\begin{questions}
\item On applique la relation $P=mg$. Cela donne :
\[m=\frac Pg = \frac{50}{10}=5{,}0\mbox{~kg}.\]
Une masse de $5{,}0$~kg aurait un poids égal à la force exercée.
\item La pression est égale à la force pressante divisée par la surface.
La surface de la tête de la punaise est :
\[S=\pi R^2=3{,}14\times (4\times 10^{-3})^2=5\times 10^{-5}\mbox{~m}^2.\]
La pression exercée sur la tête de la punaise est donc :
\[P=\frac{50}{5\times 10^{-5}}=10^6\mbox{~Pa}.\]
\item On considère la punaise en équilibre (ou en mouvement de
  translation rectiligne uniforme si elle s'enfonce dans le
  mur). Les forces qui s'exercent sur elle se compensent
  donc. Ce sont la force exercée par l'opérateur sur la tête de la
  punaise, et la réaction du mur sur la pointe. Il est parfaitement
  justifié de négliger le poids de la punaise, au vu de l'ordre de
  grandeur obtenu à la première question.

La force exercée sur la pointe a donc pour valeur $F=50$~N.

La pression correspondante s'en déduit par :
\[P'=\frac{F}{\pi r^2}.\]
{\em Application numérique :}
\par
\[P'=\frac{50}{3{,}14\times (10^{-4})^2}\approx 1{,}6\times 10^9\mbox{~Pa}.\]
Cette pression représente environ $\numprint{16000}$~atmosphères. Elle est considérable. Ceci
permet à la pointe de percer les matériaux dans lesquels on veut enfoncer la punaise.
\par
\textit{Note :} On peut vérifier ce calcul en constatant que le rayon de la pointe
est $40$~fois plus petit que celui de la tête, donc la pression au niveau de la
pointe doit être $40^2=1\,600$~fois plus grande qu'au niveau de la tête.
\end{questions}
