\onglet

\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{5}
%%%%
%%%%
\begin{questions}
\item À une hauteur donnée par rapport au sol, les ondes se propagent  plus vite sur la corde: \resetchoix 
\Par
\begin{tabular}{lll}
\choix{} la plus légère & 
\choix{} la plus lourde & 
\choix{} ni l'une ni l'autre
\end{tabular}

\item On considère une corde lisse homogène accrochée  au plafond d'un gymnase.
Son extrémité inférieure est libre. Les ondes mécaniques qui se propagent le long de cette
corde lorsque l'on agite son extrémité inférieure se propagent plus vite: \resetchoix 
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} en haut & \choix{} en bas & \choix{} ni l'un ni l'autre
\end{tabularx}

\item Les ondes sonores peuvent-elles se propager dans le vide ?

\resetchoix 

\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} oui & \choix{} non & 
\end{tabularx}

\item On considère deux cordes tendues,  identiques, parallèles et proches l'une de l'autre de masse linéique $\mu$ et de tension $T$ chacune, comme représenté ci-dessous. La célérité des ondes mécaniques est donc $v=\sqrt{T/\mu}$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{157_01e_qcm2009-chap1-2}
\end{center}

\Par

On les rend solidaires l'une de l'autre en les liant en plusieurs endroits par des cordelettes de masse négligeable, comme représenté ci-dessus. L'ensemble se
comporte donc comme une corde unique. À quelle célérité s'y propagent les ondes mécaniques~?\resetchoix

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $v/2$ & \choix{} $\dfrac{v}{\sqrt{2}}$ & \choix{} $v$\\
\choix{} $\sqrt{2}v$ & \choix{} $2v$ & \choix{} $v^2$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En effet, la tension est proportionnelle au poids de la partie
de la corde qui est située au-dessous, laquelle est proportionnelle à la masse linéique. Le quotient
$T/\mu$ ne dépend donc pas de la masse linéique, et la célérité non plus.

\item Réponse \choix[a]. La tension est en effet plus grande en haut de la corde (en vertu de la première réponse à la question 9), et la célérité des ondes mécaniques est également plus grande.  

%\item Réponse \choix[b]. Il y a exclusivement déplacement global de matière, et aucune oscillation des éléments composant la cordelette.

\item Réponse \choix[b]. Les ondes sonores se propagent de proche en proche suite à des compressions
et détentes successives de tranches d'air (ou d'un gaz quelconque). Elles ne peuvent donc pas se propager dans
le vide.

\item Réponse \choix[c]. La tension de l'ensemble vaut en effet $2mg$, et la masse linéique vaut $2\mu$. Le fait que les deux cordes soient rendues solidaires n'a pas d'importance, elles bougent
simplement de concert et les ondes s'y propagent donc à la célérité $v$. Le choix \choix[f] est absurde : la grandeur suggérée n'a pas les dimensions d'une vitesse !
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2

\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{5}
\begin{questions}
\item Lorsque l'on augmente la fréquence d'une onde, à célérité fixée, on :\resetchoix 
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} augmente & \choix{} diminue
\end{tabularx}
\Par
sa longueur d'onde.

\newpage

\item Les sons aigus ont une fréquence plus \resetchoix 
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} petite & \choix{} grande
\end{tabularx}
\Par
que les sons graves.


\item La longueur d'onde des sons graves est plus \resetchoix 
\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} petite & \choix{} grande
\end{tabularx}
\Par
que celle des sons aigus.


\item Si on multiplie par deux la fréquence d'un son, on multiplie sa longueur d'onde par \resetchoix

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $\dfrac 12$ & \choix{} $2$\\[3mm]
\choix{} $4$ & \choix{} elle ne change pas
\end{tabularx}
 
 
 
\item Une chauve-souris émet des ultrasons de fréquence $f=34$~kHz pour se repérer dans l'espace. Quelle est leur longueur d'onde ? \resetchoix 

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $1$~m & \choix{} $1$~cm \\
\choix{} $10$~cm & \choix{} $1$~mm
\end{tabularx}
\end{questions} 
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. En effet on a : $\lambda = \frac v\nu.$
%\item Réponse \choix[a]. Si l'ouverture est plus grande que la longueur d'onde, l'onde n'est pas diffractée.
\item Réponse \choix[b]. Les sons aigus ont une fréquence plus grande que les sons graves.
\item  Réponse \choix[b]. Les sons graves ont donc une longueur d'onde plus grande que les sons aigus.
%\item Réponse \choix[a]. L'ouverture diffracte préférentiellement les grandes longueurs d'onde (supérieures à sa taille), donc les sons suffisamment graves.
%\item Réponse \choix[b]. Les sons vont être diffractés typiquement lorsque leur longueur d'onde sera plus grande que le diamètre de l'ouverture, soit $34$~cm. Puisqu'en une seconde, les ondes sonores parcourent $\numprint{1000}$ fois cette distance (soit $340$~m), cela correspond à une fréquence de $\numprint{1000}$~Hz.\\Cette fréquence est audible.
\item Réponse \choix[a].
\item Réponse \choix[b]. Il suffit d'utiliser la relation $\lambda=\frac v \nu$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 3

\begin{qcm}{Analyse spectrale}{30}
  Un haut-parleur produit successivement trois sons qui sont enregistrés par un ordinateur équipé d'un microphone et dont peut visualiser les
  tensions $u_1$, $u_2$ et $u_3$ :
  \Form{158_02e_001spectre001}
  \Form{158_02e_001spectre002}
  \Form{159_02e_001spectre003}
  \begin{questions}
  
  
\item Les périodes $T_1$, $T_2$ et $T_3$ de ces sons valent respectivement (pour $u_1$, $u_2$, $u_3$) :\Par
  \choix $T_1=6\text{ s}$ ; $T_2=3\text{ s}$ ; $T_3=2\text{ s}$ \par
  \choix $T_1=6\text{ ms}$ ; $T_2=7\text{ ms}$ ; $T_3=6\text{ ms}$\par
  \choix $T_1=3\text{ s}$ ; $T_2=1\text{ s}$ ; $T_3=1,5\text{ s}$\par
  \choix $T_1=6.10^{-3}\text{ s}$ ; $T_2=2.10^{-3}\text{ s}$ ; $T_3=3.10^{-3}\text{ s}$.
  
  
\item Les fréquences $f_1$, $f_2$ et $f_3$ correspondantes valent :\Par
  %\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
    \resetchoix
    \choix $f_1=3\,f_2$ et $f_1=2\,f_3$; \\
    \choix $f_2=3\,f_3$ et $f_3=3\,f_1$;\\
    \choix $f_2=3\,f_1$ et $f_3=2\,f_1$; \\
    \choix $f_3=2\,f_2$ et $f_1=3\,f_2$.
  %\end{tabularx}
  
  
\item On réalise, grâce à l'ordinateur, la somme des trois tensions précédentes : ${u=u_1+u_2+u_3}$ et on visualise ce nouveau signal à
  l'écran d'un oscilloscope :
  \Form{159_02e_001spectre004}
  La période $T$ et la fréquence $f$ de la tension $u$ valent :\par
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
    \resetchoix
    \choix $T=6\text{ ms}$ et $f=167\text{ Hz}$ & \choix $T=6\text{ s}$ et $f=167\text{ Hz}$\\
    \choix $T=3\text{ ms}$ et $f=83\text{ Hz}$ & \choix $T=3\text{ ms}$ et $f=333\text{ Hz}$
  \end{tabularx}
  
  \enlargethispage*{2em}
\item La tension $u$ est envoyée à l'entrée d'un haut-parleur. Le son ainsi produit :\par
  \resetchoix
  \choix est un signal purement sinusoïdal ;\par
  \choix est un son composé ;\par
  \choix est un son aigu ;\par
  \choix est un ultrason.
  \end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[d]. La période d'un signal désigne le plus petit temps au bout duquel le signal se reproduit identiquement à lui-même :
  \[T_1=6.10^{-3}\text{ s, }T_2=2.10^{-3}\text{ s et }T_3=3.10^{-3}\text{ s.}
  \]
  \Form{162_02e_001spectre006}
  \newpage
  \Form{163_02e_001spectre005}
  \Form{163_02e_001spectre007}
\item Réponse \choix[c]. Aux périodes $T_i$ (en seconde) sont associées les fréquences ${f_i=\dfrac{1}{T_i}}$, de sorte que :
  \[\frac{f_2}{f_1}=\frac{T_1}{T_2}=\frac{6.10^{-3}}{2.10^{-3}}=3\text{ et }
  \frac{f_3}{f_1}=\frac{T_1}{T_3}=\frac{6.10^{-3}}{3.10^{-3}}=2,
  \]
  d'où il découle que :
  \begin{equation}\label{1703121}
    f_2=3\,f_1\text{ et }f_3=2\,f_1.
  \end{equation}
  
\item Réponse \choix[a]. À nouveau, la période de $u$ désigne le plus petit temps $T$ au bout duquel la tension $u$ se reproduit identiquement à elle-même:
  \Form{163_02e_001spectre008}
  À cette période $T=6.10^{-3}\text{ s}$ est alors associée la fréquence :
  \[f=\frac{1}{T}=167\text{ Hz.}
  \]
\item Réponse \choix[b]. Dans une gamme de fréquences audibles qui s'étend de $20\text{ Hz}$ (son grave) à ${20\text{ kHz}}$ (son aigu), la fréquence
  précédente ne peut pas correspondre à un son aigu (ni \emph{a fortiori} à un ultrason). Quant à l'oscillogramme précédent, il révèle
  que $u$ n'est pas purement sinusoïdal ; le signal émis par le haut parleur est un son composé.
  \end{questions}
\end{corrige}

%%% 4

\begin{exo}{Étude du mascaret}{Lycée Lavoisier, Paris}{2}{10}
Le mascaret est une vague qui remonte l'estuaire
de certains fleuves lorsque la marée monte. Sa hauteur dépend
du fleuve, du coefficient de marée, et dans certain cas cette vague peut être
particulièrement destructrice. Nous admettrons que sa célérité
est : $v=25$~km.h$^{-1}$.

\Par

On représente l'aspect de la surface de l'eau vue en coupe le
long du fleuve à un instant $t_0=0$ sur la figure ci-après. Les
abscisses positives sont orientées vers la source du fleuve.

%
\begin{center}
\includegraphics[width=.87\textwidth]{160_01e_nemascaret}
\end{center}

On cherche à savoir quelle sera la perturbation au point~M 
à l'instant $t_1=5{,}04$~s. Quel point~N se trouve avoir la
même perturbation à l'instant~$t_0$ ?
\begin{questions}
\item En quel point~N' la perturbation qui existe au point~M' à
l'instant~$t_0$ arrivera-t-elle à l'instant $t_1$ ?
\item En déduire l'allure de la surface de l'eau à l'instant~$t_1$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
On applique le même genre de raisonnement. Le point~N' est tel que le retard $\tau=(x_{N'}-x_{M'})/v$ est égal
à $t_1-t_0$, donc :
\[x_{N'}-x_{M'}=x_M-x_N\;,\]
où le choix du signe est imposé par la direction de propagation du mascaret. 
On en déduit :
\[x_{N'}=20+35=55\mbox{~m}.\]
À l'instant $t_1$ le point~N' a donc une élongation égale à la hauteur du mascaret.


\item 
On reporte ci-dessous l'allure du mascaret à la date $t_1$ (en pointillés on a reporté l'allure
de la surface à la date $t_0$)

%
\begin{center}
\includegraphics[width=0.87\textwidth]{164_01e_nemascaretsol01}
\end{center}

\end{questions}
\end{corrige}
 

%%% 5

\begin{exo}{Tsunamis}{Lycée Henri IV, Paris}{3}{15}
\nathanliveVideo
\label{video:ch6exTsunamis}
On s'intéresse dans cet exercice aux {\em tsunamis}.
Les tsunamis sont des vagues extrêmement destructrices  créées, par exemple, par des
séismes sous-marins. Ces vagues se propagent à la surface de l'océan et arrivent
aux côtes où elles peuvent occasionner des dommages considérables.
\begin{questions}
\item Des observateurs rapportent que lors du passage d'un tsunami, on vit 
déferler 7 énormes vagues, et que deux vagues successives étaient séparées
par un intervalle de 20~minutes. Quelle est la fréquence de l'onde de houle
associée au tsunami ? 
\item Quelle est la célérité d'un tsunami en plein océan ? Quelle est sa longueur d'onde en plein océan ?
\item On admettra que la quantité $vH^2$ est conservée lorsque le tsunami se
propage, où $v$ est sa célérité et $H$ la hauteur de la houle. Si la hauteur
d'un tsunami en plein océan est $1$~m, quelle est la hauteur de la déferlante
sur des côtes peu profondes, où la profondeur moyenne de l'eau est de $4$~m ?
\item Un tsunami est-il détectable en plein océan ?
\item Un tsunami arrive du sud entre les deux îles~A et~B représentées page ci-contre.

On supposera que la profondeur de l'océan entre ces îles est la même qu'en
plein océan. Y a-t-il risque de raz-de-marée dans le port~V de l'île~C ?
On justifiera soigneusement.
\end{questions}

\begin{center}
\includegraphics{161_02e_neexotsunami01}
\end{center}

\emph{Données :}

\begin{itemize}
\item Les tsunamis se produisant essentiellement dans l'océan Pacifique, on supposera qu'en plein océan la profondeur est uniforme et vaut $d=10$~km.

\item Intensité de la pesanteur : $g=10$~m.s$^{-2}$.
\end{itemize}

\textit{Indication} :

On admettra que la célérité $v$ de la houle est donnée par les formules suivantes :

\Par

\textbf{Dans le cas peu profond} où la profondeur~$d$ est inférieure à la longueur d'onde :
\[v=\sqrt{gd}.\]

\textbf{Dans le cas profond} où la profondeur~$d$ est supérieure à la longueur d'onde $\lambda$, on a :
\[v= \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.\]
\end{exo}


\begin{corrige}
\nathanliveVideo
\begin{questions}
\item La fréquence de la houle associée aux tsunamis est simplement celle
mentionnée par les observateurs, soit 1 vague pour 20 minutes, ou encore :
\[\nu=\frac{1}{20\times 60}\approx 8{,}3\cdot 10^{-4}\mbox{~Hz}.\]

\item Pour déterminer célérité et longueur d'onde d'un tsunami en plein
océan, il faut savoir s'il faut se placer dans le cas profond ou dans le
cas peu profond. On va donc supposer successivement chaque cas, puis
on verra si la longueur d'onde obtenue vérifie la supposition.

\begin{questions}
\item On suppose que l'on est dans le cas profond. Alors la célérité
s'écrit :
\[v = \sqrt\frac{g\lambda}{2\pi},\]

donc on peut écrire :

\[\lambda = \frac{v}{\nu}=\frac 1\nu\sqrt\frac{g\lambda}{2\pi},\]

ce qui donne :

\[\lambda^2=\frac{1}{\nu^2}\frac{g\lambda}{2\pi},\]

d'où l'on déduit :

\[\lambda = \frac{g}{2\pi\nu^2}.\]

L'application numérique donne :

\[\lambda = \frac{10}{2\pi\times (8,3\cdot 10^{-4})^2}\approx 2,3\cdot 10^6\mbox{~m}.\]

On voit que l'on aboutit à une contradiction, puisque cette longueur d'onde est plus
grande que la profondeur de l'océan, donc on ne peut pas être dans le régime profond.

\item On suppose à présent que l'on est dans le cas peu profond. Alors la célérité
s'écrit :
\[v=\sqrt{gd}\]

et donc :
\[\lambda = \frac v\nu=\frac{\sqrt{gd}}{\nu}.\]

L'application numérique donne :

\[\lambda = \frac{\sqrt{10\times 10^4}}{8,3\cdot 10^{-4}}\approx 3,8\cdot 10^5\mbox{~m}\approx 380\mbox{~km}.\]

Cette longueur d'onde est bien supérieure à la profondeur de l'océan donc l'hypothèse est vérifiée est l'on
est bien dans le cas peu profond.

On peut en déduire la célérité simplement par :

\[v = \sqrt{10\times 10^4}\approx 320\mbox{~m.s}^{-1}\approx 1140\mbox{~km.h}^{-1}.\]

Les tsunamis ont donc une très grande longueur d'onde (presque la moitié du \og diamètre\fg de la France dans
le cas étudié) et se propagent à une très grande célérité. Certains peuvent traverser tout l'océan Pacifique
en une dizaine d'heures.
\end{questions}

\newpage

\item On écrit que $vH^2$ se conserve, donc :

\[v_{\textrm{océan}}H_\textrm{océan}^2=v_\textrm{côte}H_\textrm{côte}^2.\]

On connaît $v_{\textrm{océan}}$, $H_\textrm{océan}$, et on veut déterminer $H_\textrm{côte}$, donc il faut au préalable calculer $v_\textrm{côte}$.  On l'obtient par :

\[v_\textrm{côte}=\sqrt{gd}=\sqrt{10\times 4}=6,3\mbox{~m.s}^{-1}\]

donc :

\[H_\textrm{côte}=H_\textrm{océan}\sqrt\frac{v_{\textrm{océan}}}{v_\textrm{côte}}=1\times\sqrt\frac{320}{6,3}\approx 7,1\mbox{~m}.\]

En fait la hauteur du tsunami lorsqu'il déferle dépend considérablement du profil de la côte, de l'endroit de déferlement, etc.,
et ce calcul simple ne peut donner au mieux qu'un ordre de grandeur de la hauteur de la vague. Certains tsunamis ont atteint
des hauteurs de 30~mètres.
\item Un tsunami est indétectable en plein océan, puisqu'il correspond à un soulèvement peu important de la surface
sur une très grande distance. En particulier les bateaux ne peuvent pas détecter la présence d'un tsunami
qui se propage à la surface.
\item La longueur d'onde du tsunami est bien supérieure à la taille de l'\og ouverture\fg entre les deux îles, donc le
tsunami est diffracté, et va se propager dans toutes les directions après être passé entre les deux îles : il va donc
menacer, entre autres, le port de l'île~C.
\end{questions}
\end{corrige}
 
\thumb\AfficheCorrige
