\setcounter{chapter}{5}
\chapter{Statistiques}
\label{chap:statistiques}

\begin{exointro}{Collège Saint-Michel, Lille}
Les diagrammes en bâtons suivants donnent la répartition des notes dans deux classes de 3\ieme{} pour un même contrôle.

\Par

\subsubsectionnn{Classe 1}

\begin{center}
\includegraphics{121_06_05}
\end{center}

\subsubsectionnn{Classe 2}

\begin{center}
\includegraphics{121_06_06}
\end{center}

\begin{questions}
\item Pour chacune des classes,
\begin{questions}
\item Combien d'élèves ont été notés à ce contrôle ?
\item Calculer la moyenne, la médiane et l'étendue de ces notes.
\end{questions}

\item Comparer les notes obtenues à ce contrôle dans les deux classes.

\item Calculer la fréquence des notes supérieures ou égales à 10 dans chacune des classes. Les fréquences seront exprimées en pourcentage.
\end{questions}
\end{exointro}

\section{Définitions}

\begin{defin}[série statistique]
Une \emph{série statistique} est une suite de valeurs permettant 
d'étudier un aspect particulier d'un ensemble de personnes ou 
d'objets. L'ensemble étudié s'appelle la \emph{population} et chaque 
élément de cet ensemble est un \emph{individu}.
\end{defin}

\begin{Exemples}
L'étude peut porter sur les notes des élèves d'une classe à un 
contrôle, sur les températures mensuelles moyennes dans une ville 
pendant un temps donné, ou encore sur les poids des cartables à la 
rentrée de sixième.
\end{Exemples}

On considère une série statistique à $p$ valeurs distinctes rangées 
dans l'ordre croissant.
\[\underbrace{x_1 \; ; \; x_1 \; ; \; \ldots \; ; \; x_1}_{n_1 
\text{ valeurs}}  \; ; \; \underbrace{x_2 \; ; \; x_2 \; ; \; \ldots 
\; ; \; x_2}_{n_2 \text{ valeurs}} \; ; \; \ldots \; ; \; 
\underbrace{x_p \; ; \; x_p \; ; \; \ldots \; ; \; x_p}_{n_p \text{ 
valeurs}}.\]

Pour plus de lisibilité, on représente ces séries sous forme de 
tableaux (ou de graphiques). On obtient alors :
\begin{center}
\begin{tabular}{|M{1.5cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}|} \hline
Valeurs & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_p$ \\ \hline
Effectifs & $n_1$ & $n_2$ & $\cdots$ & $n_p$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{defin}[effectif total]
L'\emph{effectif total} d'une série statistique est le nombre 
d'individus de la population étudiée.
\end{defin}

On note $N$ l'effectif total de la série précédente, $N = n_1 + n_2 + 
\cdots + n_p$.

\begin{defin}[fréquence]
La \emph{fréquence} $f$ d'une valeur est donnée par la formule :
\[f = \dfrac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}}.\]
\end{defin}

\begin{Remarque}
pour obtenir la fréquence en pourcentage, on calcule $f\times 100$.
\end{Remarque}

\textit{Exemple :} un professeur d'EPS compte le nombre de tours de 
stade effectués par chacun de ses élèves. Il obtient les résultats du tableau qui suit. 

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textit{Voir tableau page suivante.}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|M{3cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}|
>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}|} \hline
Nombre de tours & $3$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \\ \hline
Effectifs & $1$ & $3$ & $6$ & $8$ & $2$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par
\begin{align*}
N = 1 + 3 + 8 + 6 + 2 = 20.
\end{align*}
\Par
L'effectif total est $20$, ce qui signifie qu'il y a $20$ élèves dans 
ce groupe.

\Par

$\dfrac{3}{20}$ des élèves ont effectué $5$ tours de stade, soit 
$15\%$ des élèves car :
\begin{align*}
\dfrac{3}{20} \times 100 = 15.
\end{align*}



\section{Caractéristiques d'une série statistique}

\subsection{Moyenne (caractéristique de position)}

\begin{defin}[moyenne]
La \emph{moyenne} d'une série statistique se calcule en additionnant 
toutes les valeurs de la série et en divisant le résultat obtenu par 
le nombre de valeurs. 

On la note $\Moy{x}$.
\end{defin}

Lorsqu'on a un tableau d'effectifs, on utilise la formule suivante :
\begin{align*}
\Moy{x} = \dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots + n_px_p}{N}.
\end{align*}

\begin{Exemple}
Le nombre moyen de tours effectués par les élèves se calcule ainsi :
\begin{align*}
\Moy{x} = \dfrac{1 \times 3 + 3\times 5 + 6\times 6 + 8\times 7 + 
2\times 8}{20} = \dfrac{126}{20} = 6,3.
\end{align*}
\end{Exemple}

De la même manière, pour calculer la moyenne d'une série de notes 
affectées de coefficients : on fait la somme des notes multipliées 
par leurs coefficients et on divise le résultat obtenu par la somme 
des coefficients.

\subsection{Médiane (caractéristique de position)}

\begin{defin}[médiane]
Quand une série statistique est ordonnée, la \emph{médiane} est la 
valeur qui partage cette série en deux parties de même effectif.
\end{defin}

\vfill
\text{}

\newpage

\begin{methode}
Pour déterminer la médiane d'une série, on range les valeurs de la 
série dans l'ordre croissant, puis :
\begin{itemize}
\item si $N$ est pair, alors la médiane est la moyenne des valeurs de 
la série aux rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$.
\item si $N$ est impair, alors la médiane est la valeur de la série 
au rang $\dfrac{N+1}{2}$.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item \textit{Cas où l'effectif total est pair.} 

\Par

Reprenons les 
nombres de tours de stade effectués par les $20$ élèves. On écrit 
toutes les valeurs dans l'ordre croissant :
\begin{align*}
\underbrace{3 \; ; \; 5 \; ; \; 5 \; ; \;  5 \; ; \; 6 \; ; \;  6 \; ; 
\;  6 \; ; \;  6 \; ; \; 6 \; ; \; \textcolor{DR}{6}}_{10 \text{ 
valeurs}} \; ; \;  \underbrace{\textcolor{DR}{7} \; ; \; 7 \; ; \; 7 
\; ; \; 7 \; ; 
\; 7 \; ; \; 7 \; ; \; 7 \; ; \; 7 \; ; \;  8 \; ; \;  8}_{10 \text{ 
valeurs}}.
\end{align*}
Ici $N = 20$ et $N$ est pair. On calcule : $20 \div 2 = 10$.

\Par

La médiane de la série est donc la moyenne de la dixième et de la 
onzième valeur de la série, soit $\dfrac{6+7}{2} = 6,5$.

\Par

Interprétation de ce résultat : cela signifie que la moitié des 
élèves (soit $50\%$ des élèves) ont effectué moins de $6,5$ tours et 
l'autre moitié plus de $6,5$ tours.
\item \textit{Cas où l'effectif total est impair.} 
\Par

On considère les 
$9$ notes obtenues par un élève en anglais cette année :
\begin{align*}
\underbrace{8 \; ; \; 8 \; ; \; 10 \; ; \; 12}_{4\text{ valeurs}} \; ; 
\; \textcolor{DR}{13} \; ; \; \underbrace{14 \; ; \; 16 \; ; \; 16 \; 
; \; 17}_{4\text{ valeurs}}
\end{align*}
Ici, $N = 9$ et $N$ est impair. On calcule $9 \div 2 = 4,5$. 

\Par

La médiane de la série est donc la cinquième note de la série, soit 
$13$.
\end{itemize}

\end{Exemples}

\subsection{\'Etendue (caractéristique de dispersion)}

\begin{defin}[étendue]
L'\emph{étendue} d'une série statistique est la différence entre la 
plus grande valeur de la série et la plus petite.
\end{defin}

\textit{Exemple :}

Le plus grand nombre de tours effectués est $8$, 
le 
moins grand 
nombre est $3$.

$8-3=5$. L'étendue de cette série est donc égale à $5$ tours.

\text{}
\vspace{-1em}

\begin{aretenir}
Quand l'étendue est petite, on dit que la série est \emph{homogène}; quand elle est relativement grande, on dit que la série est \emph{hétérogène}.
\end{aretenir}

\section{Comparer deux séries statistiques}

Pour comparer deux séries statistiques, on peut s'aider des 
caractéristiques de position et de dispersion.

\begin{Exemple}
le tableau ci-dessous donne le nombre de tours de stade effectués par 
des élèves de troisième.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|M{3cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{1cm}|} \hline
Nombre de tours & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ \\ \hline
Effectifs & $1$ & $4$ & $6$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par

Le nombre moyen de tours effectués par les élèves est :
\begin{align*}
\Moy{x} = \dfrac{1 \times 4 + 4\times 5 + 6 \times 6 + 9 \times 
7}{20} = \dfrac{123}{20} = 6,15.
\end{align*}

\Par

La série ordonnée dans l'ordre croissant est :
\begin{align*}
\textcolor{DR}{4} \; ; \; \textcolor{DR}{5} \; ; \; \textcolor{DR}{5} 
\; ; \; \textcolor{DR}{5} \; \textcolor{DR}{;} \; \textcolor{DR}{5} 
\; ; \; \textcolor{DR}{6} \; ; \; \textcolor{DR}{6} \; ; \; 
\textcolor{DR}{6} \; ; \; \textcolor{DR}{6} \; ; \; \textcolor{DR}{6} 
\; ; \; \textcolor{DG}{6} \; ; \; \textcolor{DG}{7} \; ; \; 
\textcolor{DG}{7} \; ; \; \textcolor{DG}{7} \; ; \; \textcolor{DG}{7} 
\; ; 
\; \textcolor{DG}{7} \; ; \; \textcolor{DG}{7} \; ; \; 
\textcolor{DG}{7} \; ; \; \textcolor{DG}{7} \; ; \; \textcolor{DG}{7}
\end{align*}
La dixième et la onzième valeur sont égales à $6$, donc la médiane 
est égale à $6$.

\Par

L'étendue est égale à $7-4 = 3$ tours.

\Par

On a alors le tableau comparatif suivant :

\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|M{1.5cm}|>{\centering\arraybackslash}m{3cm}|>{
\centering\arraybackslash}m{3cm}|} \hline
& Classe de quatrième & Classe de troisième \\ \hline
Moyenne & $6,3$ & $6,15$ \\ \hline
Médiane & $6,5$ & $6$ \\ \hline
\'Etendue & $5$ & $3$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

On peut alors remarquer que :
\begin{itemize}
\item le nombre de tours moyen et médian de la classe de quatrième 
sont supérieurs à ceux de la classe de troisième, mais les résultats 
différent peu ;
\item l'étendue des tours en quatrième est nettement supérieure à 
l'étendue des tours en troisième.
\end{itemize}

\Par

On peut donc en conclure que le niveau en course des élèves de 
quatrième est légèrement supérieur au niveau de la classe de 
troisième, mais que la classe de troisième a un niveau bien plus 
homogène.
\end{Exemple}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Pour la classe 1, il y a

4 élèves qui ont eu 7/20,

5 élèves qui ont eu 8/20,

6 élèves qui ont eu 9/20,

2 élèves qui ont eu 10/20,

4 élèves qui ont eu 11/20,

3 élèves qui ont eu 12/20,

1 élèves qui ont eu 13/20.

Il y a donc $4+5+6+2+4+3+1=25$ élèves qui ont été notés à ce 
contrôle.

\Par

Pour la classe 2, on effectue la même démarche.

Il y a donc $2+6+4+4+5+3+2=26$ élèves qui ont été notés à ce 
contrôle.

\item Pour la classe 1,
\begin{itemize}
\item La moyenne est : 

\[
\Moy{x} = \dfrac{4\times 7 + 5\times 8 + \cdots + 1\times 13}{25} = 
\dfrac{235}{25} = 9,4.
\]

\item Pour déterminer la médiane, on range les $25$ notes dans 
l'ordre croissant. $25 \div 2 = 12,5$. La médiane est donc la 
treizième note.

\Par

\[
\underbrace{7~;~7~;~\cdots~;~9}_{\text{12 notes}}~;~9~;~\underbrace{9~;~9~;~\cdots~;~12~;~13}_{\text{12 notes}}
\]

\Par

La médiane est donc égale à 9.

\item L'étendue est : $13-7=6$.
\end{itemize}

Pour la classe 2,
\begin{itemize}
\item La moyenne est :

\[\Moy{x} = \dfrac{2\times 8 + 6\times 9+\cdots + 2\times 16}{26} = 
\dfrac{297}{26} \approx 11,4.
\]
\item En ordonnant les notes dans l'ordre croissant, on obtient :
\[
\underbrace{8~;~8~;~9~;~\cdots~;~10~;~12}_{\text{13 notes}}~;~\underbrace{12~;~12~;~\cdots~;~16}_{\text{13 notes}}
\]

\Par

La médiane est donc la moyenne des 13\ieme{} et 14\ieme{} notes, qui sont toutes les deux égales à 12; donc la médiane est égale à 12.

\item L'étendue est : $16-8=8$.
\end{itemize}
\end{questions}

\BreakWithoutItem

\item Le tableau comparatif est :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|c|c|}\hline
\tabulartitle
&  Classe 1 & Classe 2\\
\hline
Moyenne & 9,4 & 11,4\\
\hline
Médiane & 9 & 12\\
\hline
\'Etendue & 6 & 8\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On constate alors que la classe 2 a une meilleure moyenne et une meilleure médiane. En revanche, son étendue est supérieure à celle de la classe 1, ce qui signifie que les notes sont plus dispersées.

Les notes de la classe 1 sont donc plus homogènes que celles de la 
classe~2.

\item Pour la classe 1, il y a $2 + 4 + 3 + 1 = 10$ élèves qui ont eu 
des notes supérieures ou égales à $10$.

\Par

La fréquence des notes supérieures ou égales à $10$ est donc égale à :
\[f_1 = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5},\] soit $40\%$ des élèves (car 
$\dfrac{2}{5} \times 100 = 40$).

\Par

Pour la classe $2$,
\[f_2 = \dfrac{4+4+5+3+2}{26} = \dfrac{18}{26} = \dfrac{9}{13}.\]
Donc $\dfrac{9}{13}$ des élèves de cette classe ont eu des notes 
supérieures ou égales à $10$, soit environ $69\%$.
\end{questions}
\end{solintro}
\vspace*{-1cm}
