  \begin{questions}
  \item On écrit la relation fondamentale de l'hydrostatique entre le
    point~A (à la surface) et le point~B (au niveau du plongeur).
Elle s'écrit:
\[P_B-P_A=\rho\times g \times h.\]
Or $P_B=P$ est la pression recherchée, et le point A est au contact de
l'atmosphère, donc $P_A=P_\mathrm{atm}$. Nous pouvons ainsi écrire:
\[P=P_\mathrm{atm}+\rho \times g \times h.\]

\begin{center}
\includegraphics{094_257_09e_2013_autonomie}
\end{center}

\Par

\textit{Application numérique:}

\[P=101325+1{,}0\times 10^3 \times 9{,}8 \times 15=2{,}5\times 10^5\mbox{~Pa}.\]

On garde deux chiffres significatifs dans ce résultat.


\item On néglige la variation de température du gaz entre la bouteille
  et les poumons du plongeur. On applique donc la loi de
  Boyle-Mariotte qui s'écrit ici:
\[P_0\times V_1=P\times V\]
car lorsque le gaz est dans la bouteille où il occupe le volume $V_1$
(recherché), il est à la pression $P_0$, et lorsqu'il se trouve dans
les poumons du plongeur, où il occupe un volume $V$, il se trouve en
équilibre de pression avec l'eau environnante, à la pression $P$. Nous
avons donc:

\[V_1=\frac{P\times V}{P_0}.\]

\newpage

\textit{Application numérique:}

\[V_1=\frac{2{,}5\times 10^5\times 1}{200\times 10^5}=1{,}25\times 10^{-2}~\mbox{~L}.\]
Étant donné que nous avons gardé le volume $v$ en litres, nous obtenons le volume $v_1$ également en litres.
\item Le nombre total d'inspirations que le plongeur peut réaliser est
  donné par:
\[n=\frac{v_0}{v_1}=\frac{10}{1{,}25\times
  10^{-2}}=800\mbox{~inspirations}.\]
\item La durée totale que peut passer le plongeur sous l'eau est donc:
\[T_\mathrm{tot}=n\times T = \numprint{1600}\mbox{~s}\approx 26\mbox{~min}.\]
On notera que le résultat devrait être arrondi à $27$ et non $26$
minutes. Toutefois, comme on cherche à donner une valeur maximale, il
convient exceptionnellement de donner la valeur à deux chiffres
significatifs immédiatement inférieure. Compter sur $27$ minutes
d'autonomie pourrait se révéler dangereux pour le plongeur.
\item Il suffit de répéter les applications numériques de chacune des
  questions, en utilisant la pression $P'$ qui règne à la profondeur
  $h'=30$~m. Nous avons, en rassemblant les résultats des questions
  précédentes:
\[T'_\mathrm{tot}=T\frac{P_0\times v_0}{P'\times v}.\]
La nouvelle pression est:
\[P'=101325+1{,}0\times 10^3 \times 9{,}8 \times 30=4{,}0\times 10^5\mbox{~Pa}\]
et l'autonomie vaut donc:
\[T'_\mathrm{tot}=2\times\frac{2{,}0\times 10^7\times 10 }{4{,}0\times  10^5\times 1}=\numprint{1000}\mbox{~s}\approx 16\mbox{~min}.\]
L'autonomie décroît lorsque la profondeur de la plongée augmente.
  \end{questions}
