\errorcontextlines=10
\documentclass[utf8,crop,realfonts,rabat]{prepamath}
\usepackage{rabat}
\usepackage{multirow,mathtools}
\title{Rabats pour le livre 1M}
\author{Stéphane Pasquet}
\definecolor{tabularcolorline}{cmyk}{0,0.2,0.5,0}
\graphicspath{{figures/}}
\begin{document}


% ===================================== 6 : proba

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Probabilités}
$\Omega=\{e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_n\}$ est l'univers constitué de $n$ éventualités, $A$ et $B$ sont deux événements.

\vspace*{-1.5em}
\point{Probabilité d'un événement}
\vspace*{-2.3em}
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item[] $p(\Omega)=1$ 
\item[] $p(\varnothing)=0$ 
\item[] $p\big(\bar{A}\big)=1-p(A)$ 
\end{multicols}
\vspace*{-1.5em}
\item[] $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$ \\[-1.5em]
\item[] $A\cap B = \varnothing \Rightarrow A$ et $B$ incompatibles $\Rightarrow p(A\cup B)=p(A)+p(B)$
\end{itemize}
\vspace*{-1.5em}
\point{Loi de probabilité}
\vspace*{-1.5em}
\begin{itemize}
\item[] À chaque éventualité $e_i$, on associe une probabilité $p_i$. \\[-10pt]
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|*4{Zc|}}
\hline
\'Eventualités & $e_1$ & $e_2$ & $\cdots$ & $e_n$\\
\hline
Probabilités & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ & $p_n$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item[] On doit avoir : $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$.\\[-12pt]
\item[] S'il y a équiprobabilité : $p_i=\dfrac{1}{n}$.
\end{itemize}
\vspace*{-1.7em}
\point{Variable aléatoire}
\vspace*{-1.7em}
\begin{itemize}
\item[] $X=\{x_1\,;x_2\,;\ldots\,;x_n\}$ est une variable aléatoire. On note $p_i=p(X=x_i)$.\\[-13pt]
\item[] \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}Zl@{~:~}X}
Espérance & $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$ \\
Variance  & \small$\begin{aligned}[t]
V(X) & =\big(x_1-E(X)\big)^2p_1+ \big(x_2-E(X)\big)^2p_2+\cdots+\big(x_n-E(X)\big)^2p_n\\
 & =E\big(X^2\big) - \big[E(X)\big]^2 \text{ (formule de König-Huygens)}
 \end{aligned}$\\
\'Ecart-type & $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
\end{tabularx}\\[-5pt]
\item[] \'Ecritures avec le symbole \og sigma \fg{}:
\[
E(X)=\sum_{i=1}^n x_ip_i\quad;\quad V(X)=\sum_{i=1}^n\big(x_i-E(X)\big)^2p_i = \sum_{i=1}^n x_i^2p_i - \left(\sum_{i=1}^nx_ip_i\right)^2
\]
\item[] Propriétés : pour $a\in\R$ et $b\in\R$, $\begin{aligned}[t]
E(aX+b) & =aE(X)+b\\
V(aX+b) & = a^2V(X)\\
\sigma(aX+b) & = |a|\sigma(X).
\end{aligned}$\\[-5pt]
\item[] Jeu équitable : $E(G)=0$, où $G$ est la variable aléatoire représentant les gains possibles  du jeu.
\end{itemize}
\vspace*{-1.5em}
\point{Probabilités conditionnelles}
\vspace*{-1em}
Probabilité de $B$ sachant $A$ : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$\\[2pt]
$\begin{aligned}[t]
A\text{ et }B\text{ indépendants} & \iff P_A(B)=P(B)\\
& \iff P_B(A)=P(A)\\
& \iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)
\end{aligned}$
\vspace*{-1em}
\point{Formule des probabilités totales}
\vspace*{-0.8em}
\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{proba}
\end{center}
\vspace*{-2.7em}
\end{cadre}
\end{colonne}


% ===================================== 1 : degré 2

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Le second degré}
$f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.

Discriminant : $\Delta=b^2-4ac$.

Forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}$.

\vspace*{-1.5em}
\point{\boldmath Types de paraboles (pour $a>0$)}
\vspace*{-0.5em}
\begin{center}
\includegraphics{secdeg}
\end{center}
\vspace*{-1.4em}
\point{\boldmath Solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$}
\vspace*{-0.5em}
\morestretch
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.438\linewidth}|*2{>{\centering\arraybackslash}m{0.224\linewidth}|}}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
$\boldmath\Delta>0$ & $\boldmath\Delta=0$ & $\boldmath\Delta<0$ \\
\hline
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}^{\strut}}{2a\strut}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ & $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ & Pas de solution\\
\hline
\end{tabular}
%\vspace*{-1.7em}
%\point{Propriétés}
%\vspace*{-2.5em}
%\[
%x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\qquad;\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}
%\]
\vspace*{-1.5em}
\point{\boldmath Factorisation de $(ax^2+bx+c)$}
\vspace*{-0.5em}
\morestretch
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.438\linewidth}|*2{>{\centering\arraybackslash}m{0.224\linewidth}|}}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
$\boldmath\Delta>0$ & $\boldmath\Delta=0$ & $\boldmath\Delta<0$ \\
\hline
$a(x-x_1)(x-x_2)$ & $a(x-x_0)^2$ & Ne se factorise pas\\
\hline
\end{tabular}
\vspace*{-1.7em}
\point{\boldmath Signe de $f(x)$}
\vspace*{-0.5em}
\begin{tabular}{|Z{>{\centering\arraybackslash}m{0.421\linewidth}}|Z{>{\centering\arraybackslash}m{0.28\linewidth}}|
Z{>{\centering\arraybackslash}m{0.18\linewidth}}|}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
$\boldmath\Delta>0$ & $\boldmath\Delta=0$ & $\boldmath\Delta<0$ \\
\hline
\includegraphics{tabSigne1}
&
\includegraphics{tabSigne2}
&
\includegraphics{tabSigne3}
\\\hline
\end{tabular}
\vspace*{-1.3em}
\end{cadre}

\begin{cadre}{La fonction valeur absolue}
\vspace*{-1mm}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{va}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{itemize}
\item[] $|x|=x \hspace*{7.5pt}\text{ si }x>0$\\[-15pt]
\item[] $|x|=-x \text{ si }x<0$\\[-4pt]
\item[] $x \mapsto |x|$ n'est pas dérivable en 0.
\end{itemize}
\end{minipage}
\vspace*{-0.5em}
\end{cadre}

\begin{cadre}{La fonction exponentielle}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=45mm]{4_fig_1}
\[
\big(\nep^x\big)^\prime=\nep^x\quad;\quad\big(\nep^{kx}\big)^\prime=k\nep^{kx}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
$x\mapsto\nep^x$ est strictement croissante sur $\R$.
\Par
$\nep^0=1$ ; $\nep^1=\nep~(\approx2,718)$ ; $\nep^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\nep}$
\Par
\morestretch
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
\multicolumn{2}{|Zl|}{Pour $x\in\R$, $y\in\R$, $n\in\N$ :}\\\hline
$\nep^{x+y}=\nep^x\times\nep^y$ 
& 
$\nep^{nx}=\big(\nep^x\big)^n$
\\
$\nep^{x-y}=\dfrac{\nep^x}{\nep^y}$ 
& 
$\nep^{-x}=\dfrac{1}{\nep^x}$\\
\hline
\end{tabularx}
\[
x>y \iff \nep^x>\nep^y~;~x=y \iff \nep^x=\nep^y
\]
\end{minipage}
\vspace*{-0.5em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% ===================================== 2 : dérivation + exp

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Dérivation}
\novspace
\point{Nombre dérivé}
\vspace*{-1em}
Soient $a\in\R$ et $h\in\R\setminus\{0\}$.

$f$ est dérivable en $a$ $\iff$ $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $\lambda\in\R$ quand $h$ tend vers 0.
\vspace*{-0.5em}
\begin{multicols}{2}
$\lambda=f'(a)$ est le \emph{nombre dérivé} de $f$ en $a$.

\vspace*{-0.5em}
\point{\'Equation de la tangente}
\vspace*{-1em}
$f'(a)$ est le \emph{coefficient directeur} de la\linebreak tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}_f$ au point M$\big(a\,;f(a)\big)$.\\[6pt]
\begin{tabular}{|@{}Zl@{}|}
\hline
\,\'Equation de $\mathcal{T}$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)\,$\\
\hline
\end{tabular}

\columnbreak

\begin{flushright}
\includegraphics{derivation}
\end{flushright}
\end{multicols}

\vspace*{-5mm}
\point{Dérivées usuelles}
\vspace*{-0.7em}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash\columncolor{tabularcolorline}}m{20mm}|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}Zc|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$f(x)$ & $k$ réel & $x$ & $x^2$ & $x^n$, $n\in\N^*$ & $\dfrac{1\strut}{x\strut}$ & $\sqrt{x}$\\
\hline
$f'(x)$ & 0 & 1 & $2x$ & $nx^{n-1}$ & $-\dfrac{1\strut}{x^2\strut}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$\\
\hline
Domaine de dérivabilité & \R & \R & \R & \R & $\R\setminus\{0\}$ & \scalebox{0.9}{$]0\,;+\infty[$}\\
\hline
\end{tabularx}


\point{Opérations sur les dérivées}
\vspace*{-1em}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un même intervalle, et $k\in\R$.\\[-4pt]

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|*5{Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
Fonction & $ku$ & $u+v$ & $uv$ & $\dfrac{1}{u}$ & $\dfrac{u}{v}$\\
\hline
Fonction dérivée & $ku'$ & $u'+v'$ & $u'v+uv'$ & $-\dfrac{u'}{u^2}$ & $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$\\
\hline
\end{tabularx}


\point{Signe	 de	la	 dérivée	 et sens de	variation}
\vspace*{-1em}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.\\[-4pt]

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash\columncolor{tabularcolorline}}Z{m{0.23\linewidth}}|*3{>{\centering\arraybackslash}m{0.205\linewidth}|}}
\hline
Pour tout $x\in I$ & $f'(x)>0$ & $f'(x)<0$ & $f'(x)=0$\\
\hline
Sens de variation de $f$ & $f$ est strictement croissante sur $I$ & $f$ est strictement {\fontsize{9.5}{11}\selectfont décroissante sur $I$} & ~~~$f$ est\newline constante sur $I$\\
\hline
\end{tabular}


\point{Extremum local}
\vspace*{-0.7em}
Soient $a\in\R$ et $b\in\R$, avec $a<b$, et $f$ une fonction dérivable sur $]a\,;b[$.

$f$ admet un \emph{extremum local} en $x_0\in\;]a\,;b[\iff\begin{cases}
f'(x_0)=0\\f'(x)\text{ change de signe en }x_0
\end{cases}$

\vspace*{-3mm}
\end{cadre}
\end{colonne}

% ===================================== 3 : suites

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Suites}
\novspace
\point{Définition}
\vspace*{-1em}
Une suite est une fonction dont la variable est entière. 

Notations possibles d'une suite : $\big(u(n)\big)$ ou $(u_n)$.


\vspace*{-1em}
\point{Modes de génération}
\vspace*{-1em}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|Zc|>{\centering\arraybackslash}Z{X}|}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
Mode & Notation & Exemple\\
\hline
Explicite &  $u_n=f(n)$ & $u_n=n^2$, avec $f(x)=x^2$\\
\hline
Relation de récurrence & $u_{n+1}=f(u_n)$ & $u_{n+1}=u_n^2$, avec $f(x)=x^2$\\
\hline
\end{tabularx}

\vspace*{-1em}
\point{Sens de variation d'une suite}
\vspace*{-1em}
Si, pour tout $n\in\N$, 
$\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n\geqslant0 &,\text{ alors la suite est croissante.}\\
u_{n+1}-u_n\leqslant0 & ,\text{ alors la suite est décroissante.}
\end{aligned}$\\[4pt]
Si la suite est définie de façon explicite sur $\N$ par $u_n = f (n)$, où $f$ est une fonction monotone sur $[0\,;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ a le même sens de variation que $f$\kern-2pt.

\vspace*{-1em}
\point{\boldmath Suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$}
\vspace*{-1em}
Pour $n\in\N$ : 
$\begin{aligned}[t]
u_{n+1}&=u_n+r\\
\Aboxed{u_n&=u_0+nr}\\
u_n&=u_p+(n-p)r,\ \forall p\in\N
\end{aligned}$

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
$r>0$ & $r<0$ & $r=0$\\\hline
la suite est croissante & 
la suite est décroissante & 
la suite est constante\\\hline
\end{tabularx}
\Par
Somme des $n$ premiers entiers : 
\vspace*{-0.5em}
\[
1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.
\]
Somme des $n+1$ premiers termes : 
\vspace*{-0.5em}
\[
u_0+u_1+\cdots+u_{n}=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}.
\]

\vspace*{-1.6em}
\point{\boldmath Suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$}
\vspace*{-1em}
Pour $n\in\N$: $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & =qu_n\\
\Aboxed{u_n & =u_0\times q^n}\\
u_n& =u_p\times q^{n-p},\ \forall p\in\N
\end{aligned}$\\[4pt]
Sens de variation lorsque $u_0>0$: \\[2pt]
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
$q>1$ & $0<q<1$ & $q=1$\\\hline
la suite est croissante & 
la suite est décroissante & 
la suite est constante\\\hline
\end{tabularx}
\Par
Somme des puissances positives d'un réel $q\neq1$ : 
\[
1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
Somme des $n+1$ premiers termes ($q\neq1$) : 
\[
u_0+u_1+\cdots+u_{n}=u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
\]
\vspace*{-2.4em}
\point{\boldmath Capital $C_n$ placé à taux fixe $t\;\%$}
\vspace*{-1.3em}
$(C_n)$ est une suite géométrique de raison $1+\frac{t}{100}$ et:
\[
C_n=C_0\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^n.
\]
\vspace*{-2em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% =================================== 4 : trigo

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Trigonométrie}
$\mathcal{P}$ est un plan muni du repère orthonormé direct $\big(\rm{O},\gvec{\rm{OI}},\gvec{\rm{OJ}}\big)$.
\vspace*{-1em}
\point{Cosinus et sinus d'un nombre réel}
\vspace*{-2.4em}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item[] Soit M un point du cercle trigonométrique\\
tel que $\big(\gvec{\rm OI}~;~\gvec{\rm OM}\big)=x$.
\item[] $\cos x$ : abscisse de M ;
\item[] $\sin x$ : ordonnée de M.
\item[] $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$
\item[] $-1\leqslant \sin x\leqslant 1$
\item[] $\boxed{\cos^2x+\sin^2x=1}$
\end{itemize}

\columnbreak

\includegraphics{trigo}
\end{multicols}

\vspace*{-1em}
\begin{itemize}
\item[] 1 radian : angle tel que $\widearc{\rm IM}=\rm OI$.
\item[] Valeurs remarquables :

\vspace*{1mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zc|*6{Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
$x$ & 0 & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$\\
\hline
$\cos x$ & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & 0 & $-1$\\
\hline
$\sin x$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & 0\\
\hline
\end{tabularx}
\vspace*{0.2em}
\item[] Propriétés de symétrie :

\vspace*{1mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zc|*6{Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
$\alpha$ & $-x$ & $x+2\pi$ & $x+\pi$ & $\pi-x$ & $x+\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{\pi}{2}-x$\\
\hline
$\cos \alpha$ & $\cos x$ & $\cos x$ & $-\cos x$ & $-\cos x$ & $-\sin x$ & $\sin x$\\
\hline
$\sin\alpha$ & $-\sin x$ & $\sin x$ & $-\sin x$ & $\sin x$ & $\cos x$ & $\cos x$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{itemize}
\vspace*{-1em}
\point{\'Equations trigonométriques}
\vspace*{-1em}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
$\boxed{\cos x = \cos a \Leftrightarrow \left(\begin{array}{l}x=a+2k\pi\\\kern-2mm\text{ou}\\x=-a+2k\pi\end{array}\right.\kern-2mm, k\in\Z}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
$\boxed{\sin x = \sin a \Leftrightarrow \left(\begin{array}{l}x=a+2k\pi\\\kern-2mm\text{ou}\\x=\pi-a+2k\pi\end{array}\right.\kern-2mm, k\in\Z}$
\end{minipage}
\vspace*{-1.2em}
\point{Fonctions trigonométriques}
\vspace*{-1em}
\begin{center}
\includegraphics{fct_trigo}
\end{center}
\begin{itemize}
\item[] Les fonctions $x\mapsto\sin x$ et $x\mapsto\cos x$ sont $2\pi$-périodiques.

\item[] La fonction $x\mapsto\sin x$ est impaire : $\sin(-x)=-\sin(x)$.

\item[] La fonction $x\mapsto\cos x$ est paire : $\cos(-x)=\cos(x)$.

\item[] Dérivées : $\begin{aligned}[t]
\big(\sin x\big)^\prime & = \cos x\\
\big(\cos x\big)^\prime & = -\sin x.
\end{aligned}$
\end{itemize}
\vspace*{-2.4em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% =================================== 4 : prod scal
\begin{colonne}
\begin{cadre}{Produit scalaire}
O, A et B sont trois points distincts du plan muni d'un repère orthonormé. 

$\vec{u}=\gvec{\rm{OA}}$, avec $\vec{u}(x\,;y)$ ; $\vec{v}=\gvec{\rm OB}$, avec $\vec{v}(x'\,;y')$.
\vspace*{-1.3em}
\point{Différentes expressions du produit scalaire}
\vspace*{-1em}
\begin{itemize}
\item[] $\vec{u}\cdot\vec{v}=\gvec{\rm OA}\cdot\gvec{\rm OB}=\|\gvec{\rm OA}\|\times\|\gvec{\rm OB}\|\times\cos\big(\gvec{\rm OA},\gvec{\rm OB}\big)$
\end{itemize}
\begin{minipage}{60mm}
\begin{itemize}
\item[] $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$\\[-1em]
\item[] $\begin{aligned}[t]
\vec{u}\cdot\vec{v} & = \dfrac{1}{2}\big(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\big)\\
\vec{u}\cdot\vec{v} & = \dfrac{1}{4}\big(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\big)\\
\vec{u}\cdot\vec{v} & = \dfrac{1}{4}\big(\|\vec{u}\|^2 + \| \vec{v} \|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 \big)
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{50mm}
\includegraphics{prodscal}
\end{minipage}
\begin{itemize}
\item[] Soit H le projeté orthogonal de B sur (OA).\\[2pt]
$\begin{aligned}
\vec{u}\cdot\vec{v} & =\gvec{\rm OA}\cdot\gvec{\rm OB}= \gvec{\rm OA}\cdot\gvec{\rm OH}\\
\vec{u}\cdot\vec{v} & =\begin{cases}
\hspace*{3mm}\rm OA\times OH & \text{si $\gvec{\rm OA}$ et $\gvec{\rm OH}$ ont le même sens}\\
\rm -OA\times OH & \text{si $\gvec{\rm OA}$ et $\gvec{\rm OH}$ ont des sens opposés} 
\end{cases}
\end{aligned}$
\end{itemize}
\vspace*{-1.5em}
\point{Propriétés}
\vspace*{-1em}
\begin{itemize}
\item[] $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2=x^2+y^2$\\[-13pt]
\item[] $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$\\[-13pt]
\item[] $\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \iff \vec{u}\perp\vec{v}$\\[-13pt]
\item[] \'Equation du cercle de centre $\Omega(a\,;b)$ et de rayon $R$ : $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$\\[-13pt]
\item[] \begin{minipage}{65mm}
Théorème de la médiane : 

\Par

$CA^2+CB^2=2CI^2 + \dfrac{1}{2}AB^2$

\Par

Théorème d'Al-Kashi:

\Par

$\boxed{BC^2=AB^2+AC^2-2AB\times AC\cos\alpha}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\includegraphics{triangle}	
\end{minipage}

\vspace*{-1em}
\item[] Pour tout point $M$ du plan,
\item[] $\gvec{MA}\cdot\gvec{MB}=MI^2-\frac{1}{4}AB^2$
\item[] $MA^2+MB^2+MC^2$ minimal pour $M=G$ (centre de gravité de $ABC$).
\end{itemize}
\vspace*{-2.3em}
\end{cadre}
\begin{cadre}{Vecteur normal, vecteur directeur}
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, pour $\vec{u}\neq\vec{0}$ et $\vec{v}\neq\vec{0}$:

$\vec{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vec{v}\dbinom{x'}{y'} \begin{cases}
\text{ colinéaires } \iff xy'-x'y=0\\[6pt]
\text{ orthogonaux } \iff xx'+yy'=0
\end{cases} $\\[6pt]
$\vec{u}\neq\vec{0}$ vecteur directeur de (AB) $\iff$ $\vec{u}$ colinéaire à $\gvec{\rm AB}$\\[6pt]
$\vec{u}\neq\vec{0}$ vecteur normal à (AB) $\iff$ $\vec{u}\cdot\gvec{\rm AB}=0$
\Par
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non simultanément nuls et $\mathcal{D}$ une droite.
\Par
$\mathcal{D}\text{ a pour équation }ax+by+c=0
\iff  \begin{cases}
\vec{u}\binom{-b}{a}\text{ est un vecteur directeur de }\mathcal{D}\\[10pt]
\vec{n}\binom{a}{b}\text{ est un vecteur normal à }\mathcal{D}
\end{cases}$
\vspace*{-1.7em}
\end{cadre}
\end{colonne}

\end{document}
