\nathanliveVideo
\begin{questions}
\item Il s'agit de déterminer la pression à laquelle le ballon va
  éclater. En utilisant le graphe donné dans l'énoncé, cela nous
  fournira l'altitude correspondante.

Puisque l'on suppose la température constante, on peut utiliser
  la loi de Boyle-Mariotte, qui relie la pression $P$ et le volume $V$
  du ballon. Le produit $P\times V$ est constant, donc:
  \[\frac 43\pi r^3\times P=\mbox{~constante}.\]

Par conséquent, puisque $\dfrac43\pi$ est une constante, nous pouvons
également écrire:
\[r^3\times P=\mbox{~constante}.\]

La valeur de la constante est déterminée par le rayon initial $r_0$
du ballon, et par la pression au niveau de la mer, que l'on peut lire
sur le graphe, et qui vaut $P_\mathrm{atm}=1{,}01\times 10^5$~Pa.

Nous avons ainsi:

\[r^3\times P=r_0^3\times P_\mathrm{atm}\;,\]

donc la pression critique $P_c$ pour laquelle le ballon éclate (quand
$r=r_c$) est donnée par:

\[P_c=P_\mathrm{atm}\left(\frac{r_0}{r_c}\right)^3.\]

L'application numérique donne:
\[P_c=1{,}01\times 10^5\times\left(\frac{10}{17}\right)^3=2{,}1\times
10^4\mbox{~Pa}.\]
On garde deux chiffres significatifs dans ce résultat.
On lit sur le graphe que cette pression critique est atteinte à
l'altitude $z_c=10{,}7$~km.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{093_253_09e_2013_patmz2}
\end{center}

\item Nous savons que le produit $P\times V$ croît lorsque la
  température croît.  Puisque la température décroît au fur et à
  mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère, à l'altitude $z_c$, le
  produit $PV$ est inférieur à la valeur qu'on lui a supposée à la
  question précédente. La pression $P$ étant fixée, pour une altitude
  donnée, et donnée par la lecture du graphe, on en déduit que le
  ballon a un volume \textit{inférieur} à celui inféré à la question
  précédente, donc un rayon inférieur au rayon critique: à l'altitude
  $z_c$ il n'a pas encore éclaté, et il éclatera à une altitude
  \textit{supérieure} à $z_c$.
\end{questions}
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