\setcounter{chapter}{12}
\chapter{Le son,\\une information à coder}

La numérisation permet la conversion d'un signal électrique en données 
numériques qui pourront être exploitées par des dispositifs informatiques ou 
électroniques. Il est possible de numériser par exemple des images, 
des vidéos, de la 
musique ou du texte.

\begin{problematique}
 Comment transformer un signal sonore en signal numérique ?
\end{problematique}

\section{Numérisation}

Lorsque l’on veut enregistrer un son pour le stocker sur un support numérique 
(CD, ordinateur, smartphone, etc.), on utilise un micro.

Le micro permet de transformer le son en signal électrique, que l'on 
peut mesurer par une tension par exemple. Mais pour stocker ce 
signal, il va falloir le numériser, c’est-à-dire le transformer en 
langage 
binaire (une succession de 0 et de 1).
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{293_13-01}
\end{center}
 \figcaption{Chaîne de numérisation d’un son}
\end{figure}



La numérisation a lieu en deux étapes : l’échantillonnage et la quantification.

\subsection{\'Echantillonnage}

\begin{multicols}{2}
Le micro permet de capturer un signal dit analogique que l’on représente par une 
courbe continue (voir figure \ref{fig:13-2}, courbe jaune). Pour numériser ce 
signal, il va falloir convertir le signal analogique, constitué d’un nombre 
infini de valeurs, en un signal numérique constitué d’un nombre fini de valeurs. 
On va pour cela \textit{échantillonner} le signal, c’est-à-dire ne garder que 
certaines valeurs prises à intervalle de temps régulier (voir figure 
\ref{fig:13-2}, points bleus). Ce sont les valeurs de ces échantillons que l’on 
cherchera à stocker numériquement.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{294_13-02}
\end{center}   
\captionsetup{width=0.8\linewidth}
 \figcaption{\'Echantillonnage d'un signal}
\label{fig:13-2}
 \end{figure}
 \end{multicols}
 
 La durée entre deux échantillons est appelée \textit{période 
d’échantillonnage}. Elle est souvent notée $T_E$. La fréquence 
d'échantillonnage $f_E$ vaut :
\[f_E = \dfrac{1}{T_E}.\]
Plus la fréquence d’échantillonnage est élevée, plus la durée entre deux 
échantillons sera courte et
plus le signal numérique reproduira fidèlement le signal analogique de départ.

% \vspace*{0.5cm}
% \begin{center}
%  \textit{Voir graphiques page suivante.}
% \end{center}
% \vspace*{0.5cm}
% \newpage
% 
\Par

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{294_13-03}
\end{center}    
 \figcaption{Exemple de signaux obtenus avec deux fréquences d’échantillonnage 
différentes.}
\label{fig:13-3}
 \end{figure}

 \Par

 \enlargethispage{2em}
 
 On considère que pour reproduire fidèlement une note, il faut que 
la fréquence 
d’échantillonnage soit au moins le double de la fréquence de cette 
note. 

C’est 
le critère de Shannon.

\textit{Exemple : } dans la figure qui suit, on voit que la fréquence 
du signal échantillonné (en bleu) ne correspond pas du tout à la 
fréquence du signal initial (en jaune). Les deux courbes sont trop 
différentes car la fréquence d'échantillonnage est insuffisante.

\begin{figure}
 \begin{center}
\includegraphics{295_13-04}
 \end{center}
\captionsetup{width=\linewidth}
\figcaption{Exemple d'échantillonnage insuffisant}
\end{figure}

Notons néanmoins que plus on augmente la fréquence d’échantillonnage, plus on 
aura d’échantillons à stocker.

\subsection{La quantification}

Une fois le signal échantillonné, il va falloir le coder en binaire pour pouvoir 
le stocker.

\Par

Le binaire est un codage de l’information qui stocke les données sous forme de 
bits (contraction de \textbf{bi}nary digi\textbf{t}) qui ne peuvent être que 
dans deux états: 0 ou 1.

\Par

Avec 1 bit, il est possible de stocker deux valeurs (0 ou 1).

Avec 2 bits, il est possible de stocker 4 valeurs (00 01 10 et 11).

Avec 3 bits, il est possible de stocker 8 valeurs (000 001 010 011 100 
101 110 et 
111).
Et ainsi de suite.

\Par

D’une manière générale, si $n$ est un entier, avec $n$ bits, on peut stocker 
$2^n$ 
valeurs.

\Par

Numériquement, il est impossible de coder toutes les valeurs qui peuvent être 
échantillonnées. On
ne pourra stocker que la valeur possible la plus proche. La figure 
page suivante 
montre un exemple de quantification du signal avec plus ou moins de 
bits.

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
 \textit{Voir graphiques page suivante.}
\end{center}
\vspace*{0.5cm}
\newpage



 \begin{center}
\includegraphics{296_13-05}
 \end{center}

\begin{multicols}{2}
Plus la quantification est grande, plus le signal sera reproduit avec précision.


\vfill

\textit{Remarque :} les différentes étapes de la numérisation ne se 
limitent 
pas aux signaux périodiques :
elles s’appliquent à un signal quelconque.


\vfill

\begin{aretenir}
Le signal numérique est d’autant plus fidèle au signal d’entrée que la fréquence
d’échantillonnage est grande et que le signal est quantifié avec 
grand 
nombre de bits.

Mais plus le signal numérisé est fidèle au signal d’entrée, plus il nécessitera 
une quantité de
stockage importante et un temps de transfert élevé s’il faut déplacer 
le 
fichier. On choisit donc des
paramètres adaptés en fonction de l’utilisation souhaitée.
\end{aretenir}

\vfill
\text{}

\begin{center}
\includegraphics{296_13-06}
\end{center}
\end{multicols}


\vspace{-15pt}


\textit{Exemples de caractéristiques de numérisation :}
\begin{itemize}
 \item Son qualité téléphone : \numprint{8000} Hz ; 8 bits
 \item Son qualité radio FM : \numprint{22050} Hz ; 16 bits
 \item Son qualité CD : \numprint{44100} Hz ; 16 bits
 \item Son qualité DVD : \numprint{48000} Hz ; 24 bits
 \item Son audio professionnel: entre \numprint{96000} et 
\numprint{192000} Hz ; 24 
et 32 bits
\end{itemize}

\section{Taille d’un fichier audio}

\subsection{Fichier audio non compressé}

La taille d’un fichier numérique, c’est-à-dire la quantité de mémoire qu’il 
occupera sur un espace de stockage numérique (disque dur, carte mémoire, cloud, 
etc.) va dépendre des choix qui ont été faits lors de la numérisation 
ainsi 
que de la méthode de codage de l’information choisie.

\Par

La taille d’un fichier s’exprime généralement :
\begin{itemize}
\item en octet (1 octet = 8 bits), 
\item en kilo-octet (1 ko = \numprint{1000} octets), 
\item en méga-octet (1 Mo = $10^6$ octets), 
\item en giga-octet (1 Go = $10^9$ octets),
\item et en tera-octet (1 To = $10^{12}$ octets).
\end{itemize}



\Par

\textit{Remarque :} le kilo-octet correspond bien à \numprint{1000} octets et 
non à \numprint{1024} octets comme certains le
pensent. Il existe un autre préfixe pour désigner \numprint{1024} octets : le 
kibi-octet, noté Kio (1 Kio = \numprint{1024} octets).

\Par

Pour calculer la taille d’un fichier audio de durée $t$ (exprimée en secondes), 
il faut donc savoir comment il a été numérisé et raisonner en plusieurs étapes :
\begin{itemize}
 \item 1) Calcul du nombre d’échantillons.
 
La fréquence d’échantillonnage correspond au nombre d’échantillons par seconde. 
Le nombre total d’échantillons est donc $Nb_\text{échantillons} = 
f_E 
\times t$.
\item 2) Calcul de la taille du fichier en bits.

Chaque échantillon est codé sur un certain nombre de bits que l’on notera $Q$. 
La taille du fichier (en bits) sera donc $$N_{\text{bits}} = Q \times 
Nb_{\text{échantillons}} = Q \times f_E \times t.$$
\item 3) Conversion de cette taille en octet.

Un octet correspond à 8 bits. On obtient donc la taille en octets du fichier 
$N$ en divisant $N_{\text{bits}}$ par $8$.
$$N = \dfrac{Q \times f_E \times t}{8}.$$
\item 4) Prise en compte du nombre de voies.

Lorsque le son est codé en stéréo, il faut en fait coder deux voies 
(une pour 
\og~l’oreille droite~\fg{} et
une pour \og~l’oreille gauche~\fg{}). La taille finale du fichier est 
alors deux fois 
plus grande que la taille
calculée précédemment.
On obtient ainsi une formule générale pour la taille d’un fichier qui prend en 
compte le nombre de
voies $n$.
\end{itemize}

\newpage

On retiendra donc que :
$$N = \dfrac{Q \times f_E \times t}{8}\times n.$$



où :
\begin{itemize}
 \item $N$ représente la taille du fichier en octets ;
 \item $f_E$, la fréquence d'échantillonnage en Hz ;
 \item $Q$, la quantification en bits ;
 \item $t$, la durée du signal audio en s ;
 \item $n$, le nombre de voies (mono : 1 voie ; stéréo : 2 voies).
\end{itemize}

Le tableau de la page suivante donne quelques exemples de tailles de fichiers 
audio suivant l'échantillonnage et la quantification :

 \begin{center}
  \scalebox{0.95}{\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{2cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|>{\centering\arraybackslash}m{2cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{4.5cm}|} \hline
\tabulartitle\cellcolor{LY} \multirow{4}{2cm}{} & 
\text{} \linebreak
\raisebox{8pt}{\'Echantillonnage} & Quantification& Taille du 
fichier 
\\ 
\cellcolor{LY}    & \psline(-1.48,0.3)(8.87,0.3)   &  &                         
                        \\
\cellcolor{LY} & \numprint{96000} & 32 bits & $N = \text{\numprint{96000}} 
\times \dfrac{32}{8} 
\times 2,48 \times 1$

$N = \text{\numprint{952320}} \text{ octets} = 952 \text{ ko}$ 
\\[18pt] 

\cellcolor{LY}       & \psline(-1.48,0.3)(8.87,0.3) &  &                        
                         \\
\cellcolor{LY} \rput[bl](-0.9,0.2){Fichier mono}
\rput[bl](-0.7,-0.2){de 2,48 s}& \numprint{96000} & 16 bits & $N = 
\text{\numprint{96000}} \times \dfrac{16}{8} \times 2,48 \times 1$

$N = \text{\numprint{476160}}\text{ octets} = 476 \text{ ko}$ 
\\[18pt] 

\cellcolor{LY}     &   \psline(-1.48,0.3)(8.87,0.3)  &  &                       
                          \\
\cellcolor{LY} & \numprint{44100} & 16 bits & $N = \text{\numprint{44100}} 
\times \dfrac{16}{8} 
\times 2,48 \times 1$

$N = \text{\numprint{218736}} \text{ octets} = 219 \text{ ko}$ 
\\[18pt] \hline
\end{tabular}}
 \end{center}


\section{Compression d’un fichier audio}


Le principe de la compression est de réduire la taille du fichier tout en 
restant fidèle au son, afin de faciliter le stockage et la transmission du 
signal 
audio.

Deux méthodes possibles : 
\begin{itemize}
 \item soit en supprimant les échantillons successifs identiques ;
 \item soit, comme dans le cas du MP3, en supprimant les fréquences inaudibles 
du signal.
\end{itemize}

\nathanliveAudio{\'Ecoutez un morceau de musique avec plusieurs compressions 
différentes avec}
\label{son:ch13compressionaudio}

Ce format est très répandu actuellement, bien que ce soit un format 
de 
compression avec pertes (il est impossible de retrouver le fichier non 
compressé à partir du fichier MP3).

Il existe également des techniques de compression sans perte (comme le format 
FLAC par exemple). Il est alors possible de retrouver le fichier initial en cas 
de besoin.

Le \textit{taux de compression} est le rapport entre la taille du 
fichier compressé et le fichier original non compressé.

\[\tau = \frac{\text{taille initiale} - \text{taille finale}}{\text{taille 
initiale}} \times 100\ \%.\]

La formule peut aussi être exprimée de cette manière : 
\[t = 1 - \frac{N_{{}\!f}}{N_i},\]
où $N_{{}\!f}$ est le nombre de bits après compression et $N_i$ le 
nombre de bits 
avant compression.

Plus un fichier est compressé, plus il pourra être stocké et transmis 
facilement, mais plus sa qualité sera faible. Il faut donc faire un compromis 
entre qualité et stockage/transmission. 

\textit{Voir exercice \ref{exo:ch13exo5} page 
\pageref{exo:ch13exo5}.}

\begin{aretenir}
 La compression d’un fichier audio consiste à réduire la taille pour faciliter 
le stockage ou la transmission. Le taux de compression est le pourcentage de 
compression entre le fichier initial et le fichier final.
\end{aretenir}

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\raggedright\arraybackslash}p{4cm}|>{
\centering\arraybackslash }
 p{3cm}|>{\centering\arraybackslash} p{3cm}|}
 \hline \tabulartitle  & & \\
\tabulartitle & Taille du fichier & Taux de compression \\[12pt] \hline
 &                   & \\
Fichier original WAV & 216 ko & 0 \% \\[12pt] \hline
&                   & \\
Fichier compressé MP3 & 16 ko & 92 \% \\ [12pt] \hline
&                   & \\
Fichier compressé FLAC & 93 ko & 57 \% \\ [12pt] \hline
\end{tabular}
\end{center}
\tabcaption{Taux de compression suivant les formats audio}
\end{table}
