\thumb
\begin{qcm}{Solution(s) d'une équation}{5}\label{ch3qcm1}
Pour chacune des propositions, choisir la ou les réponse(s)
correcte(s). 

Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item{L'équation $2x + 10 = 2 (x + 5)$ :} \par \resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{n'a aucune solution}&
\choix{a une seule solution}\\
\choix{a une infinité de solutions}
\end{tabularx}

\item{$\sqrt{3}$ est une solution de l'équation :} \par \resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{$\dfrac{x}{\sqrt{3}}=0$} &
\choix{$2x^2 = 6$}&
\choix{$x^2 + 3 = 0$}
\end{tabularx}

\item{L'équation $x^2+2x+1 = 0$ :}\par \resetchoix
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{n'a aucune solution}&
  \choix{admet $-1$ comme solution}\\
  \choix{admet $1$ pour solution}
  \end{tabularx}
  
\item{L'équation $81x^2 = -100$ :}\par \resetchoix
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{n'a aucune solution}&
  \choix{admet une solution}\\
  \choix{admet deux solutions}
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM1corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. L'équation $2x + 10 = 2(x+5)$ a une infinité de solutions.

Si on développe le membre de droite de cette égalité, on obtient l'égalité $2x + 10 = 2x + 10$, qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de $x$ !

\item Réponse \choix[b]. $\sqrt{3}$ est une solution de l'équation $2x^2=6$.

\begin{methode}
Pour montrer qu'un nombre est solution d'une équation, il suffit de remplacer $x$ par ce nombre et vérifier que l'égalité est vraie.
\end{methode}

Si $x = \sqrt{3}$ :
\[
\dfrac{x}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1
\]
et :
\[
x^{2} + 3 = \left(\sqrt{3}\right)^{2} + 3 = 3 + 3 = 6\;,
\]
donc $\sqrt{3}$ n'est ni une solution de $\dfrac{x}{\sqrt{3}}=0$  (réponse \choix[a]), ni une solution de $x^{2}+3 = 0$ (réponse \choix[c]).

En revanche, si $x=\sqrt{3}$ :
\[
2x^2 = 2\big(\sqrt{3}\big)^2 = 2\times3 = 6.\] 

Donc $\sqrt{3}$ est bien une solution de l'équation $2x^2 = 6$.

\item Réponse \choix[b]. L'équation $x^2+2x+1=0$ admet $-1$ pour solution.

En effet, si $x=1$, $x^2+2x+1=1^2+2\times1+1=1+2+1=4\neq0$. Donc 1 n'est pas solution de l'équation $x^2+2x+1=0$.

Si $x=-1$, $x^2+2x+1=(-1)^2+2\times(-1)+1=1-2+1=0$, donc $-1$ est solution de l'équation $x^2+2x+1=0$.

Comme l'équation admet $-1$ comme solution, la proposition \choix[a] est fausse.

\item Réponse \choix[a]. L'équation $81x^2 = -100$ n'a aucune solution.

En effet, $x^2$ est positif (comme tout carré) donc $81x^2$ aussi. Par conséquent, $81x^2$ ne peut pas être égal à un nombre négatif (ici, $-100$).
\end{questions}
\end{corrige}

% VF2

\begin{vf}{Tester ses connaissances}{3}\label{ch3vf2}
Répondre par \og vrai \fg{} ou \og faux \fg{} aux affirmations suivantes. Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item $- 5$ est une solution de l'équation $x-9 = -3x +1$.
\item Une équation a toujours au moins une solution.
\item Pour résoudre l'équation $x (x + 1) = 2 x$, je peux diviser chaque membre de l'égalité par $x$.
\item Si $100x^2 = \numprint{1000}$ alors $x = 10$.
\end{questions}
\end{vf}

% VF2corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. En effet, pour savoir si le nombre proposé (ici, $-5$) est une solution de l'équation considérée, il suffit de remplacer $x$ par ce nombre (donc ici, par $-5$) dans chaque membre de l'équation. 

On obtient ici pour $x=-5$ :
\[
\begin{aligned}[t]
    x-9 &= -5 - 9 \\
        &= -14
  \end{aligned}\qquad\text{et}\qquad
  \begin{aligned}[t]
   -3x+1 &= -3\times(-5) + 1 \\
         &= 15+1 = 16.
  \end{aligned}
\]
Les deux résultats obtenus sont différents donc $-5$ n'est pas une solution de l'équation $x-9 = -3x+1$.

\item \emph{Faux}. Il existe des équations qui n'ont aucune solution. Considérons par exemple l'équation $x^{2}=-3$. Il n'existe aucun nombre dont le carré est égal à $-3$. Cette équation n'a donc aucune solution.

\item \emph{Faux}. On n'a le droit de diviser chaque membre de l'égalité que par un  nombre différent de 0\ldots{} Or, nous ne connaissons pas la valeur de $x$ ! Il faut donc procéder autrement, en développant le membre de gauche, par exemple, puis en soustrayant $2x$ dans chaque membre.

\item \emph{Faux}. $100x^2 = \numprint{1000}$, donc $x^2 = 10$, donc 
$x = \sqrt{10}$ ou $x = -\sqrt{10}$. 

Donc $10$ n'est pas une solution 
de cette équation.
\end{questions}
\end{corrige}

% VF3

\begin{vf}{Mise en équation}{5}\label{ch3vf3}
Répondre par \og vrai \fg{} ou \og faux \fg{} aux affirmations suivantes. Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item Dans $7$ ans, l'âge de mon père sera le triple de mon âge actuel. 

Si $x$ est mon âge actuel, l'âge actuel de mon père est $3x+7$.
   
\item Si j'ajoute $5$ à un nombre $x$, j'obtiens la moitié du carré
de la somme de $x$ et de $1$. Les solutions de ce problème 
vérifient l'équation $x+5 = \dfrac{x^2}{2}+1$.

\item Le double de l'aire d'un carré de côté $x$ est égal au quadruple 
de $x$ diminué de 2. Les solutions de ce problème vérifient 
l'équation\linebreak$(x-1)^2=0$.
\end{questions}
\end{vf}

% VF3corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. Si $x$ est mon âge actuel, dans 7 ans, d'après l'énoncé, l'âge de mon père sera le triple de mon âge actuel, donc sera égal à $3x$. 

Ainsi, l'âge actuel de mon père est $3x-7$.

\item \emph{Faux}. Si j'ajoute $5$ à un nombre $x$, j'obtiens $x+5$.

La somme de $x$ et de 1 est : $x+1$ ; le carré de cette somme est donc : $(x+1)^2$, et donc sa moitié est : $\dfrac{(x+1)^2}{2}$.

Ainsi, dire qu'en ajoutant 5 à $x$ j'obtiens la moitié du carré de la somme de $x$ et de 1 signifie que $x+5=\dfrac{(x+1)^2}{2}$.

\item \emph{Vrai}. Le quadruple de $x$ est égal à $4x$. Diminué de 2, il devient $4x-2$.

L'aire du carré de côté $x$ est égale à $x^2$ ; donc son double est $2x^2$.

Le double de l'aire du carré est égal au quadruple de $x$ diminué de 2 s'écrit alors : $2x^2=4x-2$, soit $2x^2-4x+2=0$. En divisant tous les termes par 2, on obtient : $x^2-2x+1=0$. Le membre de gauche est une identité remarquable et l'équation s'écrit alors : $(x-1)^2=0$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

\sectionnn{Résolution d'équations du premier degré}

% EX4

\begin{exo}{\'Equations avec et sans fractions}{Collège Jean Cocteau, Maisons-Laffitte}{1}{5}\label{ch3ex4}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{questions}
\item $3x-4=2+4x$
\item $9-3x=-43$
\item $\dfrac{1}{2}x-3=-1$
\item $\dfrac{5-3x}{2}=\dfrac{2x-1}{3}$
\end{questions}
\end{exo}

% EX4corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $  \begin{aligned}[t]
    3x - 4 &= 2 + 4x\\
    3x - 4x - 4 & = 2 + 4x - 4x\\
    -x - 4 & = 2\\
    -x -4 + 4 &= 2 + 4\\
    -x &= 6\\
    x &= -6
  \end{aligned}$
  
  La solution de $3x - 4 = 2 + 4x$ est $-6$.
\item $
  \begin{aligned}[t]
    9 - 3x &= -43\\
    9 - 3x - 9 &=  -43 - 9\\
    -3x & = -52\\
    x & = \dfrac{-52}{-3} = \dfrac{52}{3}
  \end{aligned}$
  
  La solution de $9-3x = -43$ est $\dfrac{52}{3}$.
\item $
  \begin{aligned}[t]
    \dfrac{1}{2}x - 3 &= -1\\
    \dfrac{1}{2}x - 3 + 3 &= -1 + 3\\
    \dfrac{1}{2}x &= 2\\
    \dfrac{1}{2}x \times 2 &= 2 \times 2\\
    x &= 4
  \end{aligned}$
  
  La solution de $\dfrac{1}{2} x - 3 = -1$ est 4.
  
\item Pour résoudre l'équation $\dfrac{5-3x}{2} = \dfrac{2x - 1}{3}$, il faut d'abord se \og{}débarrasser\fg{} des dénominateurs.

\begin{methode}
 Lorsque que deux quotients sont égaux, alors les produits en croix 
sont égaux. Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $a \times d = 
b\times c$.
\end{methode}
Pour résoudre cette équation, on effectue les produits en croix et on 
obtient :
\[3(5-3x)=2(2x-1)\]
puis on développe chaque produit : 
\[15 - 9x = 4x - 2\]
Il ne nous reste plus alors qu'à résoudre cette équation :
\begin{align*}
    15 - 9x - 15 & = 4x -2 - 15\\
    -9x & = 4x - 17\\
    -9x -4x & = 4x - 17 - 4x\\
    -13x & = -17\\
    x & = \frac{-17}{-13}\\
    x& = \frac{17}{13}
\end{align*}
La solution de $\dfrac{5 - 3x}{2} = \dfrac{2x -1}{3}$ est $\dfrac{17}{13}$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX5

\begin{exo}{\'Equation avec fractions}{Collège Jean-Baptiste Say, Paris}{2}{5}\label{ch3ex5}
Résoudre l'équation suivante :
\[ \frac{2x - 3}{2} - \frac{x-1}{3} = x - \frac{1}{2}\]
\end{exo}

% EX5corr

\begin{corrige}
Pour résoudre l'équation $\dfrac{2x-3}{2} - \dfrac{x-1}{3} = 
x-\dfrac{1}{2}$, on met tous les termes sous le même dénominateur, 
puis on multiplie les deux membres par ce dénominateur commun, ce qui 
permet de supprimer les dénominateurs.

Ici, le dénominateur commun est $6$. On a donc :
\[\dfrac{3(2x-3)}{6} - \dfrac{2(x-1)}{6} = \dfrac{6x}{6} - 
\dfrac{3}{6}\]
En multipliant les deux membres de l'équation par $6$, on obtient 
alors :
\begin{align*}
3(2x-3)-2(x-1) &= 6x - 3 \\
6x-9-2x+2 & = 6x-3
\end{align*}
On regroupe alors tous les termes en $x$ d'un côté et tous les nombres de l'autre :
\begin{align*}
6x-2x-6x & = -3+9-2\\
-2x & = 4 \\
\dfrac{-2x}{-2} & = \dfrac{4}{-2}\\
x & = -2
\end{align*}

La solution de l'équation $\dfrac{2x - 3}{2} - \dfrac{x-1}{3} = x - 
\dfrac{1}{2}$ est donc $-2$.
\newpage
\end{corrige}

\sectionnn{\'Equations \og produit nul \fg}

% EX6

\begin{exo}{Développement et factorisation}{Collège Saint-Joseph, Caudan}{1}{5}\label{ch3ex6}
On considère l'expression $\text{G}=(3x+1)^{2}+(2x-3)(3x+1)$.
\begin{questions}
\item Développer et réduire G.
\item Factoriser G.
\item Résoudre $\text{G} = 0$.
\end{questions}
\end{exo}

% EX6corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\rm \text{G} & = (3x + 1)^2 + (2x-3)(3x + 1)\\
    & = (9x^{2} + 6x + 1) + (6x^{2} + 2x - 9x - 3)\\
    & = 9x^{2} + 6x + 1 + 6x^{2} - 7x - 3\\
    & = 15x^{2} - x -2
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\rm    \text{G} & = (3x + 1)^{2} + (2x - 3)(3x + 1)\\
    & = (3x + 1)(3x + 1) + (2x - 3)(3x + 1)\\
    & = (3x + 1)\left[(3x + 1) + (2x - 3)\right]\\
    & = (3x + 1)(3x + 1+ 2x - 3)\\
    & = (3x + 1)(5x - 2)
  \end{aligned}$

\item
\begin{methode}
Pour résoudre $\text{G} = 0$, on préférera l'expression factorisée 
obtenue à 
la question 2 afin d'avoir une équation \og produit nul \fg{} que 
nous savons résoudre : $(3x + 1)(5x - 2) = 0$.
\end{methode}
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul, donc:
\[
\begin{aligned}[t]
3x + 1 &= 0  & \text{ou} & & 5x -2 &= 0\\
3x &= -1  & \text{ou} & & 5x &= 2\\
x &= -\frac{1}{3}  & \text{ou} & & x &= \frac{2}{5}
\end{aligned}
\]
Cette équation a donc deux solutions : $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{2}{5}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EXA

\begin{exo}{\'Equations diverses}{Collège Chaptal, Paris}{2}{18}
 Résoudre les équations suivantes :
 \begin{multicols}{2}
  \begin{questions}
   \item $(x+3)(x-4) = 0$
   \item $11x^2 - 2x = 0$
   \item $6x(-2x-1)(3x+7) = 0$
   \item $x^2 - 14x + 49 = 0$
   \item $(x+3)^2 = 5(x+3)$
   \item $(x+7)^2 = (2x+5)^2$
  \end{questions}

 \end{multicols}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{methode}
  Dans cet exercice, il n'y a que des équations de degré supérieur ou 
égal à $2$. Pour les résoudre, on va donc les écrire sous la forme 
d'équations \og produit nul\fg, à moins que ce ne soit déjà le cas comme par exemple à la question 1.
 \end{methode}
\begin{questions}\enlargethispage*{2em}
 \item $(x+3)(x-4) = 0$. On reconnaît une équation \og produit 
nul\fg{}. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des 
facteurs est égal à $0$.

On a donc :
\[  \begin{aligned}[t]
    x+3 &= 0 & \text{ ou } & &x-4 &=0\\
    x & =-3 & \text{ ou } & &x &=4
  \end{aligned}\]
  L'équation a pour solutions $-3$ et $4$.
  \item $11x^2 - 2x = 0$.
  
  Le membre de gauche n'est pas un produit, il faut donc d'abord le 
factoriser. On repère le facteur commun aux deux termes, $x$, et on 
obtient :

$x(11x-2) = 0$.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs 
est égal à $0$. On a donc :
\[  \begin{aligned}[t]
    x &= 0 & \text{ ou } & &11x-2 &=0\\
    x & =0 & \text{ ou } & &11x &=2 \\
    x &=0 & \text{ ou } & & x &=\dfrac{2}{11}.
  \end{aligned}\]
  L'équation a pour solutions $0$ et $\dfrac{2}{11}$.
  \item $6x(-2x-1)(3x+7) = 0$
  
  Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs 
est égal à $0$. On a donc :
\[  \begin{aligned}[t]
    6x &= 0 & \text{ ou } & &-2x-1&=0& \text{ ou } & & 3x+7 & = 0\\
    x & =0 & \text{ ou } & &-2x &=1 & \text{ ou } & & 3x & =-7 \\
    x &=0 & \text{ ou } & & x &=-\dfrac{1}{2}& \text{ ou } & & x & = 
-\dfrac{7}{3}.
  \end{aligned}\]
  L'équation a pour solutions $0$ ; $-\dfrac{1}{2}$ et 
$-\dfrac{7}{3}$.
\item $x^2 - 14x + 49 = 0$.

Il faut factoriser le membre de gauche, on reconnaît la 2\ieme{} 
identité remarquable. On a donc :

$\begin{aligned}[t]
  x^2 - 2 \times x \times 7 + 7^2 & = 0 \\
  (x-7)^2 & = 0 \\
  (x-7)(x-7) & = 0 \\
  x-7 & = 0 \\
  x & = 7.
 \end{aligned}$
 
L'équation a pour solution $7$.
\item $(x+3)^2 = 5(x+3)$.

Nous allons soustraire $5(x+3)$ dans les deux membres pour obtenir 
$0$ dans le membre de droite :

$\begin{aligned}[t]
  (x+3)^2 - 5(x+3) & = 5(x+3)-5(x+3) \\
  (x+3)^2 - 5(x+3) & = 0.
 \end{aligned}$
 
 On factorise le membre de gauche en reconnaissant le facteur commun 
aux deux termes $(x+3)$ :

$\begin{aligned}[t]
  (x+3)[(x+3)-5] & = 0 \\
  (x+3)(x-2) & = 0.
 \end{aligned}$
 
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs 
est égal à $0$. On a donc :
\[  \begin{aligned}[t]
    x+3 &= 0 & \text{ ou } & &x-2 &=0\\
    x & =-3 & \text{ ou } & &x &=2.
  \end{aligned}\]
  L'équation a pour solutions $-3$ et $2$.
  \item $\begin{aligned}[t]
          (x+7)^2 & = (2x+5)^2 \\
          (x+7)^2 - (2x+5)^2 & = (2x+5)^2 - (2x+5)^2 \\
          (x+7)^2 - (2x+5)^2 & = 0.
         \end{aligned}$
         
On factorise le membre de gauche en reconnaissant la 3\ieme identité 
remarquable, ainsi on obtient :

$\begin{aligned}[t]
  [(x+7)+(2x+5)][(x+7)-(2x+5)] & = 0 \\
  (x+7+2x+5)(x+7-2x-5) & = 0 \\
  (3x+12)(-x+2) & = 0.
 \end{aligned}$
 
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs 
est égal à $0$. On a donc :
\[  \begin{aligned}[t]
    3x+12 &= 0 & \text{ ou } & &-x+2 &=0\\
    3x & =-12 & \text{ ou } & &-x &=-2 \\
    x & =-\dfrac{12}{3} = -4 & \text{ ou } & &x &=2 \\
  \end{aligned}\]
L'équation a pour solutions $-4$ et $2$.
\end{questions}

\end{corrige}


% EX7

\begin{exo}{Avec factorisations}{Collège Saint-Louis de Gonzague, Paris}{2}{5}\label{ch3ex7}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{questions}
\item $(5x+4)^{2}+(5x+4)(7x-2)=0$
\item $(5x-1)(x+3)-(5x-1)^{2}=0$
\end{questions}
\end{exo}

% EX7corr

\begin{corrige}
\begin{methode}
Il ne faut surtout pas développer et réduire le membre de gauche des équations de cet exercice : vous obtiendriez des équations du
2\ieme degré que vous ne savez pas résoudre. En revanche, en
observant chacune de ces équations, on remarque qu'il est possible
de factoriser le membre de gauche. On va obtenir ainsi des équations \og produit nul \fg.
\end{methode}

\begin{questions}
\item $
  \begin{aligned}[t]
    (5x+4)^{2}+(5x+4)(7x-2) & = 0\\
    (5x+4)(5x+4)+(5x+4)(7x-2) & = 0\\
    (5x+4)\left[(5x+4)+(7x-2)\right] & = 0\\
    (5x+4)(5x+4+7x-2) & = 0\\
    (5x+4)(12x+2) & = 0
  \end{aligned}$

Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul, donc:
  \[
  \begin{aligned}[t]
    5x+4&=0\\
    5x &= -4\\
    x&=-\frac{4}{5}
  \end{aligned}\quad \text{ ou }\quad
  \begin{aligned}[t]
    12x + 2 &= 0\\
    12x&= -2\\
    x&=-\frac{2}{12}=-\frac{1}{6}
  \end{aligned}
  \]
L'équation $(5x+4)^{2}+(5x+4)(7x-2)=0$ a deux solutions : \mbox{$-\dfrac{4}{5}$ et $-\dfrac{1}{6}$}.

\item $  \begin{aligned}[t]
    (5x-1)(x+3)-(5x-1)^{2}&=0\\
    (5x-1)\left[(x+3)-(5x-1)\right]&=0\\
    (5x-1)(x+3-5x+1)&=0\\
    (5x-1)(-4x+4)&=0
  \end{aligned}$

Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul, donc:
  \[
  \begin{aligned}[t]
    5x-1 &= 0 & \text{ ou } & &-4x+4 &=0\\
    5x&=1 & \text{ ou } & &-4x &=-4\\
    x&=\frac{1}{5} & \text{ ou } & & x & =1 
  \end{aligned}
  \]
Cette équation a deux solutions : $\dfrac{1}{5}$  et 1.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX8

\begin{exo}{Encore avec factorisations}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{2}{5}\label{ch3ex8}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{questions}
\item $(x+1)(x+2)+3(x^2-1)=0$
\item $(2x-4)(3-5x)+(x-2)(8x+1)=0$
\end{questions}
\end{exo}

% EX8corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Nous reconnaissons dans cette équation une identité remarquable 
:\\ $x^2-1=(x+1)(x-1)$. L'équation devient donc :
\begin{align*}
(x+1)(x+2)+3(x+1)(x-1)&=0\\
(x+1)\big[(x+2)+3(x-1)\big]&=0\\
(x+1)(x+2+3x-3)&=0\\
(x+1)(4x-1)&=0
\end{align*}
Nous obtenons ainsi une équation \og produit nul \fg, et donc :
  \[
  \begin{aligned}[t]
    x+1 &= 0 & \text{ ou } & &4x-1 &=0\\
    x &=-1 & \text{ ou } & &4x &=1\\
    x&=-1 & \text{ ou } & & x & =\dfrac{1}{4} 
  \end{aligned}
  \]
L'équation $(x+1)(x+2)+3(x+1)(x-1)=0$ admet donc pour solutions $-1$ 
et $\dfrac{1}{4}$.
\newpage
\item On cherche à factoriser l'expression de gauche. On remarque alors que $2x-4=2(x-2)$ donc l'équation s'écrit :
\begin{align*}
2(x-2)(3-5x)+(x-2)(8x+1) & =0\\
(x-2)\big[2(3-5x)+(8x+1)\big] & =0\\
(x-2)(6-10x+8x+1) & =0\\
(x-2)(-2x+7) & =0
\end{align*}
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul, donc :
  \[
  \begin{aligned}[t]
    x-2 &= 0 & \text{ ou } & &-2x+7 &=0\\
    x &=2 & \text{ ou } & &-2x &=-7\\
    x&=2 & \text{ ou } & & x & =\dfrac{7}{2} 
  \end{aligned}
  \]
L'équation admet donc pour solutions $2$ et $\dfrac{7}{2}$.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{\'Equations x$^\text{2}$ = a}

% EX10

\begin{exo}{Application des propriétés}{Collège Edmond 
Michelet, Arpajon}{1}{5}\label{ch3ex9}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{questions}
\item $x^2=100$
\item $x^2=81$
\item $x^2=-9$
\item $25x^2=125$
\end{questions}
\end{exo}

% EX10corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $x^2=100$ donc $x=\sqrt{100}=10$ ou $x=-\sqrt{100}=-10$.
\item $x^2=81$ donc $x=\sqrt{81}=9$ ou $x=-\sqrt{81}=-9$.
\item $x^2=-9$ : il n'y a aucune solution à cette équation car un carré est toujours positif. Or, $-9$ est négatif donc il n'existe pas de valeur de $x$ telles que $x^2=-9$.
\item $25x^2=125$ donc $x^2=\dfrac{125}{25}$, soit $x^2=5$.

Ainsi, $x=\sqrt{5}$ ou $x=-\sqrt{5}$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX10

% \begin{exo}{Quand ça se complique...}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{3}{10}\label{ch3ex10}
% Résoudre les équations suivantes.
% \begin{questions}
% \item $(x-1)^2=16$
% \item $(x-2)^2-3=0$
% \item $\big(x^2-1\big)^2=25$
% \item $\big(x^2+2\big)^2=36$
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX10corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{methode}
% Dans une équation avec un carré, si ce n'est pas $x$ qui est élevé au carré, on remplace ce qui est élevé au carré par $X$ pour se ramener à une équation de la forme $X^2=a$.
% \end{methode}
% \begin{questions}
% \item $(x-1)^2=16$. Posons $X=x-1$ ; alors, $X^2=16$ et donc $X=\sqrt{16}=4$ ou $X=-\sqrt{16}=-4$.
% 
% Ainsi, $x-1=4$ ou $x-1=-4$, c'est-à-dire $x=4+1=5$ ou $x=-4+1=-3$.
% 
% L'équation $(x-1)^2=16$ a donc pour solutions 5 et $-3$.
% 
% \item $(x-2)^2-3=0$. On pose $X=x-2$ ; alors, $X^2-3=0$, soit $X^2=3$. Ainsi, $X=\sqrt3$ ou $X=-\sqrt3$.
% 
% Par conséquent, $x-2=\sqrt3$ ou $x-2=-\sqrt3$, c'est-à-dire $x=\sqrt3+2$ ou $x=-\sqrt3+2$.
% 
% Les solutions de l'équation $(x-2)^2-3=0$ sont donc $\sqrt{3}+2$ et $-\sqrt3+2$.
% 
% \item $\big(x^2-1\big)^2=25$. Posons $X=x^2-1$ ; alors, $X^2=25$, soit $X=\sqrt{25}=5$ ou $X=-\sqrt{25}=-5$.
% 
% Ainsi, $x^2-1=5$ ou $x^2-1=-5$, c'est-à-dire $x^2=5+1=6$ ou $x^2=-5+1=-4$.
% 
% Si $x^2=6$, alors $x=\sqrt6$ ou $x=-\sqrt6$.
% 
% En revanche, il n'existe pas de nombres $x$ tels que $x^2=-4$ (car $x^2$ est toujours positif ou nul).
% 
% Ainsi, l'équation $\big(x^2-1\big)^2=25$ a pour solutions $\sqrt6$ et $-\sqrt6$.
% 
% \item $\big(x^2+2\big)^2=36$. Posons $X=x^2+2$ ; alors $X^2=36$ et donc\linebreak $X=\sqrt{36}=6$ ou $X=-\sqrt{36}=-6$.
% 
% Ainsi, $x^2+2=6$ ou $x^2+2=-6$ et donc $x^2=6-2=4$ ou $x^2=-6-2=-8$ (ce qui est impossible car $x^2\geqslant0$).
% 
% Finalement, $x^2=4$ donc $x=2$ ou $x=-2$.
% \end{questions}
% \end{corrige}

\sectionnn{Mise en équation}

% EX11

\begin{exo}{Trouver les âges}{Collège Guilleminot, Dunkerque}{1}{10}
\label{ch3ex11}
\enlargethispage*{\baselineskip}
Serge est le père de Stéphane, et Stéphane est le père d'Hugo.

Stéphane a trois fois l'âge d'Hugo et vingt ans de moins que
Serge. Dans cinq ans, ils auront cent douze ans à eux trois.

Trouver l'âge des trois personnes.
\end{exo}

% EX11corr

\begin{corrige}
\begin{methode}
Dans un exercice où il est demandé de trouver un ou plusieurs nombres, si aucune indication ne figure dans l'énoncé, la première chose à faire est de représenter un des nombres par une lettre (par exemple $x$).
\end{methode}

Notons $x$ l'âge d'Hugo. On met le problème en \'equation :
\begin{itemize}
\item Âge d'Hugo : $x$ ;
\item Âge de Stéphane : $3x$ (il a trois fois l'âge d'Hugo) ;
\item Âge de Serge : $3x+20$ (il a vingt ans de plus que Stéphane).
\end{itemize}
Dans cinq ans :
\begin{itemize}
\item  Âge d'Hugo : $x+5$ ;
\item  Âge de Stéphane :  $3x+5$ ;
\item  Âge de Serge : $3x+20+5=3x+25$.
\end{itemize}
La somme de leur âge sera donc :
\[x+5+3x+5+3x+25=7x+35\]
$x$ vérifie donc l'équation :
\[7x+35=112\]
Il faut maintenant résoudre l'équation : $7x+35=112$.
\[
7x=112-35=77 
\]
On divise les deux membres par $7$ :
\[x=11\]
On peut maintenant répondre : Hugo a $11$ ans, Stéphane a $33$
ans et Serge a $53$ ans.

On vérifie que dans cinq ans, ils auront respectivement $16$, $38$
et $58$ ans. La somme de leur âge sera bien $16+38+58=112$ ans.
\end{corrige}

% EX12

\begin{exo}{Le champ d'Alfred}{Collège  Michelet, Arpajon}{1}{5}
\label{ch3ex12}
Alfred possède un champ rectangulaire de $40$~m sur $90$~m.
Benoît possède un champ carré de même aire que celui
d'Alfred. Benoît est persuadé que la longueur de sa clôture
est plus petite que celle d'Alfred. A-t-il raison ? Bien justifier
votre réponse.
\end{exo}

% EX12corr

\begin{corrige}
On rappelle que l'aire d'un rectangle de longueur $a$ et de largeur
$b$ est égale à $ab$, tandis que son périmètre est égal à
$2(a+b)$.

Calculons d'abord l'aire du champ d'Alfred :
\[
\mathcal{A}=40\times 90 =\nombre{3600} \text{ m}^{2}
\]

Soit $x$ le côté du champ de Benoît. Comme il a la même
aire que celui d'Alfred, on a :
\[x\times x=\nombre{3600}\;,\]
donc $x=60$, car $x$ doit être positif.

Or, la longueur $\ell$ de la clôture de Benoît est égale au
périmètre de son champ, donc :
\begin{align*}
 \ell&=4x\\
  &=4\times 60\\
  & = 240 \text{ m}.
\end{align*}
La longueur $\ell'$ de la clôture d'Alfred est égale au
périmètre de son champ, donc :
\[
\ell'=2\times (40+90)=260 \text{ m}.
\]
$240<260$, donc la clôture de Benoît est plus courte que la
clôture d'Alfred; Benoît a raison.
\end{corrige}

%% EXB

\begin{exo}{Nombre de pièces}{Collège Chaptal, Paris}{2}{10}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh3Ex13}}}

\vspace*{-12pt}

\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Nombre de pièces}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh3Ex13}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}
\Par

Jules décide de casser sa 
tirelire qui ne contient que des pièces de 
cinquante centimes et de vingt centimes. Sa tirelire contient $67$ 
pièces et le montant de ses économies s'élève à $20,90$~\EUR{}.

Combien de pièces de chaque sorte possède-t-il ?
\end{exo}

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.5){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh3Ex13}}}
% \vspace*{-15pt}
Appelons $x$ le nombre de 
pièces de $50$ centimes. $x$ est donc un 
nombre entier positif.
\begin{itemize}
 \item Nombre de pièces de $20$ centimes : $67-x$ (il y a $67$ pièces 
en tout).
\item Montant total (en~\EUR{}) avec les pièces de $50$ centimes : 
$0,50x$.
\item Montant total (en~\EUR{}) avec les pièces de $20$ centimes : 
$0,20(67-x)$.
\end{itemize}
La tirelire contient $20,90$~\EUR{}, le problème se traduit donc par 
l'équation :
\[\begin{aligned}[t]
   0,50x + 0,20 (67-x) & = 20,90 \\
   0,50x + 13,40 - 0,20x & = 20,90 \\
   0,30x + 13,40 & = 20,90 \\
   0,30x + 13,40 - 13,40 & = 20,90 - 13,40 \\
   0,30x & = 7,50 \\
   x & = \dfrac{7,50}{0,30} \\
   x & = 25.
  \end{aligned}
\]
Il y avait donc $25$ pièces de $50$ centimes et $67 - 25 = 42$ pièces 
de $20$ centimes dans la tirelire.

On vérifie : $25 \times 0,50 + 42\times 0,20 = 20,90$. On retrouve 
bien le montant de la tirelire.
\end{corrige}



% % EX13
% 
% \begin{exo}{Somme de 3 entiers consécutifs}{Collège  Gerson, Asnières}{1}{5}
% \label{ch3ex13}
% La somme de trois entiers consécutifs est $195$. Trouver ces trois entiers.
% \end{exo}
% 
% % EX13corr
% 
% \begin{corrige}
% Appelons $n$ le deuxième entier.
% 
% Les trois entiers sont alors $n-1$, $n$, $n+1$, puisque l'énoncé
% nous dit qu'ils sont consécutifs.
% 
% Leur somme est égale à $(n-1)+n+(n+1)$. On a donc :
% \begin{align*}
%   (n-1)+n+(n+1)&=195 \\
%   3n-1+1&=195 \\
%   3n&=195 \\
%   n&={195\over 3}\\
%   n & =65.
% \end{align*}
% Les trois entiers sont donc $64$, $65$ et $66$.
% \end{corrige}

% EX14

\begin{exo}{Calcul d'une aire}{Collège Octave Gréard, Paris}{2}{10}
\label{ch3ex14}
Aux quatre coins d'un carré de $4$~m, on a enlevé $4$ carrés de
côté $x$. 

Calculer $x$ pour que l'aire de la croix soit la moitié de celle
du carré ABCD.
\begin{center}
\includegraphics{054_03_01}
\end{center}
\end{exo}

% EX14corr

\begin{corrige}
Exprimons l'aire de la croix en fonction de $x$. Elle est égale à l'aire du carré ABCD à laquelle on a soustrait la somme des aires des $4$ carrés de côté $x$.
\begin{itemize}
\item  aire du carré ABCD : $4^2=16 \text{ m}^2$
\item  aire de chaque petit carré : $x^2$
\item  aire de la croix : $16-4x^2$
\end{itemize}
Dire que l'aire de la croix est égale à la moitié de celle du
carré ABCD signifie donc :
\begin{align*}
  16-4x^2 &={{16\over 2}}\\
  16-4x^2 &=8\\
  4x^2 &=16-8\\
  4x^2 &=8\\
  x^2 &=2
\end{align*}
donc :
\[x=\sqrt 2 \qquad \text{car $x$ doit \^etre positif.}\]
\emph{Conclusion} : il faut que $x=\sqrt{2}$ pour que l'aire de la croix soit la moitié de celle du carré ABCD.
\end{corrige}

% EX15

\newpage

\begin{exo}{Calculs d'aires}{Collège Foch, Strasbourg}{2}{10}\label{ch3ex15}
\begin{center}
\includegraphics{055_03_02}
\end{center}
ABCD est un rectangle tel que $\rm AB = 5~\text{cm}$ et $\rm AD = 4~\text{cm}$. E est le point du segment [AB] tel que $\rm AE = 1~\text{cm}$. Le point F appartient au segment [BC].

\begin{questions}
\item On note $x$ la longueur de [BF] en centimètres.
  \begin{questions}
  \item Calculer l'aire de AED.
  \item Exprimer l'aire de EBF en fonction de $x$.
  \item Exprimer l'aire de DFC en fonction de $x$.
  \item En déduire que l'aire de DEF est, en cm$^2$, $8 + 0,5x$
  \end{questions}

\item Quelle est la position du point F pour laquelle l'aire du triangle EFD est $9,5~\text{cm}^2$ ?

Justifier.
\end{questions}
\end{exo}

% EX15corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\mathcal{A}_{\rm AED}=\dfrac{\rm AE \times AD}{2}=\dfrac{1 \times 4}{2}$ donc l'aire de AED vaut 2~cm$^2$.
\item $\mathcal{A}_{\rm EBF}=\dfrac{\rm EB \times BF}{2}=\dfrac{{\rm  EB} \times x}{2}$

Or $\rm E\in [AB]$ donc :
\begin{align*}
\rm EB&=\rm AB-AE\\
&=5-1\\
&=4.
\end{align*}
Donc : 
\[
\mathcal{A}_{\rm EBF}=\frac{4 \times x}{2}=2x.
\]

\item $\mathcal{A}_{\rm DFC}=\dfrac{\rm DC \times FC}{2}$. Or,
\[
\rm DC = AB = 5~\text{cm}
\]
et :
\[
\rm BC = AD = 4~\text{cm}
\]
(car ce sont les côtés opposés d'un rectangle).

$\rm F\in [BC]$ donc :
\[
{\rm FC=BC-BF}=4-x.
\]
Ainsi,
\[
\mathcal{A}_{\rm DFC}=\dfrac{5 \times (4-x)}{2}=\dfrac{20-5x}{2}=10-2,5x.
\]
\item $\mathcal{A}_{\rm EDF} = \mathcal{A}_{\rm 
ABCD}-\mathcal{A}_{\rm AED}-\mathcal{A}_{\rm EBF}-\mathcal{A}_{\rm 
DFC}$.

La seule aire que nous n'avons pas calculée est celle du rectangle ABCD :
\begin{align*}
\mathcal{A}_{\rm ABCD}&\rm =AB \times AD \\
        &= 5 \times 4\\
        & = 20.
\end{align*}
On a donc :\enlargethispage*{2em}
\[
\begin{aligned}
  \mathcal{A}_{\rm EDF}&=20-2-2x-(10-2,5x)\\
  & = 18-2x-10+2,5x\\
  & = 8+0,5x.
\end{aligned}
\]
\emph{Conclusion} : l'aire de EDF est bien, en cm$^2$, $8+0,5x$.
\end{questions}
  
\item On cherche $x$ tel que $\mathcal{A}_{\rm EDF}=9,5$.

Il faut donc résoudre l'équation $8+0,5x=9,5$ :
\begin{align*}
    8+0,5x&=9,5\\
    0,5x&=9,5-8\\
    0,5x&=1,5\\
    x&=\frac{1,5}{0,5}=3
\end{align*}

\emph{Conclusion} : la solution de l'équation $8+0,5x=9,5$ est 3, ce qui signifie qu'il faut placer le point F à 3~cm du point B (sur le segment [BC]) pour que l'aire du triangle DEF soit de $9,5~\text{cm}^2$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX16

\begin{exo}{Les oiseaux (t\^ache complexe)}{Collège  Monthéty, Pontault-Combault}{3}{15}\label{ch3ex16}
Deux oiseaux perchés sur deux poteaux distants de 5 mètres aperçoivent 
en même temps un morceau de pain tombé entre les deux poteaux plantés dans un sol horizontal. Le 
premier poteau mesure 4 mètres et le second mesure 6 mètres.

Les deux oiseaux s'envolent en même temps du sommet de chaque poteau en volant à la même vitesse, et atteignent en même temps le morceau de pain.

\Par

Où se trouvait le morceau de pain ? Justifier votre réponse.
\begin{center}
\includegraphics{055_03_03}
\end{center}
\end{exo}

% EX16corr

\begin{corrige}
\begin{methode}
Dans ce type d'exercice, commencez par schématiser la situation.
\end{methode}

Représentons la situation par un schéma :

\begin{center}
\includegraphics{068_03_03b}
\end{center}

Dans ce schéma,

\begin{itemize}
\item les points O$_1$ et O$_2$ représentent les oiseaux ;
\item le point P représente le morceau de pain ;
\item les segments [AO$_1$] et [BO$_2$] représentent les poteaux.
\end{itemize}

D'après l'énoncé, les deux oiseaux ont la même vitesse $V$ et parcourent respectivement les distances O$_1$P et O$_2$P dans le même temps $t$.

Or, d'après la formule de la vitesse,
\Par
\[ 
v=\dfrac{ \text{O}_1\text{P} }{t} = \dfrac{ \text{O}_2\text{P} }{t}.
\]
\newpage
On peut en déduire que les distances O$_1$P et O$_2$P sont égales :
\[ \text{O}_1\text{P}=\text{O}_2\text{P}.\]
On en déduit même que :
\[ \text{O}_1\text{P}^2=\text{O}_2\text{P}^2.\tag{*}\]
Notons $x$ la distance AP séparant le morceau de pain du poteau [AO$_1$].

On a alors : $\text{AP}=x$ et $\text{PB}=\text{AB}-\text{AP}=5-x$.

Or, d'après le théorème de Pythagore dans les triangles O$_1$AP et O$_2$BP respectivement rectangles en A et B (on considère que les poteaux sont perpendiculaires au sol), on a :
\begin{align*}
\text{O}_1\text{P}^2 & = \text{O}_1\text{A}^2+\text{AP}^2\\
& = 4^2+x^2\\
& = 16+x^2,
\end{align*}

et

\begin{align*}
\text{O}_2\text{P}^2 & = \text{O}_2\text{B}^2+\text{PB}^2\\
& =  6^2+(5-x)^2\\
& = 36+(5-x)^2\\
& = 36+5^2-2\times5\times x+x^2\\
& = 36+25-10x+x^2\\
& = 61-10x+x^2.
\end{align*}

Finalement, l'égalité (*) devient :
\begin{align*}
16+x^2 & = 61-10x+x^2.
\end{align*}

En soustrayant $x^2$ dans chaque membre, on se ramène à la résolution 
d'une équation du 1\ier{} degré.
\begin{align*}
16+x^2-x^2 & = 61-10x+x^2-x^2\\
16 & = 61-10x \\
16+10x & = 61-10x+10x\\
16+10x & = 61 \\
16+10x-16 & = 61-16\\
10x & = 45 \\
\dfrac{10x}{10} & = \dfrac{45}{10}\\
x & = 4,5.
\end{align*}
\Par
La solution de l'équation est $x=4,5$.
\newpage
On peut donc conclure que :

\[ \text{AP}=4,5~\text{m},\] 

et que :

\[ \text{PB}=5-x=5-4,5=0,5~\text{m},\] 

c'est-à-dire que le morceau de pain se trouvait à 4,50~m du poteau mesurant 4 mètres et à 50~cm du poteau mesurant 6 mètres.

\begin{Remarque}
l'énoncé ne demandait pas explicitement la \emph{distance} séparant le le morceau de pain de l'un des poteaux. On aurait donc pu aussi déterminer l'emplacement de ce morceau de pain \emph{géométriquement}.

En effet, puisque $\text{O}_1\text{P}=\text{O}_2\text{P}$, le point P est équidistant des deux extrémités du segment [O$_1$O$_2$] et donc, d'après une propriété de la médiatrice d'un segment, on peut en déduire que P est sur la médiatrice du segment [O$_1$O$_2$]. On aurait donc pu sur un schéma à l'échelle :
\begin{itemize}
\item tracer [O$_1$O$_2$] ;
\item tracer la médiatrice $\mathcal{D}$ de [O$_1$O$_2$] ;
\item placer le point P à l'intersection de $\mathcal{D}$ et de [AB].
\end{itemize}
\end{Remarque}
\end{corrige}
\thumb
\AfficheCorrige
