\setcounter{chapter}{4}
\chapter{Nombres premiers et \mbox{fractions irréductibles}}
\label{chap:nombres-premiers}

\begin{exointro}{Collège Carnot International, Lille}
\begin{questions}
\item Expliquer pourquoi nous pouvons affirmer que la fraction $\dfrac{\numprint{1848}}{\numprint{2040}}$ n'est pas irréductible sans calcul.
\item Décomposer en produit de facteurs premiers \numprint{1848} et \numprint{2040}.
\item Donner la forme irréductible de $\dfrac{\numprint{1848}}{\numprint{2040}}$.
\end{questions}
\end{exointro}

\section{Diviseurs et multiples d'un nombre entier}

Dans tout ce paragraphe, $a$ et $b$ sont des nombres entiers 
positifs non nuls, avec $a \geqslant b$.

\begin{defin}[diviseurs et multiples]
\begin{minipage}{8cm}
Lorsque le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul, 
on dit que :
\begin{itemize}
\item $a$ est \emph{divisible} par $b$ ;
\item $a$ est \emph{un multiple} de $b$ ;
\item $b$ est \emph{un diviseur} de $a$.
\end{itemize}
On peut aussi écrire que $\dfrac{a}{b} = q$, ou encore que $a = 
b\times q$.\end{minipage}\hspace{1cm}\begin{tabular}{c|c}
$a$ & $b$ \\
\cline{2-2} $0$ & $q$ \\
 &
\end{tabular}
\end{defin}

\enlargethispage*{1em}

\textit{Exemples}
\begin{itemize}
 \item $35$ est divisible par $7$ car $35 \div 7 = 5$ ;
\item $24$ est un multiple de $6$ car $24 = 6 \times 4$ ;
\item $8$ est un diviseur de $40$ car $40 \div 8 = 5$.
\end{itemize}

\textit{Remarques :}
\begin{itemize}
 \item Tout nombre entier est divisible par $1$. 
\item Les multiples d'un nombre 
entier sont tous les produits de sa table de multiplication ($7$, 
$14$, $21$ et $28$ par exemple, sont des multiples de $7$).
\item Tout nombre entier possède donc une infinité de multiples.
\end{itemize}




\begin{aretenir}[Critères de divisibilité]\label{criteredivisibilite}
Un nombre entier est divisible \ldots
\begin{itemize}
\item par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8;
\item par 3 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 3~;
\item par 5 s'il se termine par 0 ou 5~;
\item par 9 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 9.
\end{itemize}
\end{aretenir}

\begin{Exemple}
642 est divisible par \ldots 
\begin{itemize}
\item 2 car il se termine par 2;
\item 3 car $6 + 4 + 2 =12$, et 12 est un multiple de 3.
\end{itemize}
\end{Exemple}

\label{chap:nombres-premiers-liste}
\section{Nombres premiers}

\begin{defin}[nombre premier]
Un \emph{nombre premier} est un entier positif qui a exactement deux 
diviseurs : $1$ et lui-même.
\end{defin}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
 \item $7$ est un nombre premier, car ses seuls diviseurs sont $1$ et 
$7$.
\item $22$ n'est pas un nombre premier car ses diviseurs sont $1$ ; 
$2$ ; 
$11$ et $22$.
\end{itemize}
\end{Exemples}


\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item \og $0$\fg{} n'est pas un nombre premier car il n'est pas 
divisible par lui-même.
\item \og $1$\fg{} n'est pas un nombre premier car il admet un seul 
diviseur (lui-même).
\end{itemize}

\end{Remarques}


\begin{aretenir}[liste des nombres premiers inférieurs à 100]
Il existe $25$ nombres premiers inférieurs à $100$ :
\[
2\; ;\; 3\; ;\; 5\; ;\; 7\; ;\; 11\; ;\; 13\; 
;\; 17\; ;\; 19\; ;\; 23\; ;\; 29 \; ; \; 31\; 
;\; 37 \; ;\; 41 \; ;
\]
\[
43\; ;\; 47\; ;\; 53\; ; 
\; 59\; ;\; 61\; ;\; 67 \; ;\;
71\; ;\; 73\; ;\; 79\; ;\; 83\; ;\; 89\; ;\; 97.
\]
\end{aretenir}

\begin{prop}[décomposition en produit de facteurs premiers]
Tout nombre entier supérieur à 2 s'écrit comme le produit de puissances de nombres premiers. Ce produit s'appelle la \emph{décomposition en produit de facteurs premiers} du nombre et elle est unique (à l'ordre près des facteurs).
\end{prop}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $56=2^3\times7$ ;
\item $\numprint{2700}=2^2\times3^3\times5^2$.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{methode}
\label{meth:factpremiers}
Pour décomposer un nombre donné en produit de facteurs premiers, on 
essaie de le diviser par les nombres premiers qui lui sont inférieurs 
en allant du plus petit au plus grand ($2$, $3$, $5$, $7$, $11$, 
etc.) et on s'arrête lorsque le quotient est un nombre premier. On 
écrit alors le produit de tous les facteurs premiers trouvés à l'aide 
d'exposants, en les rangeant par ordre croissant.
\end{methode}

\begin{Exemple}
on veut décomposer \numprint{12540} en produit de facteurs premiers.
\vspace{8pt}

\begin{tabular}{>{\raggedleft\arraybackslash}p{1cm}|p{1cm}p{8cm}}
\numprint{12540} & 2 & \numprint{12540} est divisible par $2$ car il 
se termine par \og $0$\fg{}. $\text{\numprint{12540}} \div 2 = 
\text{\numprint{6270}}$. \\
\numprint{6270} & 2 & $6270$ est aussi divisible par $2$ et 
$\text{\numprint{6270}} \div 2 = \text{\numprint{3135}}$. \\
\numprint{3135} & 3 & \numprint{3135} n'est pas divisible par $2$, 
mais il est divisible par $3$ car $3+1+3+5 = 12$ et $12$ est 
divisible par $3$.

On vérifie à la calculatrice que $\text{\numprint{3135}} \div 3 = 
\text{\numprint{1045}}$. \\
\numprint{1045} & 5 & \numprint{1045} n'est pas divisible par $3$ car 
$1 + 0 + 4 + 5 = 10$ qui n'est pas divisible par $3$.

En revanche, \numprint{1045} est divisible par $5$ car il se termine 
par \og $5$\fg{} et $\text{\numprint{1045}}\div 5 = 209$. \\
209 & 11 & 209 n'est pas divisible par $5$ et la calculatrice montre 
qu'il n'est pas non plus divisible par $7$.

Mais $209\div 11 = 19$, donc ce nombre est divisible par $11$. \\
$19$ & $19$ & $19$ est un nombre premier donc on s'arrête. \\
$1$ & &
\end{tabular}

\vspace{8pt}

On obtient ainsi la décomposition suivante :
\[\text{\numprint{12540}} = 2^2 \times 3 \times 5 \times 11 \times 
19.\]
\end{Exemple}

% \begin{anecdote}[cryptographie]
% La cryptographie est la branche des mathématiques dédiée à l'art de crypter... Cette branche date de l'Antiquité, mais avec l'apparition du numérique, elle a beaucoup évolué à la fin du XX\ieme{} siècle pour chiffrer par exemple les transactions bancaires sur Internet, mais aussi pour crypter vos mots de passe sur divers réseaux sociaux.
% 
% Le mot \emph{cryptographie} vient du grec \emph{kruptos} (qui signifie \og caché \fg) et \emph{graphein} (qui signifie \og écrire \fg).
% 
% \Par
% 
% Les nombres premiers sont à la cryptographie ce que le squelette est au corps humain.
% 
% En effet, les méthodes actuelles de cryptographie reposent essentiellement sur les nombres premiers.
% \end{anecdote}

\newpage

\section{Fractions irréductibles}

\subsection{Rappels sur les calculs avec des fractions}

\subsubsection{Somme et différence de deux fractions}

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur. Dans ce cas, on additionne ou on soustrait les numérateurs entre eux tout en gardant le dénominateur.

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\dfrac{9}{7}+\dfrac{11}{7}=\dfrac{9+11}{7}=\dfrac{20}{7}$.

\item $\dfrac{8}{5}-\dfrac{12}{5}=\dfrac{8-12}{5}=\dfrac{-4}{5}=-\dfrac{4}{5}$.
\end{itemize}
\end{Exemples}

Si les deux fractions n'ont pas le même dénominateur, on les transforme de sorte que ce soit le cas.

\begin{Exemple}
$\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}=\dfrac{3\times5}{4\times5}-\dfrac{7\times4}{5\times4}=\dfrac{15}{20}-\dfrac{28}{20}=\dfrac{15-28}{20}=-\dfrac{13}{20}$.
\end{Exemple}	


\subsubsection{Produit de deux fractions}

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\begin{Exemple}
$\dfrac{-7}{6}\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{-7\times5}{6\times3}=\dfrac{-35}{18}=-\dfrac{35}{18}$.
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
on pensera à simplifier les produits lorsque c'est possible avant 
d'effectuer les multiplications.
\end{Remarque}

\begin{Exemple}
$\dfrac{-32}{15} \times \dfrac{-25}{8} = \dfrac{4 \times 
\textcolor{DR}{8} \times \textcolor{DB}{5} \times 5}{3 \times 
\textcolor{DB}{5} \times \textcolor{DR}{8}} = \dfrac{20}{3}$.
\end{Exemple}



\subsubsection{Quotient de deux fractions}

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

\begin{Exemple}
$\dfrac{5}{3}\div\left(-\dfrac{8}{7}\right)=\dfrac{5}{3}\times\left(-\dfrac{7}{8}\right)=\dfrac{5\times(-7)}{3\times8}=-\dfrac{35}{24}$.
\end{Exemple} 

\begin{attention}
Ne pas confondre \og inverse \fg{} et \og opposé \fg{} d'une fraction.
\begin{itemize}
\item L'inverse de $\dfrac{3}{7}$ est $\dfrac{7}{3}$ ;
\item L'opposé de $\dfrac{3}{7}$ est $-\dfrac{3}{7}$. 
\end{itemize}
\end{attention}

\subsection{Fraction irréductible}

\begin{defin}
Une fraction est \emph{irréductible} si son numérateur et son 
dénominateur ont pour seul diviseur commun $1$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
$169 = 13 \times 13$, donc les diviseurs de $169$ sont : $1$, $13$ et 
$169$.

$34 = 2 \times 17$, donc les diviseurs de $34$ sont : $1$, $2$, $17$ 
et $34$.

$169$ et $34$ ont pour seul diviseur commun \og $1$\fg{}, donc la 
fraction $\dfrac{169}{34}$ est \hbox{irréductible.}
\end{Exemple}

\begin{methode}
Pour obtenir la forme irréductible d'une fraction, on décompose en 
produit de facteurs premiers son numérateur et son dénominateur, puis 
on simplifie par les facteurs premiers communs.
\end{methode}

\begin{Exemple}
on veut rendre irréductible $\dfrac{216}{378}$, on décompose d'abord 
216 et 378 en produit de facteurs premiers :

\[
\begin{tabular}[t]{r|l}
\numprint{216} & 2\\
\numprint{108} & 2\\
\numprint{54} & 2\\
\numprint{27} & 3\\
\numprint{9} & 3\\
3 & 3\\
1 &
\end{tabular}
\qquad\qquad
\begin{tabular}[t]{r|l}
\numprint{378} & 2\\
\numprint{189} & 3\\
\numprint{63} & 3\\
\numprint{21} & 3\\
\numprint{7} & 7\\
1 &
\end{tabular}
\]
On peut alors écrire :

\[
\dfrac{216}{378} 
=\dfrac{2^3\times3^3}{2\times3^3\times7}
= \dfrac{\textcolor{DR}{2}\times2^2\times\textcolor{DG}{3^3}}{\textcolor{DR}{2}\times\textcolor{DG}{3^3}\times7}=\dfrac{4}{7}.
\]

Ainsi, $\dfrac{4}{7}$ est la forme irréductible de $\dfrac{216}{378}$.
\end{Exemple}

\vfill\text{}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item La fraction $\dfrac{\numprint{1848}}{\numprint{2040}}$ n'est pas irréductible car \numprint{1848} et \numprint{2040} sont deux nombres pairs, donc divisibles par 2. Ainsi, elle peut au moins être simplifiée par 2.

\item La décomposition en produit de facteurs premiers de \numprint{1848} et \numprint{2040} est :
\[
\begin{tabular}{r|l}
\numprint{1848} & 2\\
\numprint{924} & 2\\
\numprint{462} & 2\\
\numprint{231} & 3\\
\numprint{77} & 7\\
11 &11\\
1
\end{tabular}
\qquad\qquad
\begin{tabular}{r|l}
\numprint{2040} & 2\\
\numprint{1020} & 2\\
\numprint{510} & 2\\
\numprint{255} & 3\\
\numprint{85} & 5\\
17 &17\\
1
\end{tabular}
\]

Ainsi, $\numprint{1848}=2^3\times3\times7\times11$ et $\numprint{2040}=2^3\times3\times5\times17$.

\item De la question précédente, on peut déduire:
\[
\dfrac{\numprint{1848}}{\numprint{2040}}=\dfrac{\textcolor{DR}{2^3\times3}\times7\times11}{\textcolor{DR}{2^3\times3}\times5\times17}=\dfrac{7\times11}{5\times17}=\dfrac{77}{85}.
\]
\end{questions}
\end{solintro}
