  \begin{questions}
    \item Pour répondre à cette question, nous pouvons utiliser un
      logiciel tableur ou Python. Le format de ce livre étant plus
      adapté à cette dernière option, c'est celle que nous utilisons
      pour présenter la solution.
      \begin{listing}{En Python}{xgps.py}\nathanliveProgWithoutText\end{listing}

      \Par

      L'écart-type des mesures du capteur B est:
      \[\sigma_A\approx 11\mbox{~m.s}^{-1}.\]



    \item Les mesures du capteur~B sont dispersées non seulement à
      cause de sa précision finie, mais aussi parce qu'il est en
      mouvement. L'écart-type des mesures du capteur~B ne permet donc
      pas de donner une idée de la précision de ce capteur. On peut
      s'en convaincre en imaginant un capteur de très grande
      précision, pour lequel l'erreur de mesure est négligeable (très
      petite), qui aurait la même trajectoire que le capteur~B. La
      liste de ses mesures successives à partir de $t=0$ serait donc:
      $0$, $5{,}0$~m, $10{,}0$~m, etc.

      \newpage

      L'écart-type de 6 mesures
      successives (comme pour les capteurs A et B) s'obtiendrait donc
      de la manière suivante:
      \begin{listing}{En Python}{xgpsC.py}\nathanliveProgWithoutText\end{listing}

      \Par

      L'écart-type obtenu ($\sigma \approx 11\mbox{~m.s}^{-1}$) n'est
      clairement pas lié à l'erreur de mesure, puisque celle-ci est
      par hypothèse négligeable, mais bien au mouvement du capteur.

      Pour remédier à ce problème, on se place dans le référentiel lié
      au capteur~B. Dans ce référentiel, en mouvement par rapport au
      capteur~A, nous introduisons la coordonnée $x'$, mesurée par
      rapport à la position $x_B$ du capteur~B:
      \[x'=x-x_B.\]
      Par ailleurs, le capteur~B étant animé d'un mouvement rectiligne
      uniforme à la vitesse $v=10$~m.s$^{-1}$, nous avons:
      \[x_B=vt\]
      donc en définitive:
      \[x'=x-vt.\]

      \begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-35mm}
      Nous pouvons donc écrire la table des mesures du
      capteur~B dans son propre référentiel (voir tableau ci-contre).

      \Par

      L'écart-type de ces valeurs est:

     \[\sigma_B\approx 7{,}0\mbox{~m}.\]
      \end{minipage}
      \hfill
       \begin{tabular}{|Zc|Zc|}
         \hline
         \tabulartitle
           temps (s) & $x'$ (m)\\ \hline
         $0$ & $1{,}4$ \\ \hline
         $0{,}5$ & $-2{,}3$\\ \hline
         $1$ &  $-6{,}7$\\ \hline
         $1{,}5$ & $11{,}6$\\ \hline
         $2$ &  $-7{,}3$\\ \hline
         $2{,}5$ & $-3{,}7$\\ \hline
       \end{tabular}

     \enlargethispage*{3em}

   \item Au bout d'un temps $\tau$, les capteurs ont effectué $n$
     mesures, où $n$ est donné par:
     \[n=\frac{\tau}{\Delta t}.\]
     Ici, nous avons $\tau=3$~s et $\Delta t=0{,}5$~s, donc
     $n=6$. L'incertitude-type sur la position du capteur~A est alors:
     \[u_A=\frac{\sigma_A}{\sqrt 6}\approx 5\mbox{~m},\]
     tandis que l'incertitude-type sur la position du capteur~B est:
     \[u_B=\frac{\sigma_B}{\sqrt 6}\approx 3\mbox{~m}.\]
     Ce capteur est donc le plus précis des deux.
  \end{questions}
