\thumb

% QCM1

\begin{qcm}{Règles de calcul sur les puissances}{10}
Pour chacune des propositions, choisir la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.

\begin{questions}
\item $5^8\times5^{-3}$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $5^{11}$ & \choix $5^5$ & \choix $5^{24}$
\end{tabularx}

\item $\dfrac{3^2}{3^7}$ est égal à :\resetchoix\par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $3^5$ & \choix $3^{-14}$ & \choix $3^{-5}$
\end{tabularx}

\item $\big(6^7\big)^2$ est égal à :\resetchoix\par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $6^{14}$ & \choix $6^{9}$ & \choix $6^{5}$
\end{tabularx}

\item $\big(4^5\big)^{15}$ est égal à :\resetchoix\par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $2^{150}$ & \choix $2^{25}$ & \choix $2^{75}$
\end{tabularx}

\item $\dfrac{1}{5^{-2}}$ est égal à :\resetchoix\par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $0,25$ & \choix $25$ & \choix $0,4$
\end{tabularx}

\item $21^{2}$ est égal à :\resetchoix\par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $49\times9$ & \choix $2\times21$ & \choix $6\times14$
\end{tabularx}

\item $8^4\times\dfrac{2^6}{2^{18}}$ est égal à :\resetchoix\par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $2^{-16}$ & \choix $1$ & \choix $0$
\end{tabularx}

\item $\dfrac{9^5}{27^2}\times3^{-3}$ est égal à :\resetchoix\par 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $3^{-2}$ & \choix $1$ & \choix $3$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM1corr

\begin{corrige}
À l'aide des propriétés \ref{chap:puissances-prop-regles-calcul} page \pageref{chap:puissances-prop-regles-calcul} du cours, on peut répondre aux questions proposées.

\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. En effet, $5^8\times5^{-3}=5^{8+(-3)}=5^5$.

\item Réponse \choix[c]. En effet, $\dfrac{3^2}{3^7}=3^{2-7}=3^{-5}$

\item Réponse \choix[a]. En effet, $\big(6^7\big)^2=6^{7\times2}=6^{14}$.

\item Réponse \choix[a]. En effet, on a : $\begin{aligned}[t]
\big(4^5\big)^{15} & =\left[\big(2^2\big)^5\right]^{15}\\
								   & =\big(2^{2\times5}\big)^{15}\\
								   & =\big(2^{10}\big)^{15}\\
								   & =2^{10\times15}\\
								   &=2^{150}.
\end{aligned}$

\item Réponse \choix[b]. En effet, $\dfrac{1}{5^{-2}}=5^2=5\times5=25$.

\item Réponse \choix[a]. En effet, $21^{2}=\big(7\times3\big)^2=7^2\times3^2=49\times9$.

\item Réponse \choix[b]. En effet, on a : $\begin{aligned}[t]
8^4\times\dfrac{2^6}{2^{18}} & = \big(2^3\big)^4\times2^{6-18}\\
& = 2^{3\times4}\times2^{-12}\\
& = 2^{12}\times2^{-12}\\
& = 2^{12+(-12)}\\
& = 2^0\\
& = 1.
\end{aligned}$

\item Réponse \choix[c]. En effet, on a : $\begin{aligned}[t]
\dfrac{9^5}{27^2}\times3^{-3} & = \dfrac{\big(3^2\big)^5}{\big(3^3\big)^2}\times3^{-3}\\
& = \dfrac{3^{2\times5}}{3^{3\times2}}\times3^{-3}\\
& = \dfrac{3^{10}}{3^{6}}\times3^{-3}\\
& = 3^{10-6}\times3^{-3}\\
& = 3^4\times3^{-3}\\
& = 3^{4+(-3)}\\
& = 3^1\\
& = 3.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}

% QCM2

\begin{qcm}{Notation scientifique}{5}
Pour chacune des propositions, choisir la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.

\begin{questions}
\item La notation scientifique du nombre $15,45$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $0,1545\times10^2$ & \choix $1,545\times10^{-1}$ & \choix $1,545\times10^1$
\end{tabularx}

\item La notation scientifique du nombre $\numprint{0,009745}$ est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $9,745\times10^{-3}$ & \choix $9,745\times10^{3}$ & \choix $9,745\times10^{-4}$
\end{tabularx}

\item La notation scientifique du nombre $\numprint{12300000}$ est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $1,23\times10^{5}$ & \choix $1,23\times10^{-7}$ & \choix $1,23\times10^{7}$
\end{tabularx}

\item La notation scientifique du nombre $897,4\times10^{-3}$ est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $8,974\times10^{-1}$ & \choix $8,974\times10^1$ & \choix $8,974\times10^{-4}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM2corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. $1,545\times10^1$ est la notation scientifique du nombre $15,45$ car $1\leqslant1,545<10$. La réponse \choix[a] n'est pas une notation scientifique car $0,1545$ n'est pas compris entre 1 et 10. La réponse \choix[b] ne donne pas le même nombre si on effectue le produit.

\item Réponse \choix[a]. $9,745\times10^{-3}$ est la notation scientifique du nombre\linebreak $\numprint{0,009745}$. En effet, quand on effectue le produit $0009,745\times10^{-3}$, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche, et cela donne bien $\numprint{0,009745}$.

\item Réponse \choix[c]. $1,23\times10^{7}$ est la notation scientifique du nombre $\numprint{12300000}$. En effet, quand on effectue le produit $1,230000000\times10^{7}$, on décale la virgule de 7 rangs vers la droite et on obtient bien \numprint{12300000}.

\item Réponse  \choix[a].  $8,974\times10^{-1}$ est la notation scientifique du nombre\linebreak $897,4\times10^{-3}$. En effet, $897,4=8,974\times10^2$ donc :\\ $897,4\times10^{-3}=8,974\times10^{2}\times10^{-3}=8,974\times10^{2-3}=8,974\times10^{-1}$.
\end{questions}
\end{corrige}

% QCM3

\begin{qcm}{Ordre de grandeur}{5}
Pour chacune des propositions, choisir la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.

\begin{questions}
\item Un ordre de grandeur du nombre $1,49\times10^5$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $10^4$ & \choix $10^5$ & \choix $10^6$
\end{tabularx}

\item Un ordre de grandeur du nombre $88,102\times10^7$ est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $10^9$ & \choix $10^8$ & \choix $10^7$
\end{tabularx}

\item Un ordre de grandeur du nombre $\numprint{123456}$ est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $10^5$ & \choix $10^6$ & \choix $10^7$
\end{tabularx}

\item Un ordre de grandeur du nombre $\numprint{0,078}\times10^{-5}$ est :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $7\times10^{-7}$ & \choix $8\times10^{-7}$ & \choix $8\times10^{-8}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM3corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. Un ordre de grandeur de $1,49\times10^5$ est $10^5$. En effet, $1,49\approx1$ si on souhaite donner un arrondi à la puissance de 10 près. Donc $1,49\times10^5\approx1\times10^5\approx10^5$.

\item Réponse \choix[a]. Un ordre de grandeur du nombre $88,102\times10^7$ est $10^9$ car $88,102\approx100$ et $100=10^2$ donc $88,102\times10^7\approx10^2\times10^7$, soit $88,102\times10^7\approx10^9$.

\item Réponse \choix[a]. Un ordre de grandeur du nombre $\numprint{123456}$ est $10^5$ car\linebreak $\numprint{123456}=\numprint{1,23456}\times10^5$ et $\numprint{1,23456}\approx1$ en arrondissant à la puissance de 10 la plus proche. Ainsi, $\numprint{123456}\approx1\times10^5\approx10^5$.

\item Réponse \choix[b]. Un ordre de grandeur du nombre $\numprint{0,078}\times10^{-5}$ est $8\times10^{-7}$ car $0,078=7,8\times10^{-2}$ et $7,8\approx8$ à l'unité près. 

Ainsi, $0,078\times10^{-5}\approx8\times10^{-2}\times10^{-5}$, soit $8\times10^{-7}$.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Règles de calcul sur les puissances}

% EX4

\begin{exo}{Puissances de 10}{Collège Henri Sellier, Suresnes}{1}{5}
Exprimer à l'aide d'une seule puissance de 10 le résultat des opérations suivantes.

\begin{multicols}{2}
\begin{questions}
\item $10^{5}\times10^{-9}\times10^{3}$
\item $\dfrac{10^2\times10^{-5}}{10^8\times10^{-11}}$
\item $\big(10^{-2}\big)^{-4}\times10^{12}$
\item $\dfrac{\big(10^2\big)^5}{10^{5}}$
\end{questions}
\end{multicols}

\end{exo}

% EX4corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $10^{5}\times10^{-9}\times10^{3}=10^{5-9+3}=10^{8-9}=10^{-1}$.

\item $\dfrac{10^2\times10^{-5}}{10^8\times10^{-11}}=\dfrac{10^{2-5}}{10^{8-11}}=\dfrac{10^{-3}}{10^{-3}}=10^{-3-(-3)}=10^0$.

\item $\big(10^{-2}\big)^{-4}\times10^{12}=10^{(-2)\times(-4)}\times10^{12}=10^8\times10^{12}=10^{8+12}=10^{20}$.

\item $\dfrac{\big(10^2\big)^5}{10^{5}}=\dfrac{10^{2\times5}}{10^5}=\dfrac{10^{10}}{10^5}=10^{10-5}=10^5$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX5

\begin{exo}{Puissances d'entiers}{Collège Chaptal, Paris}{1}{5}
 Cocher pour donner le signe de chacun des nombres suivants :
 \begin{center}
\begin{tabular}{|P{1.5cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}p{1cm}|} \hline
\tabulartitle \rule[-2ex]{0pt}{5ex} Nombres & $(-6)^{12}$ & $-7^{36}$ 
& $(-8)^7$ & $5^{-5}$ & $(-3)^{-2}$ & $-9^{-6}$ \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{5ex} Positifs &    &   &   &   &   &  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{5ex} Négatifs &    &   &   &   &   & \\ \hline
  \end{tabular}
 \end{center}

\end{exo}



% EX5corr

\begin{corrige}
 \begin{center}
\begin{tabular}{|P{1.5cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}p{1cm}|} \hline
\tabulartitle \rule[-2ex]{0pt}{5ex} Nombres & $(-6)^{12}$ & $-7^{36}$ 
& $(-8)^7$ 
& $5^{-5}$ & $(-3)^{-2}$ & $-9^{-6}$ \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{5ex} Positifs &  X &   &   &  X  & X   &  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{5ex} Négatifs &    & X  & X   &   &   & X \\ \hline
  \end{tabular}
 \end{center}

En effet, $(-6)^{12} = (-6) \times (-6) \times \cdots \times(-6)$. Il 
y a $12$ facteurs négatifs, $12$ est pair donc le résultat est 
positif.

$-7^{36} = -7 \times 7 \times \cdots \times 7$. Il n'y a qu'un 
facteur négatif.

Dans $(-8)^7$, il y a $7$ facteurs négatifs, $7$ est impair donc le 
résultat est négatif.


$5^{-5} = \dfrac{1}{5^5}$. Il n'y a que des facteurs positifs, donc 
le résultat est positif.

$(-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2}$. Il y a $2$ facteurs négatifs donc le 
résultat est positif.

$-9^{-6} = -\dfrac{1}{9^6}$. Il n'y a qu'un seul facteur négatif.
\end{corrige}

% EX6

\begin{exo}{Compléter des opérations}{Collège Condorcet, Paris}{2}{5}
Compléter les opérations suivantes : indiquer le nombre à mettre en 
exposant à la place des pointillés.

\begin{multicols}{2}
\begin{questions}
\item $3^{\ldots}\times3^{7}\times3^{-5}=3^{12}$
\item $\dfrac{5^{-2}\times5^{\ldots}}{5^{7}}=5^{50}$
\item $\dfrac{\big(2^{-5}\big)^{\ldots}}{2^3}=128$
\item $\big(3^{\ldots}\big)^2\times3^{-5}=3^{21}$
\end{questions}
\end{multicols}
\end{exo}

% EX6corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $3^{\ldots}\times3^{7}\times3^{-5}=3^{12}$ signifie que $3^{\ldots+7-5}=3^{12}$, soit $3^{\ldots+2}=3^{12}$. 

Le nombre qu'il manque est donc 10 car $10+2=12$.
\[
3^{\color{DR}10}\times3^{7}\times3^{-5}=3^{12}.
\]

\item $\dfrac{5^{-2}\times5^{\ldots}}{5^{7}}=5^{50}$ signifie que $\dfrac{5^{-2+\ldots}}{5^7}=5^{50}$, soit $5^{-2+\ldots-7}=5^{50}$\linebreak ou encore : $5^{-9+\ldots}=5^{50}$. 

Le nombre qu'il manque est donc 59 car $-9+59=50$.
\[
\dfrac{5^{-2}\times5^{\color{DR}59}}{5^{7}}=5^{50}.
\]

\item $\dfrac{\big(2^{-5}\big)^{\ldots}}{2^3}=128$ signifie que $\dfrac{2^{-5\times\ldots}}{2^3}=2^7$ (car $128=2^7$) et donc $2^{-5\times\ldots-3}=2^{7}$. Il faut donc que $-5\times\ldots-3=7$. Or, $10-3=7$ donc $-5\times\ldots=10$, et donc le nombre manquant est $10\div(-5)=-2$.
\[
\dfrac{\big(2^{-5}\big)^{\color{DR}-2}}{2^3}=128
\]

\item $\big(3^{\ldots}\big)^2\times3^{-5}=3^{21}$ signifie que $3^{2\times\ldots-5}=3^{21}$. 

Il faut donc que $2\times\ldots-5=21$. Or, $26-5=21$ donc $2\times\ldots=26$. Le nombre manquant est donc $26\div2=13$.
\[
\big(3^{\color{DR}13}\big)^2\times3^{-5}=3^{21}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX7

\begin{exo}{Règles de calcul}{Collège Chaptal, Paris}{1}{5}
 \'Ecrire sous la forme d'une seule puissance.
 
 $\begin{aligned}[t]
  \text{A} & = \text{le triple de $3^4$} \; ; \\
  \text{B} & = \text{la moitié de $2^{-5}$} \; ; \\
  \text{C} & = \dfrac{25^3 \times 5^{-9}}{(5^{-2})^6}.
 \end{aligned}$
\end{exo}

\begin{corrige}
 $\begin{aligned}[t]
  \text{A} & = \text{le triple de $3^4$} = 3\times 3^4 = 3^{1+4} = 
3^5. \\
  \text{B} & = \text{la moitié de $2^{-5}$} = \dfrac{2^{-5}}{2} = 
2^{-5-1} = 2^{-6}. \\
  \text{C} & = \dfrac{25^3 \times 5^{-9}}{(5^{-2})^6} = 
\dfrac{{(5^2)}^3 \times 5^{-9}}{5^{-2 \times 6}} = \dfrac{5^6 \times 
5^{-9}}{5^{-12}}  \\ & \hspace{2cm} = \dfrac{5^{6+(-9)}}{5^{-12}} = 
\dfrac{5^{-3}}{5^{-12}} = 5^{-3-(-12)} = 5^9.
 \end{aligned}$
\end{corrige}



% EX8 (OLD 7)

\begin{exo}{Avec de la proportionnalité}{Collège Maurice 
Ravel, Toulon}{2}{10}
\begin{questions}
\item Les gouttes projetées par une imprimante à jet d'encre ont un volume de 1 picolitre (pL).

Sachant que 1pL est égal à un milliardième de millilitre, exprimer le nombre de gouttes d'encre contenues dans une cartouche de 10 mL avec une puissance de 10.

\item Dans le corps humain, il y a environ vingt-cinq mille milliards de globules rouges. On arrondit le volume d'un globule rouge à $100\times10^{-15}~\text{L}$.

Exprimer le volume (en litre) occupé par tous les globules rouges dans un corps humain sous la forme $a\times10^n$, où $a$ et $n$ sont deux entiers.
\end{questions}
\end{exo}

% EX8corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, 1 pL est égal à un milliardième de millilitre, donc $1~\text{pL}=10^{-9}~\text{mL}$.

Or $1~\text{mL}=10^{-3}~\text{L}$ donc $1~\text{pL}=10^{-9}\times10^{-3}~\text{L}=10^{-12}~\text{L}$.

\begin{methode}
Pour obtenir le nombre de gouttes dans une cartouche, il faut diviser la contenance de la cartouche par le volume d'une goutte d'encre, où les deux quantités sont exprimées dans la même unité, en litre ici.
\end{methode}

\[
\dfrac{\text{contenance de la cartouche}}{\text{volume d'une goutte d'encre}}=\dfrac{10\times10^{-3}~\text{L}}{10^{-12}~\text{L}}=\dfrac{10^{1-3}}{10^{-12}}=10^{1-3+12}
=10^{10}.\]
Il y a donc $10^{10}$ gouttes d'encre dans une cartouche de 10 mL.


\item 
\begin{aretenir}
cent : $10^2$ \quad ; \quad mille : $10^3$\quad ; \quad million : $10^6$ \quad ; \quad milliard : $10^9$.
\end{aretenir}

Il y a $25\times10^3\times10^9=25\times10^{3+9}=25\times10^{12}$ globules rouges dans le corps humain (mille milliards : $10^3\times10^9$).

De plus, 1 globule rouge occupe $10^{-15}$~L, donc le volume total occupé par tous les globules rouges est :
\[
25\times10^{12}\times10^{-15}=25\times10^{12-15}=2,5~\text{L}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

\newpage

\sectionnn{Notation scientifique et préfixes usuels}

% EX9

\begin{exo}{Conversion en notation scientifique}{Collège Henri 
Matisse, Nice}{1}{5}
Trouver la notation scientifique des nombres suivants:
\begin{multicols}{2}
\begin{questions}
\item ${\rm A}=\numprint{0,000158401}$
\item ${\rm B}=\numprint{5102,21510}$
\item ${\rm C}=\numprint{0,4102}\times10^{-15}$
\item ${\rm D}=\numprint{70,12}\times10^{-3}$
\item ${\rm E}=\numprint{-0,0123}\times10^7$
\item ${\rm F}=\numprint{-450,102}\times10^{3}$
\end{questions}
\end{multicols}
\end{exo}

% EX9corr

\begin{corrige}
Ici, il ne faut pas hésiter à regarder la méthode du cours page \pageref{chap:puissances-methode-notation-scientifique}.
\begin{questions}
\item ${\rm A}=\numprint{0,000158401}=\numprint{1,58401}\times10^{-4}$.
\item ${\rm B}=\numprint{5102,21510}=\numprint{5,10221510}\times10^{3}$.
\item ${\rm C}=\numprint{0,4102}\times10^{-15}=4,102\times10^{-1}\times10^{-15}=4,102\times10^{-16}$.
\item ${\rm D}=\numprint{70,12}\times10^{-3}=7,012\times10^{1}\times10^{-3}=7,012\times10^{-2}$.
\item ${\rm E}=\numprint{-0,0123}\times10^7=-1,23\times10^{-2}\times10^7=-1,23\times10^{5}$.
\item ${\rm F}=\numprint{-450,102}\times10^{3}=-\numprint{4,50102}\times10^{2}\times10^3=-\numprint{4,50102}\times10^{5}$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX10

\begin{exo}{Un virus}{Collège Jean Zay, Lille}{1}{3}
 Les particules de coronavirus sont des particules sphériques 
dont le diamètre mesure en moyenne $0,125$~$\rm \mu$m.

Exprimer la taille de ce diamètre en m et donner le résultat en 
écriture scientifique.
\end{exo}


% EX10corr

\begin{corrige}
 $\begin{aligned}[t]
   0,125~\mu \text{m} & = 0,125 \times 10^{-6}~ \text{m} \\
   & = 1,25 \times 10^{-1} \times 10^{-6}~\text{m} \\
   & = 1,25 \times 10^{-1+(-6)}~\text{m} \\
   & = 1,25 \times 10^{-7}~\text{m}.
  \end{aligned}
$
\end{corrige}

%% EX11

\begin{exo}{Distances et notations scientifiques}{Collège Henri 
Sellier, Suresnes}{1}{8}
 Dans un ouvrage d'astronomie, on peut lire :
 
 \Par
 \begin{center}
  
\begin{tabular}{|M{1.5cm}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{7cm}}|}\hline 
   \tabulartitle Planètes & Distance moyenne en km de la planète au 
Soleil \\ \hline
Jupiter & $7,78 \times 10^8$ \\ \hline
Mercure & $579 \times 10^5$ \\ \hline
Mars & $22,8 \times 10^7$ \\ \hline
Neptune & \numprint{4505} millions \\ \hline
Terre & $0,015 \times 10^{10}$ \\ \hline
  \end{tabular}

 \end{center}
 \Par
 
 Donner l'écriture scientifique de chacune de ces distances et les 
classer dans l'ordre croissant.
\end{exo}

%% EX11corr

\begin{corrige}
 Concernant Jupiter, la distance $7,78\times 10^8$~km est déjà en 
écriture scientifique.

Concernant les autres planètes, on a les distances suivantes :
\begin{itemize}
 \item Mercure : $579 \times 10^5 = 5,79 \times 10^2 \times 10^5 = 
5,79 \times 10^7$~km.
\item Mars : $22,8 \times 10^7 = 2,28 \times 10^1 \times 10^7 = 2,28 
\times 10^8$~km.
\item Neptune : 
$\begin{aligned}[t]\text{\numprint{4505} millions} 
& =\text{\numprint{4505}} \times 10^6 \\ & = 4,505 \times 10^3 \times 
10^6 = 4,505 \times 10^9~\text{km}.
\end{aligned}$
\item Terre : $0,015 \times 10^{10} = 1,5 \times 10^{-2} \times 
10^{10} = 1,5 \times 10^8$~km.
\end{itemize}
On range ensuite ces distances dans l'ordre croissant et on obtient :
\[5,79\times 10^7 < 1,5 \times 10^8 < 2,28 \times 10^8 < 7,78 \times 
10^8 < 4,505 \times 10^9.\]
\end{corrige}

% EX12

\newpage

\begin{exo}{Unité astronomique}{Collège Jean Moulin, 
Verrières-le-Buisson}{2}{10}
En astronomie, on définit une \emph{unité astronomique} (u.a.) par l'égalité :
\[
1~\text{u.a.} = \numprint{149597870700}~\text{m}
\]
qui correspond à la distance Terre-Soleil.
\begin{questions}
\item Donner la notation scientifique d'une u.a. en km.
\item La distance Mars-Soleil est de 2,8 u.a.

Donner un ordre de grandeur de cette distance en km.
\end{questions}
\end{exo}

% EX12corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La notation scientifique d'1 u.a. en mètre est : $\numprint{1,49597870700}\times10^{11}$.

On sait que $\numprint{1000}~\text{m}=10^3~\text{m}=1~\text{km}$ donc :
\begin{align*}
1\text{ u.a.} & =\numprint{1,49597870700}\times10^{11}~\text{m}\\
& = \numprint{1,495978707}\times10^{3}\times10^{8}~\text{m}\\
& = \numprint{1,495978707}\times10^{8}~\text{km}.
\end{align*}

\item La distance Mars-Soleil est de 2,8 u.a., donc :
\begin{align*}
2,8~\text{u.a.}&  = 2,8\times \numprint{1,495978707}\times10^{8}~\text{km}\\
& \approx 4\times10^8~\text{km}.
\end{align*}
Un ordre de grandeur de la distance Mars-Soleil est donc $4\times10^8$~km.
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Priorités opératoires}

% EX13

\begin{exo}{Calculs et écriture décimale}{Collège Chaptal, 
Paris}{1}{5}
Calculer et donner le résultat sous forme décimale :
\begin{multicols}{2}
\begin{questions}
\item $\text{A}=\dfrac{4 - 5\times 10}{10^3}$ \medskip
\item $\text{B}=\dfrac{(6-2\times 4)^6}{(3-4)^3}$ \medskip
\item $\text{C}=2^3-2\times\big(5^2-2^2\big)$ \medskip
\item $\text{D}=3^2+\big(9^2-8^2\big)\times10^2$ \medskip
\item $\text{E}=\dfrac{50^2-2\times10^2}{10^3}$ \medskip
\end{questions}
\end{multicols}
\end{exo}

% EX13corr

\begin{corrige}
\text{}

\vspace*{-10pt}
$\begin{aligned}[t]
\text{A} & = \dfrac{4-5\times 10}{10^3} = \dfrac{4-50}{100} = 
\dfrac{-46}{\text{\numprint{1000}}} = -0,046 \\
\text{B} & = \dfrac{(6-2\times 4)^6}{(3-4)^3} = 
\dfrac{(6-8)^6}{(-1)^3} = \dfrac{(-2)^6}{-1} = \dfrac{64}{-1} = -64. 
\\
\text{C} & = 2^3-2\times\big(5^2-2^2\big) = 
2\times2\times2-2\times(5\times5-2\times2)\\
& = 8-2\times(25-4) = 8-2\times21 = 8-42 = -34.\\
\text{D} & = 3^2+\big(9^2-8^2\big)\times10^2=  9+(81-64)\times100\\
& = 9+17\times100  = 9+\numprint{1700} = \numprint{1709}. \\
\text{E} & = \dfrac{50^2-2\times10^2}{10^3}  = 
\dfrac{50\times50-2\times100}{\numprint{1000}}\\[6pt]
& = \dfrac{\numprint{2500}-200}{\numprint{1000}}
 = \dfrac{\numprint{2300}}{\numprint{1000}} = 2,3.
\end{aligned}$

\end{corrige}


% 
% % EX13
% 
% \begin{exo}{Effectuer des opérations}{Collège Alain Fournier, 
% Bordeaux}{1}{5}
% Effectuer les opérations suivantes et donnez le résultat sous la forme décimale.
% 
% \begin{multicols}{2}
% \begin{questions}
% \end{questions}
% \end{multicols}
% \end{exo}

% EX13corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item $\begin{aligned}[t]
% 5\times\big(2^4-1\big)+4 & = 5\times(2\times2\times2\times2-1\big)+4\\& = 5\times(16-1)+4\\
% & = 5\times15+4\\
% & = 75+4\\
% & = 79.
% \end{aligned}$
% 
% \item $\begin{aligned}[t]
% 2^4-2\times\big(5^2-2^2\big) & = 2\times2\times2-2\times(5\times5-2\times2)\\
% & = 8-2\times(25-4)\\
% & = 8-2\times21\\
% & = 8-42\\
% & = -34.
% \end{aligned}$
% 
% \item $\begin{aligned}[t]
% 3^2+\big(9^2-8^2\big)\times10^2 &=  9+(81-64)\times100\\
% & = 9+17\times100\\
% & = 9+\numprint{1700}\\
% & = \numprint{1709}.
% \end{aligned}$
% 
% \item $\begin{aligned}[t]
% \dfrac{50^2-2\times10^2}{10^3} & = \dfrac{50\times50-2\times100}{\numprint{1000}}\\[6pt]
% & = \dfrac{\numprint{2500}-200}{\numprint{1000}}\\[6pt]
% & = \dfrac{2300}{\numprint{1000}}\\[6pt]
% & = 2,3.
% \end{aligned}$
% \end{questions}
% \end{corrige}

% EX14

\begin{exo}{En informatique}{Collège La Salle, Saint-Denis de La Réunion}{2}{10}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh1Ex14}}}

\vspace*{-12pt}

\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{En informatique}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh1Ex14}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}

Lucie possède un disque dur d'une capacité de 1 To. Son père a un vieux disque dur d'une capacité de 160 Go.

Ils sont tous les deux cinéphiles et achètent régulièrement des films en VOD. En moyenne, un film occupe 1,5 Go.

\begin{questions}
\item Leur connexion permet de télécharger 5 Mo par seconde.

Combien de temps prend le téléchargement d'un film en moyenne ?

\item En moyenne, combien de films en tout peuvent-ils stocker sur leurs deux disques durs ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX14corr

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]


\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh1Ex14}}}
\vspace*{-15pt}
\begin{questions}
\item Il faut que nous sachions combien de \og paquets de 5 Mo \fg{} sont contenus dans 1,5 Go.
\[
1,5~\text{Go}=1,5\times10^9~\text{octets}=1,5\times10^6\times10^3~\text{octets}=1,5\times10^3~\text{Mo}.
\]
$\dfrac{1,5\times10^3~\text{Mo}}{5~\text{Mo}}=0,3\times10^3=3\times10^2=300$.

Donc il y a $300$ fois 5 Mo dans 1,5 Go.

\Par

Le téléchargement durera donc 300 secondes, soit 5 minutes (car\linebreak $300\div60=5$ minutes).

\enlargethispage*{2em}
\item Avant tout, calculons la taille totale des deux disques durs en Go :
\begin{align*}
1~\text{To}+160~\text{Go} 
& = 10^3\times10^{9}+160\times10^{9}~\text{octets}\\
& = (10^3+160)\times10^9~\text{octets}\\
& = \numprint{1160}\times10^9~\text{octets}.
\end{align*}
Comme $1~\text{Go} = 10^9$ octets, la taille totale des deux disques durs est de \numprint{1160}~Go.
 
Pour savoir combien de fois on peut mettre 1,5 Go dans \numprint{1160} Go, on effectue la division :
\[
\dfrac{\numprint{1160}}{1,5}\approx773,33.
\]

On peut donc mettre en moyenne 773 films sur les deux disques durs.
\end{questions}
\end{corrige}



% EX15

\begin{exo}{Une suite de nombres}{Collège Petit Val, 
Sucy-en-Brie}{3}{10}
On considère le nombre A$_n=2^{n+1}-2^n+1$, où $n$ est un entier relatif.
\begin{questions}
\item Calculer A$_0$, A$_1$, A$_2$ et A$_3$, c'est-à-dire le nombre A$_n$ pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$.
\item Vérifier sur ces derniers résultats que A$_n=2^n+1$.
\item Nous souhaitons démontrer que pour tout entier relatif $n$, A$_n=2^n+1$.
\begin{questions}
\item Montrer que $2^{n+1}-2^n=2^n$, quelle que soit la valeur de l'entier relatif $n$.
\item Conclure.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

% EX15corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item Pour $n=0$, on a : ${\rm A}_0 = 2^{0+1}-2^0+1= 2-1+1= 2$.

\item Pour $n=1$, on a : ${\rm A}_1 = 2^{1+1}-2^1+1=2^2-2+1= 3$.

\item Pour $n=2$, on a : ${\rm A}_2 = 2^{2+1}-2^2+1= 2^3-4+1= 5$.

\item Pour $n=3$, on a : ${\rm A}_3 = 2^{3+1}-2^3+1= 2^4-8+1= 9$.
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item Pour $n=0$, $2^n+1=2^0+1=1+1=2={\rm A}_0$.
\item Pour $n=1$, $2^n+1=2^1+1=2+1=3={\rm A}_1$.
\item Pour $n=2$, $2^n+1=2^2+1=4+1=5={\rm A}_2$.
\item Pour $n=3$, $2^n+1=2^3+1=8+1=9={\rm A}_3$.
\end{itemize}
Nous avons donc bien vérifié ici que pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$, A$_n=2^n+1$.

\item
\begin{questions}
\item Pour tout entier relatif $n$, on a :
\begin{align*}
2^{n+1}-2^n & = {\color{DR}2^n}\times2^1-{\color{DR}2^n}\times1\\
            & ={\color{DR}2^n}\big(2^1-1\big)\quad\big(\text{on a ici 
factorisé par }2^n\big)\\
            & = 2^n\times1\\
            & = 2^n.
\end{align*}

\item Du résultat obtenu précédemment, on déduit que :
\begin{align*}
{\rm A}_n & = 2^{n+1}-2^n+1\\
					& = 2^n+1.
\end{align*}
On a démontré ici ce que l'on voulait : pour tout entier relatif $n$, A$_n=2^n+1$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

% EX16

\begin{exo}{Une somme de puissances de 2}{Collège 
Saint-François-Xavier, Vannes}{3}{20}
On pose ${\rm S}_n=1+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}+2^n$, où $n$ est un entier.
\begin{questions}
\item Calculer ${\rm S}_1=1+2^1$,  ${\rm S}_2=1+2^1+2^2$ et  ${\rm S}_3=1+2^1+2^2+2^3$.
\item Pour tout entier $n$, exprimer  $2{\rm S}_n$.
\item En déduire que $2{\rm S}_n-{\rm S}_n=2^{n+1}-1$.
\item En déduire une expression de ${\rm S}_n$.
\item Application : une légende orientale nous conte l'histoire de Sissa, le concepteur du jeu des échecs. Elle raconte que le souverain voulut le récompenser et lui demanda ce qu'il voulait. Celui-ci lui rétorqua : \og je veux que vous mettiez un grain de blé sur la première case du jeu, 2 grains sur la deuxième, 4 grains sur la troisième et ainsi de suite jusqu'à la 64\ieme{} case en doublant à chaque fois le nombre de grains.\fg{} 
\begin{questions}
\item À l'aide de la question 4, déterminer le nombre de grains de blé devraient être théoriquement placés sur le plateau du jeu.
\item On estime que 10 grains de blé ont une masse de 1 g.

Donner un ordre de grandeur de la masse totale de grains de blé sur le plateau.

\item Sachant qu'en 2015, la production mondiale de blé était de 726 millions de tonnes, que penser sur la masse théorique de grains de blé sur l'échiquier ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

% EX16corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item ${\rm S}_1=1+2^1=1+2=3$.
\item ${\rm S}_2=1+2^1+2^2=1+2+4=7$.
\item ${\rm S}_3=1+2^1+2^2+2^3=1+2+4+8=15$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
2{\rm S}_n 
& =2^1\times(1+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}+2^n\big)\\
& = 2^1\times1 + 2^1\times2^1 + 2^1\times2^2 + 2^1\times2^3 + \cdots + 2^1\times2^{n-1}+2^1\times2^n\\
& = 2^1+2^{1+1}+2^{1+2}+2^{1+3}+\cdots+2^{n}+2^{1+n}\\
& = 2^1+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^n+2^{n+1}.
\end{aligned}$

\item On a :
\[
\begin{array}{r@{~=~}l}
2{\rm S}_n & \hspace*{6mm}2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}+2^n+2^{n+1}\\
{\rm S}_n  & 1+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}+2^n\\\hline
2{\rm S}_n -{\rm S}_n  & 2^{n+1}- 1\vrule width 0pt height 1.2em
\end{array}
\]
\emph{Explications :} quand on soustrait la deuxième ligne à la première, on voit que $2^1$, $2^2$, $2^3$, ... , $2^n$ s'annulent. Il reste donc $2^{n+1}$ (de la première ligne) et $-1$ (de la deuxième ligne).

Ainsi, $2{\rm S}_n -{\rm S}_n =2^{n+1}-1$.

\item Quel que soit le nombre $x$, $2x-x=x$ donc $2{\rm S}_n-{\rm S}_n={\rm S}_n$.

Ainsi, d'après la question précédente, ${\rm S}_n=2^{n+1}-1$.

\item \enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item Sur la première case, il y a 1 grain de blé. 

Sur la deuxième case, il y a 2 grains. 

Sur la troisième case, il y a $2\times2=2^2$ grains. 

Sur la quatrième case, il y a $4\times2=2^3$ grains.

On voit alors que le nombre de grains de blé sur le plateau de 64 cases est : $1+2+2^2+\cdots+2^{63}=2^{64}-1$ d'après la question 4.

\item On va d'abord donner un ordre de grandeur du nombre de grains de blé. Pour cela, on constate d'abord que $2^{10}=\numprint{1024}\approx10^3$. 

De plus, $2^{64}=2^{10\times6+4}=2^{10\times6}\times2^4=\big(2^{10}\big)^6\times2^4$.

Ainsi, $2^{64}\approx\big(10^3\big)^6\times2^4$, soit $2^{64}\approx16\times10^{18}$. 

On peut alors en conclure que $2^{64}-1\approx16\times10^{18}$ car soustraire 1 ne change pas l'ordre de grandeur d'un aussi grand nombre.

10 grains de blé ont une masse de 1 g donc $2^{64}-1$ grains de blé ont une masse d'environ $\dfrac{16\times10^{18}}{10}=16\times10^{17}$~g.

Un ordre de grandeur de la masse théorique de grains de blé sur l'échiquier est donc $10^{18}$ g car:
\begin{align*}
16\times10^{17} & \approx 10\times10^{17}\\
& \approx 10^{18}.
\end{align*}

\item 726 millions de tonnes = $726\times10^6\times10^3=726\times10^9$ kg car\linebreak 1 tonne = \numprint{1000} kg. La production mondiale de blé était donc en 2015 de $726\times10^{12}$ g, ce qui est insuffisant pour satisfaire la demande de Sissa donc à l'époque, encore moins...
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
