    \be
        \item En $A$, $B$ et $C$, d'altitudes respectives $h_A$, $h_B$ et $h_C$, le wagonnet possède les énergies potentielles de pesanteur
        respectives :
        \[E_{pp}(A)=mgh_A+E_0,\ E_{pp}(B)=mgh_B+E_0,\  E_{pp}(C)=mgh_C+E_0
        \]
        où $E_0$ est une constante. Donc, entre $A$ et $B$ d'une part et entre $B$ et $C$ d'autre part, l'énergie potentielle de pesanteur du
        wagonnet varie des quantités :
        \begin{eqnarray}
        \Delta E_{pp}(A/B)
        & = & E_{pp}(B)-E_{pp}(A)=mg\,(h_B-h_A)\label{1011101}\\
        & = & 65\times 10\times (10-20)\notag
        \end{eqnarray}
        et :
        \begin{eqnarray*}
        \Delta E_{pp}(B/C)
        & = & E_{pp}(C)-E_{pp}(A)=mg\,(h_C-h_B)\\
        & = & 65\times 10\times (15-10)
        \end{eqnarray*}
        c'est-à-dire :
        \[\Delta E_{pp}(A/B)=-\nombre{6500}\text{ J}\text{ et }\Delta E_{pp}(B/C)=\nombre{3250}\text{ J (réponse \choix[c])}.
        \]
        \item De même, lorsque le wagonnet se trouve en $A$ ou en $E$, son énergie potentielle de pesanteur prend les valeurs respectives :
        \[E_{pp}(A)=mgz_A+E_0\text{ et }E_{pp}(E)=mgh_E+E_0.
        \]
        Donc, lorsque le wagonnet passe de $A$ à $E$, son énergie potentielle de pesanteur varie de la quantité :
        \begin{eqnarray}
        \Delta E_{pp}(A/E)
        & = & E_{pp}(E)-E_{pp}(A)=mg\,(h_E-h_A)\label{1011102}\\
        & = & 65\times 10\times (18-20)\notag
        \end{eqnarray}
        tandis que son énergie mécanique $E_m$ ne varie pas en l'absence de frottements. C'est pourquoi :
        \[\Delta E_{pp}(A/E)=-\nombre{1300}\text{ J et }\Delta E_m(A/E)=0\text{ J (réponse \choix[b])}.
        \]
        \item En $A$, la vitesse du wagonnet est nulle, donc son énergie cinétique $E_c(A)$ aussi. C'est pourquoi son énergie mécanique vaut :
        \[E_m(A)=E_c(A)+E_{pp}(A)=E_{pp}(A).
        \]
        En revanche, la vitesse $v_B$ du wagonnet en $B$ lui confère une énergie cinétique
        ${E_c(B)=\dfrac{1}{2}\,mv_B^2}$ et donc une énergie mécanique :
        \[E_m(B)=E_c(B)+E_{pp}(B)=\frac{1}{2}\,mv_B^2+E_{pp}(B).
        \]
        Enfin, l'absence de frottements justifie la conservation de l'énergie mécanique du wagonnet entre $A$ et $B$, ce qui impose :
        \begin{eqnarray*}
        E_m(B)=E_m(A)
        & \Rightarrow & \frac{1}{2}\,mv_B^2+E_{pp}(B)=E_{pp}(A)\\
        & \Rightarrow & \frac{1}{2}\,mv_B^2=E_{pp}(A)-E_{pp}(B)
        \end{eqnarray*}
        c'est-à-dire, compte tenu de l'identité (\ref{1011101}) :
        \begin{eqnarray*}
        \Delta E_{pp}(A/B)
        & = & E_{pp}(B)-E_{pp}(A)\Rightarrow\frac{1}{2}\,mv_B^2=-\Delta E_{pp}(A/B)\\
        & \Rightarrow & v_B=\sqrt{-\frac{2}{m}\,\Delta E_{pp}(A/B)}=\sqrt{-\frac{2}{65}\times (-\nombre{6500})}\\
        & \Rightarrow & v_B\simeq 14,1\Uvitesse\text{ (réponse \choix[b])}.
        \end{eqnarray*}
        \item Maintenant, le wagonnet part de $A$ avec une vitesse $v_A=1\Uvitesse$ et donc avec une énergie cinétique
        ${E_c(A)=\dfrac{1}{2}\,mv_A^2}$. Donc, son énergie mécanique vaut :
        \[E_m(A)=E_c(A)+E_{pp}(A)=\frac{1}{2}\,mv_A^2+E_{pp}(A).
        \]
        Le wagonnet arrive alors en $E$ avec une vitesse $v_E$ associée à une énergie cinétique ${E_c(E)=\dfrac{1}{2}\,mv_E^2}$.
        Son énergie mécanique vaut alors :
        \[E_m(E)=E_c(E)+E_{pp}(E)=\frac{1}{2}\,mv_E^2+E_{pp}(E).
        \]
        L'absence de frottements entre $A$ et $E$ justifie la conservation de l'énergie mécanique :
        \begin{eqnarray*}
        E_m(E)
        & = & E_m(A)\Rightarrow\frac{1}{2}\,mv_E^2+E_{pp}(E)=\frac{1}{2}\,mv_A^2+E_{pp}(A)\\
        & \Rightarrow & \frac{1}{2}\,mv_E^2=\frac{1}{2}\,mv_A^2+E_{pp}(A)-E_{pp}(E).
        \end{eqnarray*}
        La relation (\ref{1011102}) permet alors de poser :
        \begin{align*}
         & E_{pp}(A)-E_{pp}(E) =  -\Delta E_{pp}(A/E)\\
         \Rightarrow\ & \frac{1}{2}\,mv_E^2=\frac{1}{2}\,mv_A^2-\Delta E_{pp}(A/E)\\
        \Rightarrow\ & v_E=\sqrt{v_A^2-\frac{2}{m}\,\Delta E_{pp}(A/E)}
            =\sqrt{1-\frac{2}{65}\times (-\nombre{1300})}\\
        \Rightarrow\ & v_E\simeq 6,4\Uvitesse\text{ (réponse \choix[a])}.
        \end{align*}
    \ee
