\setcounter{chapter}{2}
\chapter{\'Equations}
\label{chap:equations}

\begin{exointro}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{questions}
\item $(4x+12)(5x-30)=0$
\item $(2x-1)(3x+2)=(3x+2)(11x-1)$
\item $25x^2=36$
\end{questions}
\end{exointro}

\section{Résoudre une équation du premier degré à une\\ inconnue}

\begin{defin}[équation à une inconnue]
Une \emph{équation à une inconnue} est une égalité dans laquelle 
intervient un nombre dont on ne connaît pas la valeur. Ce nombre est 
désigné par une lettre qui est appelée l'\emph{inconnue} de 
l'équation.
\end{defin}


\begin{Exemple}
\og $5x-15$ \fg{} est une équation dont l'inconnue 
est~$x$.
\end{Exemple}

\begin{defin}[équation du premier degré]
On parle d'\emph{équation du premier degré} lorsque l'exposant de 
l'inconnue est $1$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
\og $3x+2 = 5x-2$\fg{} est une équation du premier degré à une 
inconnue.
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
on parle d'équation du second degré lorsque le plus grand exposant 
de 
l'inconnue est $2$. Par exemple : \og $x^2+ 7x = 0$\fg{} est une 
équation du second degré.
\end{Remarque}



\begin{defin}
Résoudre une équation, c'est déterminer la ou les valeurs possibles
de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie. Les valeurs obtenues 
s'appellent les \emph{solutions} de l'équation.
\end{defin}

\begin{Exemple}
reprenons l'équation $3x+2=5x-2$. Si $x=2$, alors:
\begin{itemize}
\item $3x+2=3\times2+2=6+2=8$;
\item $5x-2=5\times2-2=10-2=8$.
\end{itemize}
Les deux expressions littérales donnent le même nombre pour $x=2$,
donc $2$ est une solution de l'équation $3x+2=5x-2$.
\end{Exemple}

Pour résoudre une équation, on ne va pas tester plusieurs valeurs comme nous venons de le faire avec le nombre \og 2 \fg. Les propriétés suivantes vont nous permettre de déterminer toutes les solutions.

\begin{props}
\label{prop-equations}
Soient A et B deux nombres tels que $\rm A=B$, et soit $k$ un nombre quelconque. Alors,
\begin{itemize}
\item $\text{A}+k=\text{B}+k$\\
(on peut ajouter un même nombre de part et d'autre du signe \og $=$ \fg);
\item $\text{A}-k=\text{B}-k$\\
(on peut soustraire un même nombre de part et d'autre du signe \og $=$ \fg);
\item $\text{A}\times k = \text{B}\times k$\\
(on peut multiplier par un même nombre de part et d'autre du signe \og $=$ \fg);
\item si $k\neq0$, $\text{A}\div k = \text{B}\div k$\\
(on peut diviser par un même nombre non nul de part et d'autre du signe \og $=$ \fg).
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Exemple}
résolvons l'équation $2x + 1 = -3x + 7$.
\end{Exemple}

On va d'abord faire en sorte que les termes en $x$ soient tous dans le membre de gauche de l'équation. Pour cela, nous allons additionner $3x$ dans chaque membre de cette égalité :
\[2x + 1\ \textcolor{DR}{+\ 3x} = -3x + 7\ \textcolor{DR}{+\ 3x}, \]
ce qui donne, en réduisant chaque membre de l'équation :
\[5x + 1 = 7.\]
On va ensuite faire en sorte qu'il n'y ait que des termes en $x$
dans le membre de gauche. Il faut donc soustraire \og 1 \fg{} de chaque côté :
\begin{align*}
5x + 1\ \textcolor{DR}{-\ 1} &= 7\ \textcolor{DR}{-\ 1}, \\
5x &= 6.
\end{align*}
Enfin, on cherche à connaître $x$.

Pour cela, nous allons diviser chaque membre de l'égalité par \og 5 \fg :
\[ 
\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{5x}}{5}} = \textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{6}}{5}}\;, \qquad \text{ce qui donne :}\qquad x = \dfrac{6}{5}.
\]

\emph{Conclusion} : cette équation a une seule solution qui est le 
nombre $\dfrac{6}{5}$.

\enlargethispage*{2em}

\begin{anecdote}
Le symbole \og $=$ \fg{} a été imaginé au \textsc{xvi}\ieme{} siècle 
par le mathématicien anglais Robert Recorde qui disait : \og Si j'ai 
choisi une paire de parallèles, c'est parce qu'elles sont deux lignes 
jumelles, et que rien n'est plus pareil que deux jumeaux. \fg{}
\end{anecdote}

\begin{methode}
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue :
\begin{itemize}
\item on développe et on réduit les deux membres ;
\item on isole l'inconnue dans un des deux membres ;
\item on se ramène à une équation de la forme $ax=b$, avec $a$ non nul;
\item comme $a \neq 0$, alors $x = \dfrac{b}{a}$.
\end{itemize}
Donc l'équation admet une unique solution $\dfrac{b}{a}$.
\end{methode}



\section{Équations \og produit nul \fg}

\begin{defin}
Une équation \og produit nul \fg{} est une équation qui s'écrit sous la forme :
\[ 
(ax + b) (cx + d) = 0\;,
\] 
où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres donnés.
\end{defin}

Pour résoudre une équation \og produit nul \fg, on utilise la propriété suivante :

\begin{prop}
\label{produit-nul}
Un produit de facteurs est nul (c'est-à-dire égal à 0) si et seulement si l'un des facteurs est égal à 0.
\end{prop}

\begin{Remarque}
lorsque $a$ et $c$ sont non nuls, $(ax+b)(cx+d) = 0$ est une équation 
du second degré. Cette propriété va donc nous permettre de résoudre 
certaines équations du second degré.
\end{Remarque}


\begin{Exemple}
résolvons l'équation $(2x - 3) (6x - 4) = 0$.

On remarque d'abord qu'il s'agit bien d'une équation \og produit nul \fg.

Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des
facteurs est égal à 0.

Donc : 
\[2x - 3 = 0 \quad \text{ ou } \quad 6x - 4 = 0.\]
On va alors résoudre chacune de ces deux équations séparément en
utilisant les propriétés \ref{prop-equations} page \pageref{prop-equations}. 
\[
\begin{aligned}[t]
2x-3  &= 0& \text{ou} &  & 6x-4&=0\\
2x-3\ \textcolor{DR}{+\ 3} &=0\ \textcolor{DR}{+\ 3} & \text{ou} & 
&6x-4\ \textcolor{DR}{+\ 4}&=0\ \textcolor{DR}{+\ 4}\\
2x&=3 & \text{ou} && 6x& = 4\\
\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{2x}}{2}}&=\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{3}}{2}}  & \text{ou} && \textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{6x}}{6}}&=\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{4}}{6}}\\
x & =\frac{3}{2} &  \text{ou} &&   x &=\frac{2}{3}
\end{aligned}
\]

\Par

Cette équation admet donc deux solutions : les nombres $\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{2}{3}$. 
\end{Exemple}

\begin{attention}
Il faut donner les \emph{valeurs exactes} des solutions d'une 
équation. On peut donner l'écriture décimale d'une solution 
lorsqu'elle existe, c'est le cas ci-dessus pour la première solution 
car $\dfrac{3}{2} = 1,5$ mais on ne doit surtout pas arrondir lorsque 
la solution n'est pas un nombre décimal : pour la seconde solution, 
on doit donc garder $\dfrac{2}{3}$.
\end{attention}


\section{Équations du type x$^\text{2}$ = a}

\begin{defin}[rappel]
Soit $a$ un nombre positif ou nul.

On note $\sqrt{a}$ le nombre positif dont le carré est égal à $a$.
\end{defin}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\sqrt{36}=6$ car le carré de 6 est égal à 36 et 6 est positif.
\item $\sqrt{7}$ n'est pas un entier car il n'existe pas d'entier dont le carré est égal à 7.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\newpage

\begin{props}
\label{equation-carre}
\begin{itemize}
\item Si $a < 0$, l'équation $x^2 = a$ n'a aucune solution.
\item Si $a = 0$, l'équation $x^2 = a$ a une seule solution : le
nombre 0.
\item Si $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions : les
nombres $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item L'équation $x^2 = -3$ n'a aucune solution.
\item L'équation $x^2 = 3$ a deux solutions : $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{Remarque}
si on tape à la calculatrice $\sqrt{3}$, on voit qu'elle affiche un 
nombre dont la partie décimale est illimitée 
(\numprint{1,7320508075}\ldots). Ce nombre n'est donc pas décimal, 
c'est pourquoi \og $\sqrt{3}$\fg{} est sa valeur exacte. Il faudra 
donc garder cette écriture.
\end{Remarque}

\enlargethispage*{4em}
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $(4x+12)(5x-30)=0$ est une équation \og produit nul \fg{} donc pour la résoudre, on résout séparément les équations :\vspace*{-2ex}
\Par
\[
\begin{aligned}[t]
4x+12  &= 0& \text{ou} &  & 5x-30&=0\\[5pt]
4x+12\ \textcolor{DR}{-\ 12} &=0\ \textcolor{DR}{-\ 12} & \text{ou} & 
& 5x-30\ \textcolor{DR}{+\ 30}&=0\ \textcolor{DR}{+\ 30}\\[5pt]
4x & =-12 & \text{ou} && 5x & = 30\\[5pt]
\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{4x}}{4}}&=\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{-12}}{4}}  & \text{ou} && \textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{5x}}{5}}&=\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{30}}{5}}\\[5pt]
x & =-3 &  \text{ou} &&   x &=6
\end{aligned}
\]
\Par
Les solutions de l'équation $(4x+12)(5x-30)=0$ sont donc $-3$ et 6.

\item 
\begin{methode}
Pour résoudre une équation du second degré où le membre de droite 
n'est pas égal à 0, 
il faut \og tout mettre du même côté \fg{} afin de se ramener à une 
équation du type \og $\text{A}=0$ \fg, puis factoriser le membre de 
gauche.
\end{methode}

Dans l'équation \og $(2x-1)(3x+2) = (3x+2)(11x-1)$\fg{}, nous allons 
soustraire $(3x+2)(11x-1)$ à droite et à gauche pour obtenir :\vspace*{-1ex}
\Par
\begin{align*}
(2x-1)(3x+2)\ \textcolor{red}{-\ (3x+2)(11x-1)} = 0.
\end{align*}
\vspace*{-2em}
\BreakWithoutItem
%Factorisons maintenant le membre de gauche (voir paragraphe 4 du\linebreak chapitre~2 page \pageref{chap:developpements}). 
En mettant $(3x+2)$ en facteur, nous obtenons :
\begin{align*}
(3x+2)[(2x-1)-(11x-1)] = 0 \\
(3x+2)[2x-1-11x+1] = 0 \\
(3x+2)(-9x) = 0
\end{align*}
%\vspace*{-3em}
%\BreakWithoutItem

L'équation obtenue est alors une équation \og produit nul \fg; nous 
pouvons donc utiliser la propriété \ref{produit-nul} page 
\pageref{produit-nul} :

\[
\begin{aligned}[t]
3x+2  &= 0& \text{ou} &  & -9x&=0\\[5pt]
3x+2\textcolor{DR}{-2} &=0\textcolor{DR}{-2} & \text{ou} & & -9x&=0\\[5pt]
3x & =-2 & \text{ou} && -9x & = 0\\[5pt]
\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{3x}}{3}}&=\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{-2}}{3}}  & \text{ou} && \textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{-9x}}{-9}}&=\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{0}}{-9}}\\[5pt]
x & =-\dfrac{2}{3} &  \text{ou} &&   x &=0
\end{aligned}
\]

Les solutions de l'équation sont donc $-\dfrac{2}{3}$ et 0.

\item L'équation $25x^2=36$ peut aussi s'écrire:

\[
\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{25x^2}}{25}}=\textcolor{DR}{\frac{\textcolor{black}{36}}{25}}\qquad\text{d'où :}\qquad x^2=\dfrac{36}{25}.
\]

Ainsi, d'après les propriétés \ref{equation-carre} page \pageref{equation-carre}, 

\[
x=\sqrt{\dfrac{36}{25}}=\dfrac{6}{5}\text{ car }\left(\dfrac{6}{5}\right)^2=\dfrac{36}{25}\qquad\text{ou}\qquad x=-\sqrt{\dfrac{36}{25}}=-\dfrac{6}{5}.
\]

Les solutions de l'équation sont donc $\dfrac{6}{5}$ et $-\dfrac{6}{5}$.
\vspace*{-1em}
\end{questions}
\end{solintro}
