Puisque la température de l'air dans la seringue est constante, on
peut utiliser la loi de Boyle-Mariotte et écrire que
$P\times V=P'\times V'$, où $P$ est la pression initiale (qui est aussi la pression atmosphérique),
$V$ le volume initial de l'air emprisonné dans la seringue, et $P'$ et $V'$ les
valeurs finales de ces deux grandeurs.
En outre, entre la distance $l$ du piston au fond de la seringue et le volume $V$,
on a la relation suivante :
\[V=l\times S\;,\]
où $S$ est la surface du piston, si on néglige le volume du bout de la seringue.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{085_243_09e_neseringuesol}
\figcaption{Volume de l'air emprisonné dans la seringue.}
\end{center}
}

On peut donc écrire :
\[P'=\frac{P\times V}{V'}=P\times \frac{S\times l}{S\times l'}=P\times
  \frac{l}{l'}.\]
{\em Application numérique :}

On suppose que la pression atmosphérique est $P=1$~bar (compte-tenu
de la précision des données de l'énoncé, ce degré de précision est bien suffisant).
Nous avons donc :
\[P'=1\times \frac{10}{2}=5\mbox{~bars}=5\times  10^5\mbox{~Pa}.\]
La force pressante à appliquer sur le piston s'en déduit par :
\[F_0=P'\times S=P'\times \pi r^2=5\times 10^5\times 3{,}14\times (5\times 10^{-3})^2\approx 4\cdot10^1\mbox{~N}.\]
Notons qu'il s'agit d'une force qui correspond au poids d'un objet dont la masse est environ $4$~kg.
