\thumb

%% EX1
\begin{qcm}{Réduction d'une expression littérale}{4}
Pour chacune des propositions, choisir la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item $2x^{2} - (x - 1) = $
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$2x^{2} - x - 1$} & 
  \choix{$2x^{2} - x + 1$}
  \end{tabularx}
  

  \item{$x^{2} + (-x)^{2} =$}\resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{0}&
  \choix{$2x^2$}
  \end{tabularx}

  \item{$-2x (-3 + 5x) = $}  \resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$-2x + 3 - 5x$} & 
  \choix{$6x - 10x^{2}$}
  \end{tabularx}

  \item L'opposé de $(-x)^2$ est un nombre :  \resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix positif &
  \choix négatif
  \end{tabularx}

  \item $3-(-2x)^2 = $ \resetchoix

  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix $3 - 4x^2$ &
  \choix $3+4x^2$
  \end{tabularx}
  \end{questions}
\end{qcm}

%QCM1corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. $2x^{2} - (x-1) = 2x^{2} - x + 1$.

Il s'agit ici de l'application de la règle du cours concernant la suppression de parenthèses précédées d'un signe \og{}$-$\fg : le \og $-$ \fg{} qui est devant les parenthèses disparaît et l'expression entre parenthèses \og $x-1$ \fg{} devient \og $-x + 1$ \fg.

\item Réponse \choix[b]. En effet, $x^{2} + (-x)^{2} = x^{2} + x^{2} = 2x^{2}$.
\begin{attention}
Le carré porte sur $-x$ car il y a des parenthèses autour de $-x$ !
\end{attention}

\item Réponse \choix[b]. En effet, on a :
\begin{align*}
-2x(-3+5x) & = -2x\times(-3) -2x\times5x\\
& = 6x-10x^{2}.
\end{align*}

\item Réponse \choix[b]. $(-x)^2$ désigne le carré de $-x$, et comme 
tout carré, il est positif. Donc son opposé est négatif.

\item Réponse \choix[a]. $3 - (-2x)^2 = 3-4x^2$. En effet, les exposants sont prioritaires et $(-2x)^2 = 4x^2$ donc  $3 - (-2x)^2 = 3-4x^2$.
\end{questions}
\end{corrige}

% QCM2

\begin{qcm}{Identités remarquables}{6}
Pour chacune des propositions, choisir la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.
 \begin{questions}
  \item La forme factorisée de $(x - 2)^{2}-4$ est : 
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
  \choix{$x^{2}-4x$} & 
  \choix{$x(x-4)$} & 
  \choix $(x-2) - 2^2$
  \end{tabularx}


  \item{$(5x-4)^{2} = $} \resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
  \choix $25x^2 - 16$ &
  \choix{$25x^{2}-40x + 16$}&
  \choix{$25x^{2} - 40x - 16$}
  \end{tabularx}
  

  \item {Soit $E$ l'expression $9x^{2} + 18x + 36$} \par \resetchoix
  \choix{On peut factoriser $E$ car il y a un facteur commun}

  \choix{On peut factoriser $E$ car on reconnaît une identité
    remarquable}

  \choix{Il est impossible de factoriser $E$}

  \item {Soient $a$ et $b$ deux nombres tels que : $(a-b)^{2} =
    64x^{2} + 32x + 4$. Alors:} \resetchoix
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$a=8x$ et $b = 2$} & 
  \choix{$a=8x$ et $b=-2$}\\
  \choix{$a=-8x$ et $b=-2$} & 
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM2corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. La forme factorisée de $(x-2)^{2} - 4$ est $x(x-4)$.

Remarquons tout d'abord que $x(x-4)$ est le seul produit proposé\ldots{} et qu'une forme factorisée doit être un produit ! Mais vérifions que la factorisation est correcte. 

D'abord, on remarque que $(x-2)^{2} - 4 = (x-2)^{2}-2^{2}$ (réponse \choix[c]\ldots{} mais la factorisation n'a pas encore eu lieu !). 

Ensuite, $(x-2)^{2} - 2^{2} = (x-2-2)(x-2+2)$ (en appliquant la 3\ieme{} identité remarquable). Ce qui donne, en réduisant les expressions qui sont entre chaque couple de parenthèses : $x(x-4)$. L'expression \choix[a] est en fait la forme développée et réduite de : \[(x-2)^{2} - 4.\]

\item Réponse \choix[b].$(5x-4)^{2} = 25x^{2} - 40x + 16$.

Il s'agit ici d'une application directe de la 2\ieme{} identité remarquable !

\begin{attention}
Le terme en $b^{2}$ est toujours précédé du signe \og{}$+$\fg dans la 
2\ieme{} identité remarquable. Par conséquent, la réponse \choix[c] 
est fausse.
\end{attention}

\item Réponse \choix[a]. On peut factoriser l'expression $9x^{2} + 18x + 36$ car il y a un facteur commun.

9, 18 et 36 sont tous les trois des multiples de 9, donc 9 est un facteur commun qui nous permet de factoriser cette expression sous la forme :
\[
9x^{2} + 18x + 36 = 9 \times x^{2} + 9 \times 2x + 9 \times 4 = 9(x^{2} + 2x + 4).
\]

\item Réponse \choix[b]. En effet,
\begin{align*}
\big(8x-(-2)\big)^2 & = (8x+2)^2\\
& = (8x)^2+2\times8x\times2+2^2\\
& = 64x^2+32x+4.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

\newpage

\sectionnn{Développements}
\enlargethispage*{2em}


%% EX3 (OLD A)

\begin{exo}{Calculs et développement}{Collège Janson de Sailly, 
Paris}{1}{10}
 $a$ et $b$ désignent deux nombres tels que $a+b = 8$ et $a \times b 
= 9$. 

Calculer les expressions suivantes :
\begin{questions}
\item $\text{A} = a\times (b+3)+3b$
\item $\text{B} = 4 \times a \times 7 \times b$
\item $\text{C} = 5b + 4 + 6(a+2) - (a+8)$
\item $\text{D} = 2b(5a-1) - (8-2b)$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item $\begin{aligned}[t]
         \text{A} & = a \times (b+3) + 3b \\
         & = a \times b + a \times 3  + 3b
        \end{aligned}$
        
On peut remplacer $a \times b$ par $9$ et on obtient :

$\text{A} = 9+3a+3b$.

Il faut ensuite penser à factoriser par $3$ pour retrouver $a+b$. 
Ainsi :

$\begin{aligned}[t]
         \text{A} & = 9 + 3(a+b)\\
         & = 9 + 3\times 8 \\
         & = 9 + 24 \\
         & = 33.
        \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
        \text{B} & = 4 \times a \times 7 \times b \\
        & = 4 \times 7 \times (a \times b) \\
        & = 28 \times 9 \\
        & = 252.
       \end{aligned}$
\item $\text{C} = 5b + 4 + 6(a+2) - (a+8)$.

On commence par développer et réduire l'expression donnée :

$\begin{aligned}[t]
  \text{C} & = 5b + 4 + 6a + 12 - a - 8 \\
  & = 6a - a + 5b + 4 + 12 - 8 \\
  & = 5a + 5b + 8 \\
  & = 5(a+b) + 8 \\
  & = 5 \times 8 + 8 \\
  & = 48.
 \end{aligned}$
 \item $\begin{aligned}[t]
         \text{D} & = 2b(5a-1) - (8-2b) \\
         & = 10ab - 2b - 8 + 2b \\
         & = 10ab - 8 \\
         & = 10 \times 9 - 8 \\
         & = 82.
        \end{aligned}$
 \end{questions}

\end{corrige}


%% EX4 (OLD B)

\begin{exo}{Développements simples et doubles}{Collège Chaptal, 
Paris}{1}{10}
Développer et réduire les expressions suivantes :
\begin{questions}
\item $\text{A} = 7(2x-8x^2+6)$
\item $\text{B} = (x+4)(x+5)$
\item $\text{C} = 5x-(6+3x)-(-9x-3)$
\item $\text{D} = (6x-7)(5-2x)$
\item $\text{E} = 4x(1-6x)-3(4+x-2x^2)$
\item $\text{F} = (1-6x)(x+9) - (5x+3)(-x+4)$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{multicols}{2}
  $\begin{aligned}[t]
   \text{A} & = 7(2x-8x^2 + 6) \\
    & = 7 \times 2x - 7\times 8x^2 + 7\times 6 \\
    & = 14x - 56x^2 + 42 \\
    & = -56x^2 + 14x + 42.
  \end{aligned}$
  
      $\begin{aligned}[t]
   \text{B} & = (x+4)(x+5) \\
    & = x \times x + x \times 5 + 4\times x + 4\times 5\\
    & = x^2 + 5x + 4x + 20 \\
    & = x^2 + 9x + 20.
  \end{aligned}$
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    $\begin{aligned}[t]
   \text{C} & = 5x - (6+3x) - (-9x-3) \\
    & = 5x - 6 - 3x + 9x  + 3 \\
    & = 11x - 3. \\
  \end{aligned}$

  
    $\begin{aligned}[t]
   \text{D} & = (6x-7)(5-2x) \\
    & = 6x \times 5 - 6x \times 2x - 7\times 5 + 7\times 2x\\
    & = 30x - 12x^2 - 35 + 14x \\
    & = -12x^2 + 44x - 35.
  \end{aligned}$
 \end{multicols}

 $\begin{aligned}[t]
   \text{E} & = 4x(1-6x) - 3(4+x-2x^2) \\
   & = 4x \times 1 - 4x \times 6x - 3 \times 4 - 3\times x + 3\times 
2x^2 \\
& = 4x - 24x^2 - 12 - 3x + 6x^2 \\
& = -18x^2 + x - 12.
  \end{aligned}$
  
  \Par
  
   $\begin{aligned}[t]
   \text{F} & = (1-6x)(x+9) - (5x+3)(-x+4) \\
   & = 1 \times x + 1\times 9 - 6x \times x - 6x\times 9 - [-5x\times 
x + 5x\times 4 - 3\times x+3\times 4] \\
& = x + 9 - 6x^2 - 54x - [-5x^2 + 20x - 3x + 12] \\
& = x + 9 - 6x^2 - 54x + 5x^2 - 20x + 3x - 12 \\
& = -x^2 - 70x - 3.
  \end{aligned}$

\end{corrige}


% EX5 (OLD 7)

\begin{exo}{\fontsize{12}{12}\selectfont Développements et identités 
remarquables}{Collège Jean 
Lolive, Pantin}{1}{10}
Utiliser les égalités remarquables pour développer chacune des 
expressions données :
\begin{questions}
\begin{multicols}{3}
\item $(4+x)^{2}$
\item $(2,5-2x)^2$
\item $(9x+2)^2$
\item $\left(\dfrac{x}{2}-1\right)\left(\dfrac{x}{2}+1\right)$
\item $(-x+1)^{2}$
\item $\left(2a+\dfrac{1}{3}\right)^2$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

% EX5corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $(4+x)^2 =4^2+2\times4\times x+x^2=16+8x+x^2$.
\item $(2,5-2x)^2=(2,5)^2-2\times2,5\times2x+(2x)^2=6,25-10x+4x^2$.
\item $(9x+2)^2=(9x)^2+2\times9x\times2=81x^2+36x+4$.
\item $\left(\dfrac{x}{2}-1\right)\left(\dfrac{x}{2}+1\right)=
\left(\dfrac{x}{2}\right)^2-1^2 =\dfrac{x^2}{4}-1$.
\item $(-x+1)^2=(-x)^2+2\times (-x)\times 1+1^2 =x^2-2x+1$.
\item $\left(2a+\dfrac{1}{3}\right)^2 = 
(2a)^2+2\times2a\times\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}
\right)^2=4a^2+\dfrac{4}{3}a+\dfrac{1}{9}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%% CALCULS AVEC DES IDENTITES REMARQUABLES

% EX6 (OLD 3)

\begin{exo}{Calculs astucieux}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{1}{5}
Calculer à l'aide d'une identité remarquable :
\[
\nombre{10010}^{2} -\nombre{9010}^{2}\qquad\text{et}\qquad 535,17^{2}-534,17^{2}.
\]
\end{exo}

% EX6corr

\begin{corrige}
On remarque ici que les deux calculs proposés sont des différences de deux carrés.  On reconnaît alors la forme développée de la 3\ieme{} identité remarquable.  On a alors, en factorisant :
\begin{align*}
\nombre{10010}^{2} - \nombre{9010}^{2} & =
  (\nombre{10010}-\nombre{9010})(\nombre{10010} + \nombre{9010})\\
  & =  \nombre{1000} \times \nombre{19020}\\
  & = \nombre{19020000}
\end{align*}
et :
\begin{align*}
535,17^{2} - 534,17^{2} & =  (535,17-534,17)(535,17+534,17)\\
  & = 1\times \nombre{1069,34}\\
  & = \nombre{1069,34}.
\end{align*}
\end{corrige}

% EX7 (OLD 4)

% \begin{exo}{Calculs numériques}{Collège La Guyonnerie, 
% Bures-sur-Yvette}{1}{7}
% 
% On considère les nombres $A$ et $B$ définis par :
% \begin{align*}
% \rm   A&=\nombre{123456789504}^2-\nombre{123456789503}\times \nombre{123456789505}\\
%   \text{B}&=\nombre{703892789}^2-\nombre{703892787}\times \nombre{703892791}
% \end{align*}
% \begin{questions}
% \item Peut-on calculer A et B avec une calculatrice ? 
% 
% Qu'affiche la calculatrice ?
% 
% \item \emph{Utilisation du calcul litt\'eral} : pour chacune des expressions A et B, appeler $x$ le premier nombre et exprimer les deux autres nombres en fonction de $x$.  Calculer alors les valeurs exactes de A et B.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX7corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item Les nombres contiennent trop de chiffres pour qu'on puisse les calculer avec une calculatrice habituelle : celle-ci ne peut pas retenir les $24$ chiffres significatifs apparaissant dans $\nombre{123456789504}^2$ par exemple. Elle n'en retiendra qu'une partie, et nous allons voir que ces erreurs d'arrondi peuvent donner des r\'esultats tr\`es diff\'erents du r\'esultat exact.  Avec une Casio Collège, par exemple, on trouve $\text{A}=0$ et $\text{B}=0$.
% 
% \item  On pose $x=\nombre{123456789504}$. On a alors, en développant :
% \begin{align*}
% \rm A&=x^2-(x-1)(x+1)\\
% &=x^2-(x^2-1)\\
% &=1.
% \end{align*}
% En posant $x=\nombre{703892789}$, on a de m\^eme :
% \begin{align*}
% \rm B&=x^2-(x-2)(x+2) \\
% &=x^2-(x^2-4)\\
% &=4.
% \end{align*}
% Ces résultats exacts sont très différents de ceux trouvés avec la calculatrice.
% \end{questions}
% \end{corrige}

% EX8 (OLD 5)

\begin{exo}{Calculs numériques}{Collège Saint-Joseph, Caudan}{1}{5}
\begin{questions}
\item Développer et réduire l'expression $(2x + 1)^{2} - (2x - 1)^{2}$.
\item En déduire le résultat de $\nombre{2001}^{2} - \nombre{1999}^{2}$.
\end{questions}
\end{exo}

% EX8corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On développe chaque produit à l'aide de deux identités
remarquables :
\begin{align*}
(2x+1)^{2}-(2x-1)^{2} & =\big[(2x)^{2}+2 \times 2x \times1+1^{2}\big]\\
&\qquad\qquad-\big[(2x)^{2}-2 \times 2x \times 1+1^{2}\big]\\
& = (4x^{2}+4x+1)-(4x^{2}-4x+1)\\
& = 4x^{2} + 4x + 1 - 4x^{2} + 4x -1\\
& = 8x.
\end{align*}

\item On remarque que $\nombre{2001}=2\times \nombre{1000}+1$ et que $\nombre{1999}=2\times \nombre{1000}-1$.  

Pour calculer $\nombre{2001}^{2}-\nombre{1999}^{2}$, il suffit donc
d'utiliser le résultat de la question précédente avec $x = 1000$.

On en déduit donc que : 
\begin{align*}
\nombre{2001}^{2}-\nombre{1999}^{2}&=8\times\nombre{1000}=\nombre{8000}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX9 (OLD C)

\begin{exo}{Identités à trous}{Collège Chaptal, Paris}{1}{5}
 Compléter les égalités remarquables suivantes :
 \begin{multicols}{2}
  \begin{questions}
   \item $(8-\ldots)^2 = \ldots - \ldots + x^2$
   \item $(\ldots+5x)^2 = 16 + \ldots + \ldots$
   \item $(7x-\ldots)(\ldots+\ldots) = \ldots-81$
   \item $(\ldots-2x)^2 = \ldots - 24x + \ldots$
  \end{questions}

 \end{multicols}

\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{2em}
 \begin{questions}
  \item On reconnaît la 2\ieme{} identité remarquable avec $a = 8$ et 
$b = x$. 

On a donc : $(8-\textcolor{red}{x})^2 = \textcolor{red}{64} 
- \textcolor{red}{16x} + x^2$. 
\item On reconnaît la 1\iere{} identité remarquable avec $a = 4$ (car 
$16 = 4^2$) et $b = 5x$. On a donc : $(\textcolor{red}{4} + 5x)^2 = 
16 + \textcolor{red}{40x} + \textcolor{red}{25x^2}$.
\item On reconnaît la 3\ieme{} identité remarquable avec $a = 7x$ et 
$b = 9$ 

(car~$81 = 9^2$). On a donc : $(7x - 
\textcolor{red}{9})(\textcolor{red}{7x} + \textcolor{red}{9}) = 
\textcolor{red}{49x^2} - 81$.
\item On reconnaît la 2\ieme{} identité remarquable avec $a = 6$ et 
$b = 2x$. En effet, comme $2ab = 24x$, en remplaçant $b$ par $2x$, on 
obtient : $a \times 4x = 24x$, soit $a = 6$. On a donc : 
$(\textcolor{red}{6} - 2x)^2 = \textcolor{red}{36} - 24x + 
\textcolor{red}{4x^2}$.
 \end{questions}

\end{corrige}



% % EX6
% 
% \begin{exo}{Calculs numériques}{Collège  Saint Bernard, Troyes}{1}{5}
% Deux nombres positifs $r$ et $s$ v\'erifient :
% \[r^2+s^2=208 \qquad \text{et} \qquad r\times s=58.\]
% \begin{questions}
% \item  Développer $(r+s)^2$ puis donner la valeur de $(r+s)^2$.
% \item  En déduire la valeur de $r+s$.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX6corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item $ (r+s)^2 =r^2+2rs+s^2 =(r^2+s^2)+2(r\times s)$.
% 
% On sait que :
% \[r^2+s^2=208 \qquad \text{et} \qquad r\times s=58\;,\]
% donc :
% \[
% (r+s)^2 = 208+2\times 58 = 208+116 =324.
% \]
% 
% \item Comme $r$ et $s$ sont positifs, $r+s$ est positif. Donc :
% \begin{align*}
% r+s&={\sqrt{(r+s)^2}}\\
% &={\sqrt {324}}\\
% & =18.
% \end{align*}
% \end{questions}
% \end{corrige}
% 
% % EX8
% 
% \begin{exo}{Simple et double distributivité}{Collège François Mauriac, Saint-Médard-en-Jalles}{1}{5}
% Développer, puis réduire les expressions suivantes :
% \begin{align*}
% \rm A&=(2a+3)(a-6) &
% \rm B&=2a(7a-8)-5a(-3a+2)
% \end{align*}
% \end{exo}
% 
% % EX8corr
% 
% \begin{corrige}
% $\begin{aligned}[t]
% \rm A&=(2a+3)(a-6) \\
% \rm A& = 2a\times a+2a\times(-6) +3\times a+3\times(-6) \\
% \rm A&=2a^2-12a+3a-18\\
% \rm A&  =2a^2-9a-18. \\[8pt]
% \rm B&=2a(7a-8)-5a(-3a+2)\\
% \rm B&=2a\times 7a-2a\times 8 -5a\times (-3a)-5a\times 2 \\
% \rm B&=14a^2-16a+15a^2-10a\\
% \rm B&=29a^2-26a.
% \end{aligned}$
% \end{corrige}
% 
% % EX9
% 
% \begin{exo}{Développements}{Collège Albert-Le-Grand, Bordeaux}{2}{7}
% Développer et réduire les trois expressions suivantes :
% \begin{questions}
% \item $\text{A}=2x-(x+7)^2$
% \item $\text{B}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{x}{2}+1\right)^2-\dfrac{3}{4}(x-1)(x+1)$
% \item $\text{C}=-(2x+2)^2+4(x-1)^2$
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX9corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item  D'abord, on développe :
% \[
% \text{A}=2x-(x+7)^{2}=2x-\left(x^2+2\times x\times 7 +7^2\right)
% \]
% (On a appliqué $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, avec $a=x$ et $b=7$.)
% 
% On effectue les calculs :
% \[\text{A}=2x-(x^2+14x+49).\]
% On enlève les parenthèses (ne pas oublier de changer le signe des termes à l'intérieur des parenthèses) :
% \[\text{A}=2x-x^2-14x-49.\]
% Il faut maintenant réduire, c'est-à-dire effectuer les additions possibles. Ici, il faut effectuer $2x-14x=-12x$ :
% \[
% \text{A}=(2x-14x)-x^2-49=-x^2 - 12x - 49.
% \]
% 
% \item  $\text{B}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{x}{2}+1\right)^{2}-\dfrac{3}{4}\left(x-1\right)\left(x+1\right)$.
% 
% Nous allons développer chacun des trois termes séparément :
% 
% \begin{itemize}
% \item $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}=x^2+2\times x\times\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=x^2+x+\dfrac{1}{4}$\\[4pt]
% \item $\left(\dfrac{x}{2}+1\right)^{2}=\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+2\times\dfrac{x}{2}\times1+1^2=\dfrac{x^2}{4}+x+1$\\[4pt]
% \item $\dfrac{3}{4}(x-1)(x+1)=\dfrac{3}{4}\big(x^2-1^2\big)=\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{3}{4}$
% \end{itemize}
% 
% Ainsi,
% \begin{align*}
% \rm B & = \left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right) - \left(\dfrac{x^2}{4}+x+1\right) - \left(\dfrac{3x^2}{4}-\dfrac{3}{4}\right) \\[6pt]
% \rm B & = x^2+x+\dfrac{1}{4} - \dfrac{x^2}{4}-x-1 - \dfrac{3x^2}{4}+\dfrac{3}{4}\\[6pt]
% \rm B&=\left(x^2-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{4}x^2\right)+(x-x)+\dfrac{1}{4}-1+\dfrac{3}{4}\\[6pt]
% \rm B& = (x^2-x^2)+(x-x)+(1-1)\\
% \rm B&=0.
% \end{align*}
% 
%     \item  $\begin{aligned}[t]
%  \rm   C&=-(2x+2)^{2}+4(x-1)^{2}\\
%  \rm   C&=-\big((2x)^2+2\times 2x\times 2+2^2\big)+4\big(x^2-2x+1^2\big) \\
%  \rm   C&=-\big(4x^2+8x+4\big)+4\big(x^2-2x+1\big) \\
%  \rm   C&=-4x^2-8x-4+4x^2-8x+4 \\
%  \rm   C&=\big(-4x^2+4x^2\big)-8x-8x-4+4\\
% \rm    C& =-16x.
%     \end{aligned}$
% \end{questions}
% \end{corrige}

\sectionnn{Factorisations}

% EX10 (OLD 10)

\begin{exo}{Factorisations diverses}{Collège Saint-Joseph, 
Marseille}{2}{15}
Factoriser autant que possible les huit expressions suivantes :
\begin{questions}
\item  $\text{A}=2(x-1)^2+(3x-3)$
\item  $\text{B}=(x+5)^2+(x+5)$
\item  $\text{C}=9+4x^2-12x$
\item  $\text{D}=-x^2+1$
\item  $\text{E}=4x^2-(x-3)^2$
\item  $\text{F}=16x^2+x+\displaystyle {1\over 64}$
\item  $\text{G}=(3x+1)^2-(2x+3)^2$
\item  $\text{H}=169x^2-4$
\end{questions}
\end{exo}

% EX10corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
    \item  $\begin{aligned}[t]
 \rm   A&=2(x-1)^{2}+(3x-3)\\
 \rm   &=2(x-1)^2+3(x-1)\\
  \rm  &=(x-1)[2(x-1)+3]\\
  \rm  &=(x-1)(2x-2+3)\\
  \rm  &=(x-1)(2x+1).
    \end{aligned}$

    \item  $\begin{aligned}[t]
   \rm     B&=(x+5)^{2}+(x+5)\\
   \rm & = (x+5)^2 + (x+5)\times 1 \\
  \rm      &=(x+5)[(x+5)+1]\\
   \rm   &=(x+5)(x+6).
      \end{aligned}$
     
\begin{attention}
 Lorsque le facteur commun est l'un des termes de l'expression, il 
ne 
faut pas oublier le \og $1$\fg{} dans les crochets.
\end{attention}

    \item  $\begin{aligned}[t]
     \rm   C&=9+4x^{2}-12x\\
    \rm    &=3^2-2\times (2x)\times 3+(2x)^{2}\\
    \rm   &=(3-2x)^2.
      \end{aligned}$
      
    On a appliqué $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, avec $a=3$ et $b=2x$.

    \item  $\begin{aligned}[t]
   \rm    D &=-x^{2}+1\\
   \rm     &=1^2-x^{2}\\
    \rm    &=(1-x)(1+x).
      \end{aligned}$
      
    On a appliqué $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, avec $a=1$ et $b=x$.

    \item $\begin{aligned}[t]
  \rm E &=4x^{2}-(x-3)^{2}\\
 \rm   &=(2x)^2-(x-3)^2\\
  \rm  &=[2x-(x-3)][2x+(x-3)]\\
  \rm  &=(2x-x+3)(2x+x-3)\\
 \rm   &=(x+3)(3x-3)\\
 \rm   &=3(x-1)(x+3).
    \end{aligned}$

    On a appliqué $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, avec $a = 2x$ et $b = 
x-3$.
    \item $\begin{aligned}[t]
 \rm   F&=16x^{2}+x+\frac{1}{64}\\
  \rm  &=(4x)^2+2\times 4\times {1\over  8}\times x+{\left( 1\over 
8\right)}^2\\
 \rm   &= \left(4x+{1\over 8}\right)^2.
    \end{aligned}$
    
    On a appliqué $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=4x$ et $\displaystyle 
 b={1\over 8}$.

    \item  $\begin{aligned}[t]
  \rm      G&=(3x+1)^{2}-(2x+3)^{2}\\
  \rm      &=\big[(3x+1)+(2x+3)\big] \big[(3x+1)-(2x+3)\big]\\
\rm & = (3x+1+2x+3)(3x+1-2x-3) \\
 \rm      &=(5x+4)(x-2).
      \end{aligned}$
      

    \item $\begin{aligned}[t]
  \rm      H&=169x^{2}-4\\
 \rm       &=(13x)^2-2^2\\
 \rm       &=(13x-2)(13x+2).
      \end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}

% EX11 (OLD 11)

\begin{exo}{Factorisations complexes}{Collège Louis Liard, Falaise}{3}{15}
Factoriser et réduire les expressions suivantes :
\begin{questions}
\item $\text{A}=(2x+1)^2+(2x+1)(x+3)+1-4x^2$
\item $\text{B}=4x-3+2(9-16x^2)+9-24x+16x^2$
\item $\text{C}=(x-3)(x^2-8)+4(x-3)$
\item $\text{D}=4x^2+12x+9-(x-5)^2$
\item $\text{E}=3x^2-3+(2x+5)(x-1)$
\end{questions}
\end{exo}

% EX11corr

\begin{corrige}
$\begin{aligned}[t]
 \rm   A&=(2x+1)^{2}+(2x+1)(x+3)+1-4x^{2}\\
\rm     &=(2x+1)^2+(2x+1)(x+3)+(1-2x)(1+2x)\\
\rm     &=(2x+1)[(2x+1)+(x+3)+(1-2x)]\\
\rm    &=(2x+1)(x+5).
\end{aligned}$

\Par

$\begin{aligned}[t]
 \rm   B &=4x-3+2(9-16x^{2})+9-24x+16x^{2}\\
 \rm    &=(4x-3)-2(4x-3)(4x+3)+(4x-3)^2\\
 \rm    &=(4x-3)[1-2(4x+3)+(4x-3)]\\
 \rm & = (4x-3)(1-8x-6+4x-3) \\
 \rm    &=(4x-3)(-4x-8)\\
 \rm    &=4(4x-3)(-x-2)\\
 \rm    & =-4(4x-3)(x+2).
\end{aligned}$

\Par

\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
  \rm  C&=(x-3)(x^{2}-8)+4(x-3)\\
  \rm  & = (x-3)(x^2-8+4)\\
 \rm    &=(x-3)(x^2-4)\\
  \rm   &=(x-3)(x-2)(x+2).
 \end{aligned}$
 

$\begin{aligned}[t] 
 \rm   D&=4x^{2}+12x+9-(x-5)^{2}\\
 \rm    &=(2x+3)^2-(x-5)^2\\
 \rm    &= [(2x+3)+(x-5)][(2x+3)-(x-5)]\\
 \rm & = (2x+3+x-5)(2x+3-x+5) \\
 \rm    & =(3x-2)(x+8).
\end{aligned}$
\end{multicols}

\vspace*{-15pt}

$\begin{aligned}[t]
\rm    E&=3x^{2}-3+(2x+5)(x-1)\\
\rm     &=3(x-1)(x+1)+(2x+5)(x-1)\\
\rm     &=(x-1) [3(x+1)+(2x+5)]\\
 \rm   &=(x-1)(5x+8).
\end{aligned}$
\end{corrige}

\sectionnn{Pour préparer le brevet}

%% EX12 (OLD D)

\begin{exo}{Programme de calcul}{Collège Chaptal, Paris}{1}{5}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1){\psframebox{\qrcode{https://scratch.mit.edu/projects/501914750}}}
On considère le programme de calcul qui suit.

%\textit{Retrouver ce programme Scratch en ligne avec le QR code ci-contre.}
\textit{Vous pouvez retrouver ce programme en tapant:}
\begin{center}\texttt{https://scratch.mit.edu/projects/501914750/}\end{center}
\enlargethispage{3em}

\vspace{-3pt} 
 \begin{scratch}
  \blockinit{quand \greenflag est cliqué}
  \blockmove{demander \ovalnum{Choisir un nombre} et attendre}
  \blockvariable{mettre \selectmenu{x} à \ovalmove{réponse}}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{x} à 
\ovaloperator{\ovalvariable{x}-\ovalnum{4}}}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{x} à 
\ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalvariable{x}}}
    \blockvariable{mettre \selectmenu{x} à 
\ovaloperator{\ovalvariable{x}+\ovalnum{12}}}
    \blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le nombre 
obtenu est} et \ovalvariable{x}}}
 \end{scratch}

 \begin{questions}
  \item \begin{questions}
   \item Effectuer le programme avec $7$.
   \item Effectuer le programme avec $-5$.
  \end{questions}
  \item Quelle conjecture peut-on faire ?
  \item Démontrer cette conjecture.
 \end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage{2em}
 \begin{questions}
  \item \begin{multicols}{2}
         \begin{questions}
         \item $\begin{aligned}[t]
                 & x = 7 \\
                 & 7-4 = 3 \\
                 & 3\times 3 = 9\\
                 & 9 + 12 = 21.
                \end{aligned}$
                
Le nombre obtenu est $21$.
\item $\begin{aligned}[t]
        & x = -5 \\
        & -5 - 4 = -9 \\
        & -9 \times 3 = -27 \\
        & -27 + 12 = -15.
                \end{aligned}$
                
Le nombre obtenu est $-15$.
         \end{questions}
        \end{multicols}
\item \begin{attention}
       Une \textit{conjecture} est une hypothèse élaborée à la suite 
de 
l'observation de plusieurs exemples. Il faut donc écrire une 
phrase du type : \og Il semble que\ldots\fg{}.
      \end{attention}
Il semble que ce programme de calcul affiche comme résultat le triple 
du nombre choisi au départ.
\item \begin{methode}
       Pour prouver cette conjecture, on doit démontrer que le 
résultat obtenu est le triple du nombre choisi, quel que soit le 
nombre choisi. Il ne faut surtout pas faire un exemple de plus. Pour 
prouver que c'est vrai, en général, il faut remplacer le nombre 
choisi au départ par une lettre.
      \end{methode}
On appelle $x$ le nombre choisi.
\begin{align*}
 & x \\
 & x-4 \\
 & (x-4) \times 3 = 3x - 12 \\
 & 3x - 12 + 12 = 3x
\end{align*}
Le nombre obtenu est $3x$. C'est bien le triple du nombre choisi.
 \end{questions}
\end{corrige}



% EX13 (OLD 12)

\begin{exo}{Développements et factorisations}{Collège Cocteau,  Maisons-Laffite}{1}{5}

On donne $\text{A} = \left(3x - 2\right)^{2} - (5x - 3)(3x - 2)$.
\begin{questions}
\item Développer et réduire A.
\item Factoriser et réduire A.
\item Calculer A pour $x = \dfrac{2}{3}$, puis pour $x=0$.
\end{questions}
\end{exo}

% EX13corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
  \rm   A & = (3x-2)^{2}-(5x-3)(3x-2)\\
  \rm   & = \left[(3x)^{2}-2 \times 3x \times 
2+2^{2}\right]-\left[5x\times 3x+5x \times (-2) \right.\\
    &\phantom{\left[(3x)^{2}-2 \times 3x \times 2+2^{2}\right]-5x\times 3x}\left.-3\times 3x - 3 \times (-2)\right]\\
\rm     & = (9x^{2}-12x+4)-(15x^{2}-10x-9x+6)\\
\rm     & = 9x^{2}-12x+4-15x^{2}+19x-6\\
\rm    & = -6x^{2}+7x-2.
  \end{aligned}$
  
\item $ \begin{aligned}[t]
 \rm    A & = (3x-2)^{2}-(5x-3)(3x-2)\\
\rm     & = (3x-2)(3x-2)-(5x-3)(3x-2)\\
\rm     & = (3x-2)\left[(3x-2)-(5x-3)\right]\\
 \rm    & = (3x-2)(3x-2-5x+3)\\
\rm     & = (3x-2)(-2x+1).
  \end{aligned}$
\item 
\begin{methode}
On peut utiliser l'expression que l'on veut pour effectuer les calculs 
demandés : forme développée, factorisée ou donnée par l'énoncé. On 
pourra choisir l'une d'elles en fonction de la valeur de $x$ que l'on 
doit prendre, afin de simplifier au maximum les calculs.
\end{methode}

\begin{itemize}
\item Pour $x=\dfrac{2}{3}$, on remarque que : 
\[ 3x=3\times\dfrac{2}{3}=2. \]
Ainsi, le premier facteur de l'expression factorisée est égal à $0$. C'est donc cette expression que nous allons choisir pour $x=\dfrac{2}{3}$ :
\begin{align*}
   \rm   A & = (3x-2)(-2x+1) = \left(3\times 
\frac{2}{3}-2\right)\left(-2\times
\rm        \frac{2}{3}+1\right)\\
\rm      & = (2-2)\left(-2\times \frac{2}{3}+1\right) = 0 \times 
\left(-2\times \frac{2}{3}+1\right) = 0.
\end{align*}
Vous remarquerez que nous n'avons pas pris la peine de calculer le deuxième facteur, sa valeur étant inutile\ldots{}

\item Pour $x=0$, on remarque que :
\[ 6x^{2}=6\times 0^{2}=0 \]
et :
\[ 7x=7\times 0=0. \]
Nous allons donc choisir l'expression développée et réduite : 
\begin{align*}
 \rm      A & = -6x^{2}+7x-2\\
 \rm      & = -6\times 0^{2}+7\times 0 -2\\
   \rm    & = 0+0-2\\
   \rm   & = -2.
\end{align*}
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

% EX14 (OLD 13)

\begin{exo}{Programme de calculs}{Collège Hoche, Versailles}{2}{10}
Choisir deux nombres entiers non nuls. Calculer le carré de leur
somme. Retrancher du nombre obtenu le carré de leur différence.
Diviser le nombre obtenu par le produit des deux nombres ~; quel
résultat trouve-t-on ?

Retrouve-t-on ce résultat quels que soient les deux nombres choisis ?

Expliquer.
\end{exo}

% EX14corr

\begin{corrige}
Choisissons par exemple les nombres $a=5$ et $b=2$.
\begin{itemize}
\item Calculer le carré de leur somme :\\ $(5+2)^2=7^2=49$.
\item Retrancher du nombre obtenu le carré de leur différence :\\ $49-(5-2)^2=49-3^2=49-9=40$.
\item Diviser le nombre obtenu par le produit des deux nombres :\\ $40\div(5\times2)=40\div10=4$.
\end{itemize}

Examinons maintenant ce qu'il se passe pour deux nombres $a$ et $b$ quelconques :
\begin{align*}
\rm A&={(a+b)^2-(a-b)^2\over ab}\\
\rm &={a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)\over ab}\\
\rm &={a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\over ab}\\
\rm &={4ab\over ab} \\
\rm &=4.
\end{align*}

On remarque alors que le résultat de ce programme de calcul est 
toujours égal à 4.
\end{corrige}

% % EX14
% 
% \begin{exo}{Calcul littéral et géométrie}{Collège Colette, Sartrouville}{2}{10}
% Soit $x$ un nombre positif. ABC est un triangle tel que $\text{AB} = 2x + 1$,\\
% $\text{AC} = 2x(x+1)$ et $\text{BC} = 2x(x + 1) + 1$. 
% 
% Démontrer que ABC est rectangle en A.
% \end{exo}
% 
% % EX14corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{methode}
% Pour démontrer qu'un triangle est rectangle quand on connaît les longueurs de ses trois côtés, on peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
% \end{methode}
% 
% Exprimons, en fonction de $x$, les carrés des trois côtés du triangle ABC :
% 
% \begin{multicols}{2}
% $\begin{aligned}[t]
% \rm   AB^{2}& =(2x+1)^{2}\\
%   & = (2x)^{2}+2\times 2x\times 1 + 1^{2}\\
%   & = 4x^{2}+4x+1.
% \end{aligned}$
% 
% $\begin{aligned}[t]
% \rm   AC^{2} & = \big[2x(x+1)\big]^{2}\\
%   & = (2x)^{2}(x+1)^{2}\\
%   & = 4x^{2}\big(x^{2}+2\times x \times 1+1^{2}\big)\\
%   & = 4x^{2}\big(x^{2}+2x+1\big)\\
%   & = 4x^{4}+8x^{3}+4x^{2}.
% \end{aligned}$
% \end{multicols}
% 
% 
% \newpage
% 
% \begin{align*}
% \rm   BC^{2} & = \big[2x\left(x+1\right)+1\big]^{2}\\
%   & = \left(\text{AC}+1\right)^{2}\\
%   & =\rm  AC^{2}+2\times AC+1^{2}\\
%   & = 4x^{4}+8x^{3}+4x^{2}+2\left(2x\right)\left(x+1\right)+1\\
%   & = 4x^{4}+8x^{3}+4x^{2}+4x\times x +4x \times 1 + 1\\
%   & = \underbrace{4x^{4}+8x^{3}+4x^{2}}_{=AC^2}+\underbrace{4x^{2}+4x+1}_{=\rm AB^2}\\
% \end{align*}
% Ainsi,
% \[
% \rm BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}.
% \]
% Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, quelle que soit la valeur positive de $x$, ABC est un triangle rectangle en A.
% \end{corrige}

% EX15 (OLD 15)

\begin{exo}{Démontrer à l'aide du calcul littéral}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{3}{15}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh2Ex14}}}

\vspace*{-15pt}

\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Programme de calculs}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh2Ex14}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}

\begin{questions}
\item Montrer que $4^{2} + 4 = 5^{2} - 5$, que $10^{2} + 10 = 11^{2} -11$ et que \\$15^{2} + 15 = 16^{2} - 16$.
\item Conjecturer un procédé général et le démontrer.
\item En déduire la valeur de $999^{2} + 999$.
\end{questions}
\end{exo}

% EX15corr

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh2Ex14}}} 

\vspace*{-20pt}
\begin{questions}
\item
\begin{methode}
Pour démontrer une égalité entre deux calculs, il faut effectuer chaque calcul séparément, et non écrire l'égalité dès le début de votre raisonnement.
\end{methode}
\[
4^{2} + 4 =16 + 4 = 20\qquad\text{et}\qquad 5^{2} - 5 = 25 - 5 = 20\;,
\]
donc on a bien $4^{2} + 4 = 5^2-5$.
\[ 10^{2} + 10 = 100 + 10 = 110 \]
\[ 11^{2} - 11 = 121 - 11 = 110 \]
donc on a bien $10^{2} + 10 =11^{2} - 11$.
\[ 15^{2} + 15 = 225 + 15 = 240 \]
\[ 16^{2} - 16 = 256 - 16 = 240 \]
donc on a bien $15^{2} + 15 =16^{2} - 16$.

\item 
\begin{attention}
Conjecturer signifie : \og{}énoncer une propriété qui semble vraie par rapport à ce que l'on voit sur plusieurs exemples \fg.
\end{attention}
Nous remarquons que sur les trois exemples proposés, les nombres \og 4 \fg{} et \og 5 \fg, \og 10 \fg{} et \og 11 \fg, et \og 15 \fg{} et \og 16 \fg{} sont des nombres entiers consécutifs.

Si on note $n$ le premier de ces nombres, le 2\ieme{} peut donc
s'écrire $n+1$.

Et on peut traduire chacune des égalités vérifiées dans la question 1 par :
\[
n^{2}+n=(n+1)^{2}-(n+1).
\]
Nous allons donc essayer de démontrer que, quel que soit l'entier
naturel $n$, on a toujours :
\[
n^{2}+n=(n+1)^{2}-(n+1).
\]
Nous allons pour cela développer et réduire l'expression de droite, en espérant trouver l'expression de gauche (c'est ce qui paraît le plus simple):
\begin{align*}
(n+1)^{2}-(n+1) &= n^{2}+2\times n\times 1+ 1^{2}-n-1\\
    & = n^{2}+2n+1-n-1\\
    & = n^{2} + n.
\end{align*}
L'égalité conjecturée est donc bien vraie, quelle que soit la valeur de $n$.

\item Nous allons utiliser l'égalité démontrée à la question 2 en
prenant \\$n=999$ :
\begin{align*}
    999^{2}+999&=(999+1)^{2}-(999+1)\\
    & = \nombre{1000}^{2}-\nombre{1000}\\
    & = \nombre{1000000}-\nombre{1000}\\
    & = \nombre{999000}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

% EX16 (OLD 16)

\begin{exo}{Calcul littéral et géométrie}{Collège Paul Bert, Chatou}{3}{15}
\begin{center}
\includegraphics{033_02_01}
\end{center}
\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item Dans la figure ci-dessus AEFG, AHIJ et ABCD sont des carrés.
\begin{questions}
\item Exprimer AH en fonction de $x$.
\item En déduire une expression de l'aire de AHIJ puis de l'aire de la partie colorée en fonction de $x$.
\end{questions}

\item Développer et réduire l'expression $K=(4-x)^{2}-4$.

\item Factoriser K.

\item Calculer K pour $x = 2$. Que traduit ce résultat pour la figure ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX16corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item ABCD est un carré et ${\rm AD}=4$, donc ${\rm AB}=4$. De plus, A, H et B étant alignés dans cet ordre, on a $\rm AH=AB-HB$ et donc
${\rm AH}=4-x$.

\item\label{ch2ex16q1b} AHIJ est un carré de côté ${\rm AH}=4-x$, donc son aire vaut:
\begin{align*}
\mathcal{A}_{\rm AHIJ} & = (4-x)^{2} \\
                   & = 4^{2}-2\times 4 \times x + x^{2}\\
                   & = 16-8x+x^2.
\end{align*}
L'aire de la partie colorée (que nous noterons $\mathcal{A}$) est la différence de l'aire de AHIJ et de celle de AEFG (qui est un carré de côté 2), donc on a :
\begin{align*}
\mathcal{A} & = \mathcal{A}_{\rm AHIJ}-\mathcal{A}_{\rm AEFG} \\
            & = 16-8x+x^2-2^2\\
            & = 12-8x+x^2.
\end{align*}
\end{questions}


\item\label{ch2ex16q2} $\begin{aligned}[t]
       \text{K}&=(4-x)^{2}-4
        =\big(4^2-2\times 4\times x + x^2\big)-4\\
       &=16-8x+x^2-4
       =12-8x+x^2.
      \end{aligned}$

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
	\text{K} &=(4-x)^{2}-4
        =(4-x)^{2}-2^{2}\\
        &=(4-x+2)(4-x-2) =(6-x)(2-x).
      \end{aligned}$

\Par

\item Si $x=2$, choisissons l'expression factorisée pour faire le calcul de K:
\begin{align*}
 \rm  K&=(6-x)(2-x)\\
   &=(6-2)(2-2)\\
   &=4\times 0 =0.
  \end{align*}
\end{questions}

D'après les résultats trouvés aux questions \ref{ch2ex16q1b} et \ref{ch2ex16q2}, K est l'aire de la partie colorée. Donc l'égalité ${\rm K}=0$ traduit le fait que la partie colorée n'existe plus quand $x=2$ (autrement dit, les points E, F et G sont alors respectivement confondus avec les points H, I et J).
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
