\thumb

%%%

\begin{vf}{Variable aléatoire}{5}
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier les\linebreak réponses.
\begin{questions}
\item Si une variable aléatoire $X$ ne prend que des valeurs positives ou nulle, alors $E(X)\geq0$.
\item Si $E(X)\geq 0$, alors la variable aléatoire $X$ ne prend que des valeurs positives ou nulles.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}. D'après la formule du calcul de l'espérance, si $X$ ne prend que des valeurs positives, l'espérance est obtenue par produit puis somme de quantités positives. Donc $E(X)\geq 0$.
\item \emph{Faux}. Contre-exemple : la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur $-1$ avec une probabilité de $0,1$ et la valeur 1 avec une probabilité de $0,9$ a pour espérance $E(X)=0,1 \times (-1)+0,9\times 1=0,8$. Donc $E(X)>0$, mais $X$ prend une valeur négative. 
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{qcm}{En fonction de \boldmath$n$}{15}
On justifiera toutes les réponses.\\
Une urne contient 10 boules blanches et $n$ boules noires ($n\geqslant 2$).\\
Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.\\
Si on tire une boule blanche on gagne 2 euros, si on tire une boule noire on perd 3 euros.\\
On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain (qui peut être négatif) obtenu par le joueur.

\begin{questions}
\item Les valeurs prises par $X$ sont :\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} 2 et 3 & \choix{} 2 et $-3$ & \choix{} autre réponse.
\end{tabularx}

\item La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau ci-dessous :\resetchoix

\choix{} $\begin{aligned}[t]
\begin{array}{|C|*2{c|}}
\hline
x_i & -3 & 2\\
\hline
P(X=x_i) & \frac{n}{n+10\strut} & \frac{10\strut}{n+10}\\\hline
\end{array}\end{aligned}$\\

\choix{} $\begin{aligned}[t]
\begin{array}{|C|*2{c|}}
\hline
x_i & -3 & 2\\
\hline
P(X=x_i) & \frac{1\strut}{10\strut} & \frac{1}{n}\\\hline
\end{array}\end{aligned}$\\


\choix{} $\begin{aligned}[t]
\begin{array}{|C|*2{c|}}
\hline
x_i & 3 & 2\\
\hline
P(X=x_i) & \frac{n\strut}{n+10\strut} & \frac{10}{n+10}\\\hline
\end{array}\end{aligned}$\\


\item L'espérance de $X$ est :\resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} 1 & \choix{} 0 & \choix{}  $\frac{-3n+20}{n+10}$
\end{tabularx}

\item Le jeu est favorable au joueur si :\resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $n\geqslant 7$ & \choix{} $n\geqslant 6$ & \choix{} $n\leqslant 6$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. Si on tire une boule blanche, $X=2$. Si on tire une boule noire, $X=-3$.
\item Réponse \choix[a]. En effet, le nombre total de boules est $n+10$, et les valeurs prises par $X$ sont $-3$ et $2$.
\item Réponse \choix[c]. D'après le cours : $E(X)=\dfrac{n}{n+10}\times(-3)+\dfrac{10}{n+10}\times2$.
\item Réponse \choix[c]. Le jeu est favorable au joueur si $E(X)>0$, donc si\linebreak $-3n+20>0$, c'est-à-dire $n < \frac{20}{3}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{La base}{Lycée \'Edouard Branly, Nogent-sur-Marne}{1}{5}
On lance un dé truqué à six faces. Les probabilités d'obtenir chaque face sont les suivantes :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
\hline
$x_i$&1&2&3&4&5&6\\
\hline
$p_i$&$0,2$&$0,1$&$p_3$&$0,06$&$0,2$&$p_6$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculer $p_3$ et $p_6$ sachant que $p_3=3p_6$.
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ qui à chaque face associe le nombre affiché.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La somme des probabilités de toutes les issues doit être égale à 1, et comme $p_3=3p_6$, on a $0,2+0,1+3p_6+0,06+0,2+p_6=1$, d'où $4p_6=0,44$. On a donc $p_6=0,11$ et $p_3=0,33$.
\item \hskip-1em\begin{tabular}[t]{>{\raggedleft\arraybackslash}p{10mm}p{\dimexpr\linewidth-13mm}}
$E(X) =$ & $ 0,2\times1+0,1\times2+0,33\times3+0,06\times4+0,2\times5$\\
& \raggedleft\arraybackslash$+\; 0,11\times 6$\\
$E(X) =$& 3,29.
\end{tabular}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%

\begin{exo}{Ventes}{Lycée Camille Vernet, Valence}{1}{10}
Un commercial vend entre 0 et 5 installations photovoltaïques par semaine. Soit $X$ la variable aléatoire qui, pour une semaine, donne le nombre d'installations vendues. $X$ suit la loi de probabilité indiquée dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|L|*6{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre d'installations vendues $k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
Probabilité $P(X=k)$ & 0,16 & 0,1 & 0,35 & 0,24 & 0,1 & 0,05\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculer $P(X\geq2)$ et $P(X<4)$.
\item Calculer l'espérance de $X$. Quelle interprétation peut-on en donner?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $P(X\geq 2)=1-P(X<2)=1-0,16-0,1=0,74$.\\
$P(X<4)=1-P(X\geq 4)=1-0,1-0,05=0,85$.

\begin{methode}
Pour calculer la probabilité d'un événement du type $(X>a)$ ou $(X<a)$, il faut étudier si la probabilité de l'événement contraire n'est pas plus simple à calculer.
\end{methode}

\item \hskip-0.6em\begin{tabular}[t]{>{\raggedleft\arraybackslash}p{10mm}p{\dimexpr\linewidth-13mm}}
$E(X) =$ & $0,16\times 0+0,1 \times 1+0,35 \times 2+0,24 \times 3+0,1 \times 4$\\
& \raggedleft\arraybackslash$+\ 0,05 \times 5$\\
$E(X) =$& $0,1+0,7+0,72+0,4+0,25$\\
$E(X) =$ & $2,17$.
\end{tabular}

Ce résultat signifie que sur de nombreuses semaines, le commercial peut espérer vendre en moyenne $2,17$ installations par semaine.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Cotisation moyenne}{Lycée Honoré de Balzac, Paris}{1}{10}
Le club de loisirs d'une petite ville propose à ses adhérents trois types d'activités : de la gymnastique, des sorties vélo ou de la formation informatique. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'une seule des trois activités. 50\% font de la gymnastique, 30\% font du vélo et les autres font de l'informatique.\\
Les tarifs du club sont les suivants: 15~euros pour l'adhésion au club,\linebreak 60~euros pour la gymnastique, 50~euros pour l'informatique et 30~euros pour le vélo.\\
On interroge un membre du club au hasard. On appelle $S$ la  variable aléatoire qui donne la somme totale payée par ce membre.
\begin{questions}
\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $S$.
\item Calculer l'espérance de $S$ et en donner une interprétation.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La loi de probabilité de la variable aléatoire $S$ est :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*3{Zc|}}
\hline
Valeurs $s_i$&45&65&75\\
\hline
$P(S=s_i)$&0,3&0,2&0,5\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'espérance de $S$ est : 
\begin{align*}
E(S) & = 0,3\times 45+0,2\times 65+0,5\times 75\\
E(S) & = 13,5+13+37,5\\
E(S) & = 64.
\end{align*}

Cela signifie que si l'on interroge au hasard un grand nombre de membres de ce club, le montant moyen de leur cotisation sera proche de 64 euros.
\end{questions}
\begin{methode}
Une tel exercice  est en réalité très proche d'un exercice de statistique. Les pourcentages correspondent aux probabilités. Et le calcul de l'espérance est exactement le calcul de la moyenne d'une série statistique. C'est au niveau de l'interprétation qu'il y a une légère différence, car dans le contexte \og probabilité \fg, on interroge un membre au hasard, quitte à répéter l'expérience plusieurs fois, alors qu'en statistiques, on considère tous les résultats en même temps. C'est pour cela que pour interpréter l'espérance, on dit que la moyenne des résultats de nombreuses répétitions s'approche de l'espérance.\\
En revanche, on peut utiliser la calculatrice de la même façon qu'en statistiques.
\end{methode}
\end{corrige}



%%%

\begin{exo}{Ticket gagnant}{Lycée International Europole, Grenoble}{1}{15}
Un supermarché de San Francisco distribue des tickets à ses \numprint{1000} premiers clients. 500 tickets font gagner 10~\$, 90 font gagner 20~\$, 10 font gagner 50~\$ et 400 ne font rien gagner. Un ticket est distribué au hasard à chaque client à son passage en caisse. $X$ est la variable aléatoire qui à chaque ticket distribué associe le gain inscrit sur celui-ci.
\begin{questions}
\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $X$.
\item Dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$.
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un ticket faisant gagner 20 \$ ou plus?
\item Quelle est l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La variable aléatoire $X$ prend les valeurs 0, 10, 20 et 50.

\newpage

\item La loi de probabilité de $X$ est :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Gain $x_i$&0&10&20&50\\
\hline
$P(X=x_i)$&0,4&0,5&0,09&0,01\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $P(X\geq20)=P(X=20)+P(X=50)=0,09+0,01=0,1$.
\item $E(X)=0\times 0,4+10\times 0,5+20\times 0,09+50\times 0,01=7,3$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Interprétation de l'espérance}{Lycée Albert Chatelet, Douai}{1}{15}
Une variable aléatoire $X$ a la loi de probabilité suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeur $a_i$ de $X$&$-1$&1&3&5\\
\hline
Probabilité $P(X=a_i)$& 0,4 & 0,2 & & 0,15\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Compléter la loi de probabilité de $X$.
\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
\item Calculer de deux manières différentes $P(X\geq 3)$ (pour la deuxième méthode, on utilisera l'événement contraire).
\item Si $X$ représente le gain obtenu à l'issue d'une expérience, que représente concrètement $E(X)$?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La somme des probabilités est égale à 1 donc : 
\[ P(X=3)=1-0,4-0,2-0,15=0,25. \]
\item $\begin{aligned}[t]
E(X) & =0,4 \times (-1)+0,2 \times 1 + 0,25 \times 3+ 0,15\times 5\\
E(X) & =-0,4+0,2+0,75+0,75\\
E(X) & =1,3.
\end{aligned}$
\item $P(X\geq 3) = P(X=3)+P(X=5)=0,25+0,15=0,4$.\\[4pt]
Avec l'événement contraire :\\[4pt]
$\begin{aligned}[t]
P(X\geq3) & =1-P(X<3)\\
& =1-P(X=-1)-P(X=1)\\
& =1-0,4-0,2\\
& =0,4.
\end{aligned}$
\item E(X) représente le gain moyen par expérience que l'on pourrait espérer après un grand nombre de répétitions de l'expérience.
 \end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Gagner à la loterie}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Sèvres}{1}{15}
Une loterie est constituée de 800 billets vendus chacun 2~\euro. Un des billets fait gagner 500~\euro, deux billets font gagner chacun 100~\euro{} et 6 billets font gagner 10~\euro. Tous les autres sont perdants.

\begin{questions}
\item Un joueur achète un billet. On appelle $G$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
\begin{questions}
\item Donner, en tenant compte de l'achat initial du billet, la loi de probabilité de $G$.
\item \label{ch7ex9q1b}Calculer l'espérance mathématique de $G$.
\item Le jeu est-t-il favorable à l'organisateur ou aux joueurs ?
\end{questions}
\item Pour être sûre de gagner, une personne achète tous les billets. Elle gagne donc tous les lots.
\begin{questions}
\item Quelle somme débourse-t-elle à l'achat ?
\item Quelle somme correspond au gain de tous les lots ?
\item Quelle somme cette personne a-t-elle perdue ?
\item Quelle est la perte moyenne par billet acheté ? Comparer ce résultat à l'espérance mathématique calculée dans la question \ref{ch7ex9q1b}.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item  Les valeurs prises par $G$ sont 498 pour 1 billet, 98 pour 2 billets, 8 pour 6 billets et $-2$ pour les 791 billets restants. La loi de probabilité de $G$ est donc la suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Gain & 498 & 98 & 8 & $-2$\\
\hline
Probabilité & $\dfrac{1}{800}$&$\dfrac{2}{800}$&$\dfrac{6}{800}$&$\dfrac{791}{800}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
E(G) & = 498\times \dfrac{1}{800}+98\times\dfrac{2}{800}+8\times\dfrac{6}{800}-2\times\dfrac{791}{800}\\
E(G) & =\dfrac{498+196+48-1582}{800}\\
E(G) & =-1,05.
\end{aligned}$

\item Comme l'espérance de la variable aléatoire qui donne le gain du joueur est négative, cela signifie que le jeu est favorable à l'organisateur.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Pour acheter les 800 billets, la personne débourse :
\[
800 \times 2=\numprint{1600}~\text{euros}.
\]
\item Les 9 billets gagnants permettent de gagner au total : \[500+2\times 100+6\times 10=760 \text{ euros}.\]
\item La personne a donc perdu $\numprint{1600}-760=840$ euros.
\item Cela revient à une perte moyenne par billet de $\dfrac{840}{800}=1,05$ euros.\\
On peut donc considérer qu'elle \og gagne \fg{} en moyenne $-1,05$ euros par billet, ce qui est égal à l'espérance de gain du joueur calculée précédemment. 
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Un sac}{Lycée Charlemagne, Paris}{1}{15}
Un sac contient trois boules numérotées : deux portent le numéro 4 et une porte le numéro 3.\\
On tire au hasard une boule du sac, on note son numéro $a$ et on la remet dans le sac.\\
On répète une deuxième fois l'expérience et on désigne par $b$ le numéro de la boule tirée.
\begin{questions}
\item Décrire l'expérience aléatoire.
\item Quel est l'univers de cette expérience ?
\item On admet que :\[
p(3~; 3) = \frac{1}{9}\quad ;\quad p(3~; 4) = p(4~; 3) = \frac{2}{9}.\]
Calculer $p(4~; 4)$.
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, au résultat noté $(a~;b)$, associe $a + b$.
\begin{questions}
\item Donner la loi de probabilité de X.
\item Calculer son espérance et sa variance.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il s'agit de la répétition deux fois du tirage d'une boule parmi trois.
\item L'univers est : $\{(4~; 4), (4~; 3), (3~; 3), (3~; 4)\}$.
\item $p(4~; 4) = 1 -(p(3~; 3) + p(3~; 4) + p(4~; 3)) = 1-\frac{1}{9}-\frac{2}{9}-\frac{2}{9}=\frac{4}{9}$.
\item 
\begin{questions}
\item $X$ prend les valeurs 6, 7 et 8.

Sa loi de probabilité est :\hfill \begin{tabular}{|R|*3{Zc|}}
\hline
$x_i$  & 6 & 7 & 8\\
\hline
$P(X = x_i)$ & $\frac{1}{9}$ & $\frac{4}{9}$ & $\frac{4}{9}$\\
\hline
\end{tabular}

\item $E(X) = 6\times\frac{1}{9}+7\times\frac{4}{9}+8\times\frac{4}{9}=\frac{22}{3}$.\\[8pt]
$V(X) =\frac{1}{9}\left(6-\frac{22}{3}\right)^2 + \frac{4}{9}\left(7-\frac{22}{3}\right)^2 + 	\frac{4}{9}\left(8-\frac{22}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Jeu équitable}{Lycée Fustel de Coulanges, Massy}{1}{15}
Lors d'une loterie, un joueur mise 2 euros. Lors du tirage, trois résultats sont possibles. La probabilité qu'il gagne 10 euros est $\dfrac{2}{11}$, la probabilité qu'on lui rembourse sa mise est $\dfrac{1}{4}$, et il ne reçoit rien le reste du temps. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue du tirage.
\begin{questions}
\item Donner la loi de probabilité de $X$ et son espérance $E(X)$.
\item On dit que le jeu est favorable à l'organisateur si $E(X)<0$.
\begin{questions}
\item Le jeu est-il favorable à l'organisateur?
\item L'organisateur souhaite que le jeu soit équitable, c'est-à-dire que $E(X)=0$. Il va changer la règle du jeu. La probabilité  que le joueur gagne ne change pas, mais si le joueur gagne, il reçoit une somme S. Déterminer la valeur de S.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item En tenant compte de la mise, les valeurs prises par $X$ sont 8, $-2$ et 0.

La loi de probabilité de $X$ est : \hfill \begin{tabular}{|L|*3{Zc|}}
\hline
Gain $x_i$&$-2$&0&8\\
\hline
$P(X=x_i)$&$\dfrac{25}{44}$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{2}{11}$\\
\hline
\end{tabular}
\Par
$E(X)=-2\times \dfrac{25}{44}+0\times \dfrac{1}{4}+8\times \dfrac{2}{11}=\dfrac{14}{44}=\dfrac{7}{22}$.
\item
\begin{questions}
\item Le jeu n'est pas favorable à l'organisateur, car l'espérance du gain du joueur est positive.
\item Pour que $E(X)=0$, on doit avoir $-2\times \dfrac{25}{44}+(S-2)\times \dfrac{2}{11}=0$.\\
Cela donne la condition $-50+8S-16=0$, c'est-à-dire\linebreak$S=\dfrac{66}{8}=8,25$.\\
Pour que le jeu soit équitable, il faut que lorsqu'il gagne, le joueur ne gagne que $8,25$ euros.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2019

\begin{exo}{Un jeu d'enfant}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{1}{15}
\begin{minipage}{55mm} 
Un jeu de construction est composé de 10 cubes de même taille. Un enfant les assemble de manière à obtenir le solide ci-dessous dont il peint ensuite toutes les faces. Par exemple, le cube en bas à droite a 5 de ses faces qui sont peintes.
Il sépare à nouveau les 10 cubes et en tire un au hasard. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de faces peintes sur le cube choisi.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{45mm}
\includegraphics{316_8_fig_4}
\end{minipage}
\begin{questions}
\item Déterminer l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs prises par $X$.
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer son espérance et interpréter par une phrase le résultat.
\item Calculer l'écart-type de $X$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Sur le schéma suivant, le nombre de faces peintes a été inscrit sur chaque cube:
\begin{center}
\includegraphics{326_8_fig_5}
\end{center}
\begin{questions}
\item D'après les observations précédentes, $X(\Omega)=\{2~;3~;4~;5\}$.

\item La loi de probabilité de $X$ est:
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & 2&3&4&5\\
\hline
$p(X=x_i)$& $\dfrac{1}{10}=0,1$ & $\dfrac{4}{10}=0,4$ & $\dfrac{3}{10}=0,3$ & $\dfrac{2}{10}=0,2$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
E(X) & = 2\times0,1 + 3\times0,4 + 4\times0,3 + 5\times0,2\\
& = 0,2+1,2+1,2+1\\
& = 3,6.
\end{aligned}$

On peut en déduire que si l'enfant répète un grand nombre de fois cette expérience, chaque cube aura en moyenne entre 3 et 4 faces peintes.

\item Ajoutons une ligne à la loi de probabilité de $X$:
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & 2&3&4&5\\
\hline
Valeurs de $X^2$ & 4&9&16&25\\
\hline
$p(X=x_i)$& $0,1$ & $0,4$ & $0,3$ & $0,2$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Alors, la variance de $X$ est :
\begin{align*}
V(X) & = \big(4\times0,1 + 9\times0,4 + 16\times0,3 + 25\times0,2\big)-3,6^2\\
& = 0,84.
\end{align*}
Ainsi, l'écart-type de $X$ est:
\[
\sigma(X)=\sqrt{0,84}\approx0,9.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Dé tétraédrique}{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{1}{20}
On considère un dé tétraédrique truqué dont les faces portent les numéros 2, 4, 5 et 7.\\
On note $p_2$, $p_4$, $p_5$ et $p_7$ les probabilités de tomber respectivement sur 2, 4, 5 ou 7. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à la face obtenue, associe le nombre indiqué dessus. On sait que :
\begin{itemize}
\item $p_2=p_5$,
\item il y a deux fois moins de chances d'obtenir le 4 que le 5,
\item il y a trois fois plus de chances d'obtenir le 7 que le 2.
\end{itemize}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item Montrer que $p_4=\dfrac{1}{11}$. Tous les détails des calculs devront clairement apparaître sur la copie.
\item En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item Calculer l'espérance de $X$.
\end{questions}
\item On lance une fois ce dé.\\
Soit $A$ l'événement : \og on obtient une face avec un numéro pair \fg.\\
Soit $B$ l'événement : \og on obtient une face avec un numéro supérieur à 3 \fg.\\
Calculer $P(A)$ et $P(B)$.
\item Décrire par une phrase chacun des événements $\overline{A},\ A\cap B$ et $A \cup B$, puis calculer leurs probabilités.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Sachant que la somme des probabilités vaut 1, avec les trois indications de l'énoncé on obtient les quatre équations suivantes :
\[\left\lbrace 
\begin{array}{l}
p_2+p_4+p_5+p_7=1\\
p_2=p_5\\
p_5=2p_4\\
p_7=3p_2\\
\end{array}
\right.
\]

On trouve donc :
\[\left\lbrace 
\begin{array}{l}
p_5=2p_4\\
p_2=2p_4\\
p_7=6p_4\\
2p_4+p_4+2p_4+6p_4=1
\end{array}
\right.
\]

Par conséquent, on a bien $p_4=\dfrac{1}{11}$.
\item On en déduit les probabilités d'obtenir chaque valeur:\\
$p(X=4)=p_4=\dfrac{1}{11}$.\\
$p(X=2)=P(X=5)=2p_4=\dfrac{2}{11}$.\\
$p(X=7)=6p_4=\dfrac{6}{11}$.


On peut rassembler ces résultats dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
$x_i$&2&4&5&7\\
\hline
$p_i$&$\dfrac{2}{11}$&$\dfrac{1}{11}$&$\dfrac{2}{11}$&$\dfrac{6}{11}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $E(X)=2\times\dfrac{2}{11}+4\times\dfrac{1}{11}+5\times\dfrac{2}{11}+7\times\dfrac{6}{11}=\dfrac{60}{11}$.
\end{questions}
\item $p(A)=p(X=2)+p(X=4)=\dfrac{3}{11}$.\\
$p(B)=1-p(X=2)=\dfrac{9}{11}$.
\item $\overline{A}$ est l'événement : \og on obtient une face avec un numéro impair \fg, donc  $p(\overline{A})=1-p(A)=\dfrac{8}{11}$.\\
$A\cap B$ est l'événement : \og on obtient une face avec un numéro pair\linebreak supérieur à 3 \fg, donc $p(A\cap B)=p(X=4)=\dfrac{1}{11}.$\\
$A\cup B$ est l'événement : \og on obtient un numéro pair ou un numéro plus grand que 3 \fg. On constate que toutes les issues conviennent, donc $p(A\cup B)=1$. 
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Tirage de boules dans une urne}{Institut Notre-Dame, Meudon}{1}{20}
Une urne contient trois boules indiscernables au toucher : une rouge, une verte et une bleue.
On tire au hasard et successivement deux boules, on note les couleurs obtenues dans l'ordre des tirages, la première boule étant replacée dans l'urne avant le second tirage.
\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.
\item On instaure la règle suivante : le tirage d'une boule rouge rapporte un point, celui d'une verte deux points et celui d'une bleue fait perdre trois points.
\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $T$ définie par la somme des points marqués dans l'expérience précédente.
\item Calculer l'espérance de $T$. Le jeu est-il équitable ?
\end{questions}
\item Calculer la probabilité  pour un joueur de perdre la partie, c'est-à-dire d'avoir un total négatif de points.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité associée à cette 
expérience aléatoire, c'est
donner l'ensemble des résultats possibles de l'expérience aléatoire 
et, pour chaque résultat, la probabilité associée.
        \par
Comme on tire successivement deux boules, les résultats possibles 
sont les couples dont la première composante correspond à la boule 
obtenue au premier tirage et la deuxième composante correspond à la 
boule obtenue au deuxième tirage.
Si on désigne la boule rouge par $R$, la verte par $V$ et la bleue 
par $B$, on a :
\begin{multline*}
  \Omega= \{ (R,R), (R,V), (R,B), (V,R), (V,V), (V,B), (B,R),\\ (B,V),
  (B,B)\}
\end{multline*}

Les boules sont indiscernables au toucher, elles ont donc toutes la 
même probabilité d'être tirées et on est en situation 
d'équiprobabilité.
Comme il existe 9 résultats possibles à cette expérience aléatoire, 
la probabilité de chacun des résultats est $\dfrac{1}{9}$.


\item 
\begin{questions}
\item La variable aléatoire $T$ peut prendre les valeurs:
\begin{itemize}
\item $-6$ (quand on tire deux boules bleues),
\item $-2$ (quand on tire une boule rouge et une bleue),
\item $-1$ (quand on tire une boule verte et une bleue),
\item $+2$ (quand on tire deux boules rouges),
\item $+3$ (quand on tire une boule rouge et une verte),
\item $+ 4$ (quand on tire deux boules vertes).
\end{itemize}
Il existe un seul couple correspondant au tirage de deux boules 
bleues donc :
\[ P(T=-6) = \frac{1}{9}. \]
Il existe deux couples correspondant au tirage d'une rouge et d'une 
bleue : $(R,B)$ et $(B,R)$ donc :
\[ P(T=-2) = \frac{2}{9}. \]
En raisonnant de même, on obtient :
\begin{align*}
  P(T= -1) = \dfrac{2}{9}\quad, &  \quad  P(T=2) = \dfrac{1}{9},\\
  P(T=3) = \dfrac{2}{9}\quad, & \quad P(T=4) = \dfrac{1}{9}.
\end{align*}

On peut récapituler ces résultats dans un tableau :
         \[
         \begin{array}{|R|*6{c|}}
\hline
K        &       -6     &     -2        &     -1           &    
+2        &   +3   &    +4 \\
         \hline
P(T=K)  &  \dfrac{1\strut}{9\strut}  &  \dfrac{2}{9}   &  \dfrac{2}{9}   &  
\dfrac{1}{9}   & \dfrac{2}{9}   &   \dfrac{1}{9} \\
         \hline
\end{array}
         \]
On vérifie que la somme des probabilités est bien égale à 1.
\item $E(T)=-6\times\frac{1}{9}-2\times\frac{2}{9}-1\times\frac{2}{9}+2\times\frac{1}{9}+3\times\frac{2}{9}+4\times\frac{1}{9}=0$.\\
Donc, le jeu est équitable.
\end{questions}

\item Le joueur perd la partie lorsqu'il a un nombre négatif 
de points, c'est-à-dire 
lorsque $T$ prend les valeurs $-6$ ou $-2$ ou $-1$.
Soit $A$ l'événement \og{} le joueur perd la partie \fg{}.
         \[
         \begin{aligned}
P(A) &= P(T=-6) + P(T=-2) + P(T=-1) \\
P(A) &= \frac{1}{9} + \frac{2}{9} +\frac{2}{9}\\
P(A) &= \frac{5}{9}.
\end{aligned}
         \]
La probabilité que le joueur perde la partie est $\dfrac{5}{9}$.

\begin{Remarque}
cela n'est pas contradictoire avec $E(T)=0$.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2019

\begin{exo}{Propriétés}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{20} 
Le tableau suivant donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ :
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*5{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & 0 &1 &2 & 3& 4\\ 
\hline
$p_i=p(X=x_i)$&	0,2&	0,1&	0,2&	0,4&0,1\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{questions}
\item Déterminer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
\item Soit Y la variable aléatoire définie par $Y=-2X+3$.

Déterminer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.
\item $a$ est un nombre réel positif et $b$ un nombre réel. $Z$ est la variable\linebreak aléatoire définie par $Z=aX+b$.\\ Déterminer $a$ et $b$ tels que $V(Z)=0,25$ et $E(Z)=1,42$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
E(X) & = 0\times0,2 + 1\times0,1 + 2\times0,2 + 3\times0,4+4\times0,1\\
& = 2,1.
\end{aligned}$

Pour calculer la variance, ajoutons une ligne à la loi de probabilité de $X$:
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*5{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & 0 &1 &2 & 3& 4\\ 
\hline
Valeurs de $X^2$ & 0 &1 &4 & 9& 16\\ 
\hline
$p_i=p(X=x_i)$&	0,2&	0,1&	0,2&	0,4&0,1\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par


D'après la formule de König-Huygens, on a:
\begin{align*}
V(X) & = \big( 0\times0,2 + 1\times0,1 + 4\times0,2 + 9\times0,4+16\times0,1 \big) - 2,1^2\\
& = 1,69.
\end{align*}

Ainsi, l'écart-type de $X$ est: $\sigma(X)=\sqrt{1,69}=1,3$.

\item D'après le cours,
\begin{itemize}
\item $E(Y)=E(-2X+3)=-2E(X)+3=-2\times2,1+3=-1,2$.
\item $V(Y)=V(-2X+3)=(-2)^2V(X)=4\times1,69=6,76$.
\item $\sigma(Y)=\sigma(-2X+3)=|-2|\sigma(X)=2\times1,3=2,6$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
V(Z)=0,26 & \iff a^2V(X)=0,25\\
& \iff a^2 = \dfrac{0,25}{1,69}\\
& \iff a=\sqrt{\dfrac{0,25}{1,69}}\text{ car }a>0\\
& \iff a = \dfrac{0,5}{1,3}=\dfrac{5}{13}.
\end{aligned}$

\Par


$\begin{aligned}[t]
E(Z)=1,42 & \iff aE(X)+b=0,42\\
& \iff 2,1a+b=0,42\\
& \iff b=0,42-2,1\times\dfrac{5}{13}\\
& \iff b = -\dfrac{126}{325}.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Somme des chiffres}{Lycée La Bruyère, Versailles}{1}{20}
On choisit au hasard un nombre entre 0 et 25 (compris) et on définit la\linebreak variable aléatoire qui lui associe la somme de ses chiffres.
\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$, son espérance et son écart-type.
\item Soit la variable aléatoire $Y =  -2X + 5$.\\
Donner son espérance et son écart-type.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le tableau suivant donne la somme des chiffres des nombres de 0 à 25.\enlargethispage*{5em}

\Par

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Zc|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline\tabulartitle
Nombre & \scalebox{0.95}{Somme des chiffres}\\
\hline
0 & 0\\
\hline
1 & 1\\
\hline
2 & 2\\
\hline
3 & 3\\
\hline
4 & 4\\
\hline
5 & 5\\
\hline
6 & 6\\
\hline
7 & 7\\
\hline
8 & 8\\
\hline
9 & 9\\
\hline
10 & 1\\
\hline
11 & 2\\
\hline
12 & 3\\
\hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Zc|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline\tabulartitle
Nombre & \scalebox{0.95}{Somme des chiffres}\\
\hline
13 & 4\\
\hline
14 & 5\\
\hline
15 & 6\\
\hline
16 & 7\\
\hline
17 & 8\\
\hline
18 & 9\\
\hline
19 & 10\\
\hline
20 & 2\\
\hline
21 & 3\\
\hline
22 & 4\\
\hline
23 & 5\\
\hline
24 & 6\\
\hline
25 & 7\\
\hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
\Par
Les nombres étant tirés au hasard, chacun des 26 nombres a pour \linebreak probabilité $\frac{1}{26}$ d'être tiré.

\Par
On obtient donc la loi de probabilité suivante pour X :

\Par

\begin{tabular}{|R|*6{Zc|}}
\hline
$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{1}{26}$ & $\frac{2}{26}$ & $\frac{3}{26}$ & $\frac{3}{26}$ & $\frac{3}{26}$ & $\frac{3}{26}$\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$x_i$ &  6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{3}{26}$ & $\frac{3}{26}$ & $\frac{2}{26}$ & $\frac{2}{26}$ & $\frac{1}{26}$ \\
\hline
\end{tabular}
\enlargethispage*{2em}

On a donc :

\begin{itemize}
\item $E(X)  =0\times\frac{1}{26}+1\times\frac{2}{26}+\cdots+10\times\frac{1}{26}=\frac{127}{26}$.
\item $\begin{aligned}[t]
V(X) & =\frac{1}{26}\left(0-\frac{127}{26}\right)^2+\frac{2}{26}\left(1-\frac{127}{26}\right)^2\\
& \hspace*{8em} +\cdots+\frac{1}{26}\left(10-\frac{127}{26}\right)^2 =\frac{\numprint{4905}}{676}.\end{aligned}$
\item $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\frac{\numprint{4905}}{676}}\approx 2,69$.
\end{itemize}

\item $E(Y) = - 2 E(X) + 5 = -\frac{62}{13}$, et $\sigma(Y) = 2\sigma(X)=2\sqrt{\frac{\numprint{4905}}{676}}\approx 5,39$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Des numéros et des couleurs}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-fossés}{1}{25}
Une urne contient trois boules vertes numérotées respectivement 1, 2, 3, deux boules rouges numérotées respectivement 1 et 2, et une boule noire numérotée~1.\\
On tire au hasard successivement et avec remise deux boules de l'urne.\\
On note la couleur et le numéro de chaque boule tirée.
\begin{questions}
\item \`A l'aide d'un tableau à double entrée, déterminer toutes les issues possibles de l'expérience.
\item On nomme A, B et C les trois événements suivants :
\begin{itemize}
\item A : \og Les deux boules tirées sont de couleurs différentes \fg.
\item B : \og La deuxième boule porte le numéro 1 \fg.
\item C : \og Les deux boules tirées portent le même numéro \fg.
\end{itemize}
\begin{questions}
\item Calculer la probabilité des événements A, B et C.
\item Définir par une phrase les événements $\text{A}\cap\text{C}$, $\text{A}\cup\text{C}$, $\overline{\text{B}}$, $\overline{\text{A}}\cup\text{B}$, puis calculer leurs probabilités respectives.
\end{questions}
\item $X$ est la variable aléatoire qui, à chaque issue de l'expérience, associe la somme des deux numéros obtenus.
\begin{questions}
\item Donner l'ensemble des valeurs prises par $X$.
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Déterminer l'espérance et la variance de $X$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le tableau ci-dessous permettra de répondre à toutes les questions :

\Par

\hspace*{-2em}
\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
\backslashbox{2\ieme{} boule}{1\iere{} boule} & $V_1$ & $V_2$ & $V_3$ & $R_1$ & $R_2$ & $N_1$\\
\hline
$V_1$ & $V_1V_1$ & $V_1V_2$ & $V_1V_3$ & $V_1R_1$ & $V_1R_2$ & $V_1N_1$\\
\hline
$V_2$ & $V_1V_2$ & $V_2V_2$ & $V_3V_2$ & $R_1V_2$ & $R_2V_2$ & $N_1V_2$\\
\hline
$V_3$ & $V_1V_3$ & $V_2V_3$ & $V_3V_3$ & $R_1V_3$ & $R_2V_3$ & $N_1V_3$\\
\hline
$R_1$ & $V_1R_1$ & $V_2R_1$ & $V_3R_1$ & $R_1R_1$  & $R_2R_1$ & $N_1R_1$\\
\hline
$R_2$ & $V_1R_2$ & $V_2R_2$ & $V_3R_2$ & $R_1R_2$ & $R_2R_2$ & $N_1R_2$\\
\hline
$N_1$ & $V_1N_1$ & $V_2N_1$ & $V_3N_1$ & $R_1N_1$ & $R_2N_1$ & $N_1N_1$\\
\hline
\end{tabular}

\Par

Il y a donc 36 issues possibles.

\item 
\begin{questions}
\item $p(A)=\frac{22}{36}=\frac{11}{18}$. Il suffit pour trouver ce résultat de compter les issues où ne figurent pas deux fois la même couleur.

\pagebreak

$p(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$. En effet il y a trois lignes pour lesquelles la deuxième boule porte le numéro 1.

\Par

$p(C) =\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$. Là encore on compte dans le tableau précédent les cases où les deux boules portent le même numéro.

\item 
\begin{itemize}
\item $A\cap C$ : \og les 2 boules tirées sont de couleurs différentes et portent le même numéro \fg.
\[
P(A\cap C)=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}.
\]

\item $A\cup C$ : \og les 2 boules tirées sont de couleurs différentes ou portent le même numéro \fg.
\begin{align*}
P(A\cup C)& =P(A)+P(C)-P(A\cap C)\\
& =\frac{11}{18}+\frac{14}{36}-\frac{2}{9}\\
& =\frac{28}{36}=\frac{7}{9} \text{ (vérifiable dans le tableau)}.
\end{align*}

\item $\overline{B}$ : \og la 2\ieme{} boule porte le numéro 2 ou 3 \fg.
\[
P(\overline{B})=1-P(B)=\frac{1}{2}.
\]

\item $\overline{A}\cup B$ : \og les 2 boules tirées ont la même couleur ou la deuxième porte le numéro 1 \fg.
\[
P(\overline{A}\cup B)=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}.
\]
\end{itemize}
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item On peut avoir une somme égale à 2, 3, 4, 5 ou 6.
\item En utilisant le tableau ci-dessus, on obtient la loi de probabilité suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$x_i$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{9}{36}$ & $\frac{12}{36}$ & $\frac{10}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $E(X)=2\times\frac{9}{36}+3\times\frac{12}{36}+4\times\frac{10}{36}+5\times\frac{4}{36}+6\times\frac{1}{36}=\frac{10}{3}$.

\medskip

$\begin{aligned}[t]
V(X) & =\frac{9}{36}\left(2-\frac{10}{3}\right)^2+ \frac{12}{36}\left(3-\frac{10}{3}\right)^2 + \frac{10}{36}\left(4-\frac{10}{3}\right)^2 \\
& \phantom{=} + \frac{4}{36}\left(5-\frac{10}{3}\right)^2 + \frac{1}{36}\left(6-\frac{10}{3}\right)^2\\
& = \frac{10}{9}.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Dodécaèdre}{Lycée \'Edouard Herriot, Lyon}{2}{15}
On lance un dé  équilibré dont les 12 faces sont numérotées de 1 à 12.\\
Si le numéro obtenu est pair, le joueur gagne 2 points.\\
Si le numéro obtenu est un multiple de 3, le joueur gagne 3 points.\\
Si le numéro obtenu est supérieur ou égal à 10, le joueur gagne 4 points.\\
Dans tous les autres cas, le joueur perd 5 points. \\
Les gains sont cumulables si le numéro obtenu réalise plusieurs de ces conditions.
\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui, à un\linebreak lancer, associer le gain obtenu.
\item Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Ce jeu est-il équitable ?
\item Combien de points devrait-on prendre au joueur lorsqu'il perd pour que le jeu soit équitable ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour commencer, on va calculer le gain obtenu pour chaque face.

\begin{tabular}{|>{\fontsize{7}{9}\selectfont\arraybackslash}M{8mm}|*{12}{>{\centering\arraybackslash}m{3mm}|}}
\hline
Propriété&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
Pair&&2&&2&&2&&2&&2&&2\\
\hline
Multiple de 3&&&3&&&3&&&3&&&3\\
\hline
Supérieur ou égal à 10&&&&&&&&&&4&4&4\\
\hline
Autres cas&$-5$&&&&$-5$&&$-5$&&&&&\\
\hline
Total&$-5$&2&3&2&$-5$&5&$-5$&2&3&6&4&9\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

Comme le dé est équilibré, chaque issue a la même probabilité de se réaliser. On obtient ainsi la loi de probabilité des gains :
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*7{Zc|}}
\hline
Gains&$-5$&2&3&4&5&6&9\\
\hline
$P(X=x_i)$&$\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{1}{12}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
E(X) & = \dfrac{(-5)\times3+2\times 3+3 \times 2 +4\times 1+5\times 1+6\times 1+9\times 1}{12}\\
E(X) & =\dfrac{21}{12}\\
E(X) & =\dfrac{7}{4}\\
E(X) & =1,75.
\end{aligned}$

Comme l'espérance est positive, le jeu est favorable au joueur ~; il n'est donc pas équitable.

\item En appelant S le nombre de points à prendre au joueur quand il perd, l'espérance devient :

$\begin{aligned}[t]
E(X) & = \dfrac{(-S)\times3+2\times 3+3 \times 2 +4\times 1+5\times 1+6\times 1+9\times 1}{12}\\
E(X) & =\dfrac{-3S+36}{12}.
\end{aligned}$

\Par


L'espérance est donc nulle pour $-3S+36=0$, c'est-à-dire $S=12$.

\Par

Il faut donc prendre 12 points au joueur quand il perd pour que le jeu soit équitable.
\newpage
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2019 % VIDEO

\begin{exo}{Sac de boules}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{15} 
Un sac contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule rouge, 3 boules jaunes et $n$ boules noires ($n$ désigne un entier naturel strictement positif).\\
On organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard.\\
Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 10 \euro; si la boule est jaune, il reçoit 2 \euro; si la boule est noire, il ne reçoit rien.\\
Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un billet d'entrée coûtant 1 \euro.\\
On note $X_n$  la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur ( somme reçue moins la mise ).

\begin{questions}	
\item Quel est le nombre de boules dans le sac ?
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_n$ .
\item Déterminer, en fonction de $n$, l'espérance mathématique de $X_n$ .
\item On souhaite que l'espérance soit négative. Quel nombre minimal de boules noires doit-il y avoir dans le sac ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il y a en tout $n+3+1=n+4$ boules dans le sac.
\item La loi de probabilité de $X_n$ est:

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*3{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X_n$ & $-1$ & 1 & 9 \\
\hline
$p(X_n=x_i)$ & $\dfrac{n}{n+4}$ & $\dfrac{3}{n+4}$ & $\dfrac{1}{n+4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

En effet, il y a une mise de départ : 1 \euro. Donc quand le joueur gagne 2~\euro, au final, il ne gagne que 1 \euro. Il en est de même pour les autres valeurs de $X_n$.

\item $\begin{aligned}[t]
E(X_n) & = (-1)\times\dfrac{n}{n+4} + 1\times\dfrac{3}{n+4} + 9\times\dfrac{1}{n+4}\\
& = \dfrac{12-n}{n+4}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
E(X_n)<0 & \iff \dfrac{12-n}{n+4} < 0\\
& \iff 12-n<0\text{ car }n>0\text{ donc }n+4>0\\
& \iff n > 12.
\end{aligned}$

Il faut donc qu'il y ait au minimum 13 boules noires pour que l'espérance mathématique de $X_n$ soit strictement négative.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Loi d'une variable aléatoire}{Lycée La Bruyère, Versailles}{3}{20}
Une urne contient 10 boules blanches et $n$ boules noires, $n$ étant un nombre entier supérieur ou égal à 2.\\
Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.\\
Pour chaque boule blanche obtenue on gagne 2~\euro{} et pour une boule noire on perd 3~\euro.
On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur.\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item \emph{Le joueur tire une boule}.
\begin{questions}
\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
\item Donner, en fonction de $n$, la loi de probabilité de $X$.
\item Exprimer $E(X)$ en fonction de $n$.
\item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles le jeu est favorable au joueur.
\end{questions}

\item Le joueur tire successivement deux boules, et sans remise.
\begin{questions}
\item Quelles sont les valeurs possibles pour $X$ ?
\item Donner la loi de probabilité de $X$.
\item Exprimer $E(X)$ en fonction de $n$.
\item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles le jeu est défavorable au joueur.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $X$ peut prendre les valeurs $-3$ et 2.
\item Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité de X :
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*2{Zc|}}
\hline
$x_i$ & $-3$ & 2\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{n}{10+n}$ & $\frac{10}{10+n}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item $E(X)=\frac{-3n+20}{10+n}$.
\item Le jeu est favorable au joueur si $E(X)>0$. Or, $n$ est un nombre\linebreak positif, donc le jeu est favorable au joueur si et seulement si \linebreak $-3n + 20 > 0 $.
\[-3n + 20 > 0 \Leftrightarrow n<\frac{20}{3} \]
$n$ étant un nombre entier, le jeu est favorable au joueur si et seulement si $n$ est au plus égal à 6. Comme $n$ est supérieur ou égal à 2, les seules valeurs pour lesquelles le jeu est favorable au joueur sont 2, 3 , 4 , 5 et 6.
\end{questions}

\item \begin{questions}
\item Le joueur peut perdre les deux parties, auquel cas son gain algébrique est $-6$. \\
Il peut gagner une partie et perdre l'autre, auquel cas son gain algébrique est $-1$. \\
Il peut aussi gagner les deux parties, auquel cas son gain algébrique est 4.\\
Les trois valeurs possibles pour $X$ sont donc $-6$, $-1$ et 4.

\item L'expérience peut être représentée par l'arbre suivant :
\begin{center}
\includegraphics{335_8_fig_3}
\end{center}

Ainsi, on a par exemple :

\[
p(B\cap B)=\frac{10}{n+10}\times\frac{9}{n+9}=\frac{90}{(n+10)(n+9)}.
\]

On obtient donc la loi de probabilité suivante :

\Par

\hspace*{-4em}
\begin{tabular}{|R|*3{Zc|}}
\hline
$x_i$ & $-6$ & $-1$ & 4\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{n(n-1)}{(n+10)(n+9)}$ & $\frac{20n}{(n+10)(n+9)}$ & $\frac{90}{(n+10)(n+9)}$\\
\hline
\end{tabular}

\Par

\begin{align*}
E(X)&=\frac{-6n(n-1)-20n+360}{(n+10)(n+9)}\\
&=\frac{-6n^2-14n+360}{(n+10)(n+9)}.
\end{align*}

$n$ étant un entier naturel, le dénominateur de $E(X)$ est positif.

Pour le numérateur, il faut trouver les racines.

$\Delta =  \numprint{8836} = 94^2$. Les deux racines sont donc : 

\[ n'=\frac{14-94}{-12}=	\frac{20}{3}\quad\text{et}\quad n''=\frac{14+94}{-12}=-9.\]

Le coefficient de $n^2$ étant négatif, on en déduit que $E(X)$ est positif entre les racines, soit pour $0<n<\frac{20}{3}$, et négatif pour $n >\frac{20}{3}$.\\
Le jeu est donc défavorable au joueur dès que $n$ est supérieur ou égal à 7, comme précédemment.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}



%%%

\begin{exo}{La bonne proportion}{Lycée Notre-Dame de Sainte-Croix, Neuilly-sur-Seine}{3}{30}
Marie propose le jeu suivant à Pierre. Un sac contient $n$ boules noires et une boule blanche (avec $n$ un entier strictement positif). Pierre tire une boule au hasard, note sa couleur, la remet dans le sac puis tire une nouvelle boule. Si les deux boules tirées sont noires, Marie donne 1~\euro{} à Pierre. Si elles sont blanches, Marie donne 10~\euro{} à Pierre. Si elles sont de couleurs différentes, Pierre donne $3,50$~\euro{} à Marie.\\
On note $G$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique de Pierre (qui peut être négatif si c'est une perte).
\begin{questions}
\item On suppose dans cette question que $n=6$.
\begin{questions}
\item Combien y a-t-il de boules dans l'urne ?
\item  Faire un arbre pondéré.
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $G$.
\item Interpréter ce résultat.
\end{questions}
\item Dans le cas général.
\begin{questions}
\item Combien y a-t-il de boules dans l'urne ?
\item Quelle est, en fonction de $n$, la probabilité de tirer une boule noire au premier tirage ?
\item Faire un arbre pondéré.
\item Calculer la loi de probabilité de $G$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $G$ en fonction de $n$.
\item Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est-il équitable ?
\item Pour quelles valeurs de $n$ le jeu risque-t-il de rapporter le plus d'argent à Marie ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Il y a $6+1=7$ boules dans l'urne.
\item On peut représenter l'expérience par l'arbre suivant :

\begin{center}
\includegraphics{336_8_fig_1}
\end{center}

\item La variable aléatoire $G$ prend la valeur 1 lorsque les deux boules sont noires, la valeur 10 si les deux boules sont blanches et la valeur $-3,5$ si les boules sont de couleurs différentes.\\
Le jeu consiste en la répétition de deux expériences identiques et indépendantes.

\Par

 La probabilité d'une liste de résultats  est donc égale au produit de chaque résultat de la liste. On a alors la loi de probabilité suivante :

\begin{itemize}
\item $P(G=1) =\dfrac{6}{7}\times \dfrac{6}{7}=\dfrac{36}{49}$.

\item $P(G=10) =\dfrac{1}{7}\times \dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{49}$.


\item $P(G=-3,5)=\dfrac{6}{7}\times \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}\times \dfrac{6}{7} =\dfrac{12}{49}$.
\end{itemize}


\item $\begin{aligned}[t]
E(G)& =1 \times \dfrac{36}{49}+ 10 \times \dfrac{1}{49}-3,5\times \dfrac{12}{49}\\
& =\dfrac{4}{49}.\end{aligned}$

\item Cela signifie que sur un grand nombre de parties, Pierre peut\linebreak espérer gagner en moyenne $\dfrac{4}{49}$ euros par partie.
\end{questions}
\item On refait les mêmes raisonnements en remplaçant 6 par $n$.
\begin{questions}
\item Il y a $n+1$ boules dans l'urne.
\item La probabilité de tirer une boule noire à chaque tirage est donc $\dfrac{n}{n+1}.$

\item L'arbre associé à l'expérience est :

\begin{center}
\includegraphics{337_8_fig_2}
\end{center}

\item 
$P(G=1)=\dfrac{n}{n+1}\times \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{n^2}{(n+1)^2}$.\\
$P(G=10)=\dfrac{1}{n+1}\times \dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^2}$.\\
$P(G=-3,5)=\dfrac{n}{n+1}\times \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}\times \dfrac{n}{n+1} =\dfrac{2n}{(n+1)^2}$.\\
\item $\begin{aligned}[t]
E(G) & =1 \times \dfrac{n^2}{(n+1)^2}+ 10 \times \dfrac{1}{(n+1)^2}-3,5\times \dfrac{2n}{(n+1)^2}\\
E(G) & =\dfrac{n^2-7n+10}{(n+1)^2}.
\end{aligned}$

\item Le jeu est équitable lorsque $E(G)=0$, c'est-à-dire lorsque\linebreak$n^2-7n+10=0$.\\ 
Le discriminant de cette équation du second degré en $n$ vaut 9. Elle a donc deux solutions : 2 et 5.\\
Le jeu est donc équitable lorsqu'il y a 2 ou 5 boules noires et une blanche.
\item Le jeu risque risque de rapporter le plus d'argent à Marie lorsque l'espérance du gain de Pierre est minimale. Il faut donc trouver pour quelle(s) valeur(s) entière(s), l'expression  $\dfrac{n^2-7n+10}{(n+1)^2}$ est minimale.\\
Posons $f(x)=\dfrac{x^2-7x+10}{(x+1)^2}$ et étudions les variations de $f$ sur $[1~;+\infty[$. 

$\begin{aligned}[t]
f'(x)& = \dfrac{(2x-7)(x+1)^2-2(x+1)(x^2-7x+10)}{(x+1)^4}\\
& = \dfrac{(2x-7)(x^2+2x+1)-2(x+1)(x^2-7x+10)}{(x+1)^4}\\
& = \dfrac{9(x^2-2x-3)}{(x+1)^4}.
\end{aligned}$. 


Le numérateur s'annule pour $x=-1$ et $x=3$.

La fonction $f$ est donc décroissante sur l'intervalle $[1~;3]$ (entre les racines), puis croissante.

Le minimum du gain pour Pierre est donc atteint quand $n=3$.

Le gain pour Marie est alors 0,125 \euro.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\newpage

\sectionnn{Algorithmes \& programmation}

%%%

\begin{exo}{Transformation affine}{\null}{1}{5} 
Dans un programme Python, on suppose connues les listes \texttt{X} et \texttt{P} contenant respectivement les valeurs et leurs probabilités d'une variable aléatoire $X$.

On considère la variable $Y=-3X+5$.

\Par

\'Ecrire la portion de code permettant de créer la liste \texttt{Y} contenant toutes les valeurs de la variable aléatoire $Y$.
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{2em}
Le bout de code permettant de construire la liste \texttt{Y} définie par $Y=-3X+5$ est le suivant :

\Par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1cm}>{\ttfamily}X}
 & Y = [] \\
 & for i in X: Y.append(-3*i+5)
\end{tabularx}

\Par 

\textit{Explications:}
\begin{itemize}
\item on commence par initialiser la variable \texttt{Y} comme étant une liste vide\linebreak (crochets sans rien à l'intérieur);
\item on parcourt la liste \texttt{X} avec l'instruction \og \texttt{for i in X:} \fg{}: ici, chaque\linebreak valeur que va prendre la variable \texttt{i} sera une valeur contenue dans la liste \texttt{X};
\item on ajoute la valeur \og \texttt{-3*i+5} \fg{} dans la liste \texttt{Y} car $Y=-3X+5$, ce qui signifie que chaque valeur de $Y$ est obtenue en multipliant par $-3$ chaque valeur que prend $X$ et en ajoutant 5.
\end{itemize}
\end{corrige}

\begin{exo}{Calcul des paramètres de dispersion}{\null}{2}{10}\label{exo-prog-python-param}
On considère un algorithme dans lequel sont définis deux listes : la liste \texttt{X}, dans laquelle se trouvent les valeurs d'une variable aléatoire, et la liste \texttt{P}, dans laquelle se trouvent les probabilités des valeurs de $X$.
\begin{questions}
\item \'Ecrire un algorithme qui calcule et affiche l'espérance, la variance et l'écart-type de $X$.
\item \'Ecrire un programme Python comportant trois fonctions: une pour calculer l'espérance d'une variable aléatoire $X$ à partir des listes \texttt{X} et \texttt{P}, une qui calcule la variance, et une autre qui calcule d'écart-type.

\textit{Aide :} ces trois fonctions admettent pour arguments \texttt{X} et \texttt{P}.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{algorithme}{Algorithme}
X et P sont deux listes
n $\leftarrow$ longueur de X
E $\leftarrow$ 0 (espérance de X)
V $\leftarrow$ 0 (variance de X)
Pour i allant de 0 à n-1:
\hspace*{1em}E $\leftarrow$ E + X[i]*P[i]
Fin du Pour

Pour i allant de 0 à n-1:
\hspace*{1em}V $\leftarrow$ V + (X[i]-E)$^2$*P[i]
Fin du Pour

s < $\sqrt{\text{V}}$ (écart-type)
\end{algorithme}

\item Ici, un programme modulaire est demandé: c'est un programme dans lequel il y a plusieurs fonctions (modules). Un programme possible est le suivant:

\begin{listing}{En Python}{08-01.py}
\nathanliveProg
\end{listing}

\begin{aretenir}
Dans un programme Python,
\begin{itemize}
\item \texttt{len(<liste>)} renvoie la longueur de la liste (le nombre d'items);
\item \texttt{x**0.5} renvoie la racine carrée de $x$.
\end{itemize}
\end{aretenir}

\newpage

Ainsi, en tapant par exemple:

\Par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1cm}>{\ttfamily}X}
&X = [-5,-3,0,1,2,10]\\
&P = [0.2,0.3,0.05,0.05,0.3,0.1]\\
&print("L'espérance est :",esperance(X,P))\\
&print("La variance est :",variance(X,P))\\
&print("L'écart-type est :",ecartype(X,P))
\end{tabularx}

\Par 

on affiche les paramètres de dispersion de la variable aléatoire $X$ définie dans le programme.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Formule de König-Huygens}{\null}{2}{10} 
On considère un programme Python commençant par les lignes suivantes:

\Par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1cm}>{\ttfamily}X}
&X = [-5,-3,0,1,2,10]\\
&P = [0.2,0.3,0.05,0.05,0.3,0.1]
\end{tabularx}

\Par 

où \texttt{X} est une liste comportant toutes les valeurs d'une variable aléatoire $X$, et \texttt{P} une liste comportant toutes les probabilités (ordonnées) des valeurs de $X$ (ainsi, \texttt{P[i]} est la probabilité que $X$ prenne la valeur \texttt{X[i]} pour $i$ variant de 0 à 5).

\Par

Compléter cet algorithme afin qu'il affiche la variance de $X$ à l'aide de la formule de König-Huygens:
\[
V(X)=E(X^2)-\big[E(X)\big]^2.
\]
Pour cela, on pourra faire appel à la fonction \texttt{esperance} de l'exercice \ref{exo-prog-python-param}.
\end{exo}

\begin{corrige}
La formule de König-Huygens sous-entend que l'on connaît la variable aléatoire $X^2$. Il faut donc la calculer avant tout. 

Pour cela, on utilise le code suivant :

\Par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1cm}>{\ttfamily}X}
&Y = []\\
&for i in X:\\
&\quad Y.append(i*i)
\end{tabularx}

\Par 

Ainsi, la liste \texttt{Y} contient le carré des valeurs contenues dans la liste \texttt{X} (donc $Y = X^2$).
\Par\enlargethispage*{2em}
En utilisant la fonction \texttt{esperance} de l'exercice \ref{exo-prog-python-param}, cela donne :

\Par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1cm}>{\ttfamily}X}
&V = esperance(Y,P) - esperance(X,P)**2
\end{tabularx}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige