\setcounter{chapter}{1}
\chapter{Développements, réductions et factorisations}
\label{chap:developpements}
\begin{exointro}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}
On donne $\text{A} = (2x - 1)^{2} - (2x - 1)(4x + 7)$
\begin{questions}
\item Développer et réduire A.
\item Factoriser A.
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\enlargethispage*{3em}
\section{Réduire une expression littérale}

\begin{defin}[réduction]
\emph{Réduire} une expression littérale, c'est effectuer tous les 
calculs qui sont\linebreak possibles dans le but de rendre cette 
expression plus \og{}simple\fg{} et en général plus \og{}courte\fg.
\end{defin}

\begin{Exemple}
pour réduire l'expression
$$\text{A} = -9 + 3x^2 - 5x \times 2 + 7x^2 - 8x + 3,$$
on commence par effectuer le produit qui est prioritaire. On obtient :
$$\text{A} = -9 + 3x^2 - 10x + 7x^2 - 8x + 3.$$
Puis, on regroupe les termes \og en $x^2$\fg{}, les termes \og en 
$x$\fg{} et les \og constantes\fg{}, 

on obtient :
\begin{align*}
\text{A} & = 3x^2 + 7x^2 - 10x - 8x + 3 - 9 \\
  & = 10x^2 - 18x - 6.
\end{align*}
Cette expression ne peut plus être réduite.
\end{Exemple}

\newpage

\section{Suppression des parenthèses}

Pour supprimer des parenthèses et le signe qui les précède, il y a 
deux cas.

\subsection{Parenthèses précédées du signe $+$}

On réécrit telle quelle l'expression qui était entre parenthèses, en 
gardant les signes.
\begin{align*}
a + (2b-3c+d) = a+2b-3c+d.
\end{align*}

\textit{Exemple :}
\vspace{-15pt}
\begin{align*}
\text{B} & = 6a + (-5a + 6) \\
 & = 6a - 5a + 6 \\
 & = a + 6.
\end{align*}


\subsection{Parenthèses précédées du signe $-$}

On change les signes de tous les termes qui étaient entre parenthèses.
\begin{align*}
a-(2b-3c+d) = a-2b+3c-d.
\end{align*}

\textit{Exemple :}
\vspace{-15pt}
\begin{align*}
C & = 5x^2 - (5 - 2x + 7) - (-x^2 + 4x) \\
 & = 5x^2 - 5 + 2x - 7 + x^2 - 4x \\
 & = 5x^2 + x^2 + 2x - 4x - 5 - 7 \\
 & = 6x^2 - 2x - 12.
\end{align*}

\enlargethispage{5mm}

\section{Développer une expression littérale}
\label{dev-fact}
\begin{defin}[développement]
\emph{Développer} un produit, c'est le transformer en une somme.
\end{defin}

\subsection{Développement simple}

\begin{prop}[développement simple]
Pour tous nombres $a$, $b$ et $k$ :
\begin{center}
   \begin{psmatrix}[colsep=5pt]
    $k$ &(& $a$&$+$&$b$&$) = ka+kb$\\
    \end{psmatrix}
    \psset{arrows=->,shortput=nab}
    \ncarc[arcangle=60,linecolor=DR]{1,1}{1,3}
    \ncarc[arcangle=-60,linecolor=DR]{1,1}{1,5}
    $\quad$ \raisebox{-1mm}{et} $\quad$    
\begin{psmatrix}[colsep=5pt]
    $k$ &(& $a$&$-$&$b$&$) = ka-kb$\\
    \end{psmatrix}
    \psset{arrows=->,shortput=nab}
    \ncarc[arcangle=60,linecolor=DR]{1,1}{1,3}
    \ncarc[arcangle=-60,linecolor=DR]{1,1}{1,5}
\end{center}

\end{prop}

\newpage

\textit{Exemples}

\begin{center}
   \begin{psmatrix}[colsep=5pt]
$D =$ & $3$ &$($& $2$ & $-$ & $5x$ & $+$ & $3x^2$ 
&$)$\\
    \end{psmatrix}
    \psset{arrows=->,shortput=nab}
    \ncarc[arcangle=45,linecolor=DR,arrowscale=0.8]{1,2}{1,4}
    \ncarc[arcangle=-60,linecolor=DR]{1,2}{1,6}
    \ncarc[arcangle=60,linecolor=DR]{1,2}{1,8}
    \end{center}
    \begin{align*}
    \phantom{Dtt} & = 3\times 2 - 3 \times 5x + 3\times 3x^2 \\
     & = 6 - 15x + 9x^2.
    \end{align*}
   
   \begin{align*}
    E & = -2x(-4+x) \\
      & = -2x\times (-4) - 2x\times x \\
      & = 8x-2x^2.
    \end{align*}

\subsection{Développement double}

\begin{prop}[développement double]
Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ :
\vspace{15pt}
\begin{center}
   \begin{psmatrix}[colsep=1pt]
    $($ & $a$ & $+$ & $b$ & $)($ & $c$ & $+$ & $d$ & $) = ac+ad 
+bc+bd$
    \end{psmatrix}
    \psset{arrows=->,shortput=nab}
    \ncarc[arcangle=60,linecolor=red]{1,2}{1,6}
    \ncarc[arcangle=80,linecolor=red]{1,2}{1,8}
    \ncarc[arcangle=-60,linecolor=red]{1,4}{1,6}
    \ncarc[arcangle=-80,linecolor=red]{1,4}{1,8}
\end{center}

\end{prop}

\textit{Exemple :} développons le produit $(3x+4)(2x-5)$ 

\noindent avec $a = 3x$, $b = 4$, $c = 2x$ et $d = - 5$.

\begin{align*}
(3x+4)(2x-5) & = 3x \times 2x - 3x\times 5 + 4 \times 2x - 4 \times 5 
\\
& = 6x^2 - 15x + 8x - 20 \\
& = 6x^2 - 7x - 20.
\end{align*}

\begin{attention}
Si le signe $-$ précède un double produit, on doit d'abord effectuer 
le développement double avant de changer les signes.
\end{attention}

\textit{Exemple :} pour développer l'expression \og 
$3-(x-7)(x-2)$\fg{}, on développe le double produit à l'intérieur des 
parenthèses, et on ne change les signes qu'à la deuxième étape.

\begin{align*}
3-(x-7)(x-2) & = 3-\textcolor{DR}{(}x^2 - 2x - 7x + 
14\textcolor{DR}{)} \\
& = 3-x^2 + 2x + 7x - 14 \\
& = -x^2 + 9x - 11.
\end{align*}



\section{Factoriser une expression littérale \\ avec un facteur 
commun}

\begin{defin}[factorisation]
\emph{Factoriser} une somme, c'est la transformer en un produit.

Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$ :
\begin{align*}
ka+kb = k(a+b).
\end{align*}
$k$ s'appelle le \emph{facteur commun}. On dit qu'on 
\emph{factorise} l'expression par $k$.
\end{defin}

\textit{Exemples}
\begin{itemize}
\item[1)] On considère l'expression :
\begin{align*}
\text{F} = 12x^2 - 9x + 3.
\end{align*}
Cette expression contient trois termes : $12x^2$, $-9x$ et $3$. 

On 
cherche un facteur commun à ces trois termes : c'est $3$.
\begin{align*}
\text{F} & = 3 \times 4x^2 - 3 \times 3x + 3 \times 1 \\
  & = 3 (4x^2 - 3x + 1).
\end{align*}
On dit que \og $3$ est le facteur commun\fg{}.
\item[2)] Soit l'expression :
\begin{align*}
\text{G} = (x+4)(1-x) + (x+4)(5x+2)
\end{align*}
L'expression est constituée de deux termes : $(x+4)(1-x)$ et 
$(x+4)(5x+2)$. On cherche un facteur commun à ces deux termes : c'est 
$(x+4)$ :
\begin{align*}
\text{G} & = (x+4)[(1-x)+(5x+2)] \\
  & = (x+4)[1-x+5x+2].
\end{align*}
On réduit ensuite l'expression entre crochets :
\begin{align*}
\text{G} = (x+4)(4x+3).
\end{align*}
\end{itemize}



\label{id-remarquables}
\section{Identités remarquables}
\enlargethispage*{2em}
Les identités (ou égalités) remarquables sont trois formules à connaître par c\oe ur, obtenues à partir des formules de la distributivité et particulièrement utiles pour :
\begin{itemize}
\item développer certains produits rapidement ;
\item factoriser certaines sommes dans lesquelles il n'est pas possible de mettre en évidence un facteur commun.
\end{itemize}

\begin{aretenir}[identités remarquables]
\begin{itemize}
\item $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
\item $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
\item $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$
\end{itemize}
\end{aretenir}

\textit{Remarque :} les égalités doivent être connues dans les \og 
deux sens\fg{}, pour pouvoir soit développer, soit factoriser une 
expression littérale.

\subsection{Développement à l'aide des identités remarquables}

\textit{Exemples}

\vspace{-20pt}

\begin{multicols}{2}
\[\begin{aligned}[t]
\text{A} & = (x+5)^2 \\
  & = x^2 + 2\times x \times 5 + 5^2 \\
  & = x^2 + 10x + 25
\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}[t]
\text{B} & = (2y-3)^2 \\
  & = (2y)^2 - 2 \times 2y \times 3 + 3^2 \\
  & = 4y^2 - 12y + 9
\end{aligned}\]
\end{multicols}

\vspace{-20pt}

\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
\text{C} & = (7x-9)(7x+9) \\
 & = (7x)^2 - 9^2 \\
 & = 49x^2 - 81
\end{align*}

\columnbreak

\text{}
\end{multicols}

\begin{attention}
Il ne faut pas oublier de mettre entre parenthèses les termes élevés 
au carré lorsqu'il y a un nombre devant la lettre (comme $(2y)^2$ 
dans l'exemple B et $(7x)^2$ dans l'exemple C).
\end{attention}


\subsection{Factorisation à l'aide des identités remarquables}

Pour factoriser une expression à l'aide d'une des identités 
remarquables, on applique la méthode suivante :

\begin{methode}
\begin{itemize}
\item On compte le nombre de termes pour savoir s'il s'agit d'une des 
deux premières (trois termes) ou de la troisième identité remarquable 
(deux termes).
\item On repère les carrés.
\end{itemize}
\end{methode}

\textit{Exemples}

\begin{itemize}
\item [1)] On considère l'expression :
\begin{align*}
\text{D} = 9x^2 - 24x + 16.
\end{align*}
Dans cette expression, il y a trois termes et un signe \og $-$\fg{} 
devant le double produit. On reconnaît donc la deuxième identité 
remarquable. On repère les carrés : $9x^2 = (3x)^2$ et $16 = 4^2$ et 
on vérifie le double produit : $2 \times 3x \times 4 = 24x$. Ainsi, 
on peut factoriser l'expression :
\begin{align*}
\text{D} & = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 4 + 4^2 \\
\text{D} & = (3x-4)^2.
\end{align*}
\begin{multicols}{2}
\item[2)] \text{} \vspace*{-15pt} 
\begin{align*}
      \text{E} & = 36 + 12x + x^2 \\
      & = 6^2 + 2 \times 6 \times x + x^2 \\
       & = (6+x)^2
      \end{align*} 
      \vfill\text{}
\item[3)] \text{} \vspace*{-15pt} 
\begin{align*}
      \text{F} & = 25y^2 - 64z^2 \\
       & = (5y)^2 - (8z)^2 \\
       & = (5y-8z)(5y+8z)
      \end{align*}
      
      \vfill\text{}
\end{multicols}
\end{itemize}

\vspace*{-15pt}

\enlargethispage*{2cm}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Nous allons développer $(2x-1)^{2}$ et $(2x -1)(4x + 7)$, et ensuite faire la différence des résultats trouvés. 
\begin{itemize}
\item Nous reconnaissons pour le premier terme une identité remarquable (la deuxième). 
\begin{align*}
(2x-1)^{2} & = \big(2x\big)^2 - 2 \times 2x \times 1 + 1^{2}\\
& = 4x^2-4x+1.
\end{align*}
 
\item Pour développer le second terme, on utilise la distributivité.
\begin{align*}
(2x-1)(4x+7) & = 2x\times4x + 2x\times7 - 1\times4x - 1\times7\\
& = 8x^2+14x-4x-7\\
& = 8x^2+10x-7.
\end{align*}

\item  On peut maintenant écrire :
\[
\text{A} = 4x^2-4x+1-\big(8x^2+10x-7\big).
\]
On enlève maintenant les parenthèses en veillant à changer le signe de tous les termes qui sont à l'intérieur car il y a un signe \og $-$ \fg{} devant.
\begin{align*}
\rm A & = 4x^2-4x+1-8x^2-10x+7\\
  & = 4x^2-8x^2-4x-10x+1+7\\
  & = -4x^2-14x+8.
\end{align*}
\end{itemize}

\item \'Ecrivons A sous la forme :
\[
{\rm A} = \underbrace{(2x-1)(2x-1)}_{\text{terme 1}} - \underbrace{(2x-1)(4x+7)}_{\text{terme 2}}.
\]
Les termes 1 et 2 ont un facteur commun : $2x-1$, donc nous pouvons écrire:
\begin{align*}
\rm A & = (2x-1)\big[(2x - 1)-(4x + 7)\big] \\
  & = (2x-1)\big[2x-1-4x-7\big]\\
  & = (2x-1)(-2x-8)
\end{align*}

\vspace*{-1em}
\begin{Remarque}
en développant cette expression, on doit retrouver l'expression trouvée à la question 1.
\end{Remarque}
\vspace*{-1em}
\end{questions}
\end{solintro}
