\thumb

%%% EXERCICE 1

\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{10}
 Choisissez la (ou les) réponse(s) exacte(s).
 \begin{questions}
\item Un intervalle musical (octave, quarte, quinte, \dots) correspond à :

\choix une différence des deux fréquences ;

\choix une somme des deux fréquences ;

\choix une puissance des deux fréquences ;

\choix un rapport des deux fréquences.

\item L’octave supérieure d’une fréquence fondamentale $f_0$ est caractérisée 
par 
la relation :
\resetchoix

\vspace{-\baselineskip}

\begin{multicols}{2}
\choix $f = \dfrac{1}{2}f_0$.

\choix $f = \dfrac{3}{2}f_0$.

\choix $f = 2f_0$.

\choix $f_0 = \dfrac{1}{2}f$.
\end{multicols}

\vspace{-\baselineskip}

\item Une gamme est une suite finie de notes :
\resetchoix

\choix réparties dans une octave ;

\choix réparties dans une quinte ;

\choix réparties dans une douzième.

\item Le cycle des quintes :
\resetchoix

\choix est défini par le rapport $3/2$ entre les fréquences successives ;

\choix est défini par le rapport $\sqrt[12]{2}$ entre les fréquences 
successives ;

\choix s'appelle la gamme tempérée ;

\choix s'appelle la gamme de Pythagore.

\item La répartition de $12$ intervalles égaux dans une octave :
\resetchoix

\choix est définie par le rapport de $3/2$ entre les fréquences successives ; 

\choix est définie par le rapport de $\sqrt[12]{2}$ entre les fréquences 
successives ;

\choix s'appelle la gamme tempérée ;

\choix s'appelle la gamme de Pythagore.

\item Dans la gamme tempérée, le rapport de fréquences d’une quinte vaut :
\resetchoix

\choix environ $3/2$ ;

\choix $(\sqrt[12]{2})^7$ ;

\choix $7 \times \sqrt[12]{2}$ ;

\choix $2^{7/12}$.
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Réponse \choix[d].
 \item Réponses \choix[c] et \choix[d].
\item Réponse \choix[a].
 \item Réponses \choix[a] et \choix[d].
 \item Réponse \choix[b] et \choix[c].
 \item La gamme tempérée est composée de 12 intervalles identiques au sein d’une 
octave. Pour chaque intervalle, le rapport des fréquences est égal à 
$\sqrt[12]{2}$. 
Dans une quinte de la gamme tempérée, il y a 7 intervalles : 
\begin{center}
\note{do}{} - \note{do\#}{} ; \note{do\#}{} - \note{ré}{} ; \note{ré}{} - 
\note{ré\#}{} ; \note{ré\#}{} - \note{mi}{} ; \note{mi}{} - \note{fa}{} ; 
\note{fa}{} - \note{fa\#}{} ; \note{fa\#}{} - 
\note{sol}{}.
\end{center}
Le rapport des fréquences d'une quinte vaut :
\[(\sqrt[12]{2})^7 \approx 1,5 = \frac{3}{2}.\]
De plus, une racine $n$ième correspond à une puissance inverse : 
\hbox{$\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$,} donc : $\sqrt[12]{2} = 2^{1/12}$.

\Par
On peut donc écrire pour la quinte : $\left(2^{1/12}\right)^7 = 2^{7/12}$.

\Par

Réponses \choix[a], \choix[b] et \choix[d].
 \end{questions}

\end{corrige}


%% EXERCICE 2

\begin{exo}{Le cycle des quintes est infini}{Lycée Claude Bernard, 
Paris}{2}{10}
\label{exo:ch12exo2}
 Démontrer mathématiquement que le cycle des quintes ne peut pas reboucler 
exactement sur la fréquence initiale, c'est-à-dire qu'il est infini.
\end{exo}

\begin{corrige}
Il est possible de calculer la fréquence $f_n$ de la $n$\ieme{} quinte à partir 
de la fréquence $f_0$ grâce à la formule :
\[f_n = \left(\dfrac{3}{2}\right)^n f_0.\]
La fréquence $f'$ correspond à la même note que celle de la fréquence $f_0$ 
(mais une ou plusieurs octaves plus aiguës) s'il existe un entier naturel $p$ 
tel que $f' = 2^p f_0$.

\Par

Raisonnons par l'absurde : si le cycle des quintes pouvait reboucler 
sur la note 
initiale, c'est qu'il existerait $n$ et $p$ (entiers naturels) tels que
\[\left(\dfrac{3}{2}\right)^n f_0 = 2^p f_0.\] Cela peut s'écrire, en 
simplifiant par $f_0$ : $\left(\dfrac{3}{2}\right)^n = 2^p$ ou encore $3^n = 
2^{p+n}$.

\Par

Si $n$ et $p$ sont entiers, $p + n$ est entier également. Alors $3^n$ est 
toujours impair et $2^{p+n}$ est toujours pair.

\Par

L’égalité ci-dessus est donc impossible quelles que soient les valeurs de $p$ 
et $n$, et le cycle des quintes ne reboucle donc pas.
\end{corrige}

%% EXERCICE 3

\begin{exo}{La gamme tempérée}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{10}
\label{exo:ch12exo3}
 Aujourd’hui, la plupart des musiciens s’accordent avec le 
\note{la}{3}, de fréquence $f_0 = 440$ Hz, mais cette référence a évolué au 
cours des siècles. Les scientifiques pensent que la référence à l’époque baroque 
était un \note{la}{} 415 Hz. 
Mais rappelons-nous que la notion de fréquence n’apparaît qu’au 
\textsc{xvii}\ieme{} siècle et à l’époque, on la mesure en cycles par seconde. 
Ce n’est qu’en 1960 que la Conférence générale des poids et mesures adopte le 
hertz comme unité internationale.

\begin{questions}
\item Démontrer que, dans la gamme tempérée, le rapport entre les fréquences de 
deux notes successives vaut $\sqrt[12]{2}$.
\item Vérifier les fréquences du \note{do}{3} et du \note{do}{4} en 
calculant au préalable le 
rapport de chacune de ces notes par rapport au \note{la}{3} de 
référence.
\item Calculer le rapport entre le \note{la}{} de référence à l’époque baroque 
et le 
\note{la}{3} actuel. 
\item Déduire l’intervalle qui sépare ces deux fréquences.
\item Expliquer comment faire jouer un instrument classique avec un instrument 
baroque accordés selon des références différentes.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Une octave correspond à un rapport de fréquence égal à 2. La gamme 
tempérée consiste à découper une octave en 12 intervalles égaux. Donc pour 
passer de $f_0$ à $2f_0$ il faut multiplier 12 fois par cet intervalle, $x$.

On peut donc écrire :
\[f_0 \times x^{12} = 2f_0 \implies x = \sqrt[12]{2}.\]

\item Voici une représentation d’un clavier où chaque note successive est 
séparée d’un demi-ton :
 
\begin{center}
\includegraphics{289_12E-01}
 \end{center}
 \vspace{-1.5\baselineskip}
D'après le document précédent, il y a $9$ intervalles entre le \note{do}{3} et 
le \note{la}{3}
donc on multiplie 9 fois l'intervalle $x$ soit $(\sqrt[12]{12})^9$. Comme on 
est sur un intervalle descendant entre \note{do}{3} et \note{la}{3}, il faut 
résoudre l'équation 
d'inconnue $f$ suivante :
\[\frac{f_{\note{la}{3}}\ }{f} = (\sqrt[12]{2})^9.\]
On en déduit la fréquence du \textit{do}3 :
\[f = \frac{440\text{ Hz}}{(\sqrt[12]{2})^9} = 262\text{ Hz.}\]
Pour le \textit{do}4, il y a 3 intervalles ascendants donc :
\[\frac{f}{f_{\note{la}{3}}\ } = (\sqrt[12]{2})^3.\]
On en déduit la fréquence du \textit{do}4 : $f = 440\text{ Hz} \times 
(\sqrt[12]{2})^3 = 
523\text{ Hz}$.
\item Le \note{la}{3} a pour fréquence $f_0 = 440$ Hz et le La 
baroque a pour fréquence 
$f = 415$ Hz.
\[\frac{f_0}{f} = \frac{440}{415} = 1,06,\]
ce qui correspond à $\sqrt[12]{2}$. C'est donc un demi-ton qui sépare les 2 
références. Donc les instruments du baroque seraient accordés sur un 
\note{sol\#}{3} de 
la gamme tempérée actuelle.
\item Pour faire jouer un instrument classique avec un instrument baroque, il 
faudrait transposer l'une des partitions d'un demi-ton.
 \end{questions} 
\end{corrige}

%% EXERCICE AJOUTE

\begin{exo}{La gamme de Pythagore}{Lycée Lakanal, Sceaux}{3}{20}
\label{exo:ch12exo4}
 \begin{questions}
  \item Donner le nom de deux intervalles que les pythagoriciens trouvaient 
harmonieux. Qu'avaient-ils de particulier par rapport à une corde vibrante ?
\item On part d'une note dont la fréquence est 440 Hz. Quelle est la fréquence 
de la note à la quinte juste de cette première note ?
\item Trouver les fréquences arrondies à $10^{-2}$ Hz des notes 
correspondant à 
l'algorithme suivant :
\begin{algorithme}{Gamme de Pythagore}
N[0] $\gets$ 440 Hz
Pour i de 0 à 11
    N[i+1] = N[i] $\times$ 3/2
    Si N[i+1] > 2 $\times$ N[0]
        N[i+1] $\gets$ N[i+1]/2
    Fin Si
Fin Pour
\end{algorithme}
\item Classer ces notes par fréquences croissantes et donner leur nom (en 
sachant que 440 Hz correspond à un \note{la}{}).
\item Qu'appelle-t-on quinte du loup ?
\end{questions}

\textit{Coup de pouce :} l'algorithme se lit :

On attribue à $N_0$ la valeur 440 Hz. On va faire une boucle pour différents 
indices $i$ qui prennent successivement toutes les valeurs entre $0$ et $11$ et 
on va dire que :
\begin{itemize}
 \item $N_{i+1} = N_i \times \dfrac{3}{2}$
    \item Si $N_{i+1}$ est supérieur à $2 \times N_0$ (c'est-à-dire $2 \times 
440 \text{ Hz} = 880\text{ Hz}$), on divise $N_{i+1}$ par $2$.
\end{itemize}


\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Les intervalles considérés comme les plus harmonieux par les 
pythagoriciens étaient :
\begin{itemize}
 \item l'octave : rapport de 2 dans la longueur des cordes (une corde pincée à 
la moitié de sa longueur permet de monter la note d’une octave) ;
\item la quinte : rapport de 3/2 dans la longueur des cordes (une corde pincée 
au 2/3 de sa hauteur permet de monter la note d’une quinte).
\end{itemize}
\textit{Remarque :} les pythagoriciens appréciaient également la quarte, 
c’est-à-dire une rapport de 4/3 dans la longueur des cordes.
\item Si une note a une fréquence $f_0$, la fréquence de la note à la quinte 
juste après cette note est $f_1 = \dfrac{3}{2}f_0$. Donc $f_1 = 660$ Hz.
\item Suivons l'algorithme :

$N[0] = 440$.

$\dfrac{3}{2} \times N[0] = 660$. Comme $660 < 880$ ($=2\times 440$), $N[1] = 
660$.

$\dfrac{3}{2} \times N[1] = 990$. Comme $990 > 880$, $N[2] = \dfrac{990}{2}$, 
soit $N[2] = 495$. 

$\dfrac{3}{2} \times N[2] = 742,5$. Comme $742,5 < 880$, $N[3] = 742,5$.

$\dfrac{3}{2} \times N[3] = 1113,75$. Comme $1113,75 > 880$, $N[4] = 
\dfrac{1113,75}{2}$, 

soit $N[4] = 556,87$.

De même, on trouve (en n'arrondissant que la valeur indiquée mais en gardant la 
valeur exacte pour les calculs) :
$$\begin{aligned}
   N[5] & = 835,31 \; ; \; N[6] = 626,48 \; ; \; N[7] = 469,86 \; ; \; N[8] = 
704,79 \\
N[9] & = 528,59 \; ; \; N[10] = 792,89 \; ; \; N[11] = 594,67 \; ; \; N[12] = 
446,00.
  \end{aligned}$$
\item On obtient donc le classement suivant :
$$\begin{aligned}
   N[0] (\approx N[12]) & < N[7] < N[2] < N[9] < N[4] < N[11]  \\
   & < N[6] < N[1] < N[8] < N[3] < N[10] < N[5].
  \end{aligned}$$

\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}M{3cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{1.7cm}*3{|>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}}|} \hline
Note d'après l'algorithme & $N[0]$ \linebreak $(\approx N[12])$ & $N[7]$ & 
$N[2]$ & $N[9]$ \\ 
\hline
Fréquence de la note (en Hz) & $440\approx 446$ & $469,86$ & $495$ & $528,59$ 
\\ 
\hline
Nom de la note & \note{la}{} & \note{la\#}{} & \note{si}{} & \note{do}{} \\ 
\hline
  
 \end{tabular}
 
 \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}M{3cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{1.7cm}*3{|>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}}|} \hline
Note d'après l'algorithme & $N[4]$ & $N[11]$ & 
$N[6]$ & $N[1]$ \\ 
\hline
Fréquence de la note (en Hz) & $556,87$  & $594,67$ & $626,48$ & $660$ 
\\ 
\hline
Nom de la note & \note{do\#}{} & \note{ré}{} & \note{ré\#}{} & \note{mi}{}  \\ 
\hline  
 \end{tabular}
 
  \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}M{3cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{1.7cm}*3{|>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}}|} \hline
Note d'après l'algorithme & $N[8]$ & $N[3]$ & $N[10]$ & $N[5]$ \\ 
\hline
Fréquence de la note (en Hz) & $704,79$ & $742,5$ & $792,89$ & $835,31$ 
\\ 
\hline
Nom de la note & \note{fa}{} & \note{fa\#}{} & \note{sol}{} & \note{sol\#}{} 
\\ 
\hline
  
 \end{tabular}
\end{center}

On a créé une gamme, car on finit par retomber sur une valeur très 
proche de la 
note de départ ($f_0 = 440$ Hz et $f_{12} = 446$ Hz), qui 
correspond donc (à 
peu près) à la même note. On indique ensuite les notes de la gamme par ordre de 
fréquences croissantes en partant du \note{la}{}.

\item L'intervalle de 12 quintes justes correspond à un intervalle très 
légèrement supérieur à 7 octaves.
Pour que 12 quintes correspondent exactement à 7 octaves, on décompose ces 7 
octaves en 6 quintes justes et une septième quinte très légèrement raccourcie. 
Cette quinte raccourcie est appelée « Quinte du loup » car elle est dissonante 
et rappelle le hurlement d'un loup.
\end{questions}

\end{corrige}



%% EXERCICE 5

\begin{exo}{La famille des saxophones }{Lycée Saint-Martin, 
Rennes}{3}{30}
\label{exo:ch12exo5}
\label{video:ch12exo5no}
 La famille des saxophones est composée d’instruments transpositeurs dont les 
principaux sont, du plus aigu au plus grave : 
\begin{itemize}
 \item le soprano, accordé en \textit{si$\flat$} (lorsque le saxophoniste joue 
un \note{do}{3} indiqué sur une partition, on 
entend un \note{si$\flat$}{2}) ;
\item l’alto, accordé en \note{mi$\flat$} ;
\item Le ténor, accordé en \note{si$\flat$} ;
\item Le baryton, accordé en \note{mi$\flat$}.
\end{itemize}

Le saxophone fait partie de la famille des bois car l’émission du son s’effectue 
par une embouchure à anche. Cet instrument étant apparu au \textsc{xix}\ieme{} 
siècle il 
n'est pas représenté dans la musique baroque et classique. Dans cet exercice, 
nous allons nous intéresser au saxophone soprano et au saxophone alto.

\Par

%% FIGURE 12.2
\begin{figure}
 \begin{center}
 \includegraphics[width=2cm]{285_12E-03}
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](-0.6,0.3)(0,0)
\Rput[tb](-0.5,-0.2){\note{sol}{3}}
%  \image{4}{4}
 \end{center}
\figcaption{Clef et note de \note{sol}{3}}
\end{figure}

\Par

Voir page suivante les spectres de trois instruments jouant la note de la 
partition ci-dessus.

\newpage

\raisebox{4.8cm}{1)}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\includegraphics[width=8.8cm]{286_12E-04}
\end{minipage}

\nathanliveAudio{\'Ecouter le son représenté par le spectre 1 avec}
\label{video:ch12exo5spectre1}

\raisebox{4.8cm}{2)}
\begin{minipage}[t]{9cm}
 \includegraphics[width=8.8cm]{286_12E-05}
%     \image{10}{6}
\end{minipage}

\nathanliveAudio{\'Ecouter le son représenté par le spectre 2 avec}
\label{video:ch12exo5spectre2}

\raisebox{4.8cm}{3)}
\begin{minipage}[t]{9cm}
 \includegraphics[width=8.8cm]{286_12E-06}
%     \image{10}{6}
\end{minipage}
 
\nathanliveAudio{\'Ecouter le son représenté par le spectre 3 avec}
\label{video:ch12exo5spectre3}

\begin{questions}
 \item Relever la fréquence fondamentale de chaque spectre.
 \item À l’aide du tableau des fréquences (voir tableau du \S 
3.2 du cours page \pageref{chap12:tabfreq}), 
donner le nom de la note proche des 
fréquences relevées à la question précédente.
\item Associer chaque spectre à l’un des instruments suivants : saxophone 
soprano, saxophone alto ou piano.
\item Calculer le rapport de fréquences des deux premières harmoniques avec la 
fréquence fondamentale pour chaque instrument.
\item Déterminer le nom des intervalles auxquels correspondent ces rapports.
\end{questions}
On donne le schéma suivant :
\begin{center}
\includegraphics{287_12E-07}
 \end{center}
 \vspace{-1.5\baselineskip}
 \begin{questions}
 \setcounter{enumi}{5}
\item Déterminer le nombre de demi-tons qui sépare le 
\note{si$\flat$}{} et le \note{do}{}.
\item Déterminer le nombre de demi-tons qui sépare le \note{do}{} et 
le \note{mi$\flat$}{}.
\item Déterminer le nombre de demi-tons qui sépare la fréquence fondamentale 
spectre 1 de celle du spectre 2.
\item Déterminer le nombre de demi-tons qui sépare la fréquence fondamentale 
spectre 1 de celle du spectre 3.
\item Expliquer pourquoi les saxophones sont dits \textit{transpositeurs}.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item 
  \begin{description}
   \item [Spectre 1 :] 389,8 Hz.
   \item [Spectre 2 :] 353,1 Hz.
   \item [Spectre 3 :] 233,6 Hz.
  \end{description}
  \item 
  \begin{description}
   \item [Spectre 1 :] 389,8 Hz $\to$ \note{Sol}{3}.
   \item [Spectre 2 :] 353,1 Hz $\to$ \note{fa}{3}.
   \item [Spectre 3 :] 233,6 Hz $\to$ \note{la\#}{2}.
  \end{description}
    \item 
  \begin{description}
   \item [Spectre 1 :] 389,8 Hz $\to$ \note{sol}{3} donc c'est le 
spectre du 
piano qui 
n'est pas transpositeur.
   \item [Spectre 2 :] 353,1 Hz $\to$ \note{fa}{3} donc c'est le spectre du 
soprano qui 
est accordé en \note{si$\flat$}{}. Le son perçu est plus grave que la note 
jouée.
   \item [Spectre 3 :] 233,6 Hz $\to$ \note{la\#}{2} donc c'est le spectre 
de l'alto.
  \end{description}
  \item 
  \begin{description}
   \item [Spectre 1 :] \[\frac{782 \text{ Hz}}{389,8 \text{ Hz}} = 2 \text{ et 
} \frac{\text{\numprint{1174}} \text{ Hz}}{389,8\text{ Hz}} = 3.\]
   \item [Spectre 2 :] \[\frac{706 \text{ Hz}}{353,1 \text{ Hz}} = 2 \text{ et 
} \frac{\text{\numprint{1059}} \text{ Hz}}{353,1\text{ Hz}} = 3.\]
   \item [Spectre 3 :] \[\frac{467,2 \text{ Hz}}{233,6 \text{ Hz}} = 2 \text{ 
et 
} \frac{700,7 \text{ Hz}}{233,6\text{ Hz}} = 3.\]
  \end{description}
  \item Quand le rapport vaut 2, c’est une octave et quand le rapport vaut 3, 
c’est une quinte de l’octave supérieure.
\begin{center}
\includegraphics{287_12E-07}
 \end{center}
  \vspace{-1.5\baselineskip}
\item Entre le \note{si$\flat$}{} et le \note{do}{}, il y a 2 demi-tons.
\item Entre le \note{do}{} et le \note{mi$\flat$}{}, il y a 3 demi-tons.
\item Spectre 2 : \note{fa}{3} jusqu’au \note{sol}{3} du spectre 1, il y 
a 2 demi-tons.
\item Spectre 3 : \note{la\#}{2} jusqu’au \note{sol}{3} du spectre 1, il 
y a 9 intervalles soit 
12 intervalles de l’octave, pour faire \note{la\#}{3} puis on retranche 3 
intervalles 
pour arriver au \note{sol}{3} et ainsi raisonner dans la même octave.
\item Quand un saxophone joue un \note{sol}{} sur sa portée, le son émis ne 
correspond 
pas. Dans le cas du saxophone soprano, on entend un \note{fa}{} et dans le cas 
de l’alto, un \note{la}{}, il faut donc adapter les notes, ce sont donc des 
instruments 
transpositeurs.
\item Le saxophone soprano joue un ton au-dessus de la note entendue. Donc pour 
jouer avec un instrument en \note{do}{} Majeur, la partition du soprano doit 
être en \note{ré}{} 
Majeur soit, d’après le cycle des quintes, avec deux \# à la clé.

Le saxophone alto joue un ton et demi au-dessous de la note entendue. Donc pour 
jouer avec un instrument en \note{do}{} Majeur, la partition de l’alto doit 
être en \note{la}{} 
Majeur soit, d’après le cycle des quintes, avec trois \# à la clé.

 \end{questions}

\end{corrige}



\thumb
\AfficheCorrige
