\setcounter{chapter}{3}
\chapter{Inéquations}
\label{chap:inequations}

\begin{exointro}{Collège Louise Michel, Chaumont}
Résoudre l'inéquation :
\[
\dfrac{2x - 3}{5} + \dfrac{x + 2}{4} < x + \dfrac{1}{10}
\] 
et représenter les solutions sur une droite.
\end{exointro}

\section{Définitions}

\begin{defin}[inéquation du premier degré]
Une \textit{inéquation du premier degré} à une inconnue est une inégalité entre 
deux expressions littérales dans lesquelles intervient un nombre, 
souvent noté $x$, dont on ne connaît pas la valeur et qui n'est pas 
élevé à un exposant plus grand que~1.
\end{defin}

\begin{Exemple}
$3x-5<2x+2$ est une inéquation du premier degré d'inconnue $x$.
\end{Exemple}

\begin{defin}[résoudre une inéquation]
\textit{Résoudre} une inéquation, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui rendront vraie l'inégalité donnée.

Ces valeurs sont les \emph{solutions} de l'inéquation.
\end{defin}

Nous allons voir, dans le paragraphe qui suit, les propriétés qui 
nous permettent de résoudre les inéquations du premier degré à une 
inconnue.

\newpage

\section{Ordre et opérations}

\begin{props}
On ne change pas le sens d'une inégalité :
\begin{itemize}
\item si on ajoute ou si on soustrait un même nombre aux deux membres 
de l'inégalité.
\item si on multiplie ou si on divise les deux membres de l'inégalité 
par un même nombre \emph{strictement positif}.
\end{itemize}

On dit alors que \emph{l'ordre est conservé}.
\end{props}

\begin{Exemples}
Si $5x - 4 < 7$, alors $5x - 4\ \textcolor{DR}{+\ 4} < 7\ 
\textcolor{DR}{+\ 4}$, c'est-à-dire $5x < 11$.

Si $x - 6 \leqslant 3x$, alors $x - 6\ \textcolor{DR}{-\ 3x} 
\leqslant 
3x\ \textcolor{DR}{-\ 3x}$, c'est-à-dire $-2x-6 \leqslant 0$.

Si $3x > 7$, alors $\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{3x}}{3}} 
> 
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{7}}{3}}$, c'est-à-dire $x > 
\dfrac{7}{3}$.
\end{Exemples}

\begin{prop}
On change le sens d'une inégalité si on multiple ou si on divise les 
deux membres de l'inégalité par un même nombre \emph{strictement 
négatif}.

On dit alors que \emph{l'ordre est inversé}.
\end{prop}

\begin{Exemple}
si $-5x > 10$ alors 
$\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-5x}}{-5}}\ 
\textcolor{DR}{<}\ 
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{10}}{-5}}$, 
c'est-à-dire $x < 
-2$.
\end{Exemple}

\begin{attention}
On pensera à changer le sens de l'inégalité dès que l'on multiplie ou 
que l'on divise par un nombre strictement négatif.
\end{attention}




\section{Résolution d'une inéquation}
\label{sec-res-ineq}

Pour résoudre une inéquation du premier degré dont l'inconnue est 
$x$, on utilise les propriétés vues au paragraphe précédent pour 
isoler l'inconnue et se ramener à une inéquation de la forme :
\[ax < b, \ ax \leqslant b, \ ax > b \text{ ou } ax \geqslant b.\]
Puis :
\begin{itemize}
\item si $a > 0$, on divise les deux membres par $a$ en gardant le 
sens ;
\item si $a < 0$, on divise les deux membres par $a$ en changeant le 
sens.
\end{itemize}

\begin{Exemple}
pour résoudre l'inéquation $-5x+7 \leqslant 19-x$, on commence par 
ajouter $x$ dans chaque membre de l'inégalité :
\begin{align*}
-5x+7\ \textcolor{DR}{+\ x} & \leqslant 19-x\ \textcolor{DR}{+\ x} \\
-4x+7 & \leqslant 19.
\end{align*}
On soustrait ensuite $7$ dans chaque membre :
\begin{align*}
-4x+7\ \textcolor{DR}{-\ 7} & \leqslant 19\ \textcolor{DR}{-\ 7} \\
-4x &\leqslant 12.
\end{align*}
Enfin, on divise chaque membre de l'inégaltié par $-4$ qui est 
négatif, on change donc le sens de l'inégalité :
\begin{align*}
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-4x}}{-4}}\ & 
\textcolor{DR}{\geqslant} \
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{12}}{-4}} \\
x & \geqslant -3.
\end{align*}
Les solutions de l'inéquation $-5x+7 \leqslant 19-x$ sont donc tous les 
nombres supérieurs ou égaux à $-3$.
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
en général, une inéquation du premier degré a une infinité de 
solutions.
\end{Remarque}


\section{Représentation des solutions}
\label{sec-rep-sol}

Il est souvent pratique de représenter par un schéma toutes les 
solutions d'une inéquation du premier degré.

\textit{Exemples}

\noindent On représente tous les nombres $x \geqslant 3$ (supérieurs 
ou égaux à $3$) ainsi : 

\Par

\begin{center}
\includegraphics{073_04_01}
\end{center}

\Par

On représente tous les nombres $x > -2$ (strictement 
supérieurs à $-2$) ainsi :

\Par

\begin{center}
\includegraphics{073_04_02}
\end{center}

\Par

On représente tous les nombres $x \leqslant - \dfrac{5}{7}$ (inférieurs ou égaux à $-\dfrac{5}{7}$) ainsi :

\Par\enlargethispage*{4em}

\begin{center}
\includegraphics{073_04_03}
\end{center}

\Par

On représente tous les nombres $x < \sqrt{5}$ (strictement 
inférieurs à $\sqrt{5}$) ainsi :

\Par

\begin{center}
\includegraphics{073_04_04}
\end{center}

\newpage

\begin{attention}
Le sens du crochet qui délimite l'ensemble des solutions dépend du
fait que l'inégalité est stricte ($<$ ou $>$) ou large ($\leqslant$ ou $\geqslant$). 
\end{attention}

\begin{anecdote}
Les symboles \og $>$ \fg{} et \og $<$ \fg{} ont été introduits par le 
mathématicien anglais Thomas Harriot (fin du \textsc{xvi}\ieme{} 
siècle -- début du \textsc{xvii}\ieme{} siècle).
\end{anecdote}

\begin{solintro}
Pour résoudre $\dfrac{2x-3}{5}+\dfrac{x+2}{4} < x + \dfrac{1}{10}$, 
on commence par mettre les deux membres de l'inéquation au même 
dénominateur, ici le dénominateur commun est $20$, on obtient :
\begin{align*}
\dfrac{4(2x-3)}{20} + \dfrac{5(x+2)}{20} & < \dfrac{20x}{20} + 
\dfrac{2}{20} \\
\dfrac{4(2x-3)+5(x+2)}{20} & < \dfrac{20x+2}{20}.
\end{align*}
On multiplie ensuite les deux membres par $20$ qui est positif (on ne 
change donc pas le sens de l'inégalité) :
\begin{align*}
4(2x -3) + 5(x + 2) < 20x + 2
\end{align*}

On développe et on réduit le membre de gauche :
\begin{align*}
  8x - 12 + 5x + 10 < 20x + 2 \\
  13x - 2 < 20x + 2.
\end{align*}
On va alors faire en sorte que les termes en $x$ soient tous à gauche en soustrayant $20x$ dans chaque membre de l'inéquation. Il vient :
\[
-7x -2 < 2.
\]
Puis on additionne $2$ dans chaque membre pour isoler les termes en $x$ à gauche :
\[
-7x < 4.
\]

Enfin, on divise chaque membre de cette inéquation par $-7$. Comme 
$-7$ est négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.

On obtient alors :
\[
x > -\dfrac{4}{7}.
\]

\Break

\emph{Conclusion :} les solutions de l'inéquation :
\[
\dfrac{2x - 3}{5} 
+\dfrac{x + 2}{4} < x + \dfrac{1}{10}
\]
sont tous les nombres strictement supérieurs à $-\dfrac{4}{7}$.

\Par

Représentation des solutions sur une droite graduée :

\Par

\begin{center}
\includegraphics{075_04_05}
\end{center}
\end{solintro}
