\thumb
\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{2}
\label{ch4qcm1}
Pour chacune des propositions suivantes, choisir la réponse correcte. 

Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item{Si $3x \geqslant 7$ alors}\par 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$x \leqslant \dfrac{7}{3}$}&
  \choix{$x \geqslant \dfrac{7}{3}$}
  \end{tabularx}

\item{Si $-2x \leqslant \dfrac{9}{2}$ alors}\par \resetchoix
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$x \leqslant -\dfrac{9}{4}$}&
  \choix{$x \geqslant -\dfrac{9}{4}$}
  \end{tabularx}

\item{Le nombre 5 est solution de l'inéquation :}\par \resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$x - 5 < 0$}&
  \choix{$x - 5 \leqslant 0$}
  \end{tabularx}

\item{Le schéma suivant :
\begin{center}
\includegraphics{076_04_06}
\end{center}} \par \resetchoix
  \choix{représente les nombres $x$ tels que $x \leqslant 2$}

  \choix{représente les nombres $x$ tels que $x < 2$}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM1corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. Si $3x \geqslant 7$ alors $x \geqslant \dfrac{7}{3}$.

Pour isoler $x$ dans l'inéquation $3x \geqslant 7$, il faut diviser chaque membre de l'inéquation par 3. Comme $3 > 0$, on ne change pas le sens de l'inégalité : la réponse \choix[a] est donc fausse.

\item Réponse \choix[b]. Si $-2x \leqslant \dfrac{9}{2}$ alors $x \geqslant - \dfrac{9}{4}$.

Pour isoler $x$ dans l'inéquation $-2x \leqslant \dfrac{9}{2}$, il faut  diviser chaque membre par $-2$. Comme $-2 < 0$, il faut alors changer le sens de l'inégalité. 

Il vient alors :
\[
\dfrac{-2x}{-2} \geqslant \dfrac{9}{2} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\;,
\] 
c'est-à-dire $x \geqslant -\dfrac{9}{4}$ (réponse \choix[b]).

\item Réponse \choix[b]. Le nombre 5 est solution de l'inéquation $x - 5 \leqslant 0$.

Si $x = 5$, $x - 5 = 0$ or $0 \leqslant 0$ donc 5 est bien une solution de l'inéquation $x - 5 \leqslant 0$. En revanche, 0 n'est pas \emph{strictement} inférieur à lui-même ! Donc 5 n'est pas une solution de l'inéquation $x - 5 < 0$.

\item Réponse \choix[a]. Le schéma représente les nombres $x$ tels que $x\leqslant 2$.

Il s'agit ici d'une application directe du cours. La droite graduée a été colorée sur la partie qui représente les nombres inférieurs à 2. La position du crochet, tourné vers les nombres inférieurs à 2, indique que le nombre 2 est une solution donc l'inégalité est \og{}large\fg.
\end{questions}
\end{corrige}

% QCM2

\begin{qcm}{Solutions d'une inéquation}{5}
Pour chacune des propositions suivantes, choisir la ou les réponse(s) correcte(s). Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\label{ch4qcm2}
\item{L'inéquation $x^2 + 5 \leqslant 5$ :} \par
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{a une infinité de solutions}&
  \choix{n'a aucune solution}\\
  \choix{a une seule solution}
  \end{tabularx}


\item{L'inéquation $2x - 1 > 0$ admet pour solution :}\par \resetchoix
  \choix{le nombre $0,5$}\quad
  \choix{le nombre $\nombre{0,50001}$}\quad
  \choix{le nombre $\pi$}

  \item{Les solutions de l'inéquation $-x > 1$ sont représentées sur le schéma :}\par \resetchoix
  
  \choix{\raisebox{-4ex}{\includegraphics{076_04_07a}}}
  
  \choix{\raisebox{-4ex}{\includegraphics{076_04_07b}}}

  \choix{\raisebox{-3.5ex}{\includegraphics{076_04_07c}}}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM2corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. L'inéquation $x^2 + 5 \leqslant 5$ a une seule solution.

En effet, si on soustrait 5 dans les deux membres, cette inéquation devient $x^2 \leqslant 0$. Un carré ne peut pas être négatif, mais il peut être égal à~0. Donc la seule solution à l'inéquation est $x=0$.

\begin{Remarque}
les inéquations qui n'ont qu'une seule solution sont très peu nombreuses. La plupart des inéquations ont une infinité de solutions ou n'en ont pas du tout !
\end{Remarque}

\item Réponses \choix[b] et \choix[c]. L'inéquation $2x - 1 > 0$ admet pour solutions les nombres $\nombre{0,50001}$ et $\pi$.

En effet, en additionnant 1 dans chaque membre puis en divisant chaque membre par 2, il vient : $x > \dfrac{1}{2}$ c'est-à-dire $x >  0,5$. Tous les nombres strictement supérieurs à $0,5$ sont donc solutions. La réponse \choix[a] est donc fausse : $0,5$ n'est pas une solution.  En revanche, $\nombre{0,50001} > 0,5$ donc
$\nombre{0,50001}$ est une solution. De plus, $\pi\approx3,14$ donc $\pi>0,5$ et donc $\pi$ est bien une solution de l'inéquation.

\begin{Remarque}
On aurait pu aussi remplacer $x$ par chacune des proposition et regarder si l'inégalité était vraie. Par exemple, pour $x=\pi$, on a:\\ $2x=2\pi\approx2\times3,14\approx6,28$, et $2x-1\approx6,28-1\approx5,28>0$ donc $x=\pi$ est solution de l'inéquation.
\end{Remarque}

\item Réponse \choix[b]. Il faut ici d'abord transformer l'inéquation, en multipliant par $-1$ les deux membres. Comme $-1 < 0$, il faut changer le signe de l'inégalité. 

On a donc : $x < -1$.  Or les nombres $x$ strictement inférieurs à  $-1$ sont représentés sur le schéma de la réponse \choix[b]. Le schéma de la  réponse \choix[c] représente les nombres qui sont inférieurs \emph{ou égaux} à $-1$.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Résolution d'inéquations}

% EX3

\begin{exo}{Application des règles}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{1}{5}\label{ch4ex3}
Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur un axe. 
\begin{questions}
\item $3 + x < -1$
\item $- \dfrac{x}{4} \geqslant 2$
\item $6 - 5x \leqslant 7 + x$
\end{questions}
\end{exo}

% EX3corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $3 + x < -1$ donc $3-3+x<-1-3$, c'est-à-dire $x<-4$.

Les solutions sont donc tous les nombres strictement inférieurs à
$-4$. 

On les représente sur une droite graduée :

\begin{center}
\includegraphics{081_04_08}
\end{center}

\item $-\dfrac{x}{4} \geqslant 2$ donc $-\dfrac{x}{4}\times(-4)\mathrel{\textcolor{DR}{\leqslant}}2\times(-4)$ (attention à ne pas oublier de changer le sens de l'inégalité car on a multiplié par un nombre négatif !).

Ainsi, $x\leqslant-8$. Les solutions de cette inéquation sont donc tous les nombres inférieurs ou égaux à $-8$. 

On les représente sur une droite graduée :

\begin{center}
\includegraphics{081_04_09}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
6 - 5x & \leqslant 7 + x\\
6-5x\textcolor{DR}{-6} & \leqslant 7+x\textcolor{DR}{-6}\\
-5x & \leqslant 1+x\\
-5x\textcolor{DR}{-x} & \leqslant 1+x\textcolor{DR}{-x}\\
-6x & \leqslant 1\\
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-6x}}{-6}} & ~\textcolor{DR}{\geqslant}~ \textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{1}}{-6}}\\
x & \geqslant -\dfrac{1}{6}
\end{aligned}$

Les solutions de cette inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à $-\dfrac{1}{6}$. On les représente sur une droite graduée :
\vspace*{-5pt}
\begin{center}
\includegraphics{082_04_10}
\end{center}
\end{questions}
\vspace*{-45pt}
\text{}
\end{corrige}

% EX4

\begin{exo}{En développant}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{1}{5}\label{ch4ex4}
Résoudre les inéquations suivantes et représenter leurs solutions sur un axe.
\begin{questions}
\item $-4(2x+5) < -2(3x+1)$
\item $3(x+2)\geqslant7(x-1)$
\end{questions}
\end{exo}

% EX4corr
% MODIF 1
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
       -4 (2x+5) & < -2(3x+1) \\
       -8x - 20 & < -6x-2 \\
       -8x-20\textcolor{DR}{~+~6x} & < -6x - 2 + 
\textcolor{DR}{~+~6x} \\
-2x-20 & < -2 \\
-2x-20\textcolor{DR}{~+~20}& <-2\textcolor{DR}{~+~20} \\
-2x & < 18 \\
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-2x}}{-2}} & 
\textcolor{DR}{~>~ \dfrac{\textcolor{black}{18}}{-2}} 
\quad \text{(changer le sens du signe car $-2 < 0$)} \\
x & > -9.
      \end{aligned}$

Ainsi, les solutions de l'inéquation $-4(2x+5) < -2(3x+1)$ sont toutes les valeurs de $x$ strictement supérieures à $-9$. On les représente sur une droite graduée :

\begin{center}
\includegraphics{082_04_11}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
       3(x+2) & \geqslant 7(x-1) \\
       3x+6 & \geqslant 7x-7 \\
       3x+6 \textcolor{DR}{~-~7x} & \geqslant 7x - 7 \textcolor{DR}{~-~7x} 
\\
-4x+6 & \geqslant 7 \\
-4x+6\textcolor{DR}{~-~6}& \geqslant -7\textcolor{DR}{~-~6} \\
-4x & \geqslant -13 \\
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-4x}}{-4}} & ~\textcolor{DR}{\leqslant~\dfrac{\textcolor{black}{-13}}{-4}} \\
x & \leqslant \dfrac{13}{4}.
      \end{aligned}$

Les solutions de l'inéquation $3(x + 2) \geqslant 7(x - 1)$ sont donc tous les nombres inférieurs ou égaux à $\dfrac{13}{4}$. On les représente sur un axe :

\begin{center}
\includegraphics{082_04_12}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

% EX5

\begin{exo}{En développant à nouveau}{Collège Louis Lumière, Échirolles}{1}{5}\label{ch4ex5}
\begin{questions}
\item  Développer et réduire l'expression :
\[A = (3x-1)^2+3(1-3x)(x+2)\]
  
\item  Résoudre l'inéquation :
\[A \geqslant 1\]
\end{questions}
\end{exo}

% EX5corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour développer $(3x-1)^{2}$, on utilise l'identité remarquable :
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
\begin{align*}
    A &= \textcolor{DR}{(3x-1)^2} + 3(1 - 3x)(x + 2) \\
    A&= \textcolor{DR}{9x^2-6x+1}+3(x+2-3x^2-6x)\\
    A&= \textcolor{DR}{9x^2-6x+1}+3(-3x^2-5x+2)\\
    A&= \textcolor{DR}{9x^2-6x+1}-9x^2-15x+6\\
    A &= -21x+7.
  \end{align*}
  
\item  On utilise le calcul précédent :
  \begin{align*}
    -21x+7 &\geqslant 1 \\
    -21x+7\textcolor{DR}{-7} & \geqslant1\textcolor{DR}{-7}\\
    -21x &\geqslant -6 \\
    \textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-21x}}{-21}} & \leqslant \textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-6}}{-21}}\\
    x &\leqslant \dfrac{6}{21} \\
    x &\leqslant {2\times 3\over 3\times 7} \\
    \text{soit } x&\leqslant \dfrac{2}{7}
  \end{align*}
Les solutions sont les nombres inférieurs ou égaux à $\dfrac{2}{7}$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX6
\begin{exo}{Développement et fractions}{Collège Fustel de Coulanges, 
Massy}{2}{8}\label{ch4ex6}
Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{questions}
\item $3(5x - 2) - 2(3x - 5) > 4(3x - 1)$
\item $\dfrac{3x - 1}{12} - \dfrac{1}{4} < 2x - \dfrac{5(1 - 2x)}{6}$
\end{questions}
\end{exo}

% EX6corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
% MODIF 3
\item $\begin{aligned}[t]
        3(5x-2)-2(3x-5) & > 4(3x-1) \\
        15x-6-6x+10 & > 12x-4 \\
        9x+4 & > 12x-4 \\
        9x+4\textcolor{DR}{~-~12x} & > 12x-4\textcolor{DR}{~-~12x} \\
        -3x+4 & > -4 \\
        -3x+4 \textcolor{DR}{~-~4} & > -4\textcolor{DR}{~-~4} \\
        -3x & > -8 \\
        \textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-3x}}{-3}} & 
~\textcolor{DR}{< \dfrac{\textcolor{black}{-8}}{-3}} \\
x & < \dfrac{8}{3}.
       \end{aligned}$

Les solutions de l'inéquation $3(5x - 2) - 2(3x - 5) > 4(3x - 1)$ sont donc tous les nombres strictement inférieurs à  $\dfrac{8}{3}$.


\item 
\begin{methode}
Pour résoudre l'inéquation $\dfrac{3x-1}{12} - \dfrac{1}{4} < 
2x - \dfrac{5(1-2x)}{6}$, il faut commencer par se débarasser des 
dénominateurs. Comme pour les équations, on met tous les termes au 
même dénominateur, puis on multiplie les deux membres de l'inéquation 
par ce dénominateur commun, en faisant attention au signe de celui-ci 
(s'il est négatif, il faudra changer le sens de l'inégalité). Ici le 
dénominateur commun est $12$.
\end{methode}

\Par 

\[\dfrac{3x-1}{12} - \dfrac{3}{12} < \dfrac{24x}{12} - 
\dfrac{2\times 5(1-2x)}{12}.\]

\Par 
On peut maintenant multiplier les deux membres de l'inéquation par 
$12$ qui est positif, donc on garde le sens de l'inégalité. On 
obtient ainsi :

\Par
$\begin{aligned}[t]
  3x - 1 - 3 & < 24x - 10(1-2x) \\
  3x - 4 & < 24x-10+20x \\
  3x - 4 & < 44x - 10 \\
  3x - 4 \textcolor{DR}{~-~44x} & < 44x-10\textcolor{DR}{~-~44x} \\
  -41x-4 & < -10 \\
  -41x-4\textcolor{DR}{~+~4} & <-10\textcolor{DR}{~+~4} \\
  -41x & < -6 \\
  \textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-41x}}{-41}} & 
~\textcolor{DR}{> \dfrac{\textcolor{black}{-6}}{-41}} \\
x > \dfrac{6}{41}.
 \end{aligned}$


Les solutions de l'inéquation $\dfrac{3x-1}{2}-\dfrac{1}{4}<2x-\dfrac{5(1-2x)}{6}$ sont donc tous les nombres strictement supérieurs à $\dfrac{6}{41}$.
\end{questions}
\enlargethispage*{2em}
\end{corrige}

% EX7

\begin{exo}{Encadrement}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{2}{5}
\begin{questions}
\item On sait que $-6<x<2$. Donner un encadrement de $-3x+1$.
\item On sait que $-10<-5x+7<10$. Donner un encadrement de $x$.
\end{questions}
\end{exo}

% EX7corr


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{methode}
Quand on écrit \og $-6 < x < 2$ \fg, il faut comprendre que $x > -6$ ET $x<2$, donc que $x$ est compris entre $-6$ et 2.
\Break
Pour trouver l'encadrement demandé, il faut \og construire \fg{} l'expression $-3x+1$ à partir de $x$ en utilisant les mêmes propriétés que lors d'une résolution d'inéquation.
\end{methode}

Pour obtenir l'expression $-3x+1$ à partir de $x$, il faut d'abord multiplier $x$ par $-3$, puis ajouter 1.

On sait que $-6 < x < 2$, donc en multipliant par $-3$, on obtient :
\[
-6\times(-3) > -3x > 2\times(-3) \qquad\text{soit :}\qquad 18 > -3x > -6.\]
Par habitude, on préfère présenter les encadrements dans l'ordre croissant, donc on écrit :
\[ -6 < -3x < 18 \]
Ensuite, on ajoute 1 :
\[
-6+1 < -3x+1 < 18+1 \qquad\text{soit :}\qquad -5<-3x+1<19. \]

\item On sait que $-10<-5x+7<10$. En soustrayant 7 à chacun des membres de cet encadrement, on a :
\[
-10~\textcolor{DR}{-~7} < -5x+7\textcolor{DR}{~-~7} < 10\textcolor{DR}{~-~7}
\]
soit :
\[ -17 < -5x < 3. \]
En divisant par $-5$ (en n'oubliant pas de changer le sens des signes car\linebreak $-5<0$), on obtient :
\[
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-17}}{-5}} >
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{-5x}}{-5}} >
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{3}}{-5}}
\]
c'est-à-dire :
\[
\dfrac{17}{5}>x>-\dfrac{3}{5}\quad\text{ou encore :}\quad-\dfrac{3}{5}<x<\dfrac{17}{5}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Mise en inéquation}

% EX8

\begin{exo}{Le club de billard}{Collège Foch, Strasbourg}{2}{10}
\label{ch4ex8}
Un club de billard propose trois tarifs valables sur une année :
\begin{itemize}
\item Le tarif A est un forfait de 30~\euro{}.
\item Avec le tarif B, il faut acheter une carte d'adhésion coûtant
15~\euro{} et payer pour chaque partie 1~\euro{}.
\item  Si on ne choisit ni le tarif A, ni le tarif B, chaque partie coûte 2,50~\euro{} (Tarif~C).
\end{itemize}
On note $x$ le nombre de parties faites dans l'année.

\begin{questions}
\item Exprimer en fonction de $x$, le prix payé successivement avec le tarif A, le tarif B et le tarif C.  
\item En résolvant des inéquations, déterminer le nombre minimum de
  parties pour lequel on a intérêt à choisir :
  \begin{questions}
  \item Le tarif A plutôt que le tarif B.
  \item Le tarif B plutôt que le tarif C.
  \item Le tarif A plutôt que le tarif C.
  \end{questions}
\item Simon a choisi le tarif C. Il ne pense pas faire plus de 8
  parties de billard dans l'année dans ce club. A-t-il eu raison ?
  Justifier.
\end{questions}
\end{exo}

% EX8corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item Avec  le tarif A, le prix est de 30~\euro{} quelle que soit la valeur de $x$.
\item Avec le tarif B, le prix payé (en \euro{}) est de $15 + x$.
\item Avec le tarif C, le prix payé (en \euro{}) est de $2,5x$.
\end{itemize}
\item
\begin{questions}
\item On a intérêt à choisir le tarif A plutôt que le tarif B si
$30 \leqslant 15 + x$.  Ce qui donne, en soustrayant 15 dans chaque
membre : $15 \leqslant x$.  

Il faut donc un minimum de 15 parties pour préférer le tarif A au tarif B.

\item On a intérêt à choisir le tarif B plutôt que le tarif C
si $15 + x \leqslant 2,5x$. Ce qui donne, en soustrayant $x$ dans chaque membre : $15 \leqslant 1,5x$.

En divisant chaque membre par $1,5$, on obtient : $10 \leqslant x$.

Il faut donc un minimum de 10 parties pour préférer le tarif B au tarif C.

\item On a intérêt à choisir le tarif A plutôt que le tarif C si $30 \leqslant 2,5x$.

En divisant chaque membre par $2,5$, on obtient : $12 \leqslant x$, soit\linebreak $x\geqslant12$.

Il faut donc un minimum de 12 parties pour préférer le tarif A au tarif C.
\end{questions}

\item Simon a eu raison de choisir le tarif C. En effet, les tarifs A et B sont plus avantageux pour un nombre minimal de parties respectivement de 12 et 10 parties. Donc pour un nombre maximal de 8 parties, le tarif C est le moins cher.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX9

\begin{exo}{Calcul d'aires}{Collège Paul Bert, Chatou}{2}{10}
\label{ch4ex9}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh4Ex9}}}

\vspace*{-12pt}

\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Calcul d'aires}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh4Ex9}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}
\Par

\begin{minipage}{4cm}
\includegraphics{078_04_13}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-4cm}
Sur la figure ci-contre (qui n'est pas à l'échelle), $\rm AB = 6~\text{cm}$, $\rm DC = 10~\text{cm}$ et $\rm BC= 12~\text{cm}$.
 
Les triangles ABM et DCM sont respectivement rectangles en B et C.

M est un point du segment [BC]. 

On note $\text{BM} = x$.
\end{minipage}



\begin{questions}
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ? \'Ecrire votre réponse sous la forme d'un encadrement.
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire du triangle DMC est-elle
supérieure à l'aire du triangle ABM ? Justifier.
\end{questions}
\end{exo}

% EX9corr

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh4Ex9}}}
\vspace*{-15pt}
\begin{questions}
\item M est un point du segment [BC] qui mesure 12~cm. Donc la
longueur du segment [BM] (qui est nécessairement un nombre
positif) est inférieure ou égale à 12~cm.
 
Ce qui se traduit par : \[0 \leqslant x \leqslant 12\]

\item Commençons par exprimer l'aire du triangle DMC (que nous
noterons $\mathcal{A}_{\rm DMC}$) et l'aire du triangle ABM (que nous noterons $\mathcal{A}_{\rm ABM}$) en fonction de $x$.

M est un point de [BC] donc ${\rm MC = BC - BM} = 12 - x$.

Ainsi : 
\begin{align*}
\mathcal{A}_{\rm DMC} &= \dfrac{\rm DC \times MC}{2} = \dfrac{10 \times (12 -x)}{2}\\
                  & = 5(12 - x) = 60 - 5x
\end{align*}
et : 
\[
\mathcal{A}_{\rm ABM} = \dfrac{\rm AB \times BM}{2} = \dfrac{6 \times x}{2} =3x.
\]

On cherche les valeurs de $x$ telles que $\mathcal{A}_{\rm DMC} \geqslant \mathcal{A}_{\rm ABM}$, c'est-à-dire telles que $60 - 5x \geqslant 3x$.

On résout donc cette inéquation :
\begin{align*}
    60 - 5x + 5x &\geqslant 3x + 5x \\
    8x &\leqslant 60 \\
   \frac{8x}{8} &\leqslant \frac{60}{8} \\
    x &\leqslant 7,5 
\end{align*}

Les solutions de l'inéquation $60 - 5x \geqslant 3x$ sont donc tous les nombres inférieurs ou égaux à 7,5. Mais on rappelle que d'après la question~1, $x$ est un nombre positif.

Ainsi, l'aire du triangle DMC est supérieure à l'aire du triangle ABM pour toute valeur de $x$ comprise entre 0 et 7,5, c'est-à-dire pour une longueur BM comprise entre 0 et 7,5~cm.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX10

\begin{exo}{Problème arithmétique}{Collège Saint-Bernard, Troyes}{2}{5}\label{ch4ex10}
Quels sont les nombres entiers positifs dont le double diminu\'e de $10$ est strictement inférieur à $100$ et dont le triple augmenté de $10$ est strictement supérieur à $160$ ?
\end{exo}

% EX10corr

\begin{corrige}
Soit $x$ un nombre entier positif.

\og Le double de $x$, diminué de $10$, est strictement inférieur à $100$ \fg{} se traduit par :
\[2x-10<100 \quad \text{soit :} \quad 2x<110 \quad
\text{c'est-\`a-dire :} \quad x<55.\]
\og Le triple de $x$, augmenté de $10$, est strictement supérieur à $160$\fg{} se traduit par :
\[3x+10>160 \quad \text{soit :} \quad 3x>150 \quad \text{donc :}
\quad x>50.\] 
On a donc :
\[50<x<55\]
Les nombres entiers positifs vérifiant les hypothèses sont
donc :
\[51 - 52 - 53 - 54\]
\end{corrige}

% EXA

\begin{exo}{La bibliothèque}{Collège Chaptal, Paris}{2}{5}
 Le prêt des livres dans une bibliothèque est payant. On propose aux 
lecteurs deux formules. Le lecteur paie $10$~\EUR{} pour une carte 
d'abonnement, puis il paie $0,35$~\EUR{} par livre emprunté. Sans 
abonnement, il paie $0,75$~\EUR{} par livre emprunté.

\`A partir de combien de livres empruntés la formule avec abonnement 
est-elle la plus avantageuse ?
\end{exo}

\begin{corrige}
 On note $x$ le nombre de livres empruntés.
 
 Avec la carte d'abonnement, on paiera : $0,35x+10$.
 
 Sans la carte, on paiera : $0,75x$.
 
 Pour que la formule avec abonnement soit plus avantageuse, $x$ doit 
vérifier :
\begin{align*}
 0,35x + 10 & < 0,75x \\
 0,35x \textcolor{DR}{~-~0,35x}+10 & < 0,75x\textcolor{DR}{~-~0,35x} 
\\
10 & < 0,4 x \\
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{10}}{0,4}} & < 
\textcolor{DR}{\dfrac{\textcolor{black}{0,4x}}{0,4}} \\
25 & < x \quad \text{soit $x > 25$}.
\end{align*}
La formule avec abonnement est donc plus avantageuse lorsque l'on 
emprunte plus de $25$ livres, soit au moins $26$ livres.
\end{corrige}


% EX11

\begin{exo}{Le marchand de glaces}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{2}{10}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item 60 est-il solution de l'inéquation $2,5x-75 > 76$ ?
\item Résoudre l'inéquation $2,5x-75 > 76$.	
\end{questions}
\item Pendant la période estivale, un marchand de glaces a remarqué qu'il dépensait 75~\euro{} par semaine pour faire, en moyenne, 150 glaces.

Sachant qu'une glace est vendue 2,50~\euro, combien doit-il vendre de glaces, au minimum, dans la semaine pour avoir un bénéfice supérieur à 76~\euro{} ? Expliquer la démarche utilisée.
\end{questions}
\end{exo}

% EX11corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item \begin{aretenir}
Un nombre est solution d'une inéquation si, en remplaçant $x$ par ce 
nombre, l'inégalité est vraie.
\end{aretenir}

Si $x=60$ alors $2,5x-75=2,5\times60-75=150-75=75$. Or, $75$ n'est pas supérieur à 76 donc le nombre 60 n'est pas solution de l'inéquation $2,5x-75>76$.

\item $\begin{aligned}[t]
2,5x-75 & >76\\
2,5x-75\textcolor{DR}{~+~75}&>76\textcolor{DR}{~+~75}\\
2,5x & > 151\\
\textcolor{DR}{\dfrac{\color{black}2,5x}{2,5}} & > \textcolor{DR}{\dfrac{\color{black}151}{2,5}}\\[6pt]
x & > 60,4
\end{aligned}$

Les solutions de l'inéquation $2,5x-75>76$ sont donc toutes les valeurs strictement plus grandes que 60,4.
\end{questions}

\item \begin{methode}
Dès que l'on demande de trouver une valeur, il faut avoir le réflexe de poser $x$ cette valeur et de trouver une équation ou une inéquation avec $x$. Ici, bien entendu, il s'agit d'une inéquation.
\end{methode}

Posons $x$ le nombre de glaces que le marchand doit vendre pour que son bénéfice soit supérieur à 76.

Une glace est vendue 2,50 \euro{} donc s'il vend $x$ glaces, sa recette sera égale à $2,50x$. Or, il dépense chaque semaine 75~\euro{} donc le bénéfice est égal à $2,5x-75$.

On cherche donc $x$ pour que $2,5x-75>76$. Nous avons résolu cette inéquation précédemment (comme par hasard...) et nous avons trouvé $x>60,4$. $x$ étant un nombre entier (car c'est un nombre de glaces), il faut que le marchand vende au minimum 61 glaces pour avoir un bénéfice supérieur à 76~\euro.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX12

% \begin{exo}{Le champ de Jean (tâche complexe)}{Collège Alain Fournier, Bordeaux}{3}{20}
% \enlargethispage*{\baselineskip}
% Jean possède un champ rectangulaire qu'il souhaite diviser en 4 parcelles dont une parcelle carrée.
% 
% Ainsi, il entreprendra des cultures diverses sur deux des parcelles et laissera les deux autres parcelles (dont la parcelle carrée) en jachère.
% 
% Jean schématise la situation ci-dessous et colorie les deux parcelles qui seront en jachère.
% \begin{center}
% \includegraphics{04_14}
% \end{center}
% 
% Le champ est un rectangle ABCD tel que $\rm AB=50~\text{m}$ et $\rm AD=26~\text{m}$.
% 
% Sur le schéma, les points $\rm A'$, $\rm B'$, $\rm C'$ et $\rm D'$ appartiennent respectivement aux segments [AB], [BC], [CD] et [DA], de telle sorte que $\rm A'BB'H$ soit un carré et $\rm DC'HD'$ soit un rectangle.
% 
% \Par
% 
% Où Jean peut-il placer le point H pour que l'aire de la surface en jachère soit inférieure ou égale à 628~m$^2$ ?
% 
% \Par
% 
% \emph{Indications :} $628=578+50$, $19^2=361$ et $\numprint{1300}-578=722=2\times361$.
% \end{exo}
% 
% % EX12corr
% 
% \begin{corrige}
% Posons ${\rm A'B}=x$. Alors, $0 \leqslant x \leqslant 26$ (la longueur $\rm A'B$ ne peut pas être plus grande que AD).
% \begin{itemize}
% \item L'aire de $\rm A'BB'H$ est, en m$^2$ : $x^2$.
% \item L'aire de $\rm DD'HC'$ est, en m$^2$ : 
% \begin{align*}
% \rm CD' \times DD' 
% & = \rm (DC-CC') \times (AD-DD')\\
% & = (50-x)(26-x)\\
% & = 50\times26-50x-26x+x^2\\
% & = \numprint{1300}-76x+x^2.
% \end{align*}
% \end{itemize}
% Ainsi, l'aire totale de la surface en jachère est la somme de ces deux aires :
% \[
% 2x^2-76x+\numprint{1300}.
% \]
% On souhaite trouver $x$ pour que :
% \[
% 2x^2-76x+\numprint{1300}\leqslant628\;,
% \]
% soit, en soustrayant 578 à chaque membre de l'inéquation :
% \[
% 2x^2-76x+\numprint{1300}-578\leqslant628-578
% \]
% soit :
% \[
% 2x^2-76x+722\leqslant50.
% \]
% En divisant par 2 chaque nombre, on obtient :
% \[
% x^2-38x+361\leqslant25.\qquad(1)
% \]
% En remarquant que $361=19^2$, on peut alors écrire :
% \[
% x^2-38x+361=x^2-2\times19\times x+19^2.
% \]
% On reconnaît alors une identité remarquable et l'inéquation (1) devient :
% \[
% (x-19)^2 \leqslant25
% \]
% \begin{methode}
% On pose $X=x-19$. Donc, on a : $X^2\leqslant25$.
% 
% On pourrait penser qu'alors $X\leqslant\sqrt{25}$, soit $X\leqslant5$, mais il ne faut pas oublier les nombres négatifs qui, élevés au carré, donnent des nombres positifs aussi.
% 
% Donc tous les nombres compris entre $-5$ et 0 sont aussi solutions.
% 
% \medskip
% 
% Ainsi, $X^2\leqslant25$ signifie $-5 \leqslant X \leqslant5$, et réciproquement.
% \end{methode}
% 
% Ainsi,
% \begin{align*}
% -5\leqslant x-19  \leqslant5\\
% -5+19 \leqslant x-19+19\leqslant 5+19\\
%  14\leqslant x \leqslant24
% \end{align*}
% 
% Il faut donc que H soit positionné de sorte que le carré $\rm A'BB'H$ ait un côté de mesure comprise entre 14 m$^2$ et 24 m$^2$.
% \end{corrige}
\thumb
\AfficheCorrige
