\thumb

\begin{qcm}{Étude d'une série de notes}{5}
Pour chacune des propositions, choisir la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.

Pour ce QCM, toutes les questions portent sur la série statistique suivante des notes d'une classe de 3\ieme à un devoir de mathématiques :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Notes & 3 & 4 & 6 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 15 & 17 & 18\\
\hline
Effectif & 1 & 2 & 3 & 2 & 4 & 3 & 2 & 3 & 2 & 1 & 1 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item L'effectif total de cette série est de :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{25} &  \choix{126} &  \choix{245}
\end{tabularx}

\item L'effectif associé à la note 3 est : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{1} & \choix{4} & \choix{6}
\end{tabularx}

\item L'étendue de cette série est : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{0} & \choix{3} & \choix{15}
\end{tabularx}

\item La moyenne de cette série est : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{$10,5$} &  \choix{$9,8$} & \choix{Environ $2,1$}
\end{tabularx}

\item La médiane de cette série est : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{$10,5$} & \choix{$2,5$} & \choix{10}
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM1corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. L'effectif total de cette série est de 25.

Pour déterminer l'effectif total, il faut additionner tous les effectifs. 

Il vient : 
\[
1 + 2 + 3 + 2 + 4 + 3 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 25.
\]

\begin{attention}
On obtient 126 en additionnant toutes les notes et 245 en faisant la somme des produits de chaque note par son effectif associé.
\end{attention}

\item Réponse \choix[a]. L'effectif associé à la note 3 est 1.

Il s'agit ici d'une simple lecture du tableau.

\begin{attention}
Il ne faut pas confondre les lignes. Si vous avez répondu 6, vous
avez peut-être confondu effectif et note : 3 est l'effectif
associé à la note 6. Si vous avez répondu 4, vous avez peut-être
compté le nombre de fois où le chiffre 3 apparaît dans le tableau.
\end{attention}

\item Réponse \choix[c]. L'étendue de cette série est 15.

L'étendue est la différence entre la note la plus élevée (18) et la
note la plus basse (3). C'est donc bien 15.

\begin{attention}
Si vous avez répondu 3, c'est que vous avez peut être calculé la
différence entre le plus grand effectif (4) et le plus petit
effectif (1), confusion classique. Quant à la réponse 0, il
s'agit peut-être de la différence entre les effectifs associés aux
notes 18 et 3, ce qui n'est pas l'étendue !
\end{attention}

\item Réponse \choix[b]. La moyenne de cette série est $9,8$.

Pour calculer la moyenne de cette série, on effectue le calcul 
suivant :
\[\Moy{x} = \dfrac{3\times 1 + 4\times 2 + 6\times 3 + 8\times 2 + 
\cdots + 17\times 1+18\times 1}{25} = \dfrac{245}{25} = 9,8.\]

\begin{attention}
$10,5$ est le résultat que l'on trouve en additionnant toutes les
valeurs de notes et en divisant par 12 puisqu'il y a 12 notes
différentes. En faisant cela, vous oubliez de prendre en compte que
certaines notes ont été obtenues par plusieurs élèves et non un
seul\ldots{} Quant à la réponse $2,1$ il s'agit de la moyenne des
effectifs et non des valeurs du caractère.
\end{attention}

%% MODIF 2
\item Réponse \choix[c]. La médiane de cette série est $10$. Il y a 
$25$ élèves dans cette classe et $25 \div 2 = 12,5$. La médiane de 
cette série est donc la 13\ieme{} note de la série (en rangeant les 
notes par ordre croissant). Il y aura ainsi $12$ notes avant et $12$ 
notes après cette note médiane. En observant le tableau d'effectifs, 
on remarque que les $12$ moins bonnes sont comprises entre $3$ et 
$9$, et que la 13\ieme{} note est $10$. C'est donc la note médiane de 
cette série.
%%
\begin{attention}
Les deux autres réponses proposées sont donc fausses et
correspondent peut être à une confusion entre l'effectif total de la
série et le nombre de colonnes du tableau. Il y a 12 colonnes et
vous avez peut-être séparé le tableau en deux : la 6\ieme{} colonne
correspondant à la note 10 (d'effectif 2) et la 7\ieme{} à la note 11 (d'effectif 3).
\end{attention}
\end{questions}

\vspace{1ex}~
\end{corrige}

% QCM2

\begin{qcm}{Moyenne et médiane}{3}
Pour chacune des propositions, choisir la ou les réponse(s) correcte(s). Aucune justification n'est demandée.

\begin{questions}
\item La médiane d'une série statistique est\ldots{}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{inférieure à la moyenne} & 
\choix{supérieure à la moyenne} \\
\choix{On ne peut pas répondre}
\end{tabularx}

\item Sophie a eu 8 coefficient 3 en géométrie. La note d'algèbre est coefficient 5. Pour avoir au moins 10 de moyenne en mathématiques, sa note minimale doit être\ldots\resetchoix

\choix qu'elle ait au moins 11 en algèbre

\choix qu'elle ait au moins $11,5$ en algèbre

\choix qu'elle ait au moins 12 en algèbre
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM2corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. La médiane d'une série statistique est \ldots{} On ne peut pas répondre.

En effet, considérons la série de 3 nombres : 1 -- 2 -- 6. La médiane est 2 et la moyenne est 3 donc la médiane est ici inférieure à la moyenne. Mais si on considère la série de 3 nombres : 1 -- 5 -- 6. La médiane est 5 et la moyenne vaut 4. Cette fois ci la médiane est
supérieure à la moyenne.

\item Réponse \choix[b]. Sophie a eu 8 coefficient 3 en géométrie. La note d'algèbre est coefficient 5. Pour avoir au moins 10 de moyenne en mathématiques, il faut qu'elle ait au moins $11,5$ en algèbre.

C'est le calcul qui nous permet de répondre\ldots{} Avec 11 en algèbre, la moyenne de Sophie sera de $\dfrac{8 \times 3 + 11 \times 5}{8} = 9,875$, ce qui est insuffisant. En revanche, avec $11,5$ en algèbre, la moyenne de Sophie sera de $\dfrac{8\times3+ 11,5\times 5}{8} = \nombre{10,1875}$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

% EX3

\begin{exo}{Moyenne avec un tableur}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{1}{4}
Voici le relevé des heures effectuées par 16 employés d'une société au 
cours d'un mois donné :
\[189~;231~;230~;211~;226~;253~;211~;230~;\]
\[202~;189~;170~;192~;200~;155~;241~;215.\]
\begin{questions}
\item Déterminer le nombre moyen d'heures effectuées par ces salariés au cours de ce mois.
\item On souhaite utiliser un tableur pour vérifier notre calcul. Pour cela, on entre dans la colonne A tous les nombres de cette liste, en commençant sur la ligne 1.

Quelle formule doit-on entrer dans la cellule B1 afin qu'apparaisse le nombre moyen d'heures effectuées par ces salariés au cours de ce mois ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX3corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il suffit ici d'ajouter tous les nombres de la liste et de 
diviser le résultat par 16 (car il y a 16 nombres dans la liste).

On trouve alors 209,06.

\item La formule à entrer dans une cellule afin qu'elle calcule et affiche la moyenne des données mises dans une même colonne (par exemple) est (voir annexe) :
\begin{center}
=MOYENNE(1\iere{} cellule : dernière cellule)
\end{center}

Ici, on va donc entrer dans la cellule B1 la formule :

\begin{center}
=MOYENNE(A1:A16)
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

% EX4

\begin{exo}{Moyenne, étendue}{Collège \'Evariste Galois, Bourg-la-Reine}{1}{6}
Hugo et Lisa ont obtenu, aux 12 devoirs de l'année scolaire, les notes suivantes aux mêmes contrôles~:
\begin{itemize}
\item Hugo : 11 -- 9 -- 10 -- 10 -- 12 -- 8 -- 11 -- 13 -- 9
  -- 10 -- 11 -- 12.
\item Lisa : 5 -- 16 -- 6 -- 7 -- 15 -- 10 -- 8 -- 15 -- 10
  -- 8 -- 17 -- 9.
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Calculer la moyenne annuelle de chacun de ces 2 élèves.
\item Calculer les étendues respectives des deux séries de notes.
\item Commenter les résultats obtenus aux questions 1 et 2.
\end{questions}
\end{exo}

% EX4corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour Hugo :
 
\scalebox{0.95}{$
m_1 = \dfrac{11+9+10+10+12+8+11+13+9+10+11+12}{12}=10,5.$}

  Pour Lisa :
  \[
  m_2=\dfrac{5+16+6+7+15+10+8+15+10+8+17+9}{12}=10,5.
  \]

\item Les notes d'Hugo s'échelonnent de 8 à 13 donc l'étendue $e_1$ 
de sa série de notes est $e_{1}=13-8=5$. 

Les notes de Lisa s'échelonnent de 6 à 17 donc l'étendue de sa série de notes est $e_{2}=17-5=12$.

\item Ces deux élèves ont la même moyenne mais ont un profil très
différent. L'étendue de la série de notes de Lisa est beaucoup plus 
grande que l'étendue de la série de notes d'Hugo, ce qui signifie 
que les notes de Lisa sont beaucoup plus dispersées. Autrement dit, 
Lisa a des résultats moins réguliers que ceux d'Hugo.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX5

\begin{exo}{Moyenne, médiane, étendue}{Collège Camille Saint-Saëns, Lizy-sur-Ourcq}{1}{8}
Voici les tailles (en cm) de 35 carpes pêchées dans un étang :
\begin{center}
27 -- 25 -- 25 -- 22 -- 24 -- 24 -- 25 -- 25 -- 26 -- 27 -- 23 -- 23 -- 26 -- 28 -- 24 -- 24 -- 25 -- 25 -- 30 -- 24 -- 26 -- 24 -- 28 -- 24 -- 27 -- 24 -- 28 -- 28 -- 23 -- 24 -- 25 -- 26 -- 26 -- 22 -- 23
\end{center}
\begin{questions}
\item Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Taille (en cm) & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \\
\hline
Effectifs & & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Calculer la moyenne de cette série statistique (arrondir au mm près).

\item Quelle est la médiane de cette série ?

\item Calculer l'étendue de cette série statistique.
\end{questions}
\end{exo}

% EX5corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour chaque taille $T$ donnée, on compte le nombre de carpes ayant cette taille $T$ : on obtient l'effectif associé à $T$.

On obtient alors le tableau suivant :

\Par

\begin{tabular}{|L|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    Taille (en cm) & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \\
    \hline
    Effectifs & 2 & 4 & 9 & 7 & 5 & 3 & 4 & 0 & 1 \\
    \hline
\end{tabular}

\newpage

\item La taille moyenne de ces carpes se calcule ainsi :

\Par

\scalebox{0.88}{%
$\begin{aligned}
\Moy{x} & = \dfrac{22\times 2+23\times 4+24\times 
9+25\times 7+26\times 5+27\times 3+28\times 4+30\times 1}{35} \\ & = \dfrac{880}{35} \approx 25,1. 
\end{aligned}$
}

\Par

La taille moyenne de ces carpes est donc d'environ  25,1 cm 
(arrondi au mm près).

\item Il y a 35 carpes au total. Il faut donc séparer cette série en deux séries de 17 carpes, les 17 carpes de la 1\iere{} série ayant une taille inférieure ou égale aux tailles des 17 carpes de la 2\ieme{} série. La médiane est la taille de la 18\ieme{} carpe.

On peut remarquer que la 18\ieme{} carpe mesure 25~cm.
La médiane de cette série est donc $25$.

\item L'étendue de cette série est la différence entre les tailles de la plus grande carpe pêchée et de la plus petite. L'étendue $e$ de cette série vaut donc :
\[
 e = 30 - 22 = 8.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

% EX6

% \begin{exo}{Histogramme et fréquence}{Collège Haut-Mesnil, Montrouge}{1}{5}
% Le gérant d'un magasin de vente par correspondance a relevé \nombre{1624} commandes passées par ses clients pendant le mois de décembre. Il obtient l'histogramme suivant :
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{06_01}
% \end{center}
% 
% \begin{questions}
% \item  Compléter le tableau :
% 
% {\small
% \begin{tabularx}{\linewidth}{|M{20mm}|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
% \hline
% Montant $m$ de la commande (en \euro) & $0 \leqslant m<100$ & $100 \leqslant m<200$ & $200 \leqslant m<300$  \\
% \hline
% Nombre de commandes & 58 & 174 &   \\
% \hline
% \multicolumn{4}{c}{~}\\[-7pt]
% \hline
% Montant $m$ de la commande (en \euro) & $300\leqslant m<400$ & $400 \leqslant m<500$ & $500\leqslant m<600$  \\
% \hline
% Nombre de commandes &  &  &   \\
% \hline
% \end{tabularx}}
% 
% \item
%   \begin{questions}
%   \item  Quel est le nombre des commandes dont le montant est strictement inf\'erieur \`a 300~\euro{} ?
%     
%   \item Quel est le nombre des commandes dont le montant est compris entre 100~\euro{} et 500~\euro{} (500~\euro{} non compris) ?
%     
%   \item Quel est le nombre des commandes dont le montant est d'au moins 400~\euro{} ?
%   \end{questions}
% 
% \item Calculer le pourcentage des commandes dont le montant est compris entre 200~\euro{} et 300~\euro{} (300~\euro{} non compris).
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX6corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item ~ \rule{0pt}{1pt}\vspace*{-1.3\baselineskip}
% 
% {\small
% \begin{tabularx}{\linewidth}{|M{20mm}|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
% \hline
% Montant $m$ de la commande (en \euro) & $0 \leqslant m<100$ & $100 \leqslant m<200$ & $200 \leqslant m<300$  \\
% \hline
%  Nombre de commandes & 58 & 174 & 580  \\
% \hline
% \multicolumn{4}{c}{~}\\[-7pt]
% \hline
% Montant $m$ de la commande (en \euro) & $300\leqslant m<400$ & $400 \leqslant m<500$ & $500\leqslant m<600$  \\
% \hline
% Nombre de commandes & 464 & 232 & 116  \\
% \hline
% \end{tabularx}}
% 
% 
% \item
%   \begin{questions}
%   \item  Il y a $58+174+580=812$ commandes d'un montant  strictement
%     inférieur à 300~\euro.
%     
%   \item  Il y a $174+580+464+232=\nombre{1450}$ commandes d'un montant compris entre 100~\euro{} et 500~\euro.
% 
%   \item Il y a $232+116=348$ commandes d'un montant d'au moins
%     400~\euro.
%   \end{questions}
%   \enlargethispage*{3em}
% \item Il y a 580 commandes d'un montant compris entre 200~\euro{} et 300~\euro. Comme le nombre total de commandes est \numprint{1624}, on effectue :
%   \[
% p= {580\over 1624}\times 100 \approx 35,71
% \]
%   donc environ $35,71$~\% des commandes passées sont d'un montant
%   compris entre 200~\euro{} et 300~\euro{} (300~\euro{} non compris).
% \end{questions}
% \end{corrige}

% EX7

\begin{exo}{Diagramme circulaire et fréquence}{Collège Albert Camus, Bois-Colombes}{1}{7}
Le diagramme circulaire suivant représente la répartition des notes de 250 élèves d'un collège lors d'un contrôle commun. Les notes sont toutes comprises entre 0 et 20.

\begin{center}
\includegraphics{130_06_02}
\end{center}

On désigne une note quelconque par la lettre $n$.

\begin{questions}
\item Sachant que 90 élèves ont une note telle que $8\leqslant n<12$,  calculer le pourcentage correspondant.

\item Sachant que, sur le diagramme, l'angle $\widehat{AOB}$ vaut  $86,4$~\degres, calculer le nombre d'élèves dont la note vérifie $12\leqslant n<16$.

\item Sachant que 20~\% des élèves ont une note qui vérifie  $4\leqslant n<8$, calculer l'angle correspondant sur le diagramme.
\end{questions}
\end{exo}

% EX7corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Soit $p$ le pourcentage.
  \[
    p={90\over 250}\times 100= 36.
  \]
Donc 36~\% des élèves de ce collège ont eu à ce contrôle commun une note $n$ telle que $8\leqslant n <12$.
  
\item 360~\degres{} (c'est-à-dire le cercle entier)
  représentent 250 élèves, donc, par proportionnalité,
  $86,4$~\degres{} représentent :
  \[
    n= {86,4\over 360}\times 250=60.
  \]
Donc 60 élèves ont eu à ce contrôle commun une note $n$ telle que\linebreak $12\leqslant n <16$.

\item  Soit $\alpha$ l'angle demandé.
  \[
    \alpha= {20\over 100}\times 360=72.
  \]
Donc l'angle de la section qui correspond au nombre d'élèves ayant
eu une note $n$ telle que $4\leqslant n < 8$ vaut 72~\degres.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX8

\begin{exo}{Diagramme en bâtons}{Collège Ariane, Guyancourt}{1}{7}
Les diagrammes en bâtons ci-dessous donnent les résultats des 
derniers contrôles de mathématiques et de français dans une classe de 
3\ieme.

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
 \textit{Voir diagrammes en bâtons à la page suivante.}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\newpage

\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{131_06_03}
\end{center}

\begin{questions}
\item
  \begin{questions}
  \item \label{exo-stat-quest1a} Calculer la moyenne et proposer une médiane pour les deux disciplines.

  \item Les résultats de la question~\ref{exo-stat-quest1a} fournissent-ils des éléments significatifs pour comparer les deux séries ?
  \end{questions}

\item D'après le graphique :
  \begin{questions}
  \item \label{exo-stat-quest2a} Quelle semble être la série la plus dispersée ?

  \item Calculer l'étendue des deux séries. 

  \item Comparer les étendues obtenues. Cela correspond-il au résultat de la question~\ref{exo-stat-quest2a} ?
  \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

% EX8corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
  \begin{questions}
  \item L'effectif total de cette classe de 3\up{e} est de 20 élèves.

    En effet, si on additionne tous les effectifs associés aux notes
    obtenues en français, il vient : $2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 3 + 1 = 20$.
    
    Si on additionne les effectifs associés aux notes obtenues en
    mathématiques, il vient : $2 + 2 + 2 + 1 + 4 + 3 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 20$.

    Pour calculer la moyenne de cette classe en français, on calcule  :
    \begin{align*}
& \dfrac{7 \times 2 + 8 \times 3 + 9 \times 4 + 10 \times 4 + 11
\times 3 + 12 \times 3 + 17}{20}\\
      &=  \dfrac{200}{20}   = 10.
    \end{align*}

    Pour calculer la moyenne de cette classe en mathématiques, on calcule :
    
    \Par
    
    \scalebox{0.83}{
    $\begin{aligned}
      & \dfrac{3 \times 2 + 6 \times 2 + 7 \times 2 + 9 + 10 \times 4 + 11\times 3 + 12 + 13 + 14+15 \times 2 + 17}{20}\\
      %&+ \dfrac{15 \times 2 + 17}{20}\\
      & = \dfrac{200}{20}= 10.
  \end{aligned}$}

    Les moyennes de français et de mathématiques de cette classe aux derniers contrôles sont donc toutes les deux égales à 10.

    Pour déterminer la médiane de chacune de ces séries de notes, l'effectif total étant de 20, il faut séparer ces notes, rangées dans l'ordre croissant en deux groupes de 10.

    En français, il vient :
    \[
    \underbrace{7\ \ 7\ \ 8\ \ 8\ \ 8\ \ 9\ \ 9\ \ 9\ \ 9\ \ 10}_{10 \text{
        notes les plus basses}}\quad \underbrace{10\ \ 10\ \ 10\ \ 11\ \
      11\ \ 11\ \ 12\ \ 12\ \ 12\ \ 17}_{10 \text{ notes plus élevées}}
    \]

    La médiane est donc 10.

    En mathématiques, il vient :
    \[
    \underbrace{3\ \ 3\ \ 6\ \ 6\ \ 7\ \ 7\ \ 9\ \ 10\ \ 10\ \ 10}_{10
      \text{ notes les plus basses}} \quad \underbrace{10\ \ 11\ \ 11\ \
      11\ \ 12\ \ 13\ \ 14\ \ 15\ \ 15\ \ 17}_{10 \text{ notes les plus
        élevées}}
    \]

    La médiane est donc 10.

  \item Nous avons calculé la même moyenne et déterminé la même
    médiane pour chacune des deux séries de notes. Ces valeurs ne nous
    permettent donc pas de comparer de façon significative ces deux
    séries. On pourrait en effet penser que les notes sont réparties
    de la même façon, ce qui n'est pas le cas !
  \end{questions}

\item
  \begin{questions}
  \item D'après le graphique, la série des notes obtenues en
    mathématiques paraît plus dispersée que celle des notes obtenues en
    français qui sont plus regroupées entre 7 et 12.

  \item L'étendue de la série de notes obtenues en français est $17 - 7
    = 10$ et l'étendue de la série de notes obtenues en mathématiques
    est $17 - 3 = 14$.

  \item L'étendue de la série des notes de mathématiques est plus grande
    que l'étendue des notes obtenues en français, ce qui correspond à notre réponse à la question~(a).
  \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

% EXA

\begin{exo}{Salaires}{Collège Chaptal, Paris}{2}{12}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh6Ex8}}}

\vspace*{-12pt}

\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Salaires}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh6Ex8}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}
\Par

Le tableau ci-dessous donne les salaires mensuels 
bruts, en euros, 
des employés d'une entreprise.
\begin{center}
\scalebox{0.9}{\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}M{1.2cm}
|>{\centering\arraybackslash}m{7mm}
|>{\centering\arraybackslash}m{7mm}
|>{\centering\arraybackslash}m{7mm}
|>{\centering\arraybackslash}m{7mm}
|>{\centering\arraybackslash}m{7mm}
|>{\centering\arraybackslash}m{7mm}
|>{\centering\arraybackslash}m{7mm}
|>{\centering\arraybackslash}m{7mm}
|>{\centering\arraybackslash}m{7mm}|}
\hline
Salaires \linebreak (en \EUR{}) & $850$ & $900$ & \numprint{1250} & 
\numprint{1300} & \numprint{1450} & \numprint{1550} & 
\numprint{2000} 
& \numprint{4100} & \numprint{6000} \\ \hline
Effectifs & $4$ & $3$ & $20$ & $23$ & $25$ & $9$ & $21$ & $5$ & $6$ 
\\ \hline
  
 \end{tabular}}
\end{center}

\begin{questions}
 \item Combien y-a-t-il d'employés dans cette entreprise ?
 \item Quelle est l'étendue de cette série statistique ?
 \item Déterminer, pour cette entreprise, le salaire moyen (arrondi 
au centime près) et le salaire médian.
\item Peut-on affirmer ici que la moitié des salariés gagnent moins 
que la moyenne ?
\item Déterminer à $1$~\% près, le pourcentage de salaires 
supérieurs au SMIC (salaire minimum de croissance), dont le montant est de \numprint{1539,42}~\EUR{} par mois.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]


\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh6Ex8}}}
\vspace*{-15pt}
\begin{questions}
 \item Le nombre d'employés correspond à l'effectif total de cette 
série, soit :
\[4 + 3 + 20 + 23 + 25 + 9 + 21 + 5 + 6 = 116.\]
Il y a donc $116$ employés dans cette entreprise.
\item L'étendue des salaires est égale à : $\text{\numprint{6000}} - 
850 = \text{\numprint{5150}}~\text{\EUR{}}$.
\item Pour calculer le salaire moyen, on effectue le calcul suivant :
\begin{align*}\Moy{x} & = \dfrac{4\times 850 + 3\times 900+20\times 
\text{\numprint{1250}} + \cdots + 6\times 
\text{\numprint{6000}}}{116} \\ & = 
\dfrac{\text{\numprint{209700}}}{116} \approx 
\text{\numprint{1807,76}}~\text{\EUR{}}.\end{align*}
Le salaire moyen est donc d'environ \numprint{1807,76}~\EUR{} 
(arrondi au centime près).

Comme il y a $116$ employés et que $116\div 2 = 58$, le salaire 
médian est la moyenne entre le 58\ieme{} et le 59\ieme{} salaire (en 
rangeant les salaires par ordre croissant). Ces deux valeurs sont 
toutes les deux dans la colonne \numprint{1450}~\EUR{}, donc le 
salaire médian vaut \numprint{1450}~\EUR{}.
\item Par définition de la médiane, $50$~\% des salariés gagnent donc 
moins de \numprint{1450}~\EUR{}, la moyenne étant supérieure à ce 
salaire médian, on peut donc affirmer que la moitié des salariés 
gagnent moins que la moyenne.
\item Il y a : $9+21+5+6 = 41$ employés qui ont un salaire supérieur 
au SMIC. Cela représente donc : $\dfrac{41}{116}\times 100 \approx 
35~\%$ (arrondi à $1$~\% près).

Dans cette entreprise, environ $35$~\% des employés ont un salaire 
supérieur au SMIC.
\end{questions}
\end{corrige}



% EX9

% \begin{exo}{Journalisme}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{2}{5}\enlargethispage*{3em}
% Lors d'un reportage à la télévision, un journaliste montre ce graphique :
% \begin{center}
% \includegraphics{06_04}
% \end{center}
% 
% et dit :
% 
% \og Il y a une très forte augmentation des vols de voitures dans ce quartier entre 2013 et 2014. \fg{} 
% 
% Considérez-vous que l'affirmation du journaliste soit une interprétation correcte de ce graphique ? Justifier la réponse.
% \end{exo}
% 
% % EX9corr
% 
% \begin{corrige}
% \enlargethispage*{2em}
% \begin{attention}
% Soyez vigilants aux graduations sur l'axe vertical !
% \end{attention}
% 
% En regardant rapidement le graphique, on pourrait croire que le nombre de vols de voitures a doublé, mais en fait, il y a eu, en 2012, 428 vols de voitures et 445 en 2014.
% 
% Il y a donc eu $445-428=17$ vols de voitures supplémentaires.
% \[ \dfrac{17}{428}\times100\approx4.\]
% L'augmentation du nombre de vols de voitures correspond donc à 4\;\% du nombre de voitures volées en 2012.
% 
% Cette augmentation n'est donc pas si importante que ce que le journaliste affirme.
% \end{corrige}

% EX10

\begin{exo}{Histogramme}{Collège Henri Matisse, Nice}{2}{10}
On a demandé à quelques élèves la distance (en km) qu'ils devaient parcourir de chez eux au collège. Voici les résultats :
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|c|c|c|c|}
\hline
Distance (en km) & [0\;;\;1[ & [1\;;\;3[ & [3\;;\;5[ & [5\;;\;10] \\
\hline
Effectif         &   20    &   32    &    24   &    10\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{questions}
\item \mbox{Calculer la distance moyenne que parcourt un élève de chez lui au collège}.
\item Construire un histogramme correspondant au tableau.
\item Déterminer dans quel intervalle se trouve la distance médiane.
\end{questions}
\end{exo}

% EX10corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{methode}
Pour calculer une moyenne à partir de données regroupées par classes (ici, on entend par \emph{classes} le fait que l'on regarde les distances comprises entre 0 et 1, puis entre 1 et 3, etc.), il faut prendre en compte le milieu de chaque classe.
\end{methode}
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|c|c|c|c|}
\hline
Distance (en km) & [0\;;\;1[ & [1\;;\;3[ & [3\;;\;5[ & [5\;;\;10] \\
\hline\tabulartitle
Milieu & 0,5 & 2 & 4 & 7,5\\
\hline
Effectif         &   20    &   32    &    24   &    10\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
La moyenne est donc :
\begin{align*}
m & = \dfrac{0,5\times20+2\times32+4\times24+7,5\times10}{20+32+24+10}\\
& = \dfrac{245}{86}\\
& \approx2,85
\end{align*}
La distance moyenne que parcourt les élèves de chez eux au collège est donc environ égale à 2,85 km.

\item \begin{attention}
Il ne faut pas oublier que dans un histogramme, ce n'est pas la hauteur du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif, mais son aire.
\end{attention}
\begin{center}
\includegraphics{139_06_07}
\end{center}
Si la hauteur du dernier rectangle avait été égale à 1, il aurait eu une aire de 10 carreaux, qui aurait donc représenté $10\times2=20$ élèves. Mais ce rectangle représente 10 élèves et non 20, soit la moitié; donc la hauteur donc être égale à la moitié de 1, soit 0,5.

\item L'effectif total est égal à 86. La moitié de l'effectif total est égale à 43. On doit donc trouver l'intervalle dans lequel les effectifs cumulés croissants sont au moins égaux à \og 43 \fg.

$20+32=52>43$ donc la médiane est atteinte dans l'intervalle $[1\;;\;3]$. La distance médiane est donc comprise entre 1 km et 3 km.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX11

\begin{exo}{Trouver la légende}{Collège Condorcet, Paris}{2}{15}
On a interrogé les 624 élèves d'un collège sur le nombre d'heures qu'ils passaient devant un écran pendant un week-end quelconque.

On a représenté ci-dessous un histogramme représentant les résultats.

\begin{center}
\includegraphics{132_06_08}
\end{center}

Trouver la légende de cet histogramme, puis calculer le nombre d'heures moyen que ces élèves passent devant un écran durant un week-end.
\end{exo}

% EX11corr

\begin{corrige}
Nous pouvons compter en tout 52 carreaux dans l'histogramme. Ces 52 carreaux doivent représenter les 624 élèves du collège.
\[ \dfrac{624}{52}=12 \]
donc 1 carreau représente 12 élèves.

On peut donc déduire le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|c|c|c|c|}
\hline
Nombre d'heures & $[0\;;\;1[$ & $[1\;;\;4[$ & $[4\;;\;7[$ & $[7\;;\;9]$\\
\hline
Effectif & 24 & 288 & 216 & 96\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Explications : 
\begin{itemize}
\item Pour savoir le nombre d'élèves qui regardent un écran entre 0 et 1 heure par week-end, on compte le nombre de carreau dans le rectangle de l'histogramme correspondant à cet intervalle : il y en a 2. Comme 1 carreau représente 12 élèves, il y a $2\times12=24$ élèves dans cet intervalle.
\item Il y a $6\times4=24$ carreaux (6 carreaux en longueur et 4 en hauteur) dans le rectangle correspondant à l'intervalle $[1\;;\;4[$.

$24\times12=288$ donc il y a 288 élèves qui regardent un écran entre 1~h et 4~h dans un week-end.

\item Il y a $6\times3=18$ carreaux dans le rectangle correspondant à l'intervalle $[4\;;\;7[$.

$18\times12=216$ donc il y a 216 élèves qui regardent un écran entre 4~h et 7~h dans un week-end.

\item Il y a 8 carreaux dans le rectangle correspondant à l'intervalle $[7\;;\;9[$.

$8\times12=96$ donc il y a 96 élèves qui regardent un écran entre 7 h et 9 h dans un week-end.
\end{itemize}
\begin{methode}
 Comme on l'a vu dans l'exercice précédent, pour calculer le nombre 
d'heures moyen que ces élèves passent devant un écran, on va calculer 
le centre de chaque classe, puis multiplier les effectifs de chaque 
classe par le centre de la classe, et diviser le résultat par 
l'effectif total.
\end{methode}

Calculons les centres des classes :
\[\dfrac{0+1}{2} = 0,5 \quad \dfrac{1+4}{2} = 2,5 \quad 
\dfrac{4+7}{2} = 5,5 \quad \dfrac{7+9}{2} = 8.\]
On peut ensuite calculer la durée moyenne passée devant les écrans :
\[\Moy{x} = \dfrac{0,5\times 24 + 2,5\times 288+5,5\times 
216+8\times 96}{24+288+216+96} = \dfrac{\text{\numprint{2688}}}{624} 
\approx 4,3.\]
Les élèves passent donc en moyenne environ $4,3$~h soit environ 
$4$~h~$18$~min devant un écran par week-end.
\end{corrige}

% EX12

\begin{exo}{Avec de l'algèbre (tâche complexe)}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{3}{15}
\enlargethispage*{3em}
Hugo passe un examen où il y a quatre épreuves : trois épreuves 
écrites, coefficient 2, et une épreuve orale, coefficient 4. Toutes 
ces épreuves sont notées sur 20. Il réussit à cet examen si la moyenne 
des quatre notes est supérieure ou égale à 10/20.

\begin{questions}
\item Hugo a déjà ses notes aux épreuves écrites : 12/20, 7/20 et 9/20. Quelle note, au minimum, doit-il avoir à l'épreuve orale pour réussir son examen ?

\item Julie passe le même examen que Hugo. Elle a eu 15/20 et 11/20 aux deux premières épreuves écrites, mais n'a pas pu connaître la note de la troisième épreuve écrite à cause d'un problème informatique. À l'oral, le professeur lui a dit qu'elle aurait entre 11/20 et 13/20.

Quelques jours après, elle voit sur Internet que sa moyenne est égale à 11/20. Quelle a pu être sa note à la troisième épreuve écrite ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX12corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Avant tout, remarquons que si $a$, $b$ et $c$ représentent les notes aux épreuves écrites (coefficient 2) et $d$ représente celle de l'épreuve orale (coefficient~4), alors la moyenne des notes se calcule ainsi :

\begin{align*}
m & =\dfrac{2a+2b+2c+4d}{2+2+2+4}\\[6pt]
  & =\dfrac{2(a+b+c+2d)}{10}\\[6pt]
  & =\dfrac{a+b+c+2d}{5}.
\end{align*}

La moyenne de Hugo est donc :

\begin{align*}
m & =\dfrac{12+7+9+2x}{5}\\[6pt]
  & =\dfrac{28+2x}{5}\;,
\end{align*}
où $x$ est la note qu'il obtient à l'oral.

\Par

Il réussit son examen si $m\geqslant10$:

\begin{align*}
\dfrac{28+2x}{5}&\geqslant10\\[6pt]
28+2x & \geqslant10\times5\\
\intertext{(en multipliant chaque membre par 5)}
2x & \geqslant50-28\\
2x & \geqslant 22\\
x & \geqslant 11
\end{align*}

\Par

Il faut donc que Hugo ait au moins 11/20 pour réussir à son examen.

\item Notons $y$ la note de Julie à la troisième épreuve écrite et $z$ sa note à l'oral. 

Sa moyenne est :
\begin{align*}
m\prime & =\dfrac{15+11+y+2z}{5}\\
        & =\dfrac{26+y+2z}{5}\\
        & =11
\end{align*}
donc, en multipliant par 5 les deux membres de cette égalité :
\[
26+y+2z=55\qquad\text{soit :}\qquad y+2z=55-26=29.
\]
On sait d'après l'énoncé que :
\[
11 \leqslant z \leqslant 13\qquad\text{soit :}\qquad22\leqslant 2z\leqslant 26
\]
donc, en ajoutant $y$ à chaque membre de cet encadrement :
\[
22+y \leqslant y+2z \leqslant 26+y.
\]
Or, $y+2z=29$ donc :
\[
22+y \leqslant 29 \leqslant 26+y.
\]

\begin{itemize}
\item Si on considère la partie gauche de cet encadrement, on a :
\[ 
22+y\leqslant 29 \] soit : \[ y\leqslant29-22\]
et donc :
\[ y\leqslant 7.\]

\item Si on considère la partie droite de l'encadrement, on a :
\[
29 \leqslant 26+y\] soit : \[  y\geqslant29-26 \]
et donc :
\[ y\geqslant3.\]
\end{itemize}
Finalement, 
\[ 
3 \leqslant y \leqslant 7.
\]

Julie a donc eu une note comprise entre 3 et 7 à la troisième épreuve écrite.
\end{questions}
\end{corrige}



\thumb
\AfficheCorrige
