\part{La Terre, un astre singulier}

\setcounter{chapter}{7}
\chapter{La forme de la Terre}

\section{Introduction}

Quand nous regardons autour de nous, l’environnement nous apparaît plan. 
Pourtant, dès l’Antiquité, on s’interroge sur la forme de la Terre et 
on cherche 
à déterminer ses dimensions, particulièrement celles de ses méridiens 
(demi-cercles passant par les pôles). Par la suite, l’Homme a cherché à 
déterminer sa position avec un maximum de précision. 

\begin{problematique}
 Comment la connaissance de la forme de la Terre a-t-elle permis la 
détermination de sa circonférence ?
\end{problematique}

\section{D’une perception plane à une réalité sphérique}

La connaissance poussée de la géométrie chez les Grecs et les 
\'Egyptiens a permis 
de conclure que la Terre avait une forme sphérique. Les simples interrogations 
de 
Platon et Aristote, qui imaginent que la Terre est ronde, vont conduire à 
réaliser des observations pour confirmer cette hypothèse.
\'Eratosthène va même jusqu’à déterminer la circonférence de la 
Terre.

\Par


Aujourd’hui, grâce aux missions spatiales, les images diffusées au 
grand public permettent de constater que notre planète est une sphère 
principalement recouverte d’eau. 

\subsection{La première mesure de la circonférence de la Terre}

\nathanLive{Retrouvez la mesure de la circonférence de la Terre en vidéo avec}
\label{video:ch8circonferenceterre}

Vers 245 avant J.-C., Ératosthène observe, à Alexandrie, l’ombre 
d’un gnomon 
(bâton planté verticalement dans le sol, ancêtre du cadran solaire) le jour du 
solstice d’été, où le Soleil atteint son point le plus haut.  Il sait par 
ailleurs qu'à Syène (aujourd'hui Assouan), considérée comme étant sur le même 
méridien, à la même période de l’année, le fond d'un puits est 
parfaitement éclairé. Il en 
déduit que les rayons du Soleil y arrivent parfaitement perpendiculaires à la 
surface de la Terre.

\Par

Deux hypothèses permettent alors à Ératosthène de déterminer géométriquement la 
circonférence de la Terre :
\begin{itemize}
 \item[1.] le Soleil est suffisamment éloigné de la Terre pour 
considérer que ses 
rayons arrivent parallèles entre eux,
\item[2.] la Terre est sphérique, donc toute droite perpendiculaire à 
sa surface 
passe 
par son centre.
\end{itemize}

\Par

Il établit alors une représentation de ses observations.

%% FIGURE 8.1
\begin{figure}
 \begin{center}
 \includegraphics{192_08-01}
 \end{center}
\figcaption{L’expérience d’\'Eratosthène}
\end{figure}

Considérons le triangle $ABC$ rectangle en $A$, alors l’angle $\theta$ peut 
être calculé par la relation :
\[\tan\theta = \frac{AC}{AB} = \frac{\text{longueur de l'ombre}}{\text{hauteur 
du gnomon}}.\]

En mesurant $AC$ et $AB$, \'Eratosthène va pouvoir déterminer 
$\tan\theta$ puis 
$\theta$. Il trouve que $\theta$ vaut $7,2\degres$. Il en déduit que $\alpha = 
7,2\degres$ : $\alpha$ et $\theta$ sont égaux car ce sont des angles 
alternes-internes.

\Par

\'Eratosthène va ensuite utiliser deux propriétés mathématiques du 
cercle :
\begin{itemize}
 \item la longueur de l'arc de cercle entre Syène et Alexandrie est 
proportionnelle à l'angle $\alpha$ ;
\item l'angle correspondant à un tour complet vaut 360°.
\end{itemize}


\Par

Comme \'Eratosthène connaissait la distance séparant Syène 
d'Alexandrie, il fut capable de
 déterminer la circonférence $C$ de la Terre en appliquant une 
relation de proportionnalité :

\begin{center}
 
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}p{2cm}|>{\centering\arraybackslash}
p{2.5cm}|}
\hline \tabulartitle Angle en $\degres$ & Distance en km \\ \hline
7,2 & 790 \\ \hline
360 & $C$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\[C = \frac{360 \times 790}{7,2} = \text{\numprint{39500}}\text{ km}.\]

Il estima donc la circonférence de la Terre à \numprint{39500} km. De 
nos 
jours, la valeur réelle est connue et vaut \numprint{40075} km. 
\'Eratosthène 
avait évalué la circonférence de la Terre avec une très bonne précision.

\begin{aretenir}
En observant des ombres lors du solstice d'été, \'Eratosthène montre 
que la Terre 
est une sphère et détermine sa circonférence à l'aide de calculs géométriques 
simples.
\end{aretenir}

\textit{Voir exercice \ref{exo:ch8exo4} page \pageref{exo:ch8exo4}.}

\subsection{Détermination des longueurs par triangulation}

\`A la fin du \textsc{xviii}\ieme{} siècle, les 
scientifiques 
souhaitent uniformiser leurs mesures à l'aide d'une unité de référence : le 
mètre. C’est 
pour cette raison que deux scientifiques français, Delambre et Méchain, 
entreprennent de parcourir la distance Dunkerque – Barcelone afin de mesurer le 
méridien passant par Paris et de définir le premier étalon du mètre, défini 
comme \og le dix millionième du quart du méridien terrestre\fg{}. Notons qu'à 
cette époque, le méridien était défini comme un cercle faisant le tour de la 
Terre.

\Par

%% FIGURE 8.2
\begin{figure}
 \begin{center}
  \includegraphics{193_08-02}
 \end{center}
\figcaption{Carte du trajet de Delambre et Méchain}
\end{figure}


\newpage

Ils partent chacun de leur côté pour déterminer, par une méthode appelée 
\textit{triangulation}, les côtés de triangles adjacents successifs à 
partir de mesures 
d’angles et d’une longueur précise référente. Leur but est d'en 
déduire la 
distance entre Dunkerque et Barcelone.

% %%% PAGE SUIVANTE
% \vspace*{0.5cm}
% \begin{center}
%  \textit{Voir illustration page suivante.}
% \end{center}
% \vspace*{0.5cm}
% \newpage


%% FIGURE 8.3
\begin{figure}
 \begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{194_08-03}
 \end{center}
 \captionsetup{width=\linewidth}
 \figcaption{Illustration des triangles de Delambre et Méchain}
\end{figure}


\subsubsection{Principe de triangulation}

Dans un triangle, si on connaît la longueur d'un des cotés et deux de ses 
angles, il est possible de
 connaître tous les angles ainsi que la longueur de 
tous les cotés.

Il faut pour cela connaître deux notions mathématiques :
\begin{itemize}
 \item les sommes des angles d'un triangle vaut $180\degres$ : 
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180\degres$ ;
\item la loi des sinus qui s'écrit (en utilisant les notations de la figrue 
ci-dessous) :
\[\frac{a}{\sin(\widehat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\widehat{B})} = 
\frac{c}{\sin(\widehat{C})}.\]
\end{itemize}

\begin{center}
 \includegraphics{195_08-04}
\end{center}

\textit{Exemple :} si l'on connaît les valeurs de $a$, $\widehat{B}$, 
$\widehat{C}$, on 
peut déterminer les grandeurs inconnues :
\[\widehat{A} = 180-\widehat{B} - \widehat{C} \; ; \; b = 
\dfrac{a\times \sin(\widehat{B})}{\sin(\widehat{A})} \; ; \; c = 
\dfrac{a\times \sin(\widehat{C})}{\sin(\widehat{A})}.\]

En considérant plusieurs triangles ayant à chaque fois un coté en commun, il est 
possible de
 déterminer, de proche en proche, une distance entre deux points 
très éloignés à partir de la mesure
 d'une première distance beaucoup plus 
courte (un des côtés du premier triangle), puis uniquement
 des mesures d'angles. Ceci est beaucoup plus facile à réaliser 
précisément sur de grandes distances.

\Par

\textit{Voir exercice \ref{exo:ch8exo5} page \pageref{exo:ch8exo5}.}

\Par

C'est ce qu'ont fait Delambre et Méchain. Ils ont ainsi obtenu la distance entre 
Dunkerque et
Barcelone.

Par une autre méthode que nous ne détaillerons pas, Delambre et 
Méchain ont de plus mesuré l'angle $\alpha$ formé par le centre de la 
Terre avec Dunkerque et Barcelone. Ils ont alors pu calculer 
la valeur de la circonférence $C$ de la Terre
en utilisant le fait que la longueur d'un arc de cercle est 
proportionnel à l'angle au centre qui l'intercepte. On peut donc 
appliquer la relation de proportionnalité :

 \[C = \frac{360 \times d_{\text{Dunkerque - 
 Barcelone}}}{\alpha}.\]
 
 % %%% PAGE SUIVANTE
\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
 \textit{Voir schéma page suivante.}
\end{center}
\vspace*{0.5cm}
\newpage


  \begin{figure}
 \begin{center}
   \includegraphics{196_08-05}
  \end{center}
 \figcaption{Représentation de l’angle entre Dunkerque et Barcelone}
 \end{figure}
 
 \Par

\textit{Remarque : } Notons que lorsque l'on connaît la circonférence de la 
Terre, il est facile d'en déduire son rayon.
En effet, la circonférence d'un cercle peut être calculée à partir de son 
rayon, par la relation $C = 2 \times \pi \times r$. Donc le rayon s'exprime 
par la relation :
\[r = \frac{C}{2\pi}.\]

\begin{aretenir}
La triangulation permet de mesurer une distance à partir de mesures d'angles. 
Delambre et Méchain ont déterminé la longueur de la circonférence terrestre par 
triangulation, 

Le rayon de la Terre est calculé par la connaissance de la circonférence 
terrestre avec la relation :
\[r = \frac{C}{2\pi}.\]
\end{aretenir}


\section{Repérages terrestres}

Connaissant avec précision le rayon de la Terre, il est possible de 
déterminer la position d’un point, puis de calculer la 
distance entre deux points situé à sa surface.

\Par

Pour faciliter le repérage, un système de coordonnées a été construit à partir 
des angles formés par rapport à l’équateur (la \textit{latitude}) et par rapport 
au méridien de Greenwich (la \textit{longitude}).

\Par

Un \textit{parallèle} est le cercle passant par les points de même latitude. 
Les parallèles les plus connus sont les tropiques du Cancer et du 
Capricorne. 
Ces deux parallèles définissent une zone où le Soleil est au moins une fois par 
an à la verticale de la surface de la Terre.

%%% PAGE SUIVANTE
% \vspace*{0.5cm}
% \begin{center}
%  \textit{Voir illustration page suivante.}
% \end{center}
% \vspace*{0.5cm}
% \newpage


%% FIGURE 8.6
\begin{figure}
 \begin{center}
  \includegraphics{197_08-06}
 \end{center}
\figcaption{Représentation des coordonnées d’un point $M$ en latitude 
et longitude}
\end{figure}

\Par

\`A partir de l’angle au centre et du rayon de la Terre, on peut calculer la 
longueur de l’arc d’un méridien ou d’un parallèle.

\Par

%% FIGURE 8.7
\begin{figure}
 \begin{center}
  \includegraphics{197_08-07}
 \end{center}
\figcaption{Représentation des arcs de cercle}
\end{figure}


\Par

\textit{Exemple avec le point $M$ de la figure précédente}

\begin{itemize}
 \item Calcul de l’arc du méridien, $L$ 
 
 \Par
 
 La circonférence de la Terre s’exprime par la relation $C = 2 \times 
\pi \times R$, où $R$ est le rayon de la Terre. Cette circonférence 
représente un angle de 360°. Donc en admettant que la longueur d’un arc est 
proportionnelle à l’angle qu’il décrit, on a :
\[L = \frac{C \times \text{angle au centre}}{360\degres} = \frac{2\times \pi 
\times R \times \text{Latitude}}{360\degres}.\] Donc l'arc du méridien décrit 
par le point $M$ vaut :
\[L = \frac{2\times \pi \times \text{\numprint{6371}} \times 60}{360} = 
\text{\numprint{8896}} \text{ km}.\]
\item Calcul de l’arc du parallèle, $l$

\Par 

On applique la même relation de proportionnalité mais cette fois le rayon de 
l’arc ne correspond pas au rayon de la Terre, il est plus petit. 

\Par

\textbf{1\iere{} étape}

On détermine le rayon, $r$, du parallèle décrit. 
Plaçons-nous dans le triangle $OMN$ rectangle en $N$, l’hypoténuse $OM$ est le 
rayon de la Terre, $R$. De plus, l’angle $\alpha$ est équivalent à la 
latitude. Donc :
\[\cos\alpha = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{r}{R} 
\implies r = R \times \cos\alpha = R\times \cos(\text{latitude}).\]

\begin{center}
  \includegraphics{198_08-08}
\end{center}


\textbf{2\ieme{} étape}

On injecte le rayon dans le calcul de l’arc
 \[l = \frac{2\times \pi \times r \times \text{longitude}}{360} = 
\frac{2\times \pi\times R\times \cos(\text{latitude}) \times 
\text{longitude}}{360}.\] Donc l'arc du parallèle décrit par $M$ vaut :
\[l = \frac{2\times \pi \times \text{\numprint{6371}} \times \cos(60)\times 
80}{360} = \text{\numprint{1158}} \text{ km}.\]
\end{itemize}

En connaissant les coordonnées de deux points à la surface de la Terre, la 
distance qui les sépare est déterminée par un arc de cercle. Celle-ci 
peut être 
mesurée en passant par des trajets différents :
\begin{itemize}
 \item soit à vol d’oiseau, le trajet direct, on parle de trajet 
\textit{loxodromique} ;
\item soit un arc d’un grand cercle passant par les deux villes, 
on parle alors de trajet\linebreak \textit{orthodromique}.
\end{itemize}

\begin{etymologie}
 \textit{Orthodromie} vient du grec « orthos », droit et « dromos », course. Ce 
mot désigne le 
plus petit arc du grand cercle passant par deux points.

\Par
\textit{Loxodromie} vient du grec « loxos », oblique et « dromos », course. Ce 
mot 
désigne le 
chemin qui coupe les méridiens avec un angle constant. Sur un planisphère, 
c’est la 
droite entre les deux points.
\end{etymologie}

\begin{defin}
 Un \textit{grand cercle} d’une sphère est un cercle passant par deux points 
situés à la surface et ayant pour centre celui de la sphère.
\end{defin}

%% FIGURE 8.8
\begin{figure}
 \begin{center}
  \includegraphics{199_08-09}
 \end{center}
\figcaption{Représentation des grands cercles\\ d’une sphère.}
\end{figure}

\textit{Remarque :} à part l'équateur, les parallèles ne sont pas des 
grands cercles.

Le trajet le plus court est l’orthodromique c’est-à-dire celui qui décrit le 
plus petit arc de cercle à la surface de la Terre.

\Par

Les deux figures qui suivent montrent l'orthodromie et la loxodromie 
entre Paris et Montréal.

%% FIGURE 8.9
 \begin{center}
  \includegraphics{199_08-10}
 \end{center}
 
 
%% PAGE SUIVANTE
\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
 \textit{Voir la représentation de ce trajet sur la sphère terrestre 
page 
suivante.}
\end{center}
\newpage


\begin{figure}
 \begin{center}
  \includegraphics[scale=0.97]{200_08-11}
 \end{center}
 \figcaption{Orthodromie et loxodromie entre deux points de la 
surface terrestre}
\end{figure}

\Par

En observant le planisphère, nous avons l’impression que le trajet le plus court 
est le trajet loxodromique.
Or on constate que la distance la plus courte sur la sphère est la distance 
orthodromique, $D_{\text{ortho}} = \text{\numprint{5534}} \text{ km}$.
Notre planète est une sphère, il faut donc prendre en compte cette géométrie 
lors des mesures de distances.

\begin{aretenir}
 On repère un point à la surface de la Terre par deux coordonnées angulaires, sa 
latitude et sa longitude.

\Par

La longueur d’un arc de cercle $l$ est proportionnelle à l’angle 
$\alpha$ qui 
l’intercepte et au rayon du cercle, $R$ : $l = \dfrac{2\times \pi\times 
R\times \alpha}{360}$.

\Par

Le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre est l’arc du 
grand cercle qui les relie.
\end{aretenir}

\textit{Voir exercice \ref{exo:ch8exo3} page \pageref{exo:ch8exo3}.}
