\chapter{Suites numériques} 

\begin{exointro}{Lycée Alexandre Dumas, Saint-Cloud}
On considère une suite géométrique décroissante dont on sait que les deux termes $u_0$ et $u_3$ sont tels que $u_0u_3=32$ et $u_0+u_3=18$.
\begin{questions}
  \item  Calculer ces deux réels.
  \item  Quelle est la raison de la suite ?
  \item On pose $v_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$.
    \begin{questions}
      \item Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante. 
      \item Calculer $v_{n}$ en fonction de $n$ et montrer que la
        suite $(v_n)$ est majorée par 32. 
      \item \'Ecrire un algorithme qui permet de calculer les termes de la suite $(v_n)$, ainsi que le rang $N$ tel que, pour tout $n\geqslant N$, $v_n\geqslant 31,999$.
        
      \item Que peut-on conjecturer quant au comportement de la suite $(v_n)$ quand $n$ prend des valeurs de plus en plus grandes ?
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{exointro}
\enlargethispage*{3em}

\Par

%\nathanLive{Retrouvez une présentation en vidéo des suites numériques avec}
%\label{video:ch3crs}

\section{Généralités sur les suites numériques}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
On appelle \emph{suite numérique} toute succession de nombres engendrés par une relation bien déterminée. Cela peut être une fonction ou une relation entre un nombre et son (ou ses) suivant(s).
\end{defin}

\textit{Notation :} les nombres qui composent la suite sont désignés par une lettre indicée, comme par exemple $u_n$, $n$ étant un entier naturel, ou comme une image de\linebreak fonction, par exemple $u(n)$ (notation moins utilisée). La suite sera alors désignée par $(u_n)$ ou $\big(u(n)\big)$. La succession de nombres est donc : $u_0$, $u_1$, $u_2$,...

\begin{Remarque}
on peut aussi commencer l'indice par un autre entier que 0. Par exemple: $u_1$, $u_2$, $u_3$,...
\end{Remarque}

\begin{defins}
\begin{itemize}
\item On appelle \textit{termes} les nombres qui composent la suite numérique.

\item On appelle \textit{indice du terme $u_n$} le nombre $n$.

\item On appelle \textit{rang du terme $u_n$} sa position dans la suite.
\end{itemize}
\end{defins}

\begin{Exemple}
si $u_0=7$ alors :
\begin{itemize}
\item \og 7 \fg{} est un terme de la suite $(u_n)$,
\item \og 0 \fg{} est l'indice,
\item le rang de 7 est 1 (car c'est le 1\ier{} terme de la suite).
\end{itemize}
\end{Exemple}

\subsection{Modes de définition d'une suite}

On peut définir une suite:
\begin{itemize}
\item de \textit{façon explicite} à l'aide d'une fonction; 
\item de \textit{façon récurrente} en définissant un terme de la suite à l'aide de son précédent.
\end{itemize}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item Si $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ de façon explicite par\linebreak $u_n=n^2-3$ alors:
\[
\begin{cases}
u_0=0^2-3=-3\\
u_1=1^2-3=-2\\
u_2=2^2-3=1\\
u_3=3^2-3=6\\
\vdots
\end{cases}
\]

\item Si $(v_n)$ est la suite définie par son premier terme $v_0=5$ et par la relation de récurrence $v_{n+1}=3v_n-5$, cela signifie que pour calculer un terme, il faut multiplier son précédent par 3, puis soustraire 5. On a donc :
\[
\begin{cases}
v_0=5\\
v_1=3\times5-5=10\\
v_2=3\times10-5=25\\
v_3=3\times25-5=70\\
\vdots
\end{cases}
\]
\end{itemize}
\end{Exemples}


\subsection{Suites monotones}

On dit que la suite $(u_n)$ est :
 \begin{itemize}
        \item  constante si et seulement si pour tout $n$, on a $u_{n+1}=u_{n}$ ;
 
        \item  croissante si et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1} \geq u_{n}$ ;
 
        \item  strictement croissante si et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1} > u_{n}$ ;
 
        \item  décroissante si et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1} \leq u_{n}$ ;
 
        \item  strictement décroissante si et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1} < u_{n}$.
 \end{itemize}
 
Dans la pratique, pour étudier le sens de variation d'une suite, on utilise principalement l'une des trois méthodes suivantes :

\subsubsection{Sens de variation de la fonction}

Si la suite $(u_n)$ est de la forme $u_n =f(n)$ alors elle a le même sens de variation que la fonction $f$ sur $ \left[ 0~; +\infty \right[$.

\begin{Exemple} soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : 
\[ u_n=n^2\;. \]
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$ est croissante sur $\left[ 0, +\infty \right[ $ ;\\ la suite $u$ est donc croissante. 
\end{Exemple}
        
\subsubsection{Différence de deux termes consécutifs}

C'est la méthode générale : on étudie le signe de $u_{n+1}-u_{n}$.
\begin{itemize}
\item  si, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n} \leqslant 0$ alors la suite $u$ est décroissante;
\item  si, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n} \geqslant 0$ alors la suite $u$ est croissante.
\end{itemize}

\begin{Exemple}
soit la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation de récurrence $u_{n+}=u_n+7$. Pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
u_{n+1}-u_n=(u_n+7)-u_n=7>0
\]
donc $(u_n)$ est strictement croissante.
\end{Exemple}

\subsubsection{Quotient de deux termes consécutifs} 

Cette méthode n'est à utiliser que si tous les termes sont strictement positifs. Dans ce cas,
\begin{itemize}
\item  si, pour tout $n$, $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leqslant 1$
alors la suite est décroissante;
\item  si, pour tout $n$, $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \geqslant 1$
alors la suite est croissante.
\end{itemize}


\begin{Exemple} soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
 \[u_{n} = \frac{3^n}{2^{n+1}}\;.\]
Cette suite est bien à termes strictement positifs car pour tout
$n\in\mathbb{N}$, $3^n>0$ et $2^{n+1}>0$.

De plus, 
\[
u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{2^{n+2}}
\]
donc :
\[
\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = u_{n+1}\times\frac{1}{u_n}= \frac{3^{n+1}}{2^{n+2}}\times\frac{2^{n+1}}{3^n}=\frac{3^{n+1}}{3^n}\times\frac{2^{n+1}}{2^{n+2}}=3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1
\]
donc la suite est croissante.
\end{Exemple}
 
\subsection{Suites majorées, suites minorées}
 
On dit que la suite $(u_n)$ est :
\begin{itemize}
\item  majorée par le réel $A$ si, pour tout $n \in \N$, on a : $u_n \leqslant A$;
\item  minorée par le réel $a$ si, pour tout $n \in \N$, on a : $u_n \geqslant a$;
\item  bornée par les réels $a$ et $A$ si, pour tout $n \in \N$, on a : $a \leqslant u_n \leqslant A$.
\end{itemize}

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.
\begin{itemize}
\item $(u_n)$ est minorée par 0 car pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$;
\item $(u_n)$ est majorée par 1 car pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant1$;
\item $(u_n)$ est bornée car elle est minorée et majorée.
\end{itemize}
\end{Exemple}

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\section{Suites arithmétiques} 

\subsection{Définition}

\begin{defin}
On dit que la suite $(u_n)$ est \textit{arithmétique} s'il existe un réel $r$  tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_{n}+r$.\\
$r$ est appelé la \textit{raison} de la suite arithmétique.
\end{defin}

\begin{Exemple}
la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+5$ est arithmétique de raison 5.
\end{Exemple}

\newpage

\subsection{Formule explicite du terme général}

\begin{thm}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. 

Alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$,
\[ 
u_n=u_p+(n-p)r.
\]
En particulier, si $p=0$, 
\[
u_n=u_0+nr.
\]
\end{thm}

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ la suite arithmétique définie pour $n\in\N$ telle que $u_5=10$ et $r=3$. Alors, pour tout $n\in\N$,
\[
u_n=u_5+(n-5)r=10+(n-5)\times3=3n-5.
\]
\end{Exemple}

\subsection{Sens de variation}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante. 
\item Si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
\item Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item La suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n+7$ est strictement croissante car sa raison ($r=7$) est strictement positive.
\item La suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n-4$ est strictement décroissante car sa raison ($r=-4$) est strictement négative.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsection{Somme des premiers termes} % VIDEO : histoire de Gauss

\begin{prop}[somme des premiers entiers]
Pour tout entier naturel $n$,
\[
1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}.
\]
\end{prop}

\begin{Remarque}
cette propriété s'écrit aussi $\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
\end{Remarque}
Cette égalité est à connaître par c\oe ur.

\begin{prop}[somme des premiers termes]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Alors,
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}.
\]
\end{prop}
\begin{Remarque}
on peut aussi retenir cette formule ainsi:
\[
(\text{nombre de termes dans la somme})\times(\text{moyenne des termes extrêmes}).
\]
\end{Remarque}

\section{Suites géométriques} % VIDEO générale graphique

\subsection{Définition}

\begin{defin}
On dit que la suite $(u_n)$ est \textit{géométrique} s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n+1} = q u_n\,.
\]
$q$ est alors appelé la \textit{raison} de la suite géométrique.
\end{defin}

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0=7$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n$.

Alors, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
\end{Exemple}

\subsection{Formule explicite du terme général}

\begin{thm}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. 

Alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$,
\[
u_n=u_p \times q^{n-p}.
\]
En particulier, si $p=0$,
\[
u_n= u_0 \times q^n.
\]
\end{thm}

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=7$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$. Alors, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n=7 \times\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{7}{3^n}.
\]
\end{Exemple} 

\subsection{Somme des premiers termes} % VIDEO démo.

\begin{prop}
Soit $q\neq1$. Alors,  pour tout entier naturel $n$,
\[ 1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
\end{prop}

\begin{prop}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q\neq1$. Alors, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
\end{prop}

%\enlargethispage*{2em}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item On connaît la somme et le produit de $u_0$ et $u_3$. On peut donc dire que ces nombres sont solutions de l'équation:
\[
x^2-18x+32=0,\quad\text{avec }\Delta=(-18)^2-4\times32=196.
\]
On trouve alors :
\[
x_1= \dfrac{-18-\sqrt{196}}{2\times(-1)}=16 \quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-18+\sqrt{196}}{2\times(-1)}=2.
\]
La suite étant décroissante, $u_0>u_3$ donc $u_0=16$ et $u_3=2$.
 
\item On sait que $(u_n)$ est géométrique donc $u_3=q^2u_1$, où $q$ est la raison.
     
Ainsi, $2=16q^2$, soit $q^2=\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{4}$.

On obtient alors $q=\dfrac{1}{2}$ ou $q=-\dfrac{1}{2}$. 

Or, la suite est décroissante donc sa raison ne peut pas être négative (car la suite ne serait pas monotone).
     
Par conséquent, la raison de la suite est $q=\dfrac{1}{2}$.

\item 
     \begin{questions}
     \item La suite $(u_n)$ est géométrique, de premier terme positif et de raison positive donc pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.\\     
     De plus, pour tout entier naturel $n$,
     \begin{align*}
     v_{n+1}-v_n & =\big(u_0+u_1+\cdots+u_n+u_{n+1}\big)-\big(u_0+u_1+\cdots+u_n\big)\\
     & = u_{n+1} >0.
     \end{align*}
     Ainsi, $(v_n)$ est croissante.
     \vspace*{-1.5em}
     \Break
     \item $(v_n)$ représente la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $(u_n)$, qui est géométrique de premier terme $u_0=16$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$, donc :
     \[ 
     v_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=16\times\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=32\left[1-\frac{1}{2^{n+1}}\right].
     \]
     Pour tout entier naturel $n$, $2^{n+1}>1$ donc $0<\dfrac{1}{2^{n+1}}<1$. 
     
     Ainsi, $0<1-\dfrac{1}{2^{n+1}}<1$, et donc $0<v_n<32$.
     
     La suite $(v_n)$ est donc majorée par 32.

\item Un algorithme possible est :

\begin{algorithme}{}
Initialisation
\quad	N $\leftarrow$ 0
\quad	V $\leftarrow$ 16 (correspond à $v_0$)
Traitement
\quad	Tant que V$<$31.999
\qquad		N $\leftarrow$ N+1
\qquad		V $\leftarrow$ 32*(1-0.5\verb+^+(N+1))
\qquad		Afficher V
\quad	Fin du Tant que
Sortie
\quad	Afficher N
\end{algorithme}
     \Par
     \item L'algorithme de la question précédente affiche $N=14$, ce qui signifie que le 15\ieme{} terme de la suite $(v_n)$ est assez proche de 32. En regardant les termes suivants, on s'aperçoit qu'ils se rapprochent de plus en plus de 32 sans jamais l'atteindre. De plus, nous avons montré que $v_n<32$ pour tout entier naturel $n$ et que la suite était croissante.
     
On peut donc conjecturer que les termes de la suite $(v_n)$  se rapprochent de plus en plus  de 32 quand $n$ prend des valeurs de plus en plus grandes.
     \end{questions}
     \end{questions}
\end{solintro}
