\chapter{Fonction exponentielle} 

\begin{exointro}{Lycée Guynemer, Compiègne}
\begin{questions}
\item Montrer que pour tout réel $x$ on a :
\[
\dfrac{\nep^x-1}{\nep^x+1}=\dfrac{1-\nep^{-x}}{1+\nep^{-x}}=1-\dfrac{2}{\nep^x+1}.
\]
\nathanLive{Retrouvez le corrigé de cette question en vidéo avec}\label{video:ch4exotype}
\item Résoudre l'équation : 
\[
\nep^{3x^2}\nep^{-6x}=\left(\nep^{2-x}\right)^2.
\]
\item Résoudre l'inéquation : 
\[
\nep^{3x+2}>-2.
\]
\end{questions}
\end{exointro}

\Par

\nathanLive{Retrouvez ce cours en vidéo avec}
\label{video:ch4crs}

\section{Définition et propriétés algébriques}

\subsection{Définition}

\begin{thm} 
Il existe une unique fonction  $f$ définie et dérivable sur $\R$,  telle que $f(0)=1$\linebreak et, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$. 
\end{thm}

\begin{defin}
On appelle \textit{fonction exponentielle} la fonction  notée $\exp$ telle que:
\[
\exp'(x)=\exp(x) \quad\text{et}\quad \exp(0)=1.
\]
\end{defin}


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\subsection{Propriétés algébriques}

\begin{prop}\label{prop-alg-exp}
Pour tous réels $x$ et $y$,
\[
\exp(x+y)=\exp(x) \times \exp(y)\quad\text{ et }\quad\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}.
\]
\end{prop}

\textit{Conséquence} : en prenant $y=-x$, la première égalité donne:
\[
\exp(x) \times \exp(-x)=1\quad\text{soit}\quad \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}.
\]

\subsection{Notation \boldmath $\nep^x$}

Les égalités de la propriété \ref{prop-alg-exp} sont identiques à celles vues au collège sur les\linebreak puissances. C'est l'une des raisons pour lesquelles nous allons désormais convenir de la notation suivante:
\[
\forall x\in\R,\quad \exp(x)=\nep^x.
\]
Ainsi, les égalités précédentes s'écrivent:
\[
\nep^{x+y}=\nep^x\times\nep^y\qquad,\qquad \nep^{x-y}=\dfrac{\nep^{x}}{\nep^{y}}\quad\text{et}\quad
\nep^{-x}=\dfrac{1}{\nep^x}.
\]
De plus,
\[
\nep^0 = 1\quad\text{et}\qquad \forall x\in\R,\quad \big(\nep^x\big)^\prime = \nep^x.
\]

\subsection{Une suite géométrique}

\begin{prop}
Pour tout réel $a$, $\big(\nep^{na}\big)$ est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\nep^a$.
\end{prop}

On en déduit alors la propriété suivante:
\begin{prop}
Pour tout réel $a$ et pour tout entier naturel $n$,
\[
\nep^{na} = \big(\nep^{a}\big)^n.
\]
\end{prop}

\subsection{Le nombre \boldmath$\nep$}

\begin{defin}[nombre d'Euler, ou constante de Neper]
On note :
\[ \nep = \nep^1. \]
On a l'approximation :
\[
\nep \approx2,718.
\]
\end{defin}

\begin{Remarque}
il existe plusieurs fonctions exponentielles. Celle que nous étudions dans ce chapitre est appelée la \textit{fonction exponentielle de base $\nep$}.
\end{Remarque}


\section{\'Etude de la fonction exponentielle}

\subsection{Signe et sens de variation}

\begin{props}
Pour tout réel $x$, $\nep^x > 0$.

La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur \R.
\end{props}

\begin{Remarque}
de la propriété $\nep^x >0$, on déduit que $x\mapsto\nep^x$ est strictement\linebreak croissante sur $\R$ car $\big(\nep^x\big)^\prime=\nep^x>0$ pour tout réel $x$.
\end{Remarque}

La représentation de cette fonction est:


\begin{center}
\includegraphics{153_4_fig_1}
\end{center}

\subsection{Conséquences} 

\begin{props}
Pour tous réels $x$ et $y$,
\begin{itemize}
\item $\nep^x = \nep^y \iff x = y$;
\item $\nep^x > \nep^y \iff x > y$;
\item $\nep^x < \nep^y \iff x < y$.
\end{itemize}
\end{props}

\subsection{Dérivée de \boldmath$x\mapsto\nep^{ax+b}$}

\begin{prop}
Pour tous réels $a$ et $b$,
\[
\big(\nep^{ax+b}\big)^\prime = a\nep^{ax+b}.
\]
\end{prop}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item \nathanLive{Retrouvez le corrigé de cette question en vidéo avec}\label{video:ch4exotypecor}

On a : $\dfrac{\nep^x-1}{\nep^x+1}  = \dfrac{\nep^x\left(1-\frac{1}{\nep^x}\right)}{\nep^x\left(1+\frac{1}{\nep^x}\right)} = \dfrac{1-\nep^{-x}}{1+\nep^{-x}}$, 
\Par
et aussi : $\dfrac{\nep^x-1}{\nep^x+1} = \dfrac{\nep^x+1-2}{\nep^x+1}= 1-\dfrac{2}{\nep^x+1}$.


\item $\nep^{3x^2}\nep^{-6x}=\left(\nep^{2-x}\right)^2 \Leftrightarrow \nep^{3x^2-6x}=\nep^{2(2-x)}$.

Or, $\nep^x=\nep^y\Leftrightarrow x=y$ donc:
\[ 3x^2-6x=4-2x\;,\]
c'est-à-dire :
\[ 3x^2-4x-4=0.\]
Cette équation du second degré de discriminant $\Delta=64$ admet deux\linebreak solutions : $-\dfrac{2}{3}$ et 2, qui sont donc aussi les solutions de l'équation\linebreak initiale.

\item $\nep^{3x+2}>-2$. 

Cette inégalité est toujours vérifiée car pour tout réel $a$, $\nep^a>0$.

Par conséquent, l'ensemble des solutions est $\R$.
\end{questions}
\end{solintro}
