     \be
        \item Un point du sol, situé au pôle, se trouve à la distance $R_p$ du centre $O$ de la Terre, auquel cas il est soumis à un champ
        gravitationnel d'intensité ${g_p=\dfrac{GM}{R_p^2}}$, où $G$ est la constante de gravitation universelle et $M$ est la masse
        de la Terre. De même, un point situé à l'équateur, donc à une distance $R_e$ de $O$, est soumis à un champ gravitationnel d'intensité
        ${g_e=\dfrac{GM}{R_e^2}}$. Ce faisant, la période d'oscillations d'une horloge située à l'équateur ou au pôle vaut respectivement
        :
        \[T_0=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g_e}}\text{ et }T_p=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g_p}}.
        \]
        Par conséquent :
        \[\frac{T_p}{T_0}=\sqrt{\frac{\ell}{g_p}}\times\sqrt{\frac{g_e}{\ell}}=\sqrt{\frac{g_e}{g_p}}
        \]
        avec :
        \begin{eqnarray*}
        \frac{g_e}{g_p}=\frac{\mc{G}M}{R_e^2}\times\frac{R_p^2}{\mc{G}M}
        & = & \frac{R_p^2}{R_e^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{g_e}{g_p}}=\sqrt{\frac{R_p^2}{R_e^2}}=\frac{R_p}{R_e}\\
        & \Rightarrow & \frac{T_p}{T_0}=\frac{R_p}{R_e}\Rightarrow T_p=T_0\times\frac{R_p}{R_e}
        \end{eqnarray*}
        où $R_e=\nombre{6378}\text{ km}$ tandis que :
        \[R_e-R_p=21\text{ km}\Rightarrow R_p=R_e-21=\nombre{6378}-21=\nombre{6357}\text{ km}.
        \]
        Il s'ensuit que :
        \[T_p=1\times\frac{\nombre{6357}}{\nombre{6378}}\simeq 0,9967\text{ s}.
        \]
        \item Pour passer d'une graduation à l'autre, la trotteuse de l'horloge située au pôle met un temps ${T_p\simeq 0,9967\text{ s}}$
        plus court que celle de l'horloge située à l'équateur (qui met ${T_0=1\text{ s}>T_p}$). La trotteuse de l'horloge située au pôle tourne
        donc plus vite que celle de l'horloge située à l'équateur ; elle marque donc une avance par rapport à celle de l'horloge restée à
        l'équateur.
        \item Pour passer d'une graduation à l'autre, la trotteuse présente un écart (entre le pôle et l'équateur) :
        \[\Delta T_1=T_0-T_p=1-0,9967\simeq 3,3.10^{-3}\text{ s}.
        \]
        Donc, après avoir parcouru $N$ graduations, la trotteuse située au pôle présente une avance de :
        \[\Delta T_N=N\times \Delta T_1
        \]
        sur celle restée à l'équateur. Ce faisant, cet écart atteindra la valeur ${\Delta T_N=1\text{ s}}$, lorsque la trotteuse aura parcouru
        :
        \[N=\frac{\Delta T_N}{\Delta T_1}=\frac{1}{3,3.10^{-3}}=303\text{ graduations}
        \]
        c'est-à-dire au bout de :
        \[\tau =303\text{ s}=5\text{ min }3\text{ s}.
        \]
    \ee
