\setcounter{chapter}{6}
\chapter{Probabilités}
\label{chap:probabilites}

\begin{exointro}{Collège Alain Fournier, Bordeaux}
Dylan dispose d'un jeu de 52 cartes tout à fait normal. Il y a bien 10 cartes numérotées de 1 à 10 ainsi qu'un valet, une dame et un roi
dans chaque couleur.

Dans tout cet exercice, on notera $C$ l'évènement \og tirer un c\oe ur\fg{} et $A$ l'évènement \og tirer un as\fg{}.

\begin{questions}
\item Sophie tire une carte au hasard.
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité $p(A)$ que cette carte soit un as ?
\item Quelle est la probabilité $p(C)$ que cette carte soit un c\oe ur ?
\item Quelle est la probabilité $p(A\text{ et }C)$ que cette carte
soit l'as de c\oe ur ?
\end{questions}

\item Sophie a tiré l'as de c\oe ur. Elle garde la carte entre les mains sans la montrer à Dylan. Dylan manipule le reste du jeu, faces cachées bien sûr, puis retourne successivement deux cartes : un as puis un c\oe ur. Il annonce alors fièrement que la carte que
Sophie a entre les mains est l'As de c\oe ur.

On considère dans cette question que Dylan retourne au hasard
les deux cartes qui lui ont permis de deviner celle que Sophie a
dans les mains.

\begin{questions}
\item Déterminer la probabilité $p(C_1)$ de retourner en premier
une carte de c\oe ur.
\item Déterminer la probabilité $p(A_1)$ de retourner en premier
un as.
\item Compléter l'arbre pondéré page suivante qui représente cette
expérience aléatoire en précisant chaque calcul de probabilité.
\BreakWithoutItem
\begin{center}
\includegraphics{144_07_01}
\end{center}
    
\item Déterminer la probabilité $p(C_1, A_2)$ de retourner un c\oe ur puis un as.
\item Déterminer la probabilité $p(A_1, C_2)$ de retourner un as puis un c\oe ur. Que remarquez-vous ?
\item Déterminer la probabilité $p$ de retourner une carte de c\oe
ur et un as, quel que soit l'ordre dans lequel elles sont retournées. 
\end{questions}

\item À votre avis, Dylan n'a-t-il été guidé que par le hasard pour
retourner ces deux cartes ?
\end{questions}
\end{exointro}

\section{Définitions}

\begin{defin}[expérience aléatoire]
Une \emph{expérience aléatoire} est une expérience dont on connaît 
toutes les issues (ou résultats) possibles, mais dont on ne peut pas 
prévoir de façon \emph{certaine} le résultat.

L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire est appelé 
\emph{univers}. Il est noté $\Omega$ (se lit \og oméga\fg{}).
\end{defin}

\begin{Exemples}
On lance un dé cubique et on s'intéresse au nombre obtenu sur la face 
supérieure. Cette expérience a six issues : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; 
$5$ et $6$.
\end{Exemples}

\begin{defin}[évènement]
Un \emph{évènement} est un ensemble d'issues de l'expérience 
aléatoire.

On dit que chacune de ces issues \og réalise l'évènement\fg{}.
\end{defin}

\begin{itemize}
\item Un évènement qui ne contient qu'une seule issue s'appelle un 
\emph{évènement élémentaire}.
\item Un évènement qui est sûr de se produire s'appelle un 
\emph{évènement certain}.
\item Un évènement qui ne peut pas se produire s'appelle un 
\emph{évènement impossible}.
\end{itemize}

\begin{Exemples}
Reprenons notre dé à six faces. 

Si l'on note $A$ l'évènement \og Obtenir un multiple $3$\fg{}, $A$ 
contient comme issues $3$ et $6$. On dit que \og $3$ et $6$ réalisent 
l'évènement $A$\fg{}.

\Par

On note $B$ l'évènement \og Obtenir $4$\fg{}. $B$ est un évènement 
élémentaire.

\Par

On note $C$ l'évènement \og Obtenir un nombre positif\fg{}. $C$ est 
un évènement certain.

\Par

On note $D$ l'évènement \og Obtenir un nombre supérieur à $8$\fg{}. 
$D$ est un évènement impossible.
\end{Exemples}

\begin{defin}[évènement contraire]
L'\emph{évènement contraire} d'un évènement $A$ est l'évènement qui 
contient toutes les issues de l'univers qui ne \emph{réalisent pas} 
$A$.

On le note $\overline{A}$ (se lit \og $A$ barre\fg{}).
\end{defin}

\begin{Exemple}
Pour le dé à six faces, l'évènement $\overline{A}$ ($A$ étant 
l'évènement \og obtenir un multiple de $3$\fg{}) contient comme 
issues 
: $1$ ; $2$ ; $4$ et $5$.
\end{Exemple}

\begin{defin}[évènements incompatibles]
On dit que deux évènements sont \emph{incompatibles} lorsqu'ils ne 
peuvent pas se réaliser en même temps.
\end{defin}

\begin{Exemple}
Pour le dé à six faces, les évènements $A$ et $B$ sont incompatibles.
\end{Exemple}







\section{Équiprobabilité}
\label{sec-equiproba}

\begin{defin}[situation d'équiprobabilité]
On est dans une \emph{situation d'équiprobabilité} lorsque 
chaque issue de l'univers a autant de chance que les autres d'être 
obtenue.
\end{defin}

\noindent\textit{Exemples :}
le lancer d'un dé non pipé ou le tirage d'une carte au hasard sont 
des situations d'équiprobabilité.

\begin{prop}
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement 
$A$ est donnée par la formule suivante :
\[p(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues qui réalisent 
$A$}}{\text{nombre d'issues de l'univers}}.\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
dans le cas du dé cubique non pipé, on a ainsi :
\[p(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \; ; \; p(B) = \dfrac{1}{6} \; 
; \; p(C) = 1 \; ; \; p(D) = 0.\]
\end{Exemple}





\section{Propriétés}
\label{sec-prop-proba}

La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre 0 et 1.

  \begin{Remarque}
   comme on l'a observé dans l'exemple précédent, la probabilité d'un 
évènement \emph{impossible} est $0$ et la probabilité d'un évènement 
\emph{certain} est $1$.
  \end{Remarque}

  \begin{props}
  \begin{itemize}
  \item Soit $E$ un évènement, on a alors $p(\overline{E}) = 1-p(E)$.
  \item Si $E$ et $F$ sont deux évènements incompatibles, alors on a 
: 

$p(E \text{ ou } F) = p(E) + p(F)$.
\item La somme des probabilités des évènements élémentaires est égale 
à $1$.
  \end{itemize}

  \end{props}
  
  \begin{Exemples}
  Dans le cas du dé cubique, la probabilité de ne pas obtenir un 
multiple de $3$ est :
\[p(\overline{A}) = 1 - p(A) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}.\]

Par ailleurs, comme $A$ et $B$ sont incompatibles, la probabilité 
d'obtenir \og $4$\fg{} ou un multiple de $3$ est :
\[p(A \text{ ou } B) = p(A) + p(B) = \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} = 
\dfrac{1}{2}.\]
  \end{Exemples}



\section{Arbre pondéré}
\label{sec-arbre}

On représente les issues possibles d'une expérience aléatoire par un 
schéma qu'on appelle un \og arbre\fg{}. Chaque branche mène à une des 
issues possibles. Si on indique de plus, sur chaque branche, la 
probabilité d'obtenir ce résultat, on dit que l'arbre est \og 
pondéré\fg.

\begin{Exemple}
considérons une urne dans laquelle il y a $10$ boules bleues, $5$ 
boules rouges et une boule noire.

\Par

On note $B$ l'évènement \og tirer une boule bleue\fg{}, $R$ 
l'évènement \og tirer une boule rouge\fg{} et $N$ l'évènement \og 
tirer une boule noire\fg{}.

\Par

% \begin{minipage}[b]{9cm}
Dans cette expérience, il y a trois issues possibles :

\begin{itemize}
\item Tirer une boule rouge avec la probabilité :
$$p(R) = \dfrac{5}{16} = \nombre{0,3125}.$$


\item Tirer une boule bleue avec la probabilité :
$$p(B) = \dfrac{10}{16} = 0,625.$$

\item Tirer une boule noire avec la probabilité :
$$p(N) = \dfrac{1}{16} =\nombre{0,0625}.$$
\end{itemize}

On peut donc représenter cette expérience aléatoire par l'arbre 
pondéré suivant :
% \end{minipage}
\end{Exemple}

\begin{center}
\includegraphics{147_07_02}
\end{center}



\section{Expérience à deux épreuves}
\label{sec-exp-2-ep}

% \begin{minipage}[b]{7cm}
On dit qu'une expérience est \og à deux épreuves\fg{} si elle consiste en une succession de deux expériences aléatoires élémentaires.

\begin{defin}
Chaque succession de deux branches représentant un résultat possible
est appelée un \og chemin\fg{}.
\end{defin}

Par exemple, l'expérience aléatoire qui consiste à tirer successivement deux boules au hasard dans l'urne est une expérience à deux épreuves.

Considérons que l'on remet la boule tirée en premier avant de tirer la 
deuxième, on peut alors représenter les issues possibles de cette 
expérience par l'arbre pondéré de la page suivante.

% \end{minipage}\hspace{1em}
\begin{center}
\includegraphics{148_07_03}
\end{center}

\begin{prop}
Dans un arbre pondéré, la probabilité du résultat auquel conduit un 
chemin est égal au \emph{produit} des probabilités des branches qui 
constituent ce chemin.
\end{prop}

Par exemple, la probabilité de l'évènement \og tirer une boule bleue 
puis une boule noire\fg{}, que l'on note \og $B_1$, $N_2$\fg{} est :
\[
p(B_1, N_2) = \frac{10}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{10}{256}    = 
\frac{5}{128}.
\]

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Dans cet exercice, l'univers est l'ensemble des 52 cartes du 
jeu.

  \begin{questions}
  \item Il y a dans ce jeu 4 as donc :
    \[
      p(A) = \dfrac{4}{52} =\dfrac{1}{13}
    \]

  \item Il y a dans ce jeu 13 cartes de c\oe ur donc $p(C) =
    \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$.

  \item Il n'y a qu'un seul as de c\oe ur dans ce jeu donc : $p(A
    \text{ et } C) = \dfrac{1}{52}$.
  \end{questions}
\Break
\item 
  \begin{questions}
  \item \label{enum-proba-a} Sophie a entre les mains l'as de c\oe
    ur. Il n'y a donc plus que 51 cartes dans le jeu et parmi ces 51
    cartes, il n'y a plus que 12 cartes de c\oe ur donc :
    \[
      p(C_1) = \frac{12}{51} = \frac{4}{17}.
    \]

  \item \label{enum-proba-b} Parmi les 51 cartes que Dylan manipule, il n'y a plus que 3 as donc :
    \[
      p(A_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}.
      \]

  \item Pour la deuxième carte, $p(A_2)$ est donnée donc on peut déduire rapidement que :
\[
p(\Moy{A_2}) = 1 - p(A_2) = 1 - \frac{3}{50} = \frac{47}{50}.
\]
Après avoir retourné la première carte, il reste 50 cartes. Si c'est un as que le magicien a retourné en premier, il reste dans le jeu 12 cartes de c\oe ur. 

Donc la probabilité de retourner un c\oe ur après avoir retourné un as est :
\[
p(C_2) = \frac{12}{50} = \frac{6}{25}.
\]

 Et on en déduit : 
\begin{align*}
p(\Moy{C_2}) &= 1- p(C_2) \\
                 &= 1 - \frac{6}{25} = 
\frac{19}{25}.
\end{align*}

\enlargethispage{2cm}

On peut alors compléter l'arbre en y inscrivant sur les deux premières branches les probabilités $p(C_1)$ et $p(A_1)$ déterminées
aux questions~2.a) et~2.b).

% \BreakWithoutItem
On obtient l'arbre suivant.

\medskip  

\begin{center}
\includegraphics{149_07_04}
\end{center}

\BreakWithoutItem

\begin{Remarque}
on peut vérifier la probabilité de retourner un as en deuxième si la première carte retournée est un c\oe ur. Comme il ne reste que 50 cartes, dont 3 as, cette probabilité est bien de $\dfrac{3}{50}$.
\end{Remarque}
\item Pour calculer $p(C_1, A_2)$ on utilise le chemin correspondant de l'arbre précédent et on en déduit :
\[
p(C_1,A_2) = \frac{4}{17} \times \frac{3}{50} = \frac{12}{850} =\frac{6}{425}.
\]

\item De même qu'à la question précédente, d'après l'arbre :
\[
p(A_1, C_2) = \frac{1}{17} \times \frac{6}{25} = \frac{6}{425}.
\]
On remarque que $p(C_1, A_2) = p(A_1, C_2)$. Autrement dit, il y a autant de chances de retourner d'abord un c\oe ur puis un as que d'abord un as puis un c\oe ur.

\item On cherche la probabilité de retourner un as puis un c\oe ur ou de retourner un c\oe ur puis un as. Ces deux évènements sont incompatibles, donc on peut additionner leurs probabilités. On en déduit :
\begin{align*}
      p &= p(A_1, C_2) + p(C_1, A_2) \\
        &= \frac{6}{425} + \frac{6}{425}\\
        & =\frac{12}{425}\\
        & \approx 0,03.
\end{align*}
\end{questions}
%\vspace*{-2em}
\item D'après les questions précédentes, si Dylan tire les cartes au hasard, il n'a environ que 3\;\% de chances de réussir à retourner un as et un c\oe ur. De plus, on a vu qu'il n'y a qu'une chance sur 52 que Sophie ait tiré l'as de c\oe ur et pas une autre carte. Dylan doit donc forcément utiliser un \og truc de magicien \fg{} pour réussir à étonner ses amis !

\begin{Remarque}
cette question aborde intuitivement la notion de probabilité conditionnelle, notion qui n'est pas au programme de 3\ieme{} et que vous étudierez en détail plus tard au lycée.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{solintro}

% \begin{anecdote}[les origines des probabilités]
% Le mot \og probabilités \fg{} vient du latin \emph{probare} qui signifie \og prouver \fg.
% 
% La plus ancienne trace de calculs de probabilités est sans doute due à l'auteur romain Domitius Ulpianus, en 220 après J.-C., qui établit une table de nombres pour calculer le montant des assurances-vie. Cette table fut d'ailleurs utilisée jusqu'au XIX\ieme{} siècle, mais très peu de personnes savent cela...
% 
% Le calcul de probabilités, quant à lui, date d'environ 960 après J.-C. avec l'évêque Wibold de Cambrai, qui inventa un jeu qui consistait à lancer trois dés.
% 
% Plus tard, au XIV\ieme{} siècle, un poème en trois chants intitulé \emph{de Vetula} comporte des allusions aux calculs de probabilités.
% 
% Cependant, beaucoup de personnes pensent que la première apparition des calculs de probabilités date de la Renaissance dans un commentaire, publié à Venise en 1477, de la \emph{Divine Comédie} de Dante.
% 
% Mais l'origine de la théorie des probabilités est attribuée aux mathématiciens du XVII\ieme{} siècle Blaise Pascal et Pierre de Fermat, en réussissant à résoudre un problème intitulé \og le problème des points \fg{} qui leur avait été proposé par Antoine Gambaud, dit \emph{le Chevalier de Méré} :
% 
% \Par
% 
% \emph{si deux personnes se mettent d'accord pour jouer à un jeu un certain nombre de manches, sept manches par exemple, et qu'elles sont interrompues avant la fin, comment diviser la mise en jeu si, disons, le premier gagne une manche et le deuxième en gagne trois ?}
% 
% \Par
% 
% Rassurez-vous : si vous ne savez pas résoudre ce problème, c'est normal !
% 
% \Par
% 
% Aujourd'hui, les probabilités servent dans ce que l'on nomme la \emph{gestion des risques}, c'est-à-dire dans l'évaluation de la fiabilité d'une fusée, des tarifs d'une assurance, des risques financiers sur les marchés de la bourse, des maladies génétiques, des changements climatiques, etc. 
% \end{anecdote}
