\chapter{\'Energie mécanique}
\section{Introduction}
\enlargethispage*{3em}
    \begin{exointro}{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse}
    \nathanliveVideo\label{video:ch12crs}
    
    Un pendule simple est constitué d'un boulet assimilable à un point matériel, de masse ${m=7,0\text{ kg}}$, attachée à un fil
    inextensible de longueur ${L=2,0\text{ m}}$. L'ensemble est fixé en un point $A$ et on considère que les forces de frottements sont
    négligeables.
    \be
        \item On écarte le pendule de sa position d'équilibre d'un angle ${\theta _0=50\Mdegre}$ (position $I$ du boulet). On la lâche sans
        vitesse initiale. On repère la position du pendule par la valeur $\theta$ de l'angle que fait le fil avec la verticale.\par
        Faire un schéma.\par
        Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur du pendule en fonction de $m$, $g$, $L$ et $\theta$.\par
        %Préciser l'origine des altitudes $z$, choisie de façon à avoir ${E_{pp}(z=0)=0}$.
        \item Quelle est la valeur de $\theta$ la plus grande au cours des oscillations ? 
        
        Justifier.
        \item Donner l'expression littérale de l'énergie potentielle de pesanteur maximale du pendule.
        \item Quelle est la valeur de la vitesse du boulet lorsqu'elle passe en $O$ (position d'équilibre) ? Montrer que cette vitesse ne dépend pas de la masse du boulet.
    \ee
    \emph{Donnée} : intensité de la pesanteur : $g=10\text{ N}\cdot\text{ kg}^{-1}$.
    \vspace*{-1em}
    \end{exointro}
       
   

    Ce chapitre a pour but de présenter les notions d'énergie cinétique, d'énergie potentielle et d'énergie mécanique. Nous verrons également comment est défini le travail d'une force et les applications que peut avoir cette notion. Enfin, nous verrons comment identifier les situations de conservation et de non conservation de l'énergie mécanique.
    
    
    \section{\'Energie d'un point en mouvement}
    
    \subsection{\'Energie potentielle et énergie cinétique}
    
    \subsubsection{\'Energie potentielle de pesanteur}
    \Twopic{7.83}{
    \begin{defin}
    Au voisinage de la Terre, là où le champ de pesanteur est quasi uniforme et d'intensité $g$ (en $\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$), \emph{l'énergie
    potentielle de pesanteur} d'un point $M$ (en kg) de cote verticale $z$ (en m), vaut :
    \[E_{pp}(M)=mgz+E_0\text{ (en joule)}
    \]
    où $E_0$ est une constante arbitraire.
    \end{defin}
    }{2.17}{100_energie_001}
    
    \begin{Remarque}
    la constante $E_0$ peut être définie en choisissant l'origine des énergies potentielles de pesanteur à la cote $z_{\text{ref}}$ (ce qui
    revient à supposer nulle $E_{pp}$ en ${z=z_{\text{ref}}}$). Dans ce cas, l'expression de $E_{pp}$ devient :
    \begin{equation}\label{2510101}
    E_{pp}(M)=mg\,(z-z_{\text{ref}})\text{ car }E_0=-mgz_{\text{ref}}.
    \end{equation}
    \end{Remarque}
    \begin{attention}
    La cote $z$ représente souvent une altitude, c'est-à-dire une cote par rapport au sol ou au niveau de la mer. Il faut alors convenir de
    l'existence d'altitudes négatives qui correspondent à des points situés sous la surface du sol ou de la mer.
    \end{attention}
    Puisque la constante $E_0$ peut être définie arbitrairement, l'énergie potentielle de pesanteur de deux points :
    \[E_{pp}(A)=mgz_A+E_0\text{ et }E_{pp}(B)=mgz_B+E_0
    \]
    n'est jamais connue qu'à une constante près. En revanche, la variation d'énergie potentielle :
    \[\Delta E_{pp}=E_{pp}(B)-E_{pp}(A)=mg\,(z_B-z_A)
    \]
    est parfaitement déterminée.
    \begin{aretenir}[méthode]
    En choisissant l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur au niveau du sol (ou de la mer) et en notant $z$ l'altitude d'un point $M$,
    l'expression (\ref{2510101}) de l'énergie potentielle de pesanteur de $M$ se simplifie :
    \[E_{pp}(M)=mgz.
    \]
    \end{aretenir}
 
    \Twopic{7.5}{\begin{Remarque}l'énergie potentielle de pesanteur d'un corps non ponctuel, de masse $m$ et de centre de gravité $G$ s'identifie à l'énergie potentielle de pesanteur du point $G$ qui posséderait la masse $m$ :
    \[E_{pp}(\text{corps})=mgz_G+E_0.
    \] \end{Remarque}
    }{2.4}{101_energie_002}
   
    \subsubsection{\'Energie cinétique}
    \begin{defin}
    L'\emph{énergie cinétique} d'un point de masse $m$ (en kg) et de vitesse $v$ (en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$) vaut :
    \[E_c=\frac{1}{2}\,mv^2\text{ (en joule)}.
    \]
    \end{defin}
    \begin{attention}
    La définition précédente ne peut être utilisée qu'à condition que la vitesse soit exprimée en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Dans tout autre
    cas, il faudrait convertir la vitesse dans cette unité. Notamment, on rappelle que :
    \begin{equation}\label{1101111}
    1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}=3,6\text{ km/h}\Leftrightarrow 1\text{ km/h}=\frac{1}{3,6}\Uvitesse.
    \end{equation}
    \end{attention}
   
    \Twopic{9}{ \begin{Remarque}
    l'énergie cinétique d'un solide en translation, de masse $m$ et de centre de gravité $G$, se confond à celle du
    point $G$, de vitesse $v_G$, qui aurait la masse $m$ :\end{Remarque}
    }{1.8}{101_energie_003}
    \[E_c(\text{solide en translation})=\frac{1}{2}\,mv_G^2.
    \]
    
    
    \subsection{\'Energie mécanique}
    
    \begin{defin}
    \emph{L'énergie mécanique} d'un point matériel $M$ est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
    \[E_m(M)=E_c(M)+E_p(M).
    \]
    \end{defin}
    
    \begin{Remarque}
    si un point matériel $M$ est soumis à plusieurs forces qui dérivent chacune d'une énergie potentielle $E_{pi}(M)$, son énergie potentielle
    résultante est la somme des énergies potentielles (même si ces énergies potentielles ont des origines différentes, par exemple
    gravitationnelle, électrique,\ldots) :
    \end{Remarque}
    \[E_p(M)=E_{p1}(M)+E_{p2}(M)+\cdots
    \]
 %   \begin{aretenir}[méthode]
 \subsection{Conservation et non conservation de l'énergie mécanique}

  \nathanLive{Retrouvez en vidéo le principe de conservation de l'énergie mécanique avec}
    \label{video:ch12crs2}
    
      \subsubsection{En l'absence de frottements}
    En l'absence de frottements, l'énergie mécanique d'un point matériel se conserve.\par
    La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel $M$, de masse $m$, est souvent exploitée pour calculer la vitesse finale du
    point ($v_f$), dont on connaît la vitesse initiale ($v_i$) :
    \bi
        \item Exprimer l'énergie mécanique de $M$ aux points $M_i$ et $M_f$ de sa trajectoire.
        \item \'Ecrire l'équation traduisant la conservation de son énergie mécanique, notamment aux points $M_i$ et $M_f$, où sa vitesse
        vaut $v_i$ et $v_f$ respectivement :
        \[E_m(M_f)=E_m(M_i)\Rightarrow\frac{1}{2}\,mv_f^2+E_p(M_f)=\frac{1}{2}\,mv_i^2+E_p(M_i).
        \]
        \item Résoudre l'équation précédente et en déduire $v_f$ :
        \[v_f=\sqrt{v_i^2+\frac{2}{m}\times\comp{E_p(M_i)-E_p(M_f)}}.
        \]
    \ei
%    \end{aretenir}
    Lorsqu'un système est composé de plusieurs points ($A$, $B$,\ldots), éventuellement en interaction (par exemple des particules chargées
    électriquement), l'absence de frottements induit la conservation de l'énergie mécanique de l'ensemble du système :
    \[E_m(\text{système})=\text{cte}\Leftrightarrow E_m(A)+E_m(B)+\cdots =\text{cte}.
    \]


   
  \subsubsection{En présence de frottements}
  
  Lorsque les frottements apparaissent au cours du mouvement d'un corps :
    \bi
        \item son énergie mécanique diminue généralement : ${\Delta E_m<0}$ ;
        \item l'énergie mécanique est souvent transformée en énergie thermique qui peut éventuellement provoquer un échauffement.
    \ei


\section{Travail et considérations énergétiques}

\subsection{Travail d'une force constante}


On considère une force constante $\vec{F}$ appliquée au système étudié. Au cours
du temps, le point d'application de cette force se déplace du point~A au point~B. 
On appelle travail de la force~$\vec{F}$ entre les points~A et~B, et on note
$W_{A\rightarrow B}^{\vec{F}}$, la quantité $\vec{F}.\gvec{AB}$. On veillera
au fait que cette expression n'est valable %
{\em que si la force est constante}.

\newpage

\begin{aretenir}
\[W_{A\rightarrow B}^{\vec{F}}=\vec{F}\cdot\gvec{AB}\mbox{~~~~~~où $\vec{F}$ est constante}.\]
\end{aretenir}

Dans les unités du Système International, le travail s'exprime en joules, de symbole~J.



Un travail positif est qualifié de travail moteur.
Un travail négatif est un travail résistant.
Le travail d'une force constante entre~A et~B ne dépend pas du chemin suivi
pour aller de A à B, qui peut être absolument quelconque.

%\includegraphics{courstravail}

\textit{Cas particulier du travail du poids : } 

\begin{aretenir}
Le travail effectué par le poids d'un système de masse~$m$, entre les points~A
et~B, est :
\[W_{A\rightarrow B}^{\vec{P}}=mg(z_A-z_B)\;,\]
où $z_A$ (resp. $z_B$) est l'altitude du point~A (resp. du point~B), comptée positivement
vers le haut.
\end{aretenir}

On peut ainsi définir l'\emph{énergie potentielle} de pesanteur :
\[E_p=mgz.\]
Le travail du poids entre deux points~A et~B est alors donné par :
\[W_{A\rightarrow B}^{\vec{P}}=E_p(A)-E_p(B).\]

Un système est dit \emph{conservatif} (ou \emph{non dissipatif}) si le
travail des forces auxquelles il est soumis ne dépend que du point
d'arrivée et du point de départ, pas du chemin suivi. Le poids est
ainsi une force conservative, et un pendule simple pesant (système que
nous aurons l'occasion de revoir) est un système conservatif.  Un
système soumis à une force de frottement fluide n'est pas conservatif.
Les forces de frottement, ceci sera revu dans les études ultérieures,
dégradent leur travail en chaleur. On dit alors que le système est
{\em dissipatif}.

L'énergie mécanique d'un système est égale à la somme de son énergie
cinétique et de son énergie potentielle~:
\[E_m=E_c+E_p,\]
où l'énergie cinétique $E_c$ est donnée par:
\[E_c=\frac 12 mv^2,\]
$m$ étant la masse du système et $v$ sa vitesse dans le référentiel d'étude.
L'énergie mécanique d'un système conservatif se conserve au cours du temps, et la variation
de l'énergie mécanique d'un système dissipatif entre un état initial et
un état final est égal au travail des forces de frottement entre ces
deux états.

\subsection{Théorème de l'énergie cinétique}

On étudie un solide~S en translation dans un référentiel galiléen. La variation d'énergie 
cinétique de~S, entre deux instants~A et~B, est égale à la somme algébrique des travaux des forces
extérieures appliquées à~S.

\begin{aretenir}
\[\Delta E_c=E_{c_B}-E_{c_A}=\Sigma W^{\vec{f}}_{A\rightarrow B}\]
\end{aretenir}

On se souviendra que cette relation n'est vraie que dans un référentiel galiléen.

On définit l'énergie mécanique d'un système conservatif comme étant la somme de
l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique. Dans ces conditions, le théorème
de l'énergie cinétique prend une forme différente, plus simple, qui s'énonce comme suit.
L'énergie mécanique d'un système conservatif est constante au cours du temps.


\begin{solintro}
\nathanliveVideo
    \be
        \item Soient :\par
        \bi
            \item $I$ la position initiale du boulet;
            \item $M$ la position du boulet à un instant quelconque;
            \item $O$ la position d'équilibre du boulet.
        \ei
        \Form{104_energie_020_mod}
        
        
        
        On choisit la position d'équilibre $O$ comme origine des altitudes et par convention,  on pose:
        \[E_{pp}(0)=0.
        \]
        \BreakWithoutItem
       Si on note $z$ l'altitude de $M$ par rapport à celle de $O$, on a :
       \[
       E_{pp}(M)=mgz.
       \]
        Soit $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur $[OA]$; on a :
        \[
        z=OB=OA-AB=L-AB.
        \]
        Dans le triangle rectangle $ABM$, on a:
        \[
        \cos\theta =\frac{AB}{AM} =  \frac{AB}{L}\Rightarrow AB=L\,\cos\theta.
        \]
        On a ainsi:
        \[
        z=L-L\,\cos\theta =L\,(1-\cos\theta ).
        \]
        Donc finalement, 
        \[
        E_{pp}(M)=mgL\,(1-\cos\theta ).
        \]
        
       
        \item Soit $v_M$ la vitesse du pendule en $M$, à partir de laquelle est définie son énergie cinétique :
        \[E_c(M)=\frac{1}{2}\,mv_M^2  \]
        d'où découle l'expression de l'énergie mécanique en $M$ :
        \[E_m(M)=E_{pp}(M)+E_c(M)=mgL\,\times (1-\cos\theta )+\frac{1}{2}\,mv_M^2.
        \]
        En outre, au point $I$, le pendule est lâché avec une vitesse $v_I=0$ et un angle $\theta _0$ ; son énergie mécanique vaut alors,
        conformément à la relation précédente :
        \[E_m(I)=mgL\times (1-\cos\theta _0)+\frac{1}{2}\,mv_I^2=mgL\times (1-\cos\theta _0).
        \]
        %\BreakWithoutItem
        Or, l'absence de frottements autorise la conservation de l'énergie mécanique du pendule :
        \begin{eqnarray}
        E_m(M)=E_m(I)
        & \Rightarrow & mgL\,(1-\cos\theta )+\frac{1}{2}\,mv_M^2=mgL\,(1-\cos\theta _0)\notag\\
        & \Rightarrow & -gL\,\cos\theta +\frac{1}{2}\,v_M^2=-gL\,\cos\theta _0\notag\\
        & \Rightarrow & \frac{1}{2}\,v_M^2=gL\,(\cos\theta -\cos\theta _0.)\label{1110101}
        \end{eqnarray}
        
        Enfin, puisque $v_M^2\geqslant 0$ (tout carré est positif ou nul), il s'ensuit que :
        \[\cos\theta -\cos\theta _0\geqslant 0\Rightarrow\cos\theta\geqslant\cos\theta _0\Rightarrow\theta\leqslant\theta _0.
        \]
        Cette inéquation montre que $\theta _0$ est la plus grande valeur accessible à $\theta$.
        \Break
        \item Puisque $E_{pp}=mgL\,(1-\cos\theta )$ et d'après ce qui précède, l'énergie potentielle du pendule devient maximale lorsque
        ${\theta =\theta _0}$ :
        \[E_{pp\text{max}}=mgL\times (1-\cos\theta _0).
        \]
        \item La relation (\ref{1110101}) est vérifiée pour toute position de $M$ du pendule, en particulier lorsque $M$ occupe la position de $O$, pour laquelle ${\theta =0}$.
        
        On a alors $\cos\theta=1$ et :
        \begin{align*}
         E_m(0) & = \frac{1}{2}\,v_O^2\\
         & =gL\,(1-\cos\theta _0)
         \end{align*}
         donc:
         \[
         v_O=\sqrt{2gL\,(1-\cos\theta _0)}.
        \]
        On a montré que la valeur de $v_O$ ne dépend pas de la masse du boulet.
        
        \emph{Application numérique} :
        \[v_O=\sqrt{2\times 10\times 2\times\comp{1-\cos (50\Mdegre )}}\simeq 3,8\Uvitesse.\]
    \ee
    \end{solintro}





%    \end{solintro}
%     \Formuleex{007_champs_005}{0.57cm}{0}


%    \section{Application au neutrino}
%    Supposons que lors d'une désintégration $\beta ^-$, des électrons soient émis ainsi que des photons (rayonnement $\gamma$) pouvant provenir
%    de l'éventuelle stabilisation du noyau fils. Par exemple :
%    \[\isotope{32}{15}{P}\,\rightarrow\,\isotope{32}{16}{S}+\isotope{0}{-1}{$\beta ^-$}+\isotope{0}{0}{$\gamma$}
%    \]
%    Notons $E_c(\text{P})$, $E_c(\text{S})$ et $E_c(\beta ^-)$ les énergies cinétiques des noyaux de phosphore, de soufre et de l'électron.
%    Compte tenu de la faible masse de l'électron par rapport à la masse des noyaux, on peut négliger $E_c(\text{P})$ et $E_c(\text{S})$ devant
%    $E_c(\beta ^-)$.\par
%    Soient $m_{\p}$, $m_{\s}$ et $m_e$ les masses respectives du noyau de phosphore, de celui du soufre et de l'électron. Enfin, désignons par
%    $E_{\gamma}$ l'énergie du photon $\gamma$ émis.\par
%    \bi
%        \item Avant la désintégration, le noyau de phosphore possède l'énergie :
%        \[E_{\text{ini}}=m_{\p}\,c^2+E_c(\p )
%        \]
%        \item Après la désintégration, le système est composé de $\isotope{32}{16}{S}$, de l'électron et du photon ; il possède alors l'énergie
%        :
%        \[E_{\text{fin}}=\comp{m_{\s}c^2+E_c(\s )}+\comp{m_ec^2+E_c(\beta ^-)}+E_{\gamma}
%        \]
%    \ei
%    La conservation de l'énergie impose :
%    \[E_{\text{fin}}=E_{\text{ini}}\Rightarrow m_{\s}c^2+m_ec^2+E_c(\s )+E_c(\beta ^-)+E_{\gamma}=m_{\p}c^2+E_c(\p )
%    \]
%    c'est-à-dire, en négligeant $E_c(\s )$ et $E_c(\p )$ devant $E_c(\beta ^-)$ :
%    \begin{equation}\label{1311101}
%    E_c(\beta ^-)+E_{\gamma}\simeq\Delta m\,c^2\Rightarrow E_c(\beta ^-)=\Delta m\,c^2-E_{\gamma}
%    \end{equation}
%    où $\Delta m=m_{\p}-m_{\s}-m_e$ désigne le défaut de masse.\par
%    Puisque le photon provient de la stabilisation du noyau fils (ici $\isotope{32}{16}{S}$), son énergie est quantifiée (comme celle du noyau
%    fils) ; appelons $E_1$, $E_2$,\ldots les valeurs possibles de son énergie. Dans ces conditions, la relation (\ref{1311101}) montre que les
%    électrons devraient avoir une énergie quantifiée :
%    \[E_{c1}(\beta ^-)=\Delta m\,c^2-E_1\text{, }E_{c2}(\beta ^-)=\Delta m\,c^2-E_2,\cdots
%    \]
%    admettant pour valeur maximale $E_{c\text{max}}=\Delta m\,c^2$. Le spectre donnant le nombre d'électrons en fonction de leur énergie
%    devrait alors présenter des pics (\emph{cf}. spectre théorique) :
%    \begin{center}
%    \includegraphics[width=\textwidth]{008_energie_004}
%    \end{center}
%    Il est possible de mesurer l'énergie cinétique des électrons émis par un échantillon radioactif : celui-ci est entouré d'une gaine en plomb
%    (qui absorbe la quasi totalité des particules $\beta ^-$ émises), elle-même enfermée dans un calorimètre.
%    \Form{008_energie_005}
%    Lors de leur freinage, les particules $\beta ^-$ cèdent au plomb leur énergie cinétique sous forme d'énergie thermique qui échauffe le
%    plomb et que l'on peut évaluer en mesurant la température.\par
%    La mesure de l'énergie cinétique des particules $\beta ^-$ révèle un spectre différent du spectre théorique (\emph{cf}. spectre
%    expérimental). Pour interpréter cette différence,\linebreak {W. Pauli} a imaginé, dans les années 1930, qu'une autre particule devait être émise
%    au cours de la désintégration $\beta ^-$ ; il s'agit de l'anti-neutrino ($\ov{\nu}$) dépourvu de masse et de charge, mais possédant quand
%    même une énergie $E_{\ov{\nu}}$ :
%    \[\isotope{32}{15}{P}\,\rightarrow\,\isotope{32}{16}{S}
%    +\isotope{0}{-1}{$\beta ^-$}+\isotope{0}{0}{$\gamma$}
%        +\isotope{0}{0}{$\ov{\nu}$}
%    \]
%    Avant et après la désintégration, l'énergie du système prend ainsi les valeurs :
%    \[E_{\text{ini}}=m_{\p}\,c^2+E_c(\p )
%    \]
%    et :
%    \[E_{\text{fin}}=\comp{m_{\s}\,c^2+E_c(\s )}+\comp{m_ec^2+E_c(\beta ^-)}+E_{\gamma}+E_{\ov{\nu}}
%    \]
%    Avec les mêmes approximations, la relation (\ref{1311101}), issue de la conservation de l'énergie, s'écrit maintenant :
%    \[E_c(\beta ^-)+E_{\gamma}+E_{\ov{\nu}}=\Delta m\,c^2
%        \Rightarrow E_c(\beta ^-)+E_{\ov{\nu}}=\Delta m\,c^2-E_{\gamma}
%    \]
%    Ce faisant, c'est la somme $E_c(\beta ^-)+E_{\ov{\nu}}$ qui doit être quantifiée et non $E_c(\beta ^-)$, ce qui justifie le spectre
%    expérimental.\par
%    De même, une désintégration $\beta ^+$ s'accompagne de la libération d'un neutrino ($\nu$) ; par exemple :
%    \[\isotope{53}{26}{Fe}\,\rightarrow\,\isotope{53}{25}{Mn}+\isotope{0}{1}{$\beta ^+$}+\isotope{0}{0}{$\gamma$}+\isotope{0}{0}{$\nu$}
%    \]
%    Enfin, le neutrino (ou l'anti-neutrino) interagit très faiblement avec la matière, ce qui justifie :
%    \bi
%        \item qu'il ait été si difficile à mettre en évidence : il faut 35 années-lumières de plomb pour absorber les neutrinos de manière
%        significative (il n'a été mis en évidence qu'en 1956).
%        \item la mesure de $E_c(\beta ^-)$ à l'aide du dispositif calorimétrique décrit précédemment : la gaine de plomb ne freine pas les
%        neutrinos de sorte que son échauffement ne provient que des particules $\beta ^-$ émises.
%    \ei
%    \enlargethispage*{2em}
