\thumb

%%% ex 1

\begin{qcm}{Calculs trigonométriques}{10}
Pour chaque question, trouver la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Si $\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$, alors $\cos (\pi - \alpha)$ est égal à :\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\dfrac{1}{2}$ & \choix{} $-\dfrac{1}{2}$ & \choix{} $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 
\end{tabularx}

\item Si $\alpha \in \left[ 0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$  et si $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$ alors $\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) $ vaut : \resetchoix\par \hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\dfrac{1}{2}$ & \choix{} $-\dfrac{1}{2}$ & \choix{} $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 
\end{tabularx}

\item Si $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}~;0\right]$  et si $\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$ alors $\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) $ vaut : \resetchoix\par \hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\dfrac{1}{2}$ & \choix{} $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & \choix{} $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 
\end{tabularx}

\item Si $\sin  \alpha = \dfrac{1}{2}$ alors $\sin (\alpha +\pi )$ est égal à :\resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\dfrac{1}{2}$ & \choix{} $-\dfrac{1}{2}$ & \choix{} $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 
\end{tabularx}

\item Si $\alpha \in \left[\dfrac{\pi}{2}~;\pi\right]$  et si $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$ alors $\cos \alpha$ est égal à: \resetchoix\par \hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\dfrac{1}{2}$ & \choix{} $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & \choix{} $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. On a  $\cos (\pi - \alpha)=-\cos \alpha = - \dfrac{1}{2}$.

\item Réponse \choix[c]. On a $\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos \alpha$. Comme $\alpha \in \left[ 0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos \alpha$ est positif et $\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

\item Réponse \choix[a]. On a  $\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos \alpha =\dfrac{1}{2}$.

\item  Réponse \choix[b]. On a $\sin (\pi + \alpha)=-\sin\alpha = -\dfrac{1}{2}$.

\item Réponse \choix[c]. Si $\alpha \in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$, alors $\cos \alpha \leq 0$.\\
Donc $\cos \alpha = -\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% ex 2

\begin{qcm}{Relations entre sin et cos}{15}
Pour chaque question, donner la bonne réponse.\\
Soit $x$ un réel de l'intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

\begin{questions}
\item $\cos^2 \frac{x}{3} + \sin^2 \frac{x}{3} = $\Par
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
        \choix{} $\frac{1}{3}$ &
        \choix{} $\frac{1}{9}$ &
        \choix{} $1$
\end{tabularx}

\item On sait que $\sin x =\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$. Alors, $\cos x$ est égal à :\par \resetchoix
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$&\choix{} $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$\\[15pt]
\choix{} $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$&\choix{}$\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
\end{tabularx}

\newpage
\item On sait que le réel $x$ de la question précédente prend une des valeurs suivantes. Laquelle?\resetchoix\par 
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $\dfrac{\pi}{12}$& \choix{} $\dfrac{5\pi}{12}$\\[15pt]
\choix{} $-\dfrac{\pi}{12}$&\choix{} $-\dfrac{5\pi}{12}$
\end{tabularx}

\item Pour tout $x$ de $]0~;\pi[$, on a :\resetchoix\par 
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}$&
\choix{} $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1-\cos x}$\\[15pt]
\choix{} $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$&
\choix{} $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{\cos x -1}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. C'est le cours !
\item Réponse \choix[b]. Comme $x$ appartient à  $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on sait que $\cos x \geq 0$, ce qui élimine les réponses \choix[c] et \choix[d]. D'autre part, dans cet intervalle, $\cos x = -\sin x$ uniquement pour  $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, ce qui n'est pas le cas ici. Donc la réponse \choix[a] ne convient pas non plus. Il ne reste donc plus que la réponse \choix[b].
\item Réponse \choix[c]. Le sinus est négatif, le cosinus positif, donc $x$ appartient à  $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;0\right]$. D'autre part, le cosinus est supérieur à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{4}$ et 0. On trouve donc que $x=-\dfrac{\pi}{12}$.
\item Réponse \choix[c]. En calculant les produits en croix, on obtient en effet pour la réponse \choix[c] l'égalité $1-\cos^2x=\sin^2x$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex 3

\begin{qcm}{Équations trigonométriques}{15}
Choisir parmi les propositions a, b, c celle qui est correcte.

\begin{questions}
\item L'équation $\cos x = -1$ a comme solutions :\par\resetchoix
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
        \choix{} $x = k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ &
        \choix{} $x = \pi + 2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ \\[6pt]
        \choix{} $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$
      \end{tabularx}
  
\item Combien y a-t-il de réels $x$ dans $\left[\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{3\pi}{2}\right]$  vérifiant $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ? \resetchoix\par 
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXl}
\choix{} 1 & \choix{} 0 & \choix{} 2 & \choix{} une infinité 
\end{tabularx}   
 
\item L'équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet pour ensemble de solutions, avec $k$ entier relatif:\resetchoix\par 
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $\left\lbrace -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi~;\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\right\rbrace $ &
\choix{} $\left\lbrace -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi~;\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi\right\rbrace $\\[6pt]
\choix{} $\left\lbrace \dfrac{\pi}{3}+2k\pi~;\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\right\rbrace $ & 
\end{tabularx}      

\item Dans l'intervalle $[0~;2\pi]$, l'équation $\sin\left( 2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sin x$ admet:\resetchoix\par 
\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} 1 solution & \choix{} 2 solutions\\
\choix{} 3 solutions & \choix{} 4 solutions.
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour résoudre une équation trigonométrique, il est utile de tracer le cercle trigonométrique et se repérer par rapport aux valeurs données dans le cours.
\end{methode}
\begin{questions}
\begin{minipage}{5cm}
\item Réponse \choix[b].
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5.5cm}
\begin{center}
\includegraphics{203_5_fig_11}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{5cm}
\item Réponse \choix[a]. 

Il s'agit du réel $x=\dfrac{3\pi}{4}$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5.5cm}
\begin{center}
\includegraphics{203_5_fig_12}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{5cm}
\item Réponse \choix[a].
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5.5cm}
\begin{center}
\includegraphics{203_5_fig_13}
\end{center}
\end{minipage}

\item Réponse \choix[d]. Comme $-\sin x = \sin (-x)$ , l'équation équivaut à : 
\[\sin\left( 2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin(-x).\]
D'après le cours, on sait que les solutions de cette équation sont tous les réels $x$ vérifiant :
\[
\left(
\begin{array}{l}
2x+\dfrac{\pi}{4}=-x+2k\pi\\
\text{ou}\\
2x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-(-x)+2k\pi
\end{array}
\right.,\quad\text{avec }k\in \mathbb{Z}.
\]

La première équation donne $x = -\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2k\pi}{3}$, avec $k\in \mathbb{Z}$. 

Il y a donc 3 solutions dans $[0~;2\pi]$: 
\[
-\dfrac{\pi}{12}\quad,\quad-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{12}\quad\text{et}\quad-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{15\pi}{12}.
\]
La seconde équation donne :
\[
x = \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\quad k\in \Z.
\]
Il y a donc une seule solution dans $[0~;2\pi]$, et elle n'est pas confondue avec les solutions précédentes.

Il y a donc au total 4 solutions.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%% ex 4

\begin{qcm}{\fontsize{13}{11}\selectfont Propriétés des fonctions trigonométriques} {15}
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Une période de la fonction $f:x\mapsto\cos(3x)$ est :\resetchoix\par
	 
	 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	 \choix{} $\dfrac{2\pi}{3}$ & 
	 \choix{} $3\pi$ & 
	 \choix{} $\dfrac{3\pi}{2}$
	 \end{tabularx}
	
\item La fonction $k:x \mapsto \cos \left( x+ \dfrac{\pi}{4} \right)$ est : \\ \resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix paire &
	\choix impaire &
	\choix ni l'une ni l'autre
	\end{tabularx}
	
\item La fonction $g : x \mapsto \sin 3x$ est :\\ \resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix paire &
	\choix impaire &
	\choix ni l'une ni l'autre
	\end{tabularx}
	
\item Une période de la fonction $h : x \mapsto \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right)$ est : \\\resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $2\pi$ &
	\choix $\dfrac{\pi}{2}$ &
	\choix $8\pi$
	\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \label{ch5qcm3q1} Réponse \choix[a]. En effet, pour tout $x$ réel, 
\[ f\left( x+\dfrac{2\pi}{3} \right) = \cos \left[ 3\left(x+\dfrac{2\pi}{3} \right) \right] = \cos (3x+2\pi) = \cos 3x. \]


\item Réponse \choix[c]. En effet, $k(-x)=\cos\left(-x+\dfrac{\pi}{4}\right)$, donc $k(-x)\neq k(x)$ (ce qui signifie que $k$ n'est pas paire), et $k(-x)\neq-k(x)$ (ce qui signifie que $k$ n'est pas non plus impaire).

\item \label{ch5qcm3q3} Réponse \choix[b]. En effet, pour tout réel $x$, 
\[ g(-x)=\sin (3(-x)) = \sin(-3x) = -3\sin x=-g(x).\]
Donc $g$ est impaire. 

\item Réponse \choix[c]. En effet, pour tout réel $x$, 
\begin{align*}
 h(x+8\pi) &= \sin \left( \dfrac{x+8\pi +\pi}{4} \right) \\
 & = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +\dfrac{8\pi}{4} \right) \\
& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +2\pi \right) \\
& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right) \\
& = h(x).
\end{align*}


\begin{Remarque}
pour les questions \ref{ch5qcm3q1} et \ref{ch5qcm3q3}, on a trouvé une période, mais on n'a pas montré que c'était la plus petite.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex 5

\begin{qcm}{Dérivées de fonctions trigonométriques} {15}
Pour chaque question, plusieurs réponses vous sont proposées. Au moins une est juste. Donner toutes les réponses justes.
\begin{questions}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \sin \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$. 

Alors $f'(x) =$ \\[6pt]
	\choix $2 \cos \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ \\[10pt]
	\choix $\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ \\[10pt]
	\choix $2 \cos (2x)$ \\[10pt]
	\choix $\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$ 

\item La fonction tangente est définie par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. 

Alors, pour tout réel de l'intervalle $\left[ 0~; \dfrac{\pi}{2} \right[$, $\tan 'x =$ \\ \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $-\dfrac{\cos x}{\sin x}$ & 
\choix $\dfrac{1}{\cos ^2x}$\\[10pt]
	\choix $1+\tan ^2x$ & 
	\choix $\frac{1}{\sin^2 x}$
\end{tabularx}
	
	
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1-\sin x}{\cos x}$. \enlargethispage*{5em}

Alors $f'(x) =$  \\ \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$ &
\choix $\dfrac{1+\cos x}{\cos^2 x}$ \\[14pt]
\choix $\dfrac{\sin x-1}{1-\sin^2 x}$ &
\choix $\dfrac{1+\sin^2 x}{1-\sin^2 x}$
\end{tabularx}

\newpage

\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ par $f(x) = \sin 2x$ et\linebreak[4] $g(x) = 2x$. Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ ont des tangentes communes en :\\[6pt] \resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix aucun point & \choix un point \\[6pt]
\choix deux points & \choix une infinité de points
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La réponse \choix[a] est juste par application de la formule du cours. Les réponses \choix[b], \choix[c] et \choix[d] sont fausses car il n'y a pas égalité entre ces propositions et la première.

\item Les réponses \choix[b] et \choix[c] sont correctes.
\[ 
\begin{aligned}
\left( \dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' &= \dfrac{\cos ^2 x+\sin ^2x}{ \cos ^2x}  
= \dfrac{1}{\cos ^2x} 
= 1+\tan ^2x.
\end{aligned}
\]
La réponse \choix[a] est fausse. Pour s'en convaincre, il suffit de prendre par exemple $x=\dfrac{\pi}{2}$, et de calculer:
\[-\dfrac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}}=-\dfrac{0}{1}=0.
\]
On obtient une valeur finie alors que $x=\dfrac{\pi}{2}$ n'admet pas d'image par la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{\cos^2 x}$, ce qui justifie  que $\dfrac{1}{\cos^2x}\neq-\dfrac{\cos x}{\sin x}$.

On démontre de même que la réponse \choix[d] est aussi fausse.

\item La réponse \choix[c] est la bonne. En effet, $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec:
\begin{align*}
u(x)=1-\sin x &\qquad v(x)=\cos x\\
u'(x)=-\cos x &\qquad v'(x)=-\sin x
\end{align*}
Donc:
\begin{align*}
f'(x) &= \dfrac{u'v-uv'}{v^2}(x)\\
& = \dfrac{-\cos^2 x - (-\sin x)(1-\sin x)}{\cos^2 x}\\
& = \dfrac{-\cos^2x + \sin x - \sin^2x}{1-\sin^2x}\\
& = \dfrac{-(\cos^2x + \sin^2x)+\sin x}{1-\sin^2x}\\
& = \dfrac{-1+\sin x}{1-\sin^2x}.
\end{align*}

\item La réponse \choix[b] est correcte. Pour que les deux courbes aient la même tangente au point d'abscisse $x$, il faut que les dérivées des fonctions soient égales donc que $2\cos 2x =2$, ou encore que $\cos 2x = 1$.\\
Donc $2x=2k\pi$, $k \in \Z$, soit $x=k\pi$, $k\in \Z$. \\
Mais il faut aussi que pour ces valeurs de $x$, les deux courbes aient un point commun, c'est-à-dire que $\sin (2k\pi ) = 2k\pi$, il faut donc que\linebreak[4] $-1 \le 2k\pi \le 1$. La seule valeur de $k$ qui convient est $k=0$. Les courbes représentatives ont donc une tangente commune en un point.
\end{questions}
\end{corrige}



\sectionnn{Trigonométrie}

%%% ex 6

\begin{exo}{Identité trigonométrique}{Lycée Stanislas, Paris}{1}{5}
Montrer que pour tout réel $x$ :
\[
(\cos x + \sin x)^2+(\cos x - \sin x)^2=2
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Il suffit de développer :
\[
\begin{aligned}
(\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2&= \cos^2 x+2 \cos x \times \sin
x+\sin^2 x\\
&\qquad+\cos^2 x-2 \cos x \times \sin
x+\sin^2 x \\[1ex]
&=2(\cos^2 x+\sin^2 x) \\
&=2 \quad \text{car} \quad \cos^2 x+\sin^2 x=1.
\end{aligned}
\]
%
\end{corrige}

%%% ex 7

\begin{exo}{Une équation trigonométrique}{Lycée Louis-le-Grand, Paris}{1}{10}
Calculer $\sin x$ et $\cos x$ sachant que l'on a :
\[
3 \sin x + 4 \cos x=5.
\]
Indication : On pourra utiliser la relation $\cos^2 x +\sin^2 x=1$.
%
\end{exo}

\begin{corrige}
\[
3 \sin x+4 \cos x=5 \iff \sin x=\frac{5-4 \cos x}{3}.
\]
Utilisons ce résultat dans l'expression $\cos^2 x +\sin^2 x=1$.

Comme $\cos^2 x +\sin^2 x=1$, alors :
\begin{align*}
& \quad \cos^2 x +\frac{(5-4 \cos x)^2}{9}=1 \\
\text{soit} & \quad 9 \cos^2 x+25-40 \cos x+16 \cos^2 x=9 \\
\text{soit}& \quad 25 \cos^2 x-40 \cos x +16=0 \\
\text{soit}& \quad (5 \cos x-4)^2 =0 \\
\text{d'où :} & \quad \cos x=\frac{4}{5}.
\end{align*}

Par suite :
\[
\sin x=\frac{5-4 \times
\frac{4}{5}}{3}=\frac{5-\frac{16}{5}}{3}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.
\]
\end{corrige}

\enlargethispage*{2em}

%%% ex 8

\begin{exo}{Simplification d'une somme}{Lycée Charlemagne, Paris}{1}{10}
Exprimer en fonction de $\sin x$ et de $\cos x$ :
\[
A=\sin \left( \frac{\pi}{2}-x \right)+\cos (5\pi-x)+\sin \left(
\frac{3 \pi}{2}+x \right)+\cos \left( \frac{3 \pi}{2}-x
\right).
\]
%
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item $5\pi-x=4\pi+\pi-x$ donc $\cos(5\pi-x)=\cos(\pi-x)$.
\item $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{4\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}=2\pi-\dfrac{\pi}{2}$ donc:
\[
\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}+x\right)
\]
et 
\[
\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}-x\right).
\]
\end{itemize}
On a alors :
\[
\begin{aligned}
A&=\sin \left( \frac{\pi}{2}-x \right)+\cos ( 5 \pi-x)+\sin \left(
\frac{3 \pi}{2}+x \right)+\cos \left( \frac{3 \pi}{2}-x
\right) \\ 
&= \cos x+\cos (\pi-x)+\sin \left( -\frac{\pi}{2}+x \right)+ \cos 
\left(
-\frac{\pi}{2}-x \right) \\  
&=\cos x-\cos x-\sin \left( \frac{\pi}{2}-x \right)+ \cos \left(
\frac{\pi}{2}+x \right) \\  
&=\cos x-\cos x-\cos x-\sin x \\
&=-\cos x-\sin x.
\end{aligned}
\]
\newpage
\end{corrige}


%%% ex 9

\begin{exo}{Inéquation associée  à une équation}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret}{1}{15}
Résoudre dans l'intervalle $]-\pi~;\pi[$ :
\begin{questions}
\item $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0$.
\item $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}\leqslant0$.
\end{questions}

\textit{Aide} : $\left(2+\sqrt{3}\right)^2=7+4\sqrt{3}$.
\end{exo}

\begin{corrige}
On pose $X=\sin x$.
\begin{questions}
\item \label{ch5ex7q1}Le polyn\^ome $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$ a pour discriminant $7+4\sqrt{3}$, que l'on factorise sous la forme $\left(2+\sqrt{3}\right)^2$ (en utilisant l'aide de l'énoncé).

L'équation $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}=0$ admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

L'équation $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0$ équivaut donc à :
\[
\sin x=-1\qquad\text{ou}\qquad\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Dans l'intervalle $]-\pi~;\pi[$, $\sin x=-1$ pour $x=-\dfrac{\pi}{2}$, et $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}$.

L'équation admet donc trois solutions dans $]-\pi~;\pi[$ : $-\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.

\item  Grâce aux calculs de la question \ref{ch5ex7q1}, on connaît les racines de l'expression $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$. 

Comme le coefficient de $X^2$ est positif, on sait que cette expression est inférieure ou égale à 0 lorsque $X$ est compris entre les racines, c'est-à-dire : $-1\leqslant X\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

En revenant à la variable $x$, cela donne : $-1\leqslant \sin x\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Le cercle trigonométrique montre que les solutions dans $]-\pi~;\pi[$ de cette double inéquation sont tous les réels $x$ tels que :
\[
x\in\left]-\pi~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{2\pi}{3}~;\pi\right[.
\]
\enlargethispage*{3em}
\begin{center}
\includegraphics{207_5_fig_16}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex 10

\begin{exo}{Équation}{Lycée Sophie Germain, Paris}{1}{15}
\begin{questions}
 \item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :  $2\cos^2x+\cos x -1=0$.
 \item Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On pose $X=\cos x$ et on résout l'équation du second degré en $X$ :\linebreak $2X^2+X-1=0$. Le discriminant de l'équation vaut 9, et on trouve deux solutions : $X_1=\dfrac{1}{2}$ et $X_2=-1$.\\ 
L'équation  en $x$ équivaut donc à :
\begin{itemize}
\item $\cos x = -1\Longleftrightarrow x = \pi +2k\pi$,  $k\in \mathbb{Z}$ 

\medskip

ou 
\item $\cos x = \dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$,  $k \in \mathbb{Z}$.
\end{itemize} 

L'équation admet donc comme solutions tous les réels de la forme \linebreak$\pi +k2\pi$, $\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$, $-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ où $k$ décrit $\mathbb{Z}$.

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item Les solutions correspondent aux points A, B et C représentés ci-contre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{208_5_fig_14}
\end{center}
\end{minipage}
\end{questions}
\end{corrige}


%%% ex 11

\begin{exo}{Équation trigonométrique}{Lycée Claude Monet, Paris}{2}{5}
Résoudre l'équation suivante :
\[
\sin 2x=\cos \frac{x}{2}.
\]
%
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour l'équation :
        $$\sin 2x=\cos\frac{x}{2}\;,$$
	comme on a, en utilisant successivement deux formules du cours :  \\
	$\sin X =\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-X\right)=\cos\left(X-\dfrac{\pi}{2}\right)$,\\      
        
        une solution consiste à écrire, en remplaçant $X$ par $2x$ :
        $$\sin 2x=\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)$$
       
        On obtient alors :
        $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{x}{2}$$
        d'où :
        $$\left(\begin{array}{l}
        \displaystyle 2x-\frac{\pi}{2}=\frac{x}{2}+2k\pi\qquad k \in 
\Z\\
\kern-0.8em\text{ou}
        \\
        \displaystyle 2x-\frac{\pi}{2}=-\frac{x}{2}+2k\pi\qquad k \in 
\Z
        \end{array}\right. $$
        soit :
        $$\left(\begin{array}{l}
        \displaystyle \frac{3}{2}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k \in 
\Z\\\kern-0.8em\text{ou}  \\
        \displaystyle \frac{5}{2}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k \in \Z
        \end{array}\right.$$
        soit finalement :
        $$\left(\begin{array}{l}
        \displaystyle x=\frac{\pi}{3}+4k\frac{\pi}{3}\qquad k \in \Z\\\kern-0.8em\text{ou}    \\
        \displaystyle x=\frac{\pi}{5}+4k\frac{\pi}{5}\qquad k \in \Z
        \end{array}\right..
$$
\end{corrige}


%%% ex 12

\begin{exo}{Équations trigonométriques}{Lycée Delacroix, Maisons-Alfort}{2}{10}

Résoudre dans $\R$ :
\begin{questions}
        \item  $\displaystyle \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right) = \cos \left(\frac{\pi}{4}-x \right)$.

        \item  $\displaystyle \sin \left( 2x-\frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( 3x+\frac{\pi}{2} 
        \right)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  On remarque que :
        $$\frac{\pi}{4}-x = 
\frac{\pi}{2}-\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$
        et d'après la formule :
        $$\cos \left(\frac{\pi}{2}-a\right) = \sin a.$$
        On a donc pour tout $x$ :
        $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \sin \left( 
x+\frac{\pi}{4} \right).$$
        Ainsi,
        $$S = \R.$$

        \item  $\sin a = \sin b$ équivaut à :
        \[\left( \begin{aligned}
          a &= b + 2k\pi, \quad k \in \Z \\
         \kern-0.6em\text{ou} \\
          a &= \pi - b + 2k\pi, \quad k \in \Z
        \end{aligned} \right.\]
        \[\left(
        \begin{array}{l}
2x-\frac{\pi}{3} = 3x+\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k \in \Z\\
\kern-0.8em \text{ou}\\
        2x-\frac{\pi}{3} = \pi-3x-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k \in \Z.
\end{array}\right.
\]
        On obtient donc :
\[\left(\begin{aligned}
 x& = -\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k \in \Z\\
        \kern-0.8em\text{ou}\\
 5x& = \frac{\pi}{3}+\pi-\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k \in \Z
        \end{aligned}\right. \]
        soit encore :
        \[\left(\begin{aligned}
 x&=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\qquad k \in \Z\\
        \kern-0.8em\text{ou}\\
 x&=\frac{\pi}{6}+2k\frac{\pi}{5}\qquad k \in \Z
        \end{aligned}\right.\]
        ce qui donne l'ensemble des solutions.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex 13

\begin{exo}{En utilisant le carré}{Lycée Honoré de Balzac, Paris}{2}{15}
On veut résoudre l'équation (E) : $\sqrt{3}\cos x = \sin x$ dans $[0~;2\pi[$.
\begin{questions}
\item Démontrer que si $x$ est solution de l'équation (E), alors $x$ est aussi solution de l'équation $\cos^2x=\dfrac{1}{4}$.
\item Résoudre l'équation  $\cos^2x=\dfrac{1}{4}$ dans $[0~;2\pi[$.
\item Expliquer pourquoi $\cos x$ et $\sin x$ doivent avoir le même signe.
\item En déduire les solutions de l'équation (E).
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Si $\sqrt{3}\cos x = \sin x$, alors en élevant les deux membres au carré, on obtient : $3 \cos^2x=\sin^2x$, et comme $\sin^2x=1-\cos^2x$, on obtient : $4\cos^2x=1$. Par conséquent, $x$ est bien solution de $\cos^2x=\dfrac{1}{4}$.
\item $\cos^2x=\dfrac{1}{4}\Longleftrightarrow \cos x =-\dfrac{1}{2}$ ou $\cos x = \dfrac{1}{2}$. 

Cette équation a donc 4 solutions dans $[0~;2\pi[$ : $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$.
\item Comme $\sqrt{3}\cos x = \sin x$, il est clair que $\cos x$ et $\sin x$ ont le même signe.
\item Parmi les 4 valeurs trouvées dans la question 2, seules $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$ ont un cosinus et un sinus de même signe. De plus, il est immédiat de contrôler que ces deux valeurs sont solutions de l'équation (E). En effet, on a bien : $\sqrt{3}\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\dfrac{\pi}{3}$ et $\sqrt{3}\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\dfrac{4\pi}{3}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex 14

\begin{exo}{Calcul d'une somme}{Lycée Saint-Martin, Pontoise}{2}{20}
Calculer :
\[
E=\cos^{2}\frac{\pi}{12}+\cos^{2}\frac{3\pi}{12}+\cos^{2}\frac{5\pi}{12}
+\cos^{2}\frac{7\pi}{12}+\cos^{2}\frac{9\pi}{12}+\cos^{2}\frac{11\pi}{12}
\]
en justifiant le résultat proposé.
\end{exo}

\begin{corrige}
L'astuce dans cet exercice, avant de se lancer dans d'interminables  calculs de dévelop\-pe\-ments, est de noter qu'en disposant les 
paramètres des 
fonctions $\cos^2$ en 
couples, comme ci-dessous :
$$\frac{\pi}{12}\cdots\frac{7\pi}{12}, \qquad 
\frac{3\pi}{12}\cdots\frac{9\pi}{12}, \qquad
\frac{5\pi}{12}\cdots\frac{11\pi}{12}$$
alors il vient les relations suivantes :
$$\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}, \qquad 
\frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{2}, \qquad 
\frac{11\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{2}$$
Ayant de plus :
$$\cos\left(a+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin a\;,$$
on obtient alors :
$$\begin{array}{l}
\displaystyle \cos^{2} \frac{7\pi}{12} = 
\cos^{2}\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}\right) = 
\sin^{2}\frac{\pi}{12} \\
\\
\displaystyle \cos^{2} \frac{9\pi}{12} = 
\cos^{2}\left(\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{2}\right) = 
\sin^{2}\frac{3\pi}{12} \\
\\
\displaystyle \cos^{2} \frac{11\pi}{12} = 
\cos^{2}\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{2}\right) = 
\sin^{2}\frac{5\pi}{12}
\end{array}$$
ce qui donne :
$$E=\cos^{2}\frac{\pi}{12}+\sin^{2}\frac{\pi}{12}+
\cos^{2}\frac{3\pi}{12}+\sin^{2}\frac{3\pi}{12}+
\cos^{2}\frac{5\pi}{12}+\sin^{2}\frac{5\pi}{12}$$
soit finalement :
$$E=3.$$
\end{corrige}

%%% ex 15

\begin{exo}{\'Equations et inéquations}{Lycée Buffon, Paris}{2}{25}
\begin{questions}
\item Résoudre dans $\R$, puis dans $I=[-\pi~;\pi]$, l'inéquation : 
\[
\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2}.
\]
\item Résoudre dans $\R$, puis dans $J=[-\pi~;3\pi]$, l'équation : 
\[ 2\cos^2x+3\cos x+1=0.\]
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après le cercle trigonométrique, 
\[
\sin X\geqslant\dfrac{1}{2}\text{ pour }\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant X\leqslant \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\quad , \quad k\in\Z.
\]

Cela signifie que :
\begin{align*}
\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant 3x-\dfrac{\pi}{6}\leqslant\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\
& \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant 3x\leqslant \pi+2k\pi\\
& \Leftrightarrow\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}.
\end{align*}

Si l'on ne veut que les solutions dans $[-\pi~;\pi]$, les valeurs extrêmes que l'on peut prendre pour $k$ vérifient : $-\pi\leqslant\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}$, c'est-à-dire $-\dfrac{5}{3}\leqslant k$, et comme $k$ est entier, $-1\leqslant k$, et : $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant\pi$, soit $k\leqslant1$.

$k$ peut donc prendre les valeurs $-1$, 0 et 1.

L'ensemble solution est donc : 
\[ 
S=\left[-\dfrac{5\pi}{9}~;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{9}~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{9}~;\pi\right].
\]

\item On pose $X=\cos x$. L'équation devient alors : $2X^2+3X+1=0$.

Le discriminant est égal à 1 ; l'équation admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=-\dfrac{1}{2}$.

Alors, l'équation $2\cos^2x+3\cos x+1=0$ équivaut à :
\[
\cos x=-1\qquad\text{ou}\qquad\cos x=-\dfrac{1}{2}\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
x=-\pi+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\]
\[\text{ou}\quad x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k''\pi\quad,\quad k\in\Z,\ k'\in\Z,\ k''\in\Z.
\]
L'ensemble des solutions de l'équation dans l'intervalle $[-\pi~;3\pi]$ est donc :
\[ S=\left\lbrace -\pi~; -\dfrac{2\pi}{3}~; \dfrac{2\pi}{3}~; \pi~; \dfrac{4\pi}{3}~;\dfrac{8\pi}{3}~; 3\pi\right\rbrace.\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%% ex 16 % VIDEO

\begin{exo}{Équation trigonométrique}{Lycée Jacques  Monod, Clamart}{2}{30}
Soit la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :
\[
f(x) = 1 - 8 \cos x - 4 \cos 2x.
\]
On admet que pour tout réel $x$, \[ \cos(2x)=2\cos^2x-1. \]
   \begin{questions}
  \item Vérifier que, pour tout réel $x$, $f(x) = - 8 \cos ^2 x - 8 \cos x + 5$.
\item En déduire la résolution par le calcul de l'équation $f(x) = - 1$ dans $\R$.
  \par
\textit{Aide :} on posera $X = \cos x$.
  \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions} 
\item  Pour tout $x$ réel, $\cos 2x = 2 \cos ^2 x - 1$.
Donc :
\[f(x) = 1 - 8 \cos x - 8 \cos ^ 2 x + 4 = - 8 \cos ^ 2 x - 8 \cos x 
+ 5\,.\]

\item$ f (x) = - 1$ équivaut à :
\[- 8 \cos ^ 2 x - 8 \cos x + 5 = - 1\] 
soit :
\[- 8 \cos ^ 2 x - 8 
\cos x + 6 = 0\,.\]
On pose $X = \cos x$.
On est alors ramené à résoudre l'équation: \[- 8X ^ 2 - 8 X + 6 = 
0\,.\]
Le discriminant est $256$ donc l'équation admet deux racines réelles 
: $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$. Or, l'équation $\cos x = -\dfrac{3}{2}$ n'admet pas de solution car\linebreak $-1\leq \cos x\leq 1$.
\par
Il reste donc à résoudre dans $\R$ l'équation : $\cos x =\dfrac{1}{2}$.\\
On sait que $\cos \dfrac{\pi}{3} =\dfrac{1}{2}$. 

$\cos x = \dfrac{1}{2}$  équivaut donc à :
\[x =\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\quad\text{ou}\quad x = - \dfrac{\pi}{3} + 
2k\pi\qquad,\quad k \in \Z\]
Les solutions dans $\R$ de l'équation $f(x) = -1$ sont : 
\[\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\quad 
\text{et}\quad - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\quad 
\text{où}\quad k \in \Z\,.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex 17

\begin{exo}{Calcul de \boldmath$\cos\left(\pi/12\right)$}{Lycée Alexandre Dumas, Saint-Cloud}{2}{30}
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
\begin{questions}
\item Résoudre dans $]-\pi~;~\pi]$ l'équation $2\cos(4x)-1=0$.
\item On rappelle la relation vraie pour tout réel  $a$: $\cos(2a)=2\cos^2(a)-1$.\par 
En remarquant que $\cos(4a)=\cos(2(2a))$, démontrer que : \[\cos(4x)=8\cos^4x-8\cos^2x+1.\]
\item Soit $P$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=16x^4-16x^2+1$.\par 
Résoudre l'équation $P(x)=0$. (On pourra poser $X=x^2$)
\item Démontrer que pour tout réel $x$, $P(x)=2(8x^4-8x^2+1)-1$.
\item Utiliser les résultats des questions 2 et 4 pour calculer l'image par $P$ de $\cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right) .$
\item Déduire alors de la question 3 la valeur exacte de  $\cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right) .$
\item Calculer également les images par $P$ de  $\cos\left( \dfrac{5\pi}{12}\right)$, $\cos\left( \dfrac{7\pi}{12}\right)$ et \linebreak $\cos\left( \dfrac{11\pi}{12}\right)$, puis en déduire les valeurs exactes de ces nombres.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
2\cos(4x)-1=0 & \Longleftrightarrow \cos(4x)=\dfrac{1}{2}\\
& \Longleftrightarrow 4x =\dfrac{\pi}{3}+ k2\pi\\
& \phantom{\Longleftrightarrow} \text{ou}\\
& \phantom{\Longleftrightarrow}~~ 4x =-\dfrac{\pi}{3}+ k2\pi
\end{aligned}$\\
Ce qui donne :
\[ x=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2} \text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2} \text{, avec }k\in \mathbb{Z}.\]
Les mesures comprises entre $-\pi$ et $\pi$ des solutions sont alors:
\[-\dfrac{11\pi}{12},-\dfrac{7\pi}{12},-\dfrac{5\pi}{12},-\dfrac{\pi}{12},\dfrac{\pi}{12},\dfrac{5\pi}{12},\dfrac{7\pi}{12}\text{ et }\dfrac{11\pi}{12}.\]
\item $\begin{aligned}[t]
\cos(4a) & =\cos(2(2a))\\
& = 2\cos^2(2a)-1\\
& =2(2\cos^2(a)-1)^2-1\\
& =2(4\cos^4a-4\cos^2a+1)-1\\
& =8\cos^4a-8\cos^2a+1.
\end{aligned}$

\item En posant $X=x^2$, L'équation $P(x)=0$ devient: \[16X^2-16X+1=0.\]
Le discriminant de l'équation est positif, on trouve deux valeurs de $X$ : \[X_1=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4} \text{ et }X_2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}.\]
Comme ces deux valeurs sont positives elles engendrent chacune deux valeurs de $x$ , solution de $P(x)=0$:
\[ -\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}},\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}},-\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}},\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}.\]

\item En développant $2(8x^4-8x^2+1)-1$ on obtient bien l'expression de $P(x)$.

\item $P\left( \cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right) \right) =2\left[ 8\left( \cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right)\right) ^4-8\left( \cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right) \right) ^2+1\right] -1$.

D'après la question 2, cela peut donner :
\begin{align*}
P\left( \cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right) \right) & = 2 \cos\left( \dfrac{4\pi}{12}\right) -1\\
& = 2\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right)-1\\
& = 2\times \dfrac{1}{2}-1 = 0.
\end{align*}

\item Le résultat de la question précédente montre que $\cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right) $ est une solution de l'équation $P(x)=0$. Le cercle trigonométrique nous montre que $\cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right) $ est positif et supérieur à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Par conséquent, parmi les solutions trouvées à l'équation $P(X)=0$, seule la valeur $\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}$ convient, donc $\cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right) =\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}$.

\item En utilisant la même méthode que précédemment, on doit considérer $\cos\left(4\times \dfrac{5\pi}{12}\right), \  \cos\left( 4\times\dfrac{7\pi}{12}\right)$ et  $\cos\left(4\times \dfrac{11\pi}{12}\right) $ qui sont tous les trois égaux à $\dfrac{1}{2}$, et on trouve alors, comme pour $\cos\left(4\times \dfrac{\pi}{12}\right)$, que leur image par $P$ est égale à 0. Le cercle trigonométrique montre que ces valeurs sont distinctes; ce sont donc les trois autres solutions de l'équation $P(x)=0$.\\
Toujours à l'aide du cercle trigonométrique, des considérations de signe et d'ordre permet de donner les valeurs suivantes:
\begin{itemize}
\item  $\cos\left( \dfrac{11\pi}{12}\right)=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}$ ;
\item $\cos\left( \dfrac{5\pi}{12}\right)=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}}$;
\item $\cos\left( \dfrac{7\pi}{12}\right)=-\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}}$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex 18

\begin{exo}{\`A la découverte d'un sinus}{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux}{3}{20}
Dans un manuel de trigonométrie avancée, on peut lire la formule suivante :
\begin{equation}
\sin (5x) = 16\sin^5 x-20\sin^3x+5\sin x.\label{eqtrigoavancee}
\end{equation}

\begin{questions}
\item Résoudre dans \R{} l'équation : $16X^2-20X+5=0$.
\item En prenant $x=\dfrac{\pi}{5}$, que donne la formule (\ref{eqtrigoavancee}) ?
\item En déduire la valeur de $\sin\dfrac{\pi}{5}$.
\item En déduire la valeur de $\cos\dfrac{\pi}{5}$.
\item 
\begin{questions}
\item Montrer que $4\cos^2\dfrac{\pi}{5}-2\cos\dfrac{\pi}{5}-1=0$.
\item En déduire une écriture plus simple de $\cos\dfrac{\pi}{5}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item\label{q1trigo06} Le polyn\^ome $16X^2-20X+5$ a pour discriminant :
\[
\Delta=400-4\times16\times5=80.
\]
Ses deux racines sont donc :
\[
X_1=\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}.
\]
L'équation $16X^2-20X+5=0$ a donc pour ensemble solution :
\[
\mathcal{S}=\left\{\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}~;~\dfrac{5+\sqrt{5}}{8} \right\}.
\]

\item En prenant $x=\dfrac{\pi}{5}$, la formule (\ref{eqtrigoavancee}) donne :
\[
\sin \left(5\times\dfrac{\pi}{5}\right) = 16\sin^5 \dfrac{\pi}{5}-20\sin^3\dfrac{\pi}{5}+5\sin \dfrac{\pi}{5}\;,
\]
soit, en posant $S=\sin\dfrac{\pi}{5}$ :
\[
0=S(16S^4-20S^2+5).
\]

\item $S\neq0$ donc on sait que $16S^4-20S^2+5=0$.
Posons $s=S^2$ ; alors ,
\[ 16s^2-20s+5=0.\]
D'après la question \ref{q1trigo06}, $s=\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}$ ou $s=\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}$.

On a alors $S=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}}\approx0,35$ ou $S=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{8}}\approx0,9$ : on exclut les valeurs négatives car $\sin\dfrac{\pi}{8}>0$ vu que $\dfrac{\pi}{8}\in\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

\par

Or, $\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{\pi}{4}$ donc $\sin\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin\dfrac{\pi}{4}$. Ainsi, $\sin\dfrac{\pi}{5}=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}}$.

\item \`A l'aide de la relation :
\[ \forall x\in\R,\qquad \cos^2x+\sin^2x=1\;,\]
on peut écrire :
\[
\cos^2\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}=1,\text{ soit : }\cos^2\dfrac{\pi}{5}=1-\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{8}.
\]
Ainsi,\hfil$\cos\dfrac{\pi}{5}=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{8}}$ car $\cos\dfrac{\pi}{5}>0$.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
4\cos^2\dfrac{\pi}{5}-2\cos\dfrac{\pi}{5}-1 & = 
4\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{8}\right)-2\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{8}}-1\\
& = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}-2\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{8}}-1\\
& = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-2\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{8}}\\
& = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}\;.
\end{aligned}$

Or, $\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 =\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4} = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.

Donc, $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$
et donc :
\[
4\cos^2\dfrac{\pi}{5}-2\cos\dfrac{\pi}{5}-1=0.
\]

\item De la question précédente, on déduit que $\cos\dfrac{\pi}{5}$ est solution de l'équation $4x^2-2x-1=0.$

Le discriminant de $4x^2-2x-1$ est : $\Delta=20$.
Donc les racines sont :
\[
x_1=\dfrac{2-\sqrt{20}}{8}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}.
\]
On sait que $\cos\dfrac{\pi}{5}>\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ donc :
\[
\cos\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Fonctions trigonométriques}

%%% ex 19

\begin{exo}{Fonction dérivée}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret}{1}{15}
Calculer la dérivée des fonctions suivantes en précisant leur ensemble de\linebreak définition.
\begin{questions}
\item $f(x)=2\sin(8x)-5\cos\left(7x-\dfrac{\pi}{3}\right)$.
\item $h(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$ comme somme et composée de fonctions définies et dérivables sur $\R$.
\[
f'(x)=16\cos(8x)+35\sin\left(7x-\dfrac{\pi}{3}\right).
\]
\item La fonction $h$ est définie et dérivable pour tout $x$ tel que $\cos x\neq 0$, c'est-à-dire pour tout $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$.
\begin{align*}
h'(x)&=\dfrac{\cos x\times \cos x+\sin x\times\sin x}{\left(\cos x\right)^2}\\
&=\dfrac{1}{\cos^2 x}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex 20

\begin{exo}{Axe de symétrie}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{20}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=1+\sin x-\dfrac{1}{2}\cos(2x)$.

\begin{questions}
\item Prouver que $f$ est périodique sur $\R$.
\item \'Etablir les variations de $f$ sur $[-\pi~;\pi]$ puis construire la courbe de $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;\pi]$.

\textit{On utilisera l'égalité : }$\forall x\in\R,\\sin(2x)=2\sin x\cos x$.
\item Démontrer que les fonctions $f$ et $f^2$ ont les mêmes variations sur $\R$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x+2\pi)=1+\sin(x+2\pi)+\dfrac{1}{2}\cos\big[2(x+2\pi)\big]$.

Comme les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont de période $2\pi$, on trouve :
\[ f(x+2\pi)=1+\sin x+\dfrac{1}{2}\cos(2x)=f(x).\]
La fonction $f$ est donc périodique et $2\pi$ en est une période.

\item La fonction $f$ est dérivable sur $[-\pi~;\pi]$  puisque les fonctions $\sin$ et $\cos$ le sont. De plus, on a :
\[ f'(x)=\cos x+\sin(2x). \]

Comme $\sin(2x)=2\sin x\cos x$, on a :
\[ f'(x)=\cos x+2\sin x\cos x=\cos x(1+2\sin x).\]

Sur $[-\pi~;\pi]$, $\cos x>0$ pour $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $1+2\sin x<0$ pour $\sin x<-\dfrac{1}{2}$ donc pour $x\in\left]-\dfrac{5\pi}{6}~;-\dfrac{\pi}{6}\right[$.

Cela permet d'établir le tableau de signes de $f'(x)$ puis le tableau de variation de $f$ :

\Par

\hspace*{-4.5em}
\begin{tabular}{|C|*{11}{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\pi$ &  & $-\frac{5\pi}{6}$ &  & $-\frac{\pi}{2}$ &  & $-\frac{\pi}{6}$ &  & $\frac{\pi}{2}$ &  & $\pi$\\
\hline
$\cos x$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & 0 & $-$ & \\\hline
$1+2\sin x$ & & $+$ & 0 & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
\hline
$f'(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\
\hline
       & 0,5 & & & & 0,5 & &  &  & 2,5 & & \\
$f(x)$ &     & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
       &    &  &0,25 & &  &  & 0,25 & & & & 0,5\\
\hline
\end{tabular}

\begin{center}
\includegraphics{217_5_fig_21}
\end{center}

\item D'après le tableau de variation précédent, on constate que le minimum de $f$ sur $[-\pi~;\pi]$ est 0,5, donc la fonction $f$ est positive sur $[-\pi~;\pi]$. Or, $f$ est de période $2\pi$ et $[-\pi~;\pi]$ est d'amplitude $2\pi$ ; par conséquent, $f(x)>0$ pour tout réel $x$.

D'autre part, comme la fonction $f$ est dérivable, la fonction $f^2$ l'est aussi, et sa dérivée est égale à $2ff'$. Or, pour tout réel $x$, $f(x)>0$ donc la dérivée de $f^2$ est du même signe que $f'$, ce qui montre que les deux fonctions, $f^2$ et $f$ ont les mêmes variations sur $\R$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% ex 21 
\newpage
\begin{exo}{Deux fonctions trigonométriques}{Lycée Le Corbusier, Poissy}{2}{20}
On donne :
\[
f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}\qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{1-\cos x}{\sin x}.
\]
Prouver que $f \neq g$.

Prouver que les restrictions de $f$ et $g$ à $\R \setminus \{k\pi, \, k \in \Z\}$ sont égales.
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour prouver que $f \neq  g$, il suffit d'étudier leurs ensembles de 
définition ; en effet, ayant :
$$f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \qquad \text{et} \qquad 
g(x)=\frac{1-\cos x}{\sin x},$$
on a :
$${\cal D}_{f} = \R \setminus \{ \pi+2k\pi, k \in \Z\} \qquad 
\text{et} \qquad {\cal D}_{g}=\R \setminus \{k\pi, k \in \Z\}$$
donc $f \neq  g$.

De plus, sur $\R \setminus \{ k\pi, k \in \Z\}$, on a :
$$f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}$$
On a donc, en multipliant par la quantité conjuguée :
$$f(x) = \frac{\sin x(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)} = \frac{\sin 
x(1-\cos x)}{1-\cos^{2}x}$$
Or, ayant :
$$1-\cos^{2}x = \sin^{2}x$$
on obtient :
$$f(x) = \frac{\sin x(1-\cos x)}{\sin^{2}x} \qquad \text{et} \qquad 
\sin x \neq  0 \text{ pour } x \in 
\R \setminus \{k\pi, k \in \Z\}$$
soit :
$$f(x) = g(x) = \frac{1-\cos x}{\sin x}$$
Les restrictions des fonctions $f$ et $g$ à $\R \setminus \{ 
k\pi, k \in \Z\}$ sont bien égales.
\end{corrige}

%%% ex 22

\begin{exo}{Aire maximale}{Lycée La Bruyère, Versailles}{2}{25}
Les parents d'Amélie utilisent un paravent à trois panneaux pour cacher un tas de vieilleries dans leur garage.

Le paravent est déplié contre un mur de la façon suivante :

\begin{center}
\includegraphics{200_5_fig_19}
\end{center}

Les trois panneaux du paravent sont de même longueur. Le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle. On pose $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$, et on appelle $x$ la mesure en radians de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ comprise entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{questions}
\item Exprimer la longueur AD ainsi que la hauteur BH en fonction de $x$.
\item 
\begin{questions}
\item Montrer que l'aire disponible derrière le paravent est égale en fonction de $x$ à : 
\[ A(x)=(1+\cos x)\sin x.\]
\item Montrer que pour tout $x\in\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, 
\[ A'(x)=2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x).\]
\item \`A l'aide du cercle trigonométrique, résoudre dans  l'intervalle  $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ l'inéquation $\cos x\geqslant\dfrac{1}{2}$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $A$ sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item Quelle est l'aire maximale de la zone que l'on peut cacher ainsi avec ce paravent, et comment faut-il l'installer ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Comme le trapèze est isocèle, $AD=2AH+BC$.

De plus, $AH=AB\cos x$ et $BH=AB\sin x$ donc $AD=1+2\cos x$ et $BH=\sin x$.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A(x) & = AH\times BH+BH\times BC\\
& = 1\times\cos x \times\sin x+1\times\sin x\times1\\
& = \left(\cos x+1\right)\sin x\;.
\end{aligned}$

\item La fonction $A$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
\begin{align*}
A'(x) & = \cos x(1+\cos x)+\sin x(-\sin x)\\
& = \cos x(1+\cos x)-(1-\cos^2x)\\
& = 2\cos^2 x+\cos x -1\;.
\end{align*}
Or, \enlargethispage*{5em}
\begin{align*}
2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x) & =2\left(\cos x+\cos^2x -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos x\right)\\
& = 2\cos^2x +\cos x-1.
\end{align*}
Cela prouve que l'on a bien $A'(x)=2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x)$.
\newpage
\item \label{ch5ex12qc}\par~
\vspace*{-2em}
\begin{center}
\includegraphics{219_5_fig_20}
\end{center}

Sur le cercle trigonométrique, on lit que dans l'intervalle $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $\cos x\geqslant\dfrac{1}{2}$ pour $x\in\left[0~;\dfrac{\pi}{3}\right]$.

\item On calcule : 
\[ A(0)=0\quad ; \quad A\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\quad;\quad A(3)=\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}.\]

$A'(x)$ est du signe de $\cos x-\dfrac{1}{2}$ (car $1+\cos x>0$). d'où le tableau de variations de $A$ suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\frac{\pi}{3}$ &  & $\frac{\pi}{2}$\\
\hline
$A'(x)$ &  & $+$ &  & $-$ & \\
\hline
        &  &     & $\frac{3\sqrt{3}}{4}$&  &  \\
$A(x)$  &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
        & 0 &           &  &            & 1\\
        \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'aire maximale est obtenue lorsque l'angle $\widehat{BAD}$ mesure \mbox{$\dfrac{\pi}{3}$~radian}, et elle vaut alors $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Établir un encadrement}{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles}{3}{30}
\begin{questions}
\item On désigne par $g$ la fonction numérique définie sur $[0~;\pi]$ par : 
\[ 
g(x)=x\cos x-\sin x.
\]

\'Etudier $g$ et dresser son tableau de variation.

En déduire le signe de $g(x)$ sur $[0~;\pi]$.

\item Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0~;\pi]$ par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
f(0)=1 & \\
f(x)=\dfrac{\sin x}{x} & ,\quad x\in]0~;\pi]
\end{array}
\right.
\]
Calculer $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ puis étudier les variations de $f$.

\item Prouver que, pour tout nombre réel $x\geqslant0$,  on a : 
\[
0\leqslant x-\sin x\leqslant \dfrac{x^3}{6}.
\]

\textit{Aide :} pour cela, on introduira la fonction $\varphi$ définie sur $[0~;+\infty[$ par $\varphi(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$. On calculera les dérivées $\varphi'$, $\varphi''$ et $\varphi'''$ et on en déduira le signe de $\varphi(x)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $g$ est dérivable sur $[0~;\pi]$ et :
\[ g'(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x.\]

Comme sur $]0~;\pi[$, $x>0$ et $\sin x>0$, on en déduit que $g(x)$ est strictement négatif sur cet intervalle donc $g$ est strictement décroissante sur $[0~;\pi]$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*3{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\pi$\\
\hline
 & 0 &  & \\
 $g(x)$ &  & $\searrow$ & \\
  &  &  & $-\pi$\\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

La fonction $g$ admet un maximum égal à 0 en 0, puis elle est strictement décroissante sur $[0~;\pi]$ donc $g(x)<0$ pour $x\in]0~;\pi]$.

\item Le taux d'accroissement de la fonction $x\mapsto\sin x$ en 0 est:
\[
\dfrac{\sin(0+h)-\sin 0}{h}
\]
et par définition, 
\[
\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=\sin'(0)=\cos0=1,
\]
que l'on peut aussi écrire:
\[
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.
\]

Pour étudier les variations de $f$, il suffit d'étudier ses variations sur $]0~;\pi]$. On peut donc calculer la dérivée de $f$ sur $]0~;\pi]$ :
\[
f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}.
\]
D'après l'étude du signe de $g(x)$, on en déduit que $f'(x)<0$ sur $]0~;\pi]$ et donc strictement décroissante sur $[0~;\pi]$.

\item Soit $\varphi(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$. Tous les calculs suivants sont sur $[0~;\pi]$. On a :
\[
\varphi'(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}\quad,\quad\varphi''(x)=-\sin x+x\]
\[\text{et}\quad\varphi'''(x)=-\cos x+1.\]

Comme $\cos x\leqslant1$, $\varphi'''(x)\geqslant0$ ; la fonction $\varphi''$ est donc croissante.

Comme de plus $\varphi''(0)=-\sin 0+0=0$, on a alors $\varphi''(x)\geqslant0$ ; cela prouve que la fonction $\varphi'$ est croissante.

On a encore $\varphi'(0)=\cos0-1+\dfrac{0^2}{2}=0$ et, par conséquent,\linebreak $\varphi'(x)\geqslant0$.

La fonction $\varphi$ est par conséquent croissante, et comme $\varphi(0)=0$, on obtient que $\varphi(x)\geqslant0$.

On obtient donc : 
\[
-\sin x+x\geqslant0 \text{ (car }\varphi''(x)\geqslant0)\text{ et }\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}\geqslant0\;,
\]
c'est-à-dire :\enlargethispage*{2em}
\[
x-\sin x\leqslant\dfrac{x^3}{6}\qquad\text{ (car }\varphi(x)\geqslant0).
\]
Cela justifie donc l'encadrement proposé. 
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
