\begin{questions}
        \item Les demi-équations d'oxydoréduction correspondant aux couples donnés
        dans l'énoncé sont :
           \[  \textup{H}_2\textup{O}_2+2\textup{H}^++2\textup{e}^- \rightleftarrows 2\textup{H}_2\textup{O}  \]
 \[  \textup{O}_2+2\textup{H}^++2\textup{e}^- \rightleftarrows \textup{H}_2\textup{O}_2  \]
 \[   \textup{MnO}_4^-+8\textup{H}^++5\textup{e}^- \rightleftarrows \textup{Mn}^{2+}+4\textup{H}_2\textup{O}\]


        \item On  utilise  les demi-équations d'oxydoréduction   de la
        question précédente.   Les   ions  permanganate    ne  pouvant
        intervenir qu'en temps qu'oxydant, l'eau oxygénée doit être le
        réducteur, donc il faut considérer la deuxième et la troisième
        demi-équation de la question précédente.

        \newpage

        Il s'agit d'éliminer
        les    électrons    de l'écriture.    On  multiplie   donc  la
        demi-équation sur  l'eau oxygénée par~$5$  et la demi-équation
        sur les ions permanganate par~$2$ :
$$\rm 5H_2O_2 \rightleftarrows 5O_2 + 10 H^+ + 10 e^-$$
$$\rm 2MnO_4^- + 16H^+ + 10 e^- \rightleftarrows  2Mn^{2+}+8H_2O$$

        ce qui donne en définitive l'équation bilan suivante :
       $$\rm 2MnO_4^-+6H^++5H_2O_2 =  2Mn^{2+}+8H_2O+5O_2.$$
        Tant que l'équivalence n'est pas atteinte, tous les
        ions permanganate MnO$_4^-$ introduits dans la solution
        sont transformés en ions Mn$^{2+}$, donc la solution
        qui tombe de la burette dans le bécher est décolorée.
        Dès que l'équivalence est atteinte, en revanche, il reste
        des ions permanganate dans la solution. Il faut donc
        détecter, {\em à la goutte près}, le moment où la
        coloration violette de la solution persiste.  Ce moment
        correspond à l'équivalence.
        \def \neq {\mbox{$\rm n_{{MnO}_4^-}^{\textrm{équiv}}$}}
        \def \nac {\mbox{$\rm n_{H_2SO_4}$}}

        \item Pour que le raisonnement de la question précédente
        soit valable, il faut bien entendu que les ions H$^+$
        soit en excès, au moins jusqu'à l'équivalence. Soit
        \neq\/ la quantité de matière d'ions permanganate introduite
        à l'équivalence. D'après l'équation-bilan, il faut que
        la quantité de matière en ions H$^+$ présente
        dans le bécher soit au moins trois fois supérieure, donc,
        puisque l'acide sulfurique est un diacide, il faut que
        la quantité de matière en acide sulfurique \nac\/vérifie :
        \[\frac{3}{2}\neq \leq \nac.\]
        Or on peut écrire :
        \[ \neq = c_{\rm MnO_4^-}v_{\text{éq}}\]
        \[ \nac = v_{\rm H_2SO_4}c_{\rm H_2SO_4}\]

        où, d'après l'énoncé, $c_{\rm MnO_4^-}=0{,}1$~$\molL$,
        $v_{\rm eq}=15{,}2$~mL,\linebreak $c_{\rm H_2SO_4}=2$~$\molL$, et où
        $v_{\rm H_2SO_4}$ est le volume que l'on cherche à
        déterminer.

        L'inégalité écrite ci-dessus peut donc se réécrire de
        la manière suivante :

$v_{\rm H_2SO_4}\geq\frac{3}{2}\frac{c_{\rm MnO_4^-}v_{\rm eq}}{c_{\rm H_2SO_4}}=\frac{3}{2}\times\frac{0{,}1
        \times 15{,}2\times 10^{-3}}{2}=1{,}1\cdot 10^{-3}\mbox{~L}
        =1{,}1\mbox{~mL}$.

        \item D'après l'équation-bilan, la quantité de matière
        en eau oxygénée est égale à :
        \[n_{\rm H_2O_2}=\frac{5}{2}\neq\;.\]
        La concentration en eau oxygénée
        de la solution initiale de volume\linebreak $v=5$~mL vaut donc :

$[{\rm H_2O_2}]=\frac{n_{\rm H_2O_2}}{v}
        =\frac{5}{2}\frac{c_{\rm MnO_4^-}v_{\rm eq}}{v}
        =\frac{5}{2}\times\frac{0{,}1\times 15{,}2\times 10^{-3}}{5\times 10^{-3}}=0{,}76\;\molL$.

        \item La réaction de dismutation de l'eau oxygénée,
        d'après l'écriture des demi-équations électroniques vues
        à la première question, s'écrit :
        \begin{equation}
        \rm H_2O_2 =  H_2O+\frac 12 O_2.\tag{*}
        \end{equation}

        \item Un litre de cette solution d'eau oxygénée contient
        $n=0{,}76$~mol d'eau oxygénée, et donc, d'après l'équation-bilan (*), dégage $\frac n2=0{,}38$~mol de dioxygène,
        qui occupe un volume :
\[v=nV_m=0{,}38\times 22{,}4=8{,}5\mbox{~L}.\]
       Le titre de cette solution d'eau oxygénée est de~$8{,}5$~L.
\end{questions}
