\setcounter{chapter}{11}
\chapter{La musique,\\ou l’art de faire entendre les nombres}

\section{Introduction}


Dans l’Antiquité, les Grecs ont construit une vision très 
mathématique du monde qui les entourait. Au \textsc{vi}\ieme siècle 
avant Jésus-Christ, Pythagore a été le 
premier à développer une théorie mathématique permettant de relier les nombres 
à la musique.

\begin{problematique}
 Comment théoriser la musique d'un point de vue mathématique ?
\end{problematique}

\section{La gamme de Pythagore}


Pythagore étudie les sons produits par différentes cordes vibrantes. Il 
remarque que lorsque qu’il prend des multiples entiers 
de la longueur d’une corde ($l$, $2l$, $3l$, $4l$, etc.), il obtient 
des sons 
\textit{consonants}, c’est-à-dire agréables à l’oreille lorsqu'ils 
sont écoutés simultanément.

\Par

Au \textsc{xvii}\ieme{} siècle, la notion de fréquence d’un son est 
introduite. Lorsque 
la longueur de la corde est \emph{multipliée} par 2, la fréquence du son est, 
quant à 
elle, \emph{divisée} par 2. 

La notion de fréquence permet de quantifier la différence de hauteur qui existe 
entre deux sons : un intervalle entre deux sons correspond au rapport 
de leurs fréquences au sens mathématique (quotient).

\begin{defin}
 Une \textit{octave} est un intervalle qui correspond à un rapport de 
fréquences égal à 2. 
\end{defin}

\begin{defin}
Une \textit{quinte} est un intervalle qui correspond à un rapport de 
fréquences égal à 3/2. 
\end{defin}

La création d’une suite d’intervalles va être limitée par la taille de 
l’instrument du musicien. Comme deux sons dont le rapport de 
fréquences est 
égal à 2 correspondent à la même note, on va établir une échelle musicale au 
sein 
d’une octave. C'est ce qu'on appelle une \emph{gamme}.

\subsection{Construction de la gamme de Pythagore}

La gamme de Pythagore repose sur des intervalles de quinte. Nous allons 
construire cette gamme à partir d'une note de fréquence $f_1$, donc sur 
l'octave comprise entre les deux sons de fréquences $f_1$ et $2f_1$.

\begin{itemize}
 \item \textit{1\iere{} quinte :} $\dfrac{3}{2} f_1$ ;
 \item \textit{2\ieme{} quinte :} on multiplie par $3/2$ la fréquence de la 
1\iere{} quinte : $\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{2} f_1\right) = 
\dfrac{9}{4}f_1$. 

Mais 
$\dfrac{9}{4}f_1 
> 2f_1$ puisque $\dfrac{9}{4} = 2,25$. Pour ne pas sortir de la gamme, on prend 
la note située une octave en 
dessous, en divisant la fréquence précédente par deux :
\[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9}{4} f_1\right) = \dfrac{9}{8}f_1.\]
\item \textit{3\ieme{} quinte :} $\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{9}{4}f_1\right) = 
\dfrac{27}{8}f_1 > 2 
f_1.$ 

Là encore, on prend la note située une octave en dessous, qui a donc pour 
fréquence :
\[\frac{1}{2}\left(\frac{27}{8}f_1\right) = \frac{27}{16}f_1.\]
\end{itemize}

Le tableau suivant résume les douze premières quintes :
 \begin{center}
   \renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{3cm}|>{\centering\arraybackslash}m{4.5cm}|}
\hline 1\iere{} quinte $=\dfrac{3}{2}f_1$ & 5\ieme{} quinte 
$=\dfrac{243}{128}f_1$ & \raisebox{-5pt}{9\ieme{} quinte 
$=\dfrac{\text{\numprint{19683}}}{\text{\numprint{16384}}}f_1$} 
\tabularnewline[12pt] \hline
2\ieme{} quinte $=\dfrac{9}{8}f_1$ & 6\ieme{} quinte 
$=\dfrac{729}{512}f_1$ & \raisebox{-5pt}{10\ieme{} quinte 
$=\dfrac{\text{\numprint{59049}}}{\text{\numprint{32768}}}f_1$} \\[12pt] \hline
3\ieme{} quinte $=\dfrac{27}{16}f_1$ & 7\ieme{} quinte 
$=\dfrac{\text{\numprint{2187}}}{\text{\numprint{2048}}}f_1$ & 
\raisebox{-5pt}{11\ieme{} quinte 
$=\dfrac{\text{\numprint{177147}}}{\text{\numprint{131072}}}f_1$} \\[12pt] 
\hline
4\ieme{} quinte $=\dfrac{81}{64}f_1$ & 8\ieme{} quinte 
$=\dfrac{\text{\numprint{6561}}}{\text{\numprint{4096}}}f_1$ & 
\raisebox{-5pt}{12\ieme{} quinte 
$=\dfrac{\text{\numprint{531441}}}{\text{\numprint{524288}}}f_1 \approx 
f_1$}\\[12pt] \hline
\end{tabular}
 \renewcommand{\arraystretch}{1}
 \end{center}

$\dfrac{\text{\numprint{531441}}}{\text{\numprint{524288}}} = 
\text{\numprint{1,013643}}$. La succession des $12$ quintes boucle 
\emph{presque} sur $f_1$. Pour pouvoir recommencer 
un cycle à partir de la même note, il a été décidé de modifier l’intervalle de 
la dernière quinte, pour retomber exactement sur $f_1$.

\begin{anecdote}
 Cette dernière quinte étant dissonante comme un hurlement,  on l’a 
appelée
\emph{quinte du loup}. 
\end{anecdote}

\section{La naissance de la gamme tempérée}

\subsection{Construction de la gamme tempérée}

Pour pouvoir jouer dans toutes les tonalités avec des instruments différents, 
les musiciens avaient besoin d'une gamme découpée en douze intervalles 
\emph{égaux}. 
C'est ainsi qu'est apparue la gamme \emph{tempérée} à la fin du 
\textsc{xvii}\ieme{} 
siècle.

\begin{defin}
 La \emph{gamme tempérée} est une échelle musicale qui divise l'octave en douze 
intervalles égaux nommés \emph{demi-tons}.
\end{defin}


\nathanliveAudio{\'Ecoutez les 12 notes de la gamme tempérée avec}
\label{son:ch12gammetemp}

%% FIGURE 12.1
\begin{figure}
 \begin{center}
  \includegraphics{279_12-01}
 \end{center}
\figcaption{Gamme tempérée}
\end{figure}

Dans cette gamme, deux notes consécutives sont séparées par un intervalle égal 
appelé \textit{demi-ton}.
Calculons la valeur $p$ du rapport des fréquences correspondant à un demi-ton. 
Pour 
passer d’une fréquence à une autre (donc d’une note à une 
autre), on multiplie la fréquence de départ par $p$. On a donc :
\[f_2 = p.f_1 = p.p.f_0 = p^2.f_0.\]

\[p^2 = \frac{f_2}{f_0} \implies p = \sqrt{\frac{f_2}{f_0}}.\]

Continuons le raisonnement sur une octave, soit $12$ intervalles. 

On a : 
$2f_0 = 
p^{12}.f_0$, donc $p^{12} = 2$.

\Par

En utilisant la fonction racine $n$ième, on peut écrire que $p = 
\sqrt[12]{2}$. On peut aussi écrire $p = 2^{1/12}$ dont la valeur approximative 
est $1,059$. Voir l'annexe mathématiques page \pageref{rac12de2}.

\Par

\begin{prop}
 Dans la gamme tempérée, le rapport entre deux notes consécutives est constant 
et égal à la racine douzième de $2$, notée $\sqrt[12]{2}$.
\end{prop}

$p = \sqrt[12]{2}$ est un nombre irrationnel, c'est-à-dire un nombre qui ne 
peut être écrit comme un rapport de deux nombres entiers.

Sa valeur peut être obtenue sur la calculatrice à l'aide de la 
touche \Tm{\sqrt[y]{x}}. Sur certaines calculatrices, cette touche est notée 
\Tm{x^{1/y}}.

En tapant : \Tm{2} \Tm{\sqrt[y]{x}} 
\Tm{1}\Tm{2}, on 
obtient : $\sqrt[12]{2} \approx \text{\numprint{1,0594}}$\dots

\begin{Exemple}
 pour déterminer la fréquence $f_4$, il faut voir qu'il y a $4$ intervalles de 
valeur $p$ qui séparent $f_0$ de $f_4$. On a donc : $f_4 = p^4.f_0$.

\Par

Donc finalement, on peut écrire : $f_4 = (\sqrt[12]{2})^4 f_0 \simeq 1,26f_0$.
\end{Exemple}

\subsection{Exemple de la gamme tempérée de $d\!o$}

Pour fixer les idées, prenons l'exemple de la note \note{do}{2} dont la 
fréquence est $130,8$~Hz. La fréquence de la note suivante, 
\note{do\#}{2}, est : $130,8 \times \sqrt[12]{2} = 138,6$ Hz.

En continuant ainsi demi-ton par demi-ton et en multipliant à chaque fois par 
$\sqrt[12]{2}$, on arrive à la note \note{si}{2} dont la fréquence est : 
$246,9$ Hz.

Puis \note{do}{3} dont la fréquence est $261,6$ Hz, qui est 
bien le double de celle de \note{do}{2}.

\Par

Le piano, qui utilise la gamme tempérée, permet d'illustrer cette progression :

\enlargethispage{2em}

%% FIGURE 12.2
\begin{figure}
 \begin{center}
  \includegraphics{280_12-02}
 \end{center}
% \figcaption{Gamme tempérée du \note{do}{}}
\end{figure}

\Par

Les valeurs des fréquences (en Hz) des notes du \note{do}{1} au 
\note{si}{4} sont données dans le tableau suivant :

\Par

\begin{table}
 \begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}P{2.5cm}*4{|>{
\centering\arraybackslash}p{1.6cm}}|} \hline
\tabulartitle   \backslashbox{Note}{Octave} & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ 
\\ \hline
\note{do}{} & 65,41 & 130,81 & 261,63 & 523,25 \\ \hline
\note{do\#}{}/\note{si$\flat$}{} & 69,30 & 138,59 & 277,18 & 554,37 \\ \hline
\note{ré}{} & 73,42 & 146,83 & 293,66 & 587,33 \\ \hline
\note{ré\#}{}/\note{mi$\flat$}{} & 77,78 & 155,56 & 311,13 & 622,25\\ \hline
\note{mi}{} & 82,41 & 164,81 & 329,63 & 659,26 \\ \hline
\note{fa}{} & 87,31 & 174,61 & 349,23 & 698,46 \\ \hline
\note{fa\#}{}\note{sol$\flat$}{} & 92,50 & 185,00 & 369,99 & 739,99  \\ \hline
\note{sol}{} & 98,00 & 196,00 & 392,00 & 783,99 \\ \hline
\note{sol\#}{}/\note{la$\flat$}{} & 103,83 & 207,65 & 415,30 & 830,61  \\ \hline
\note{la}{} & 110,00 & 220,00 & 440,00 & 880,00  \\ \hline
\note{la\#}{}/\note{si$\flat$}{} & 116,54 & 233,08 & 466,16 & 932,33 \\ \hline
\note{si}{} & 123,47 & 246,94 & 493,88 & 987,77 \\ \hline
  \end{tabular}

 \end{center}
\tabcaption{Valeurs des fréquences des notes du \note{do}{1} au 
\note{si}{4}}
\label{chap12:tabfreq}
\end{table}

\Par

Le \note{la}{3} dont la fréquence est de $440$ Hz est la note 
donnée par le diapason. Il permet aux orchestres classiques de s'accorder. D'où 
l'expression \og donner le \textit{la}\fg{}\dots




\subsection{Comparaison avec la gamme de Pythagore}

Même si elles sont proches en terme de fréquences, donc de 
hauteur des notes, la 
gamme tempérée et la gamme de Pythagore sont différentes. Le tableau 
à la page suivante
permet de comparer les valeurs en hertz des fréquences des 
notes d'une gamme pythagoricienne commençant en \note{do}{4} avec les 
fréquence des notes de la gamme tempérée correspondante.

\Par

Contrairement à la gamme pythagoricienne, les intervalles de la gamme 
tempérée 
ne sont pas vraiment \textit{consonants}, puisque les rapports de 
fréquence ne
sont pas des entiers. En revanche, la gamme tempérée permet de 
facilement 
transposer une partition d'une tonalité à une autre, c'est-à-dire de 
décaler 
toutes
les notes de la gamme d'un intervalle donné. Cela n'était pas possible 
avec la 
gamme pythagoricienne, à cause de la quinte du loup... Aujourd'hui, 
toutes les
partitions sont construites à partir de la gamme tempérée, tandis que 
la gamme 
de Pythagore est tombée dans l'oubli.

\textit{Voir exercice \ref{exo:ch12exo5} page \pageref{exo:ch12exo5}.}

\vfill
\text{}

\begin{table}
 \begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}P{2cm}*3{|>{
\centering\arraybackslash}p{2.5cm}}|} \hline
\tabulartitle   Note & Gamme \linebreak de Pythagore & Gamme 
\linebreak tempérée\\ \hline
\note{do}{} & 260,74 & 261,63 \\ \hline
\note{do\#}{} & 278,44 & 277,18 \\ \hline
\note{ré}{} & 293,33 & 293,66 \\ \hline
\note{mi$\flat$}{} & 309,03 & 311,13 \\ \hline
\note{mi}{} & 330,00 & 329,63 \\ \hline
\note{fa}{} & 347,65 & 349,23 \\ \hline
\note{fa\#}{} & 371,25 & 369,99 \\ \hline
\note{sol}{} & 391,11 & 392,00 \\ \hline
\note{sol\#}{} & 417,66 & 415,30 \\ \hline
\note{la}{} & 440,00 & 440,00 \\ \hline
\note{si$\flat$}{} & 463,54 & 466,16 \\ \hline
\note{si}{} & 495,00 & 493,88 \\ \hline
\note{do}{} & 521,48 & 523,25 \\ \hline
  \end{tabular}

 \end{center}
\tabcaption{Comparaison des fréquences en hertz}
\end{table}


\begin{aretenir}
 \begin{itemize}
  \item \`A chaque note de musique correspond une \textit{fréquence 
fondamentale} 
: plus celle-ci est élevée, plus la note est aiguë.
\item Un intervalle entre deux notes est défini par le \textit{rapport} de 
leurs fréquences fondamentales.
\item Deux sons dont les fréquences sont dans un rapport de deux correspondent à 
une même note. L'intervalle qui les sépare s'appelle une \textit{octave}.
\item Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave.
\item On considérait dans l'Antiquité que seuls les sons qui avaient des 
rapports rationnels simples (1/2, 3/2, 4/3, etc.) étaient \textit{consonants}, 
c'est-à-dire agréables à entendre lorsqu'on les joue simultanément.
\item La gamme de Pythagore est construite sur des intervalles 
de 
\textit{quintes}, c'est-à-dire des intervalles séparant des notes dont le 
rapport de fréquence vaut 3/2. Dans cette gamme, les intervalles entre deux 
notes \textit{consécutives} ne sont pas identiques.
\item La gamme \textit{tempérée} est une suite de 12 notes séparées par des 
intervalles égaux (les demi-tons), dont le rapport de fréquence est 
$\sqrt[12]{2}$. Cette gamme permet de transposer les partitions et de faire 
jouer ensemble un grand nombre d'instruments différents.
 \end{itemize}

\end{aretenir}

