\thumb

%%% EXERCICE 1

\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{5}
Choisissez la (ou les) réponse(s) exacte(s).
    \begin{questions}
     \item La forme sphérique de la Terre a été démontrée par :
     
     \choix  l’observation de l’horizon ;
     
     \choix  l’ombre portée de la Terre sur la Lune ;
     
     \choix l’ombre portée au sol par un gnomon ;
     
     \choix la trajectoire du Soleil dans le ciel.
     
     \item Le calcul de la circonférence de la Terre à partir de l’ombre d’un 
gnomon lors du solstice d’été est réalisé par :
     \resetchoix
     
   \choix Aristote ;
     
     \choix \'Eratosthène ;
     
     \choix Delambre et Méchain ;
     
     \choix Platon.
     
     \item Le calcul de la circonférence de la Terre à partir d’une succession 
de triangles a été réalisé par :
     \resetchoix
     
        \choix Aristote ;
     
     \choix \'Eratosthène ;
     
     \choix Delambre et Méchain ;
     
     \choix Platon.
     
     \item La valeur de la circonférence de la Terre est d’environ :
     \resetchoix
     
        \choix \numprint{6000} m ;
     
     \choix \numprint{6000} km ;
     
     \choix \numprint{12000} m ;
     
     \choix \numprint{40000} km.
     
     \item La valeur du rayon de la Terre est d’environ :
     \resetchoix
     
        \choix \numprint{6000} m ;
     
     \choix \numprint{6000} km ;
     
     \choix \numprint{12000} m ;
     
     \choix \numprint{40000} km.
     
 
     \item L’angle repéré par rapport à l’équateur est :
     \resetchoix
     
        \choix le méridien ;
      
     \choix la parallèle ;
     
     \choix la latitude ;
     
     \choix la longitude.
     
    \newpage
     
     \item Le trajet le plus court pour rejoindre deux points à la surface de 
la 
Terre :
     \resetchoix
     
        \choix passe forcément par les pôles ;
     
     \choix décrit un arc du grand cercle passant par les deux points;
     
     \choix est un arc du méridien quand les deux points sont sur le même 
méridien 
;
     
     \choix est un arc du parallèle quand les deux points sont sur le même 
parallèle.
    \end{questions}

\end{qcm}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Réponses \choix[b] et \choix[c]. La trajectoire circulaire du Soleil ne 
permet pas de conclure sur la sphéricité de la Terre. Ce mouvement est aussi 
apparent dans le cas d’une planète plane.
  \item Réponse \choix[b].
  \item Réponse \choix[c].
  \item Réponse \choix[d].
  \item Réponse \choix[b].
  \item Réponse \choix[c].
  \item Réponses \choix[b] et \choix[c].
  
  \Par
  
  Sur la figure suivante, A et B sont sur le même parallèle ; C et D sur le 
même méridien. 

   \begin{center}
   \includegraphics{207_08E-01}
   \end{center}
 \end{questions}
\end{corrige}

%%% EXERCICE 2

\begin{exo}{Coordonnées géographiques}{Lycée Chaptal, Paris}{1}{5}
\label{exo:ch8exo2}
  \begin{center}
   \includegraphics{202_08E-02}
  \end{center}
 \begin{questions}
  \item Légender le schéma ci-dessus avec les termes suivants : équateur, 
méridien, 
méridien de Greenwich, parallèle, longitude, latitude. 
\item Déterminer les coordonnées du point $A$.
 \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item \begin{itemize}
  \item  1 : parallèle
\item 2 : méridien de Greenwich
\item 3 : latitude
\item 4 : équateur
\item 5 : longitude
\item 6 : méridien
        \end{itemize}
\item Les coordonnées du point A sont 20° N, 40° O.
 \end{questions}

\end{corrige}



%%% EXERCICE 3

\begin{exo}{Le trajet le plus court}{Lycée Alexandre Dumas, 
Saint-Cloud}{1}{5}
\label{exo:ch8exo3}
 Voici la représentation du trajet Paris – New York fournie par le logiciel 
Google Maps.

  \Par
  
  \begin{center}
     \includegraphics[width=\linewidth]{202_08E-03}
  \end{center}
  
\newpage

Voici une modélisation du même voyage proposant deux trajets :
  
    \Par
    
 \begin{center}
    \includegraphics{203_08E-04}
 \end{center}


\begin{questions}
 \item Expliquer pourquoi les avions qui font les vols Paris – New York 
remontent vers le nord.
\item Donner le type de trajet tracé sur la carte issue de Google Maps.
\item Indiquer comment représenter sur le premier schéma, le 
2\ieme{} trajet proposé par la 
modélisation.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item D’après la modélisation, le trajet vert est plus court 
que le trajet rouge donc les avions vont privilégier ce trajet qui passe plus au 
nord.
\item Le trajet tracé sur la carte issue de Google Maps décrit un arc du grand 
cercle passant par Paris et New York, c’est la distance orthodromique.
\item Sur la carte issue de Google Maps, il faut tracer une droite entre Paris 
et 
New York pour représenter la distance loxodromique.
%% FIGURE 8.20
 \begin{center}
    \includegraphics{208_08E-05}
 \end{center}
 \end{questions}

\end{corrige}



%%% EXERCICE 4

\begin{exo}{Les travaux d’\'Eratosthène}{Lycée Jacques Amyot, 
Auxerre}{2}{10}
\label{exo:ch8exo4}
 \'Eratosthène est à Alexandrie le jour du solstice d’été. Il observe 
à midi du 
jour où le Soleil est le plus haut de l'année un obélisque de 8 m de haut. 
L’ombre 
laissée au sol mesure 1 m, elle est considérée comme droite, et c’est un 
segment 
perpendiculaire à l’obélisque. Au même instant à Syène, 800 km plus au Sud, un 
puits ne  possède aucune ombre.

\begin{questions}
 \item Expliquer pourquoi les rayons du Soleil sont considérés parallèles entre 
eux.
 \item Schématiser l’expérience avec une légende, à partir d’un cercle de 
centre $O$ et de rayon $R = 3$ cm sans vous soucier de l’échelle.
\item Indiquer sur votre schéma :
\begin{itemize}
 \item A : le puits de Syène,
\item B : le bas de l’obélisque,
\item C : le haut de l’obélisque,
\item D : le haut de l’ombre.
\end{itemize}
\item Donner la nature du triangle $BCD$.
\item Calculer l'angle $\widehat{BCD}$.
\item Justifier la valeur de l'angle $\widehat{BOA}$.
\item Calculer la circonférence de la Terre.
\item Calculer le rayon $R$ de la Terre.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Le Soleil est situé très loin de la Terre donc on peut considérer 
les rayons comme parallèles entre eux.
\item La figure ci-dessous représente le schéma de l'expérience :
 \begin{center}
   \includegraphics{208_08E-06}
 \end{center}
\item Voir la figure ci-dessus.
\item Le triangle $BCD$ est rectangle en $B$, avec l’approximation que l’ombre 
est tangente à la surface de la Terre.
\item $\tan\widehat{BCD} = \dfrac{\text{côté 
opposé}}{\text{côté adjacent}} = 
\dfrac{BD}{BC} = \dfrac{1}{8} = 0,125$.

Ainsi $\widehat{BCD} = 
\arctan(0,125) = 7,1\degres$.
\item L'angle $\widehat{BOA}$ est alterne-interne avec l'angle $\widehat{BCD}$ 
donc ils sont égaux. Ainsi, $\widehat{BOA} = 7,1\degres$.
\item Calcul par proportionnalité. Sachant que 7,1° représente 800 km et qu’un 
cercle couvre un angle de 360°.
\begin{center}
 
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}p{2cm}|>{\centering\arraybackslash}
p{3cm}|}
\hline \tabulartitle Angle en $\degres$ & Distance en km \\ \hline
7,1 & 800 \\ \hline
360 & $C$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\[C = \frac{360\times 800}{7,1} = \text{\numprint{40563}} \text{ km.}\]

Donc la circonférence vaut \numprint{40563} km. 

\Par

La valeur historique est 
\numprint{39000}~km, donc 
notre valeur trouvée est légèrement supérieure. Ce qui peut 
s'expliquer par les 
valeurs entières approximatives utilisées dans cet exercice.
\item    La circonférence s’exprime en fonction du rayon de la Terre par la 
relation : $C = 2\times \pi \times R$

\Par 
Donc le rayon s’exprime par : $R = \dfrac{C}{2\pi}$.

\[R = \frac{C}{2\pi} = \frac{\text{\numprint{40563}} \text{ km}}{2\pi} 
= 
\text{\numprint{6456}}\text{ km},\]
cette valeur trouvée est supérieure à la valeur réelle, $R_T =$ 
\numprint{6371} km pour 
la même raison. L’erreur continue de se répercuter dans les calculs.
 \end{questions}

\end{corrige}

%%% EXERCICE 5

\begin{exo}{Distance par triangulation}{Lycée Carnot, Paris}{2}{15}
\label{exo:ch8exo5}
 Déterminer la longueur $AE$ à partir des angles donnés et de la distance entre 
les points $A$ et $B$, $d_{\text{AB}}=5$ km.

%% FIGURE 8.14
\begin{figure}
 \begin{center}
 \includegraphics{204_08E-07}
 \end{center}
\figcaption{Figure de triangulation d’une distance}
\end{figure}

La loi des sinus établit la relation suivante :
\[\frac{a}{\sin(\widehat{A})} = \frac{b}{\sin(\widehat{B})} = 
\frac{c}{\sin(\widehat{C})}\]

\Par

On donne : $\widehat{CAE} = 37,5\degres$.
\end{exo}

\begin{corrige}
 Dans un triangle, la somme des angles vaut 180° donc
 \[\widehat{BCA} = 180\degres - (75 \degres + 45\degres) = 60\degres,\]
 donc l'angle
 \[\widehat{ACE} = 60\degres + 30\degres + 25\degres = 115\degres.\]
 \[BC = \frac{AB \times \sin\alpha}{\sin\widehat{ACB}} = 
\frac{5\text{ km}\times \sin 75\degres}{\sin 60\degres} = 5,58\text{ km.}\]
\[CD = \frac{CB \times \sin\beta}{\sin\widehat{CDB}} = \frac{5,58\text{ km} 
\times \sin 70\degres}{\sin 80\degres} = 5,32\text{ km.}\]
($180\degres - 70\degres -30\degres =80\degres$)
\[CE = \frac{CD = \sin\delta}{\sin\widehat{DEC}} = \frac{5,32\text{ km}\times 
\sin 80\degres}{\sin 75\degres} = 5,42\text{ km.}\]
($180\degres - 80\degres - 25\degres = 75\degres$)
\[AE = \frac{CE \times \sin\widehat{ACE}}{\sin\widehat{CAE}} = 
\frac{5,42\text{ km} \times \sin 115\degres}{\sin 37,5\degres} = 8,08\text{ 
km},\]  donc la distance entre $A$ et $E$ est de 8,08 km.
\end{corrige}



%%% EXERCICE 6

\begin{exo}{Découvrir l’Amérique du sud}{Lycée Lakanal, Sceaux}{2}{20}
\label{exo:ch8exo6}
 La ville de Lima est la capitale du Pérou, voici sa position dans l’hémisphère 
sud.

%% FIGURE 8.15
\begin{figure}
 \begin{center}
 \includegraphics{205_08E-08}
 \end{center}
\end{figure}

On donne le rayon de la Terre : $R_T =$ \numprint{6371} km.

\begin{questions}
 \item Relever les coordonnées de Lima arrondies au degré.
 \item Calculer l’arc du méridien décrit par la position de Lima par rapport à 
l’équateur.
\item Calculer l’arc du parallèle décrit par la position de Lima par rapport à 
méridien de Greenwich.
\item Déterminer la longueur du parallèle passant par Lima.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Les coordonnées de Lima sont 77° Ouest, 12° Sud.
  \begin{center}
  \includegraphics{210_08E-09}
  \end{center}
\item La circonférence de la Terre est $C = 2\pi R_T$. 

L'arc de méridien est intercepté par un angle au centre correspondant 
à la latitude de Lima. Comme la distance d'un arc de cercle est 
proportionnelle à l'angle au centre qui l'intercepte, on a :
\[L = \frac{2\pi \cdot R_T \cdot \text{latitude}}{360\degres} = \frac{2\pi 
\times 
\text{\numprint{6371}}\text{ km} \times 12\degres}{360} = 
\numprint{1334} \text{ km}.\]
\item Calcul de l'arc du parallèle, $l$, qui est un cercle où le centre est 
situé sur l'axe passant par les pôles et de rayon $r$.

\Par

Dans un premier temps, déterminons $r$.
\[\cos\alpha = \frac{r}{R_T} \implies r = R_T . \cos\alpha,\]
car le triangle bleu est rectangle (voir représentation ci-dessus).

Comme la longueur de l'arc est proportionnelle à l'angle au centre 
qui l'intercepte, on a :
\[l = \dfrac{2\pi \cdot r \cdot \text{longitude}}{360\degres},\] soit
\[l = \frac{2\pi \cdot R_T \cdot \cos\alpha \cdot 
\text{longitude}}{360\degres}
= \frac{2\pi 
\times \text{\numprint{6371}} \times \cos 12\degres \times 
77\degres}{360\degres} = \text{\numprint{8375}}\text{ 
km.}\]
\item La circonférence d'un cercle de rayon $r$ se calcule grâce à la 
formule $C = 2\pi r$, donc :

$\begin{aligned}[t]
C_{\text{parallèle}} & = 2\pi r = 2\pi \cdot R_T \cdot \cos(\text{latitude}) \\ 
&= 2 
\pi \times \text{\numprint{6371}} \times \cos 12\degres = 
\text{\numprint{39155}} \text{ km}.\end{aligned}$

La longueur du parallèle est proche de la circonférence de la Terre car il n’est 
pas très loin de l’équateur. Plus on se rapproche des pôles, plus la 
circonférence du parallèle tend vers 0.
 \end{questions}
\end{corrige}


%%% EXERCICE 7

\begin{exo}{Un voyage Strasbourg-Turin}{Lycée Saint-Martin, 
Rennes}{2}{15}
\label{exo:ch8exo7}
 La famille Strat décide d’aller à Turin pour les vacances. Avant de partir, 
elle cherche des informations sur le trajet Strasbourg – Turin. Elle commence 
par des recherches sur Google Maps.

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
 \textit{Voir carte page suivante.}
\end{center}
\vspace*{0.5cm}
\newpage

%% FIGURE 8.16
\begin{figure}
 \begin{center}
   \includegraphics{206_08E-10}
 \end{center}
\figcaption{Trajet le plus court entre Strasbourg et Turin}
\end{figure}

On donne :
\begin{itemize}
 \item les coordonnées géographiques de Strasbourg : 48,6 N, 7,7 E,
 \item celles de Turin : 45,1 N, 7,7 E,
 \item le rayon de la Terre : $R_T =$ \numprint{6371} km.
\end{itemize}

\begin{questions}
 \item Expliquer le point commun entre les deux villes
 \item Représenter ces villes sur une sphère en faisant apparaître leurs 
coordonnées.
\item Calculer la distance du trajet le plus court entre Strasbourg et Turin.
\item Calculer l’erreur de votre valeur avec la relation $\varepsilon = 
\dfrac{|d_{\text{théorique}} - d_{\text{calculée}}|}{d_{\text{théorique}}}$
où $d_{\text{théorique}}$ est la valeur donnée par Google Maps.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Les deux villes ont la même longitude, 7,7° Est. Elles sont donc 
situées sur le même méridien.
\item La carte ci-dessous est extraite du logiciel Google Earth :
 \begin{center}
 \includegraphics{211_08E-11}
 \end{center}
\item  Les méridiens sont des grands cercles de la Terre, donc le trajet 
passant par le méridien est le plus court chemin entre Turin et Strasbourg. En 
reprenant la formule de l’arc d’un méridien, on peut calculer la distance entre 
les 2 villes.

\Par

Les villes de Strasbourg et de Turin décrivent un angle de 
\[48,6\degres - 45,1\degres = 3,5\degres\]
par rapport au centre de la Terre donc la relation 
s’écrit :
\[d_{\text{S-T}} = \frac{2\times \pi\times \text{\numprint{6371}}\text{km} 
\times 
3,5\degres}{360} = 389 \text{ km}.\]

Par le calcul, nous trouvons que la distance entre Strasbourg et Turin est de 
$389$ km.
\item $\varepsilon = \dfrac{|390-389|}{390} = 2,56.10^{-3}$,
soit $0,26$ \% d'erreur donc les approximations considérant les 2 
villes sur 
le 
même méridien sont acceptables.
 \end{questions}
\newpage
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
