\frac{x'^2}{4}\right)^2
                =\left(2m-x'\right)^2+\left(2+mx'\right)^2
                \]
                car, comme $A\in \mathcal{D}_m$,
                $mx'-\frac{x'^2}{4}+1=0\iff \frac{x'^2}{4}=mx'+1$, 
                d'où :
                \[
                AI_m^2=4m^2+x'^2+4+m^2x'^2,
                \]
                et de même, $BI_m^2=4m^2+x''^2+4+m^2x''^2$.

                De plus :
                \[
                AB^2=\left(x'-x''\right)^2
                +\left(\frac{x'^2}{4}-\frac{x''^2}{4}\right)^2
                =\left(x'-x''\right)^2
                +\left(mx'-mx''\right)^2.
                \]

                On a alors :
                \[\begin{aligned}
                AI_m^2+BI_m^2-AB^2
                & = 8m^2 + x'^2+ x''^2 + 8 + m'^2x'^2 + x''^2\\
               -\left(x'^2 - 2x'x''\right. & + m^2(x'^2 + x''^2) - 2m^2x'x''
- 8m^2 \\
& \hspace*{15mm}\left. + 8 + 2x'x'' + 2m^2x'x''\right)\\
                &=8m^2+8+2x'x''+2m^2x'x''.
                \end{aligned}
                \]
                Comme on a de plus montré précédemment la relation 
                $x'x''=-4$, on en déduit finalement que :
                \[
                AI_m^2+BI_m^2-AB^2=0
                \]
                et donc, d'après la réciproque du théorème de
                Pythagore, que le triangle $ABI_m$ est rectangle en
                $I_m$, et donc que les deux tangentes sont
                perpendiculaires. 

                \item  Lorsque, $m$ décrit $\R$, $I_{m}$ décrit la droite parallèle à l'axe des\linebreak abscisses d'équation $y=-1$, ce qui est représenté sur la figure suivante :
                \begin{center}
                \includegraphics{090_2_fig_10}
                \end{center}
                
En effet, le point $I_m$ a pour ordonnée $-1$ pour tout $m$, et si $m$ décrit $\R$, $2m$ décrit aussi $\R$.                
        \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Optimisation}

%%%

\begin{exo}{Recherche d'extrema}{Lycée Jean-Baptiste de La Salle, Saint-Denis}{1}{10}
Trouvez les extrema de la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=x^{3}-4x^{2}+x-2 \,.\
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
La fonction $f$ est une fonction polynôme définie et dérivable sur $\R$.
\[
f'(x)=3x^{2}-8x+1\,.
\]

$f'$ est un polynôme du second degré. On a donc: 
\[
\Delta=64-12=52=\left(2 \sqrt{13}\right)^2.
\]
Les racines de $f'$ sont : 
\[
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle x_{1}=\frac{8-2\sqrt{13}}{6}=\frac{4-\sqrt{13}}{3} \approx 0{,}131\\
\\
\displaystyle x_{2}=\frac{8+2\sqrt{13}}{6}=\frac{4+\sqrt{13}}{3} \approx 2{,}535
\end{array}\right.
\]
d'où le tableau de variation de $f$ :

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|ccccc|}
        \hline\tabulartitle
        $x$ &  &$x_1$&&$x_2$&   \\
        \hline
        $f'(x)$ &  $+$ &  $0$ & $-$ &  $0$ & $+$    \\
        \hline
        $f(x)$ &   $\nearrow$ &  &   $\searrow$ &    & $\nearrow$   \\
        \hline
\end{tabular}
\end{center}
 et sa courbe représentative est donnée ci-dessous.
$f'$ s'annule et change de signe en $x_{1}$ et $x_{2}$. $f$ admet donc deux extrema locaux : un en 
$x_{1}$ et un second en $x_{2}$.
\par
$f$ est croissante sur $\left]-\infty~;x_{1}\right]$, décroissante sur $[x_{1}~;x_{2}]$ et croissante sur\linebreak $[x_{2}~;+\infty[$.\\
$f$ admet donc un maximum local en $x_{1}$ et un minimum local en $x_{2}$.

\begin{center}
\includegraphics{091_2_fig_11}
\end{center}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Recherche d'une aire minimale}{Lycée Saint-Louis de Gonzague, Paris}{1}{50}
$ABCD$ est un carré du plan tel que $AB = 2$. $I$ est le milieu de $[AB]$.\\
$M$  est un point variable et différent de $I$ sur la demi-droite 
$[Iz)$, perpendiculaire à la droite $(AB)$ et représentée ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{069_2_fig_12}
\end{center}        
Les droites $(MA)$ et $(MB)$ coupent la droite $(CD)$ en $P$ et $Q$ respectivement. \\
On pose $IM = x$. $f$ est la fonction qui, à $x$, associe l'aire du triangle $MPQ$.
\begin{questions}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
\item
\begin{questions}
\item Montrer que $f(x) = \frac{(x + 2) ^2}{x}$.
\item Où faut-il placer $M$ pour que l'aire du triangle $MPQ$ soit\linebreak minimale ?
\end{questions}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'ensemble de définition de $f$, 
      \[
      f(x)=x+4+\frac{4}{x}.
      \]
\item Déterminer,  par un calcul mental simple, l'arrondi à l'unité  
de la mesure de l'aire du triangle $MPQ$ lorsque $x = \numprint{1980}$.  Justifier.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le point $M$ appartient à la demi-droite $[Iz)$ et il est 
différent de $I$, donc $IM > 0$. L'ensemble de définition de la fonction $f$ est $]0~;+\infty[$.
\item 
\begin{questions}
\item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(IM)$ et $(DC)$.  Comme $ABCD$ est un carré, les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles donc la droite $(IM)$ qui est perpendiculaire à $(AB)$ est aussi perpendiculaire à $(DC)$.\\
On a donc :\[f(x) = \dfrac{1}{2} PQ \times MH=PH\times MH.\]
Or, le point $I$ appartient au segment $[MH]$ donc :
\[MH = MI + IH = 2 + x. \]
En appliquant le théorème de Thalès au triangle $MPH$, on obtient  :
\[
\frac{MI}{MH} = \frac{AI}{PH},
\]
soit  :
\[
\frac{x}{x+2} = \frac{1}{PH}.
\]
On en déduit que :
\[
PH =\frac{x+2}{x}.
\]
En remplaçant alors dans l'expression de $f(x)$, on obtient :
\[                                           
 f(x) =\frac{ (x + 2) ^2}{ x }.
\]
\item Pour déterminer l'aire minimale du triangle $MPQ$, on étudie les variations de la fonction $f$. La fonction $f$ est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et, pour tout $x > 0$ :
 \[
f'(x) = \frac{2x(x+2) - (x+2)^2 }{x^2},
 \]
soit :
 \[
 f'(x) =\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.
 \]\enlargethispage*{3em}
Comme $x+2$ et $x^2$ sont strictement positifs sur $]0~;+\infty[$, $f '(x)$ est du signe de $x-2$. Il en résulte que $f$ est strictement décroissante sur $]0~;2]$ et strictement croissante sur $]2~;+\infty[$.\\
Donc la fonction $f$ admet un minimum pour $x = 2$.\\
L'aire du triangle $MPQ$ est minimale lorsque $IM = 2$.
\end{questions}

\item Pour tout réel $x$ de $]0~;+\infty[$, on a: 
      \[
      x+4+\frac{4}{x}=\frac{x(x+4)+4}{x}
      =\frac{x^2+4x+4}{x}
      =\frac{(x+2)^2}{x}
      =f(x).
      \]
\item Pour déterminer l'arrondi à l'unité de la mesure de l'aire du triangle $MPQ$ lorsque $x = \numprint{1980}$, on utilise l'écriture :
 \[f(x) = x + 4 + \frac{4}{x}.\]
On a alors  :
\[
f(\numprint{1980}) = \numprint{1984} +\frac{4}{\numprint{1980}}.
\]
On en déduit que l'arrondi cherché est \numprint{1984}.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Optimisation en économie}{Lycée Odilon Redon, Pauillac}{2}{25}
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre $x$ d'objets.\\
Les contraintes de fabrication impose que le nombre $x$ d'objets soit dans\linebreak l'intervalle $I=[1~;100]$.\\
Chaque objet est vendu 100 euros, et on suppose que tous les objets fabriqués sont vendus. Le coût unitaire de production par objet produit est donné par la fonction $U$ définie sur $I$ par: 
\[
U(x)=2x-83-\frac{900}{x}.
\]
\enlargethispage*{4em}
\begin{questions}
\item \label{q1}
\begin{questions}
\item \'Ecrire un algorithme permettant de déterminer le bénéfice
maximal que peut réaliser l'entreprise. 
\item Quel est ce bénéfice maximal ? Pour quelle quantité d'objets \linebreak vendus et fabriqués est-il réalisé ?
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Montrer que le bénéfice global $B(x)$ réalisé par l'entreprise pour $x$ objets produits et vendus est donné par: 
\[
B(x)=-2x^2+183x+900.
\]
\item Calculer $B'(x)$ et en déduire le sens de variation de la
fonction $B$ sur $I$. 

\item Retrouve-t-on le résultat de la question \ref{q1} ? 
      Expliquer pourquoi.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  \enlargethispage*{5em}
\begin{questions}
\item Le nombre $x$ d'objets produits et vendus est un nombre entier. 

\`A l'aide d'un algorithme, on peut calculer toutes les valeurs du bénéfice réalisé $B(x)$ lorsque $x$ parcourt tous les nombres entiers de 1 à 100. 

Pour $x$ objets, $x\in[1~;100]$,  on calcule successivement le coût unitaire \texttt{U} donné par l'expression de $U(x)$, le coût total \texttt{C=x*U}, la recette réalisée par leur vente \texttt{R=100*x}, et enfin le bénéfice \texttt{B=R-C}. 

Pour chaque valeur de \texttt{x}, on teste la valeur trouvée pour \texttt{B} et on la conserve dans une variable \texttt{M} si elle est plus grande que celle qui y est déjà présente.
\newpage

On pense aussi à garder de la même façon la valeur de \texttt{x} correspondante.  


\begin{algorithme}{Algorithme}
M $\leftarrow$ 0
S $\leftarrow$ 1
Pour x de 1 à 100
\qquad U $\leftarrow$ 2x-83-900/x
\qquad C $\leftarrow$ x*U
\qquad R $\leftarrow$ 100*x
\qquad B $\leftarrow$ R-C
\qquad Si M$<$B
\qquad\qquad M $\leftarrow$ B
\qquad\qquad S $\leftarrow$ x
\qquad Fin Si
Fin Pour
Afficher S
Afficher M
\end{algorithme}

\begin{listing}{En Python}{02-23.py}
\nathanliveProg
\end{listing}

\Par

\item En exécutant l'algorithme précédent, on trouve un bénéfice\linebreak maximal de \numprint{5086}~\euro, obtenus pour $x=46$ objets fabriqués. 
\end{questions}
\enlargethispage*{5em}
\item 
\begin{questions}
\item La recette réalisée pour $x$ objets vendus est $R(x)=100x$, et donc, le bénéfice global $B(x)$ réalisé par l'entreprise est donné par: 
\begin{align*}
B(x) & =R(x)-xU(x)\\
&=100x-x\left(2x-83-\frac{900}{x}\right)\\
&=-2x^2+183x+900.\\
\end{align*}
\newpage

\item Pour tout réel $x\in I$, $B'(x)=-4x+183$. On peut alors dresser le tableau de variation de $B$: 

\[
\begin{array}{|C|ccccc|}
\hline\tabulartitle
x&1&&\frac{183\strut}{4\strut}&&100\\\hline
B'(x)&&+&0&-&\\\hline
&&&5086,125&&\\
B(x)&&\nearrow&&\searrow&\\
\hline
\end{array}
\]

\Par

\item D'après les variations de $B$, on trouve un bénéfice maximum de \numprint{5086,125}~\euro{} pour $x=45,75$ objets vendus et fabriqués. 

On ne retrouve pas exactement le même résultat que précédemment car l'étude des variations de $B$ donne un maximum pour un $x$ réel, et non entier comme dans l'algorithme.

Comme ici le nombre d'objets $x$ est un nombre entier, et que \linebreak  $B(45)=\numprint{5085}$ et $B(46)=\numprint{5086}$, on en déduit que le maximum de \numprint{5086}~\euro{} est obtenu pour $x=46$ objets vendus. 
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%


\begin{exo}{Optimisation dans le plan}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois}{2}{25}
\`A l'intérieur de la feuille de papier rectangulaire $ABCD$ représentée ci-dessous, on dispose d'une zone rectangulaire imprimable $EFGH$ d'aire $150~\text{cm}^2$.\\
On note $x = AB$ et $y = BC$. Les longueurs sont exprimées en cm et on suppose que $x\in[5~;22]$  et $y>3$.
\begin{center}
\includegraphics{070_2_fig_5}
\end{center}
\begin{questions}
\item Justifier que pour tout $x$ de $[5~;22]$, $y=3+\frac{150}{x-2}$.
\item Cas d'une feuille carrée :
\begin{questions}
\item Démontrer que la feuille est carrée si et seulement si :\[ x^2-5x-144 = 0.\]
\item Existe-t-il des valeurs de $x$ pour lesquelles la feuille est carrée ?\\ Si oui, lesquelles ?
\end{questions}
\item Soit $g$ la fonction qui à tout réel $x$ de $[5~;22]$ associe l'aire, en cm$^2$, de la feuille.
\begin{questions}
\item Démontrer que $g(x)= \frac{3x^2+144x}{x-2}$.
\item Calculer $g'(x)$, étudier son signe et en déduire le tableau de variation de $g$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle minimale ? Quelle est cette aire minimale ?
\end{questions}
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure ou égale à $224~\text{cm}^2$ ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, l'aire du rectangle $EFGH$ est : $(x-2)(y-3)=150$, soit $y-3=\frac{150}{x-2}$.\\
On a donc bien $y = 3 + \frac{150}{x-2}$.
\item
\begin{questions}
\enlargethispage*{3em}
\item Pour que la feuille soit carrée, il faut et il suffit que $x = y$, donc il faut et il suffit que $x = \frac{3x+144}{x-2}$.

On doit donc avoir $x^2 - 2x = 3x + 144$, donc $x^2 - 5x-144 = 0$, ce qui est l'équation proposée.
\item Pour cette équation du second degré, $\Delta = 25 + 4 \times  144 = 601$.\\
Donc il existe a priori deux valeurs de $x$ telles que la feuille soit carrée : $x'=\frac{5-\sqrt{601}}{2}$ et $x''=\frac{5+\sqrt{601}}{2}$.\\
Cependant seule $x"$ est acceptable puisque c'est la seule solution positive de l'équation appartenant à l'intervalle $[5~;22]$.\\
Donc la seule valeur de $x$ pour laquelle la feuille est carrée est $\frac{5+\sqrt{601}}{2}$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
g(x) & = xy\\
&  = x\left(3 + \frac{150}{x-2}\right)\\
& =x\left(\frac{3(x-2)+150}{x-2}\right)\\
& = \frac{3x^2+144x}{x-2}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
g'(x) & = \frac{(6x+144)(x-2)-(3x^2+144x)}{(x-2)^2}\\
& = \frac{6x^2-12x+144x-288-3x^2-144x}{(x-2)^2}\\
& = \frac{3x^2-12x-288}{(x-2)^2}.
\end{aligned}$

$g'(x)$ s'annule si $3x^2-12x-288=0$.\\
$\Delta=\numprint{3600}$. Le trinôme admet donc deux racines : \[ x'=\frac{12-60}{6}=-8 \text{ et } x''=\frac{12+60}{6}=12.\]
Le trinôme est du signe de $a$, donc positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur des racines.
Le dénominateur est toujours positif.
\[ g(5) = 265 \quad;\quad g(12) = 216\quad ;\quad g(22) = 231. \]
On obtient donc le tableau de variation suivant :

\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & 5 & & 12 & & 22\\
\hline
g'(x) &  & - & 0 & + & \\
\hline
 & 265 &  &  & & 231\\
g(x) &  & \searrow &                 & \nearrow  & \\
     &           & &  216        & &          \\
\hline
\end{array}
\]

\begin{methode}
On ne développe jamais le dénominateur d'une fonction dérivée car son écriture sous la forme d'un carré nous permet d'affirmer qu'il est positif.
\end{methode}
\item D'après le tableau de variation, l'aire est minimale pour $x = 12$, et elle est alors égale à $216~\text{cm}^2$.\\
\end{questions}

\item L'aire est supérieure ou égale à 224 si et seulement si :
\begin{align*}
\frac{3x^2+144x}{x-2}\geqslant 224 & \Leftrightarrow 3x^2+144x \geqslant 224(x-2)\\
& \Leftrightarrow 3x^2-80x+448 \geqslant 0.
\end{align*}

$\Delta=\numprint{1024}$. Les racines du trinôme sont donc : $x'=\frac{80-32}{6}=8$ et $x''=\frac{80+32}{6}=\frac{56}{3}$. Le trinôme est du signe de $a$ (donc positif) à l'extérieur des racines.\\
$x$ étant un nombre de l'intervalle $[5~;22]$, l'aire de $MNPQ$ est donc supérieure ou égale à 224 si $x$ est supérieur ou égal à $\frac{56}{3}$, ou si $x$ est inférieur au égal à 8.\\
L'ensemble solution est donc $[5~;8]\cup\left[\frac{56}{3}~;22\right]$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Optimisation et parabole}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-Fossés}{2}{25}
À l'intérieur de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = x^2$ et sous la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 5$, on veut inscrire, comme sur la figure ci-dessous, un rectangle dont l'aire soit la plus grande possible. $M$ et $P$ appartiennent à la parabole $\mathcal{P}$ et $N$ et $Q$ appartiennent à la droite $\mathcal{D}$.
\begin{center}
\includegraphics{071_2_fig_6}
\end{center}
\begin{questions}
\item Soit $x$ l'abscisse du point $M$ de la parabole situé sur l'arc $\arc{OA}$. \\\enlargethispage*{2em}
Exprimer l'aire du rectangle $MPNQ$ en fonction de $x$.
\item Soit la fonction $f$ qui à $x$ associe l'aire du rectangle $MPNQ$.
\begin{questions}
\item  Quel est son ensemble de définition ?
\item \'Etudier les variations de $f$ sur son ensemble de définition.
\end{questions}
\item Donner la valeur exacte des coordonnées du point $M$ qui correspond à l'aire maximale et donner la valeur exacte de cette aire maximale.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'abscisse de $M$ est $x$ donc son ordonnée est $x^2$.\\ L'abscisse de $Q$ est donc la même que celle de $M$, et son ordonnée est 5.\\
Par symétrie, l'abscisse de $P$ est $-x$, son ordonnée est $x^2$, et l'abscisse de $N$ est $-x$, et son ordonnée 5.\\
On a donc $PM = x-(-x) = 2x$ et $MQ = 5-x^2$.\\
L'aire du rectangle  $MPNQ$ est donc $2x(5-x^2) = 10x-2x^3$.
\item $f(x)=10x-2x^3$.
\begin{questions}
\item $x$ est positif et est au plus égal à l'abscisse de $A$ (qui est l'antécédent de 5 par la fonction carré).\\
Donc ${\cal D}_f =\left[0~;\sqrt{5}\right]$.

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = 10-6x^2 \\
& = -2(3x^2 - 5)\\
& = -2\left(\sqrt{3}x-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}x+\sqrt{5}\right).
\end{aligned}$

Le trinôme est du signe du coefficient de $x^2$ (donc négatif) à l'extérieur de ses racines $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ et $\sqrt{\frac{5}{3}}$.\\
De plus,
\begin{itemize}
\item $f(0) = 0$ ;
\item $f\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)=2\sqrt{\frac{5}{3}}\left(5-\frac{5}{3}\right)=\frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}$ ;
\item $f\left(\sqrt{5}\right)=0$.
\end{itemize}

On obtient donc le tableau de variation suivant :

\begin{center}
\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & 0 & & \sqrt{\frac{5}{3}}\strut & & \sqrt{5}\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
 &  &  & \frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}\strut & &  \\
f(x) &  & \nearrow &                 & \searrow  & \\
    &  0         & &         & &   0       \\
\hline
\end{array}
\]
\end{center}
\end{questions}

\item D'après le tableau de variation ci-dessus, le point $M$ correspondant à l'aire maximale a pour abscisse $\sqrt{\frac{5}{3}}$, donc son ordonnée est $\frac{5}{3}$.\\
La valeur exacte de l'aire maximale est, toujours d'après le tableau de variation : $\frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Optimisation dans l'espace}{Lycée international Victor Hugo, Colomiers}{3}{25}
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête 6 cm.\\
$M$ est un point de $[AB]$ et $I$ un point de $[AE]$ tels que $AM = EI = x$.\\
On construit à l'intérieur du cube le parallélépipède rectangle $AMNPIJKL$ tel que $AMNP$ soit un carré.
\begin{questions}
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume du parallélépipède rectangle $AMNPIJKL$ est maximale, et donner ce volume.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Voici la figure correspondant à l'énoncé :
\begin{center}
\includegraphics{097_2_fig_7}
\end{center}

\begin{questions}
\item $x$ est une longueur donc $x\geqslant 0$. Par ailleurs, le côté du cube étant 6, $x\leqslant 6$ .\\
Donc $0 \leqslant x\leqslant 6$.

\item \begin{methode}
Aucune indication n'est donnée pour traiter cette question, et c'est volontaire. Le mot \emph{maximale} doit faire penser à \emph{optimisation}, et cela doit faire penser à sens de variation.
\end{methode}

On va donc chercher à exprimer en fonction de $x$ le volume du parallélépipède rectangle $AMNIJKL$, et on étudiera les variations de cette fonction.\\
La base de ce parallélépipède a pour aire $x^2$, et la hauteur est $6-x$, donc son volume est $V(x) = x^2(6-x) = -x^3 + 6x^2$.\\
$V'(x) = -3x^2 + 12x = -3x(x-4)$.\\
$V'(x)$ est un trinôme du second degré dont on connaît les racines (0 et 4), donc on connaît son signe.\
$V(0) = 0$ ; $V(4) = 32$ ; $V(6) = 0$.\\
On obtient donc le tableau de variation suivant pour la fonction $V(x)$ :

\begin{center}
\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & 0 & & 4 & & 6\\
\hline
V'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
 & & &32  & & \\
V(x) &  & \nearrow &                 & \searrow  & \\
    &  0         & &         & &     0     \\
\hline
\end{array}
\]
\end{center}

D'après ce tableau de variation, la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal est 4, et le volume maximal est 32 (le tout exprimé en cm et cm$^3$).
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Recherche des extrema d'une aire}{Lycée Montesquieu, Herblay}{3}{45}
On découpe une ficelle de longueur $l$ en deux morceaux ; avec l'un d'eux, on forme un triangle équilatéral, et avec l'autre, un carré. 
\par
Comment couper la ficelle pour que la somme des aires obtenues soit \linebreak minimale ? maximale ?
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{5em}
Soit $\ell$ la longueur de la ficelle, $x$ celle du côté du  carré et $y$ celle du côté du triangle équilatéral.
\par
On a les conditions : $x \geq 0$ , $y \geq 0$ et, comme $\ell = 4x + 3y$,  $\frac{\ell}{4} \geq x$.\\
La somme des aires du carré et du triangle est :
\[
S(x) = x^2 + \frac{1}{2}y \left( \frac{y \sqrt{3}}{2} \right)=x^2+\frac{y^2\sqrt{3}}{4}.\]
En effet, on démontre facilement par le théorème de Pythagore ou la trigonométrie que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $y$ mesure $\frac{y\sqrt{3}}{2}$.
\Par
Or $y = \frac{\ell-4x}{3}$, donc : $\begin{aligned}[t]
S(x) &= x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} \left[\frac{\ell - 4x}{3}\right]^2
\\
& = x^2 \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2x\ell \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{ \ell^2 \sqrt{3}}{36}.
\end{aligned}$
\newpage

Étudions alors les variations de la fonction $S$ définie sur $\left[ 0~;\dfrac{\ell}{4} \right] $ par :
\[
S(x) =  x^2 \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2x\ell \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{ \ell^2 \sqrt{3}}{36}.
\]
$S$ est dérivable sur $\left[ 0~;\dfrac{\ell}{4} \right] $ en tant que fonction polynôme.
Pour tout $x$ de $\left[ 0~; \dfrac{\ell}{4} \right] $, on a : $
S'(x) = 2x \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2\ell \frac{\sqrt{3}}{9}$.

$S'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x \big(9 + 4\sqrt{3}\big)=2\ell\sqrt{3}  \Leftrightarrow x = \dfrac{\ell\sqrt3}{9+4\sqrt{3}}\textcolor{DR}{\times\frac{\sqrt3}{\sqrt3}}=\frac{\ell}{3\sqrt3+4}$.
\par
On vérifie que $\dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}$ est dans l'intervalle $ \left[ 0~;\dfrac{\ell}{4} \right] $.
\Par
$S '(x) \geq 0$ équivaut à :
\[
2x \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2\ell \frac{\sqrt{3}}{9} \geq 0,\text{ soit : }x \geq \dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}.
\]
La fonction $S$ est donc décroissante sur $\left[0~;\dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}\right]$ et croissante sur\linebreak $\left[ \dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}~; \dfrac{\ell}{4} \right]$.
\par
On en déduit que la fonction $S$ admet un minimum en $\dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}$.
\par
La somme des aires du carré et du triangle est minimale lorsque $x = \dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}$.
\Par
Pour savoir pour quelle valeur de $x$  la somme des aires est maximale, il faut comparer les 
valeurs de $S(0)$ et de $S \left( \dfrac{\ell}{4}\right)$.
\par
On a :
\[
S(0) = \frac{\ell^2}{12 \sqrt{3}} \qquad \text{et} \qquad 
S \left(\frac{\ell}{4} \right) =\frac{\ell^2}{16}.
\]
Or $16 < 12\sqrt{3}$  donc :
\[S \left(\frac{\ell}{4} \right)  > S(0). \]

On en déduit que la somme des aires est maximale lorsque $x = \dfrac{\ell}{4}$, c'est-à-dire lorsque l'on garde toute la ficelle pour faire le carré.
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Un problème de minimisation d'aire}{Lycée Riquet, Saint-Orens}{3}{45}
\begin{questions}
\item Déterminer suivant les valeurs de $x$, le signe de $x^3 - 216$.\\
On pourra remarquer que $216 = 6^3$.
\item Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné  sous la forme d'un petit parallélépipède rectangle dont le volume est  égal à $576~\text{mm}^3$.
\par
On note $y$ la hauteur ; ses autres dimensions sont $x$ et $2x$ ( $x$ et $y$ sont en mm).
\begin{questions}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-55mm}
\item Calculer $y$ en fonction de $x$.
\item Démontrer que la surface totale, en mm$^2$, de ce solide est donnée par la fonction $S$ définie pour $x \not= 0$ par :
\[
S(x) = 4 \left( x^2 + \frac{432}{x} \right).
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{50mm}
\includegraphics{072_2_fig_13}
\end{minipage}
\item Les conditions d'emballage imposent que $x$ soit compris entre 3 et 12 mm. \'Etudier le sens de variation de $S$ sur l'intervalle $[3~;12]$ et en déduire les dimensions du parallélépipède rectangle pour que la surface totale soit minimale.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f\;:\;x\mapsto x^3$ est croissante sur $\R$. \\
Donc pour tout $x > 6$, $x^3 > 6^3$ soit $x^3 > 216$. 
On en déduit alors que $x^3 -216 > 0$ pour $x>6$.
\par
Pour tout $x < 6$, $x^3 < 6^3$ soit $x^3 < 216$. On en déduit alors que\linebreak $x^3 -216 < 0$.

\begin{center}\morestretch
        \begin{tabular}{|C|ccccc|}
                \hline\tabulartitle
                $x$ & $-\infty$ && $6$ && $+\infty$  \\
                \hline
                 &  &  && $\nearrow$&   \\
                $f(x)=x^3$ &&& $6^3=216$ &&  \\
                 && $\nearrow$ && &   \\
                \hline
                $x^3-216$ && $-$ &$0$& $+$& \\\hline
        \end{tabular}
\end{center}

\item
\begin{questions}
\item Le volume du parallélépipède est $x \times 2x \times y$. \\
On a donc $2x^2y = 576$. On en déduit que $y = \dfrac{288}{x^2}$.
\item La surface totale de ce solide est $S(x) = 2xy + 2y (2x) + 2 (2x) x$  soit $S(x) = 6xy + 4x^2$.\\
On remplace alors $y$ par la valeur trouvée à la question précédente.
\[
S(x) = 4x^2 + 6x \left( \frac{288}{x^2} \right) = 4 \left(x^2 + \frac{432}{x} \right).
\]
\item La fonction $S$ est une fonction rationnelle donc elle est 
dérivable sur $[3~;12]$.
\par
Pour tout $x$ de $[3~;12]$ :
\[
S'(x) = 4 \left(  2x - \frac{432}{x^2} \right).
\]
Soit après réduction au même dénominateur et factorisation :
\[
S'(x) = 8 \left( \frac{x ^3 - 216}{x^2} \right).
\]
Sur l'intervalle $[3~;12]$, $\dfrac{8}{x^2}$ est strictement positif donc $S'(x)$ est du signe de $x^3- 216$, qui a été étudié dans la question 1.
\par
Il en résulte que $S'(x) > 0$ sur $\left]6~;12\right]$, donc $S$ est strictement\linebreak croissante sur $\left]6~;12 \right]$ et
$S'(x) <  0$ sur $\left[3~;6 \right[$. Ainsi, $S$ est strictement décroissante sur $\left[3~;6 \right[$.
\par
$S$ admet donc un minimum en $x = 6$.
\par
On en déduit que les dimensions du parallélépipède pour que la 
surface totale soit minimale sont  6 mm, 12 mm et $\dfrac{288}{36}$ 
soit 8 mm.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
