\thumb

\begin{vf}{Vrai ou faux ?}{4}
Pour chacune des propositions, répondre par \og vrai \fg{} ou \og faux \fg. 

Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item On tire au hasard deux cartes dans un jeu. L'évènement  contraire de \og{}les deux cartes sont des as\fg est \og{} aucune des deux cartes n'est un as \fg.

\item Si je lance plus de 6 fois de suite un dé à 6 faces bien  équilibré, je suis certain(e) d'obtenir au moins une fois le chiffre 6.
  
\item Quand on tire deux dés, il est plus probable de tirer un 1 puis un 2 qu'un double 6.
\end{questions}
\end{vf}

% VF1corr

\begin{corrige}
 \begin{questions}
\item On tire au hasard deux cartes dans un jeu. L'évènement contraire de : \og{}les deux cartes
sont des as\fg est \og{}aucune des deux cartes n'est un as\fg : \emph{Faux}. En effet, le
contraire d'avoir deux as n'est pas de n'avoir aucun as ! L'évènement contraire de \og{}les
deux cartes sont des as\fg est \og{}aucune des deux cartes n'est un as ou une seule des deux
cartes est un as\fg, ce qui peut se dire aussi \og{}une carte au plus est un as\fg.

\item Si je lance plus de 6 fois de suite un dé à 6 faces bien équilibré, je suis certain(e) d'obtenir au moins une fois le chiffre 6 : \emph{Faux}.

  La fréquence théorique d'un tel tirage est de $\dfrac{1}{6}$
  effectivement. On peut donc raisonnablement espérer qu'en lançant
  plus de 6 fois un dé bien équilibré, le 6 (comme chacun des 5 autres
  chiffres d'ailleurs) soit obtenu au moins une fois. Plus le nombre
  de lancers est grand et plus cela est vrai~\ldots{} mais il n'y a aucune
  certitude ! D'autant plus qu'il n'est pas précisé ici combien de
  lancers ont lieu. Et on peut facilement concevoir qu'il est possible
  de lancer 10 fois par exemple un dé sans jamais obtenir le 6 !

\item Quand on tire deux dés, il est plus probable de tirer un~1 puis
  un~2 qu'un double~6 : \emph{Faux}.

  En effet, la probabilité est la même ! On a une chance sur 6 d'obtenir
  le~1 avec le 1\up{er} dé et une chance sur 6 d'obtenir le~2 avec le
  2\up{e} dé. La probabilité est donc de $\dfrac{1}{36}$, comme
  celle d'obtenir un double 6.
 \end{questions}
\end{corrige}

% QCM2

\begin{qcm}{Calculs de probabilités}{8}
Pour chacune des propositions, choisir la ou les
réponse(s) possible(s). Aucune justification n'est demandée.


\begin{questions}
\item Si la probabilité de tirer une boule rouge dans une urne où il n'y a que des boules rouges et noires est de $0,3$ alors la probabilité  de tirer une boule noire dans cette urne est de \ldots

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{41mm}@{}}
\choix{$0,7$} & \choix{$0,5$} &
\choix{On ne peut pas répondre}
\end{tabularx}

\item Un couple a déjà trois enfants (deux garçons et une fille) et attend un quatrième enfant. La probabilité que cet enfant soit un  garçon est \ldots{}   \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{41mm}@{}}
\choix{$0,25$} &  \choix{$0,5$} &  \choix{$0,75$}
\end{tabularx}

\item La probabilité d'obtenir deux fois de suite le même numéro avec un dé bien équilibré à 6 faces est de :  \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{41mm}@{}}
\choix{$\dfrac{1}{3}$} & \choix{$\dfrac{1}{6}$} & 
\choix{$\dfrac{1}{36}$}
\end{tabularx}

\item Dans une forêt, 40 \% des chênes et 20 \% des autres arbres sont malades. Si on considère un arbre pris au hasard dans cette forêt, la probabilité qu'il soit malade est de : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{41mm}@{}}
\choix{$0,6$} & \choix{$0,8$}& 
\choix{On ne peut pas répondre.}
\end{tabularx}

\item Une population compte 60 femmes et 40 hommes. 55 \% des hommes et 35 \% des femmes pratiquent une activité sportive. La probabilité qu'une personne prise au hasard parmi celles-ci pratique une activité sportive est de : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{41mm}@{}}
\choix{$0,43$} & \choix{$0,9$} &  \choix{On ne peut pas répondre.}
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM2corr

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Si la probabilité de tirer une boule rouge dans une urne où il
  n'y a que des boules rouges et noires est de $0,3$ alors la
  probabilité de tirer une boule noire dans cette urne est de
  $0,7$ (réponse \choix[a]).

  Comme il n'y a que des boules rouges et noires dans cette urne,
  l'évènement contraire de \og tirer une boule rouge\fg{} est \og
  tirer une boule noire\fg{} et donc la probabilité de tirer une 
boule noire vaut $1-0,3 = 0,7$.
  
\item Un couple a déjà trois enfants (deux garçons et une fille) et
  attend un quatrième enfant. La probabilité que cet enfant soit un
  garçon est de $0,5$ (réponse \choix[b]).

  Le sexe des premiers enfants n'a aucune influence sur le sexe de
  l'enfant à naître : la probabilité que ce soit un garçon ou une
  fille est toujours de $0,5$ !

\item La probabilité d'obtenir deux fois de suite le même numéro avec un
  dé bien équilibré à 6 faces est de $\dfrac{1}{6}$ (réponse  \choix[b]).

  En effet, la probabilité d'obtenir deux fois de suite un 6 est de
  $\dfrac{1}{36}$, celle d'obtenir deux fois un 5 est aussi de
  $\dfrac{1}{36}$ et ainsi de suite pour chaque chiffre de 1 à 6. De
  plus, chacun des évènements \og obtenir deux fois le chiffre 6\fg{},
  \og obtenir deux fois le chiffre 5\fg{}, \og obtenir deux fois le
  chiffre 4\fg{}, etc. est incompatible avec les autres donc on peut
  additionner leurs probabilités. On en déduit que la probabilité de
  l'évènement \og obtenir deux fois de suite le même numéro\fg{} est
  la somme : 
  \[
   \underbrace{\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} + \dots +
    \dfrac{1}{36}}_{6\text{ fois}} = 6 \times \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{6}.
  \]


\item On ne peut pas répondre (réponse \choix[c]).

  Il faudrait pouvoir déterminer la proportion d'arbres malades dans cette forêt. Or, on ne connaît pas la proportion de chênes dans cette forêt; il est donc impossible de répondre à cette question. On peut seulement affirmer que la probabilité est comprise entre 20\;\% et 40\;\%.

\item La probabilité qu'une personne prise au hasard pratique une
  activité sportive est de $0,43$ (réponse \choix[a]).

  En effet, déterminons le nombre de personnes qui pratiquent une
  activité sportive dans ce groupe. 55 \% des 40 hommes en pratiquent
  une : ils sont donc 22. De plus, 35 \% des 60 femmes pratiquent
  aussi une activité sportive : elles sont donc 21. Il y a donc 43
  personnes dans ce groupe de 100 individus qui pratiquent une
  activité sportive. La probabilité qu'une personne prise au hasard
  soit l'une d'entre elles est donc de $0,43$.
 \end{questions}
\end{corrige}


\newpage

% EX3

\begin{exo}{Lancers d'un dé}{Collège Jules Vallès, Saint-Leu-d'Esserent}{1}{3}
On lance 20 fois de suite un dé bien équilibré à 8 faces. Les faces sont numérotées de 1 à 8. Voici les résultats de ces lancers :

\begin{center}
2 -- 4 -- 6 -- 8 -- 1 -- 1 -- 3 -- 5 -- 4 -- 3 -- 2 -- 6 -- 7 -- 1 -- 5 -- 6 -- 7 -- 8 -- 3 -- 1
\end{center}

\begin{questions}
\item Combien de fois le numéro 5 a-t-il été obtenu ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un 5 avec un tel dé ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX3corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le numéro 5 a été obtenu 2 fois au cours de ces 20 lancers.

\item Ce dé est équilibré donc il est équiprobable d'obtenir chaque numéro. Ce dé a 8 faces donc la probabilité de chaque numéro (et donc du numéro 5) est de $\dfrac{1}{8}$.
\end{questions}

\begin{attention}
  On pourrait être tenté au vu des 20 lancers observés de répondre que la probabilité d'obtenir 5 est $\dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$~\ldots{} Ce qui est faux bien sûr ! Il faudrait lancer ce dé un très grand nombre de fois pour vérifier la probabilité théorique de $\dfrac{1}{8}$. On observerait alors sans doute que chaque numéro est obtenu en moyenne une fois sur 8 !
\end{attention}
\end{corrige}

% EX4

\begin{exo}{Une histoire de sacs}{Extrait du DNB 2009, Métropole}{2}{10}
Trois personnes Aline, Bernard et Claude ont chacun un sac contenant des billes. Le contenu des sacs est le suivant :

\begin{itemize}
\item Sac d'Aline : 5 billes rouges.
\item Sac de Bernard : 10 billes rouges et 30 billes noires.
\item Sac de Claude : 100 billes rouges et 3 billes noires.
\end{itemize}


Chacune tire au hasard une bille de son sac
\begin{questions}
 
\item Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?
\item  On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.
Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX4corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le sac dans lequel la probabilité de tirer une bille rouge est la plus grande est le sac d'Aline.
Effectivement, Aline n'ayant que des billes rouges dans son sac, elle ne peut tirer qu'une bille
rouge ! La probabilité de tirer une bille rouge pour elle, est donc égale à 1.

\textit{Remarque :} on dit alors que l'évènement \og{}tirer une bille 
rouge dans le sac d'Aline\fg{} est un évènement certain.
\begin{attention}
Ce n'est pas le sac dans lequel il y a le plus de billes rouges pour lequel la probabilité de tirer une bille rouge est la plus grande ! Dans le sac de Claude par exemple, la probabilité de tirer une bille rouge est de $\dfrac{100}{103}$ qui est inférieur à 1. 
\end{attention}

\item Dans le sac de Bernard, il y a 10 billes rouges et 30 billes noires. Il y a donc 40 billes au total ($10 + 30 = 40$) et parmi ces 40 billes, il y a 10 billes rouges. La probabilité de tirer une bille rouge dans le sac de Bernard est donc de $\dfrac{10}{40}$, soit de $\dfrac{1}{4}$.

\enlargethispage{5em}

Il y a actuellement 5 billes rouges dans le sac d'Aline.
Soit $x$ le nombre de billes noires que l'on va ajouter dans le sac d'Aline, il y aura alors\linebreak $5+x$ billes au total dans le sac.
On veut que la probabilité de tirer une bille rouge soit égale à $\dfrac{1}{4}$, c'est-à-dire :
 \[\dfrac{5}{5+x} = \dfrac{1}{4}.\]
Résolvons cette équation en utilisant l'égalité des produits en croix :
\[5\times 4 = (5+x)\times 1.\]
En réduisant chaque membre de l'équation, on obtient :
\[20 = 5+x.\]
En soustrayant 5 dans chaque membre, il vient :
\[x=15.\]
Il faut donc ajouter 15 billes noires dans le sac d'Aline pour que la probabilité d'y tirer une bille rouge soit la même que la probabilité de tirer une bille rouge dans le sac de Bernard.

\begin{methode}
On a utilisé ici une méthode classique en mathématiques pour résoudre 
un problème : la mise en équation, mais on aurait pu aussi raisonner 
de façon plus intuitive. 

\Break

Effectivement, on remarque que dans le sac 
de Bernard, il y a trois fois plus de billes noires que de billes 
rouges. Il suffit qu'il y ait les mêmes proportions de billes rouges 
et de billes noires dans le sac d'Aline pour que les probabilités de 
tirer une bille rouge dans chacun des sacs soient identiques. Comme il 
y a 5 billes rouges dans le sac d'Aline, il faut ajouter trois fois 
plus de billes noires, c'est à dire 15 billes noires.
\end{methode}
\end{questions}
\end{corrige}

% EX5

\begin{exo}{Groupes sanguins}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{1}{6}
Dans une population, les groupes sanguins sont répartis en quatre groupes : A, B, AB et O. D'autre part, ils sont répartis suivant le facteur rhésus\linebreak ($+$ et $-$). Nous avons indiqué ces répartitions (en \%) dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{c|}}
\hline\tabulartitle
Groupe & A & B & AB & O \\
\hline
Rhésus $+$ & $31{,}9$ \% & $8{,}2$ \% & $4{,}15$ \% & $36$ \% \\ 
\hline
Rhésus $-$ & $8{,}1$ \% & $1{,}8$ \% & $0{,}85$ \% &
$9$ \% \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Un individu est pris au hasard dans cette population. Quelle est la probabilité :

\begin{questions}
\item Qu'il soit du groupe B ?
\item Qu'il ait un rhésus $+$ ?
\item Qu'il soit du groupe B ou qu'il ait un rhésus $+$ ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX5corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
%% MODIF 1
\item $\begin{aligned}[t]
 p(\text{B}) & = p(\text{B}^+\text{ ou B}^-) = 
p(\text{B}^+) + p(\text{B}^-) \\
p(\text{B}) &   = 8,2~\% + 1,8~\% = 10~\% = 0,1.
 \end{aligned}$
 
La probabilité que cet individu soit du groupe B est donc $0,1$.
\item La probabilité $p$ qu'un individu ait un rhésus $+$ est 
\numprint{0,8025}. En effet :

$\begin{aligned}[t]
  p & = p(\text{A}^+) + p(\text{B}^+) + p(\text{AB}^+) + 
p(\text{O}^+) \\
p & = 0,319 + 0,082 + 0,0415 + 0,36 = \numprint{0,8025}.
 \end{aligned}$

%%%%%%%
\item
  \begin{attention}
    Les évènements \og être du groupe B\fg{} et \og avoir un rhésus
    $+$\fg{} ne sont pas incompatibles, donc on ne peut pas additionner
    les probabilités calculées aux deux questions précédentes.
  \end{attention}

  Il faut donc ajouter aux individus de rhésus $+$, les individus de
  groupe B et de rhésus~$-$ : 

  $80,25 + 1,8 = 82,05$ donc $82,05$ \% de cette population  est soit du groupe B, soit de rhésus $+$.

  \begin{Remarque}
    on aurait aussi pu trouver le même résultat en ajoutant aux  individus du groupe B, les individus des autres groupes et de  rhésus $+$ mais le calcul aurait été un peu plus long~\ldots{}
  \end{Remarque}

La probabilité que cet individu soit du groupe B ou ait un rhésus $+$ est donc de \numprint{0,8205}.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

% EX6

\begin{exo}{Dans une urne}{Collège Joliot Curie, Bagneux}{1}{6}
Une urne contient quatre boules identiques au toucher : une boule rouge et trois boules bleues. On tire au hasard une première boule, on la remet dans l'urne puis on en tire une deuxième.

\begin{questions}
\item Réaliser un arbre pondéré pour représenter toutes les possibilités.

\item Quelle est la probabilité de tirer deux fois de suite la boule rouge ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX6corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \raisebox{-13.5ex}{%
\includegraphics{163_07_05}%
}
  
\item Le chemin correspondant au tirage successif de deux boules rouges a été tracé en rouge. On en déduit que la probabilité $p(R,R)$ de tirer deux fois de suite la boule rouge est de :
  \[
  p(R_1, R_2) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}.
  \]
\end{questions}
\end{corrige}

% EX7

\begin{exo}{Moyens de locomotion}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{2}{5}
Dans une entreprise, 74 \% des employés viennent en voiture. Une enquête a montré que 40 \% de ceux qui viennent en voiture et 60 \% des autres employés mettent plus de 30 minutes pour venir travailler. Quelle est la probabilité qu'un employé pris au hasard
soit un de ceux qui mettent plus de 30 minutes pour venir travailler ?
\end{exo}

% EX7corr

\begin{corrige}
74 \% des employés viennent en voiture et 40 \% d'entre eux mettent
plus de 30 min pour se rendre sur leur lieu de travail donc les
employés qui viennent en voiture et qui mettent plus de 30 min
représentent $29{,}6$ \% des employés de l'entreprise.

En effet : $40$~\% de $74$~\% $=0,4 \times 0,74 = 0,296 = 29,6~\%$.

Par ailleurs, les employés qui ne viennent pas en voiture représentent 26~\% des employés de l'entreprise ($100 - 74 = 26$) et parmi eux, 60~\% mettent plus de 30 min. Ces derniers représentent donc $15,6$~\% des employés de l'entreprise.

En effet : $60$~\% de $26$~\% $=0,6 \times 0,26 = 0,156 = 15,6~\%$.

Finalement, les employés qui mettent plus de 30 min pour se rendre
dans cette entreprise représentent $45{,}2$~\% du personnel (car
$29{,}6 + 15{,}6 = 45{,}2$).

La probabilité qu'un employé pris au hasard soit l'un d'eux est donc
de $0{,}452$.
\newpage
\end{corrige}

% EX8

\begin{exo}{À la remise des copies}{Collège de Staël, Paris}{2}{6}
Un professeur rendant des copies notées sur 20 annonce :
\begin{itemize}
 \item $\dfrac{2}{5}$ des élèves n'ont pas eu la moyenne
 \item 20~\% des élèves ont eu strictement plus de 15 sur 20
\end{itemize}
Quelle est la probabilité qu'une copie prise au hasard dans ce paquet ait une note entre 10 et 15 ?
\end{exo}

% EX8corr

\begin{corrige}
\begin{methode}
 On ne connaît pas ici le nombre de copies. Il faut donc calculer la 
proportion de copies ayant une note entre 10 et 15. Chaque copie ayant 
autant de chance d'être choisie, cette proportion est la
probabilité cherchée.
\end{methode} 
$\dfrac{2}{5}$ des élèves ont eu une note en dessous de la moyenne et 
20~\% des élèves ont obtenu une note
supérieure à 15. On calcule la proportion de l'ensemble des élèves que cela représente :
\[\frac{2}{5} + \frac{20}{100} = \frac{40}{100} + \frac{20}{100} = \frac{60}{100}.\]
60~\% des élèves ont donc eu une note soit en dessous de la moyenne 
soit strictement supérieure à 15.
\[100 - 60 = 40.\]
Donc 40~\% des élèves ont eu une note comprise entre 10 et 15.
La probabilité qu'une copie prise au hasard ait une note comprise entre 10 et 15 est donc de $\dfrac{40}{100}$ soit de $0,4$.
\end{corrige}

% EX9

\begin{exo}{Le pari d'Enzo}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{2}{15}
Pour éviter de mettre le couvert, Enzo propose à sa s\oe ur de lancer deux dés et lui dit :

\Par

\og Si la somme des deux nombres obtenus fait 8, c'est toi qui met le couvert ! \fg{} 

\Par

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-50mm}
Sa s\oe ur ayant accepté le pari, Enzo lance les deux dés et obtient la configuration ci-contre.

\Par

\`A la place d'Enzo, auriez-vous choisi le m\^eme nombre ? Justifier votre réponse.

\vspace*{8mm}~
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{42mm}
\includegraphics{153_07_06}
\end{minipage}
\end{exo}

% EX9corr

\begin{corrige}
\begin{methode}
Il s'agit ici de définir la somme qu'il est le plus probable d'obtenir lorsqu'on lance deux dés.
\end{methode}

On dresse un tableau à double entrée dans lequel on note les sommes 
obtenues en fonction des dés tirés.

\Par

  \begin{center}
\begin{tabular}{|C|>{\centering\arraybackslash}m{0.5cm}|
>{\centering\arraybackslash}m{0.5cm}|
>{\centering\arraybackslash}m{0.5cm}|
>{\centering\arraybackslash}m{0.5cm}|
>{\centering\arraybackslash}m{0.5cm}|
>{\centering\arraybackslash}m{0.5cm}|}
\hline
\tabulartitle \diagbox{Dé \no 2}{Dé \no 1} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 
\hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\ \hline
\rule[-1.5ex]{0pt}{4ex} 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline
\end{tabular}
        \end{center}

        \Par
        
        $6 \times 6 = 36$. Il y a donc $36$ cases, donc $36$ tirages 
possibles.

\`A l'aide du tableau, on peut déterminer les probabilités de chaque 
issue en comptant dans combien de cases le résultat apparaît :

$\begin{aligned}[t]
 & p(\og 2 \fg{}) = \dfrac{1}{36} \; ; \; p(\og 3 \fg{}) = 
\dfrac{2}{36} \; ; \; p(\og 4 \fg{}) = \dfrac{3}{36} \; ; \; p(\og 5 
\fg{}) = \dfrac{4}{36} \; ; \\ & p(\og 6 \fg{}) = \dfrac{5}{36} \; ; 
\; p(\og 7 \fg{}) = \dfrac{6}{36} \; ; \; p(\og 8 \fg{}) = 
\dfrac{5}{36} \; ; \; p(\og 9 \fg{}) = \dfrac{4}{36} \; ; \\ & p(\og 
10 
\fg{}) = \dfrac{3}{36} \; ; \; p(\og 11 \fg{}) = \dfrac{2}{36} \; ; \; 
p(\og 12 \fg{}) = \dfrac{1}{36}.
 \end{aligned}$
 
 \Par
 
La somme qui a le plus de chance d'être obtenue est $7$. C'est donc 
ce nombre qu'aurait dû choisir Enzo et non le nombre $8$, dont la 
probabilité d'apparition est plus faible.
\end{corrige}

%% EXA

\begin{exo}{Les urnes}{Extrait du DNB 2020, Antilles}{2}{10}
 On dispose de deux urnes :
 \begin{itemize}
  \item une urne bleue contenant trois boules bleues numérotées : 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DB] at (0,0) {$2$};\draw[color=DB] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage}, 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DB] at (0,0) {$3$};\draw[color=DB] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage} et 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DB] at (0,0) {$4$};\draw[color=DB] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage} ;
  \item une urne rouge contenant quatre boules rouges numérotées : 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DR] at (0,0) {$2$};\draw[color=DR] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage}, 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DR] at (0,0) {$3$};\draw[color=DR] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage}, 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DR] at (0,0) {$4$};\draw[color=DR] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage} et 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DR] at (0,0) {$5$};\draw[color=DR] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage}.
 \end{itemize}
Dans chaque urne, les boules sont indiscernables au toucher et ont 
la même probabilité d'être tirées.
\begin{center}
 
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{5cm}|
>{\centering\arraybackslash}m{5cm}|} \hline
  Urne bleue & Urne rouge \\
  \begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DB] at (0,0) {$2$};\draw[color=DB] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage} 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DB] at (0,0) {$3$};\draw[color=DB] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage} 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DB] at (0,0) {$4$};\draw[color=DB] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage} &   
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DR] at (0,0) {$2$};\draw[color=DR] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage} 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DR] at (0,0) {$3$};\draw[color=DR] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage} 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DR] at (0,0) {$4$};\draw[color=DR] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DR] at (0,0) {$5$};\draw[color=DR] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage} \\ \hline
 \end{tabular}
\end{center}
On s'intéresse à l'expérience aléatoire suivante :

\og On tire au hasard une boule bleue et on note son numéro, puis on 
tire au hasard une boule rouge et on note son numéro.\fg{}

\begin{Exemple}
 si on tire la boule bleue numérotée 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DB] at (0,0) {$3$};\draw[color=DB] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage}, puis la boule rouge numérotée 
\begin{minipage}[c]{4mm}\begin{tikzpicture}
	\node[color=DR] at (0,0) {$4$};\draw[color=DR] (0,0) circle (2mm);
\end{tikzpicture}\end{minipage}, le tirage obtenu sera noté $(3;4)$.
\end{Exemple}

On précise que le tirage $(3;4)$ est différent du tirage $(4;3)$.
\begin{questions}
 \item On définit les deux évènements suivants :

 \og On obtient deux nombres premiers\fg{} et : 
 
 \og La somme des deux 
nombres est égale à $12$\fg{}.
\begin{questions}
\item Pour chacun des deux évènements précédents, dire s'il est 
possible ou impossible lorsqu'on effectue l'expérience aléatoire.
\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og On obtient deux 
nombres premiers\fg{}.
\end{questions}
\item On obtient un \og double\fg{} lorsque les deux boules tirées 
portent le même numéro. Justifier que la probabilité d'obtenir un \og 
double\fg{} lors de cette expérience, est $\dfrac{1}{4}$.
\item Dans cette question, aucune justification n'est attendue.

On souhaite simuler cette expérience \numprint{1000} fois.

Pour cela, on a commencé à écrire un programme, à ce stade, encore incomplet. 

\Par

\begin{center}
\textit{Voir les copies d'écran du programme page suivante.}
\end{center}

\newpage

\textbf{Script principal :}

\textit{Vous pouvez retrouver ce programme en tapant:}
\begin{center}
\texttt{https://scratch.mit.edu/projects/481837803/}
\end{center} 

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){\psframebox{\qrcode{https://scratch.mit.edu/projects/481837803}}}
\begin{scratch}[scale=0.9]
 \blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
 \blockrepeat{répéter \ovalnum{A} fois}
{\blockif{si \booloperator{\ovalmove{Boule bleue} = \ovalmove{Boule 
rouge}} alors}{\blockmove{ajouter à \selectmenu{Nombre de 
doubles}\ovalnum{1}}
}
}
\end{scratch}


\Par

\textbf{Bloc \og Tirer deux boules\fg{} :}

\Par

\begin{scratch}[scale=0.9]
 \initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Tirer deux boules}}
 \blockmove{mettre \selectmenu{Boule bleue} à nombre aléatoire 
entre \ovalnum{2} et \ovalnum{B}}
\blockmove{mettre \selectmenu{Boule rouge} à nombre aléatoire 
entre \ovalnum{2} et \ovalnum{C}}
\end{scratch}


%\NathanLiveProg[\normalfont\selectfont \textit{Pour accéder à ce programme en ligne :}]{Les urnes}{https://scratch.mit.edu/projects/481837803}

\Par

\textit{Remarques :}
\begin{itemize}
  \item \raisebox{-5pt}{\begin{tikzpicture}
\psset{cornersize=absolute,linearc=.5\baselineskip,
linewidth=0.5pt,framesep=1mm} 
\node[rounded corners=2.5mm,rectangle,draw,fill=scrmove] at (0,0) 
{Boule bleue};
\node[color=white] at (0,0) 
{Boule bleue};
                            \end{tikzpicture}}, 
\raisebox{-7pt}{\begin{tikzpicture}
\psset{cornersize=absolute,linearc=.5\baselineskip,
linewidth=0.5pt,framesep=1mm} 
\node[rounded corners=2.5mm,rectangle,draw,fill=scrmove] at (0,0) 
{Boule rouge};
\node[color=white] at (0,0) 
{Boule rouge};
                            \end{tikzpicture}} et 
\raisebox{-5pt}{\begin{tikzpicture}
\psset{cornersize=absolute,linearc=.5\baselineskip,
linewidth=0.5pt,framesep=1mm} 
\node[rounded corners=2.5mm,rectangle,draw,fill=scrmove] at (0,0) 
{Nombre de doubles};
\node[color=white] at (0,0) 
{Nombre de doubles};
                            \end{tikzpicture}} sont des 
                            
                            variables.
  \item Le bloc \begin{scratch}
                 \blockmoreblocks{Tirer deux boules}
                \end{scratch} est à insérer dans le script principal.

 \end{itemize}

\begin{questions}
\item Par quels nombres faut-il remplacer les lettres A, B et C ?
\item Dans le script principal, indiquer où placer le bloc 
\begin{scratch}
                 \blockmoreblocks{Tirer deux boules}
                \end{scratch}.
\item Dans le script principal, indiquer où placer le bloc
\begin{center}
\begin{scratch}
\blockmove{mettre \selectmenu{Nombre de doubles} à  \ovalnum{0}}
\end{scratch}.
\end{center}
\item On souhaite obtenir la fréquence d'apparition du nombre de \og 
doubles\fg{} obtenus. Parmi les instructions ci-dessous, laquelle 
faut-il placer à la fin du script principal après la boucle \og 
répéter\fg{} ?

\vspace{-10pt}

\enlargethispage{1cm}

\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{45mm}|
>{\centering\arraybackslash}m{50mm}|}\hline
Proposition 1 & Proposition 2 \\
\begin{scratch}
  \blockmove{dire \ovaloperator{Nombre de doubles}}
 \end{scratch} & \begin{scratch}
  \blockmove{dire \ovaloperator{Nombre de 
doubles}/\ovalnum{1000}}
\end{scratch} \\ \hline
Proposition 3 & \\
\begin{scratch}
 \blockmove{dire \ovaloperator{Nombre de
doubles}/\ovalnum{2}}\end{scratch} & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{questions}

\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item \begin{questions}
  \item Il y a deux nombres premiers dans l'urne bleue ($2$ et $3$) 
et il y en a trois dans l'urne rouge ($2$, $3$ et $5$). Il est donc 
possible que l'évènement \og On obtient deux nombres premiers\fg{} se 
produise. L'issue $(2;2)$, par exemple, réalise cet évènement.

En revanche, la somme la plus grande que l'on puisse obtenir est $4+5 
= 9$, donc l'évènement \og La somme des deux nombres est égale à 
$12$\fg{} est un évènement impossible.
\item Il y a $3 \times 4 = 12$ tirages différents. Les issues 
contenant deux nombres premiers sont : $(2;2)$, $(2;3)$, $(2;5)$, 
$(3;2)$, $(3;3)$ et $(3;5)$. Il y en a $6$.

La probabilité d'obtenir deux nombres premiers vaut donc :

$\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} = 0,5$.
  \end{questions}
  \item Les doubles possibles sont $(2;2)$, $(3;3)$ et $(4;4)$. Il y 
a donc $3$ tirages sur $12$ qui permettent d'obtenir un double. La 
probabilité de tirer un double est donc bien égale à $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
\item
\begin{questions}
\item On souhaite simuler cette expérience \numprint{1000} fois, donc 
il faut faire tourner la boucle \og répéter\fg{} \numprint{1000} 
fois, donc remplacer A par \numprint{1000}.

On remplace de plus B par 4 (car l'urne bleue contient des boules dont le numéro va de 2 à \textit{4}) et C par 5 (car l'urne rouge contient des boules dont le numéro va de 2 à \textit{5}).

\item Il faut tirer deux boules à chaque nouvelle simulation, il 
faut donc insérer le bloc comme première étiquette dans la boucle \og 
Répéter \numprint{1000} fois\fg{}.
\item Au début de l'expérience, on n'a pas encore obtenu de doubles, 
donc le nombre de doubles doit être mis à zéro au début de 
l'expérience. Il faut donc placer le bloc juste après le drapeau.
\item Pour obtenir la fréquence d'apparition des doubles, il faut 
diviser le nombre de doubles obtenus par le nombre de tirages 
effectués, c'est-à-dire mille, il s'agit donc de la proposition 2.
\end{questions}
 \end{questions}
\end{corrige}


% EX10

\begin{exo}{Composants électroniques}{Extrait du DNB 2016, 
Métropole}{2}{10}
Une société commercialise des composants électroniques qu'elle fabrique dans deux usines. Lors d'un contrôle de qualité, 500 composants sont prélevés dans chaque usine et sont examinés pour déterminer s'ils sont « bons » ou « défectueux ».

Résultats obtenus pour l'ensemble des \numprint{1000} composants prélevés :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*2{c|}}
\tabulartitle
\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{white}} & 
\psline(-0.24,0.32)(2.99,0.32) Usine A & Usine B\\
 \hline
Bons & 473 & 462\\
\hline
Défectueux & 27 & 38\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{questions}
\item Si on prélève un composant au hasard parmi ceux provenant de l'usine A, quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?

\item Si on prélève un composant au hasard parmi ceux qui sont défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne de l'usine A ?

\item Le contrôle est jugé satisfaisant si le pourcentage de composants défectueux est inférieur à 7\;\% dans chaque usine. 

Ce contrôle est-il satisfaisant ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX10corr

\begin{corrige}
\begin{aretenir}
Lors d'un calcul de probabilités, il est nécessaire de savoir par rapport à quoi on souhaite faire nos calculs.

Pour les deux premières questions, le \emph{référentiel} change : pour la première, le référentiel est l'usine A et dans la deuxième, le référentiel est l'ensemble des composants défectueux.
\end{aretenir}

\begin{questions}
\item Le référentiel est ici l'ensemble des composants fabriqués par l'usine A; il y en a en tout $473+27=500$.

Il y a 27 composants défectueux donc la probabilité de prélever un composant défectueux parmi ceux fabriqués par l'usine A est :
\[
\dfrac{27}{500}=0,054.
\]

\item Le référentiel est ici l'ensemble des composants défectueux; il y en a en tout $27+38=65$.

Il y a 27 composants défectueux qui proviennent de l'usine A donc la probabilité de prélever un composant qui provient de l'usine A parmi ceux qui sont défectueux est :
\[
\dfrac{27}{65}\approx0,415.
\]

\item $\dfrac{27}{500}\times100=5,4$.

\Par

Il y a donc 5,4\;\% de composants défectueux dans l'usine A.

\Par

$\dfrac{38}{500}\times100=7,6$.

\Par

Il y a donc 7,6\;\% de composants défectueux dans l'usine B.

On peut donc dire que ce contrôle n'est pas satisfaisant car le pourcentage de composants défectueux dans l'usine B est supérieur à 7\;\%.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

% EX11

\begin{exo}{Internet avec option}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{2}{20}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh7Ex12}}}

\vspace*{-12pt}

\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Internet avec option}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh7Ex12}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}
\Par


Un fournisseur d'accès Internet (FAI) propose un service avec deux options A et B facultatives.

On sait que sur \numprint{20000} de ses clients choisis au hasard.
\begin{itemize}
\item 20~\% ont choisi l'option A;
\item \mbox{parmi les clients qui ont  choisi l'option A, 20\;\% ont aussi choisi l'option B};
\item parmi les clients n'ayant pas choisi l'option A, 6\;\% ont choisi l'option B.
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*3{c|}}
\hline\tabulartitle
Clients & Avec l'option A & Sans l'option A & Total\\
\hline
Avec l'option B &  &  & \\
\hline
Sans l'option B &  & &  \\
\hline
Total & & & \numprint{20000}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item On choisit au hasard un client parmi les \numprint{20000} pris précédemment. On note :
\begin{itemize}
\item A l'évènement : \og le client a choisi l'option A \fg{} 
\item B l'évènement : \og le client a choisi l'option B \fg{} 
\end{itemize}
\newpage
\begin{questions}
\item \mbox{Calculer la probabilité de l'évènement A, puis celle de l'évènement B}.
\item \mbox{Calculer la probabilité que le client ait choisi les deux options A et B}.
\item Calculer la probabilité que le client ait choisi une option et une seule.
\end{questions}
\item On choisit au hasard un client ayant choisi l'option A.

Quelle est la probabilité pour que ce client n'ait pas choisi l'option B ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX11corr

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]


\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh7Ex12}}}
\vspace*{-15pt}\begin{questions}
\item Le tableau complété est le suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*3{c|}}
\hline\tabulartitle
Clients & avec l'option A & sans l'option A & Total\\
\hline
avec option B & 800 & 960 & \numprint{1760} \\
\hline
sans l'option B & \numprint{3200} & \numprint{15040} & 
\numprint{18240} \\
\hline
Total & \numprint{4000} & \numprint{16000} & \numprint{20000}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Explications :
\begin{itemize}
\item D'abord, on exploite le fait qu'il y ait 20\;\% de clients qui ont choisi l'option A : 20\;\% de \numprint{20000} se calcule ainsi :
\[
\dfrac{20}{100}\times\numprint{20000}=\numprint{4000}.
\]
On met donc \og \numprint{4000} \fg{} sur la dernière ligne (Total) dans la première colonne et dans la deuxième, $\numprint{20000}-\numprint{4000}=\numprint{16000}$.

\item On exploite ensuite le fait que parmi les \numprint{4000} clients qui ont choisi l'option A, 20\;\% ont aussi choisi l'option B :
\[
\dfrac{20}{100}\times\numprint{4000}=800.
\]
On met donc \og 800 \fg{} sur la ligne \og avec option B \fg{} dans la première colonne et dans la deuxième, $\numprint{4000}-80=\numprint{3200}$.

\item On exploite enfin le fait que parmi les \numprint{16000} clients n'ayant pas choisi l'option A, 6\;\% ont choisi l'option B :
\[
\dfrac{6}{100}\times\numprint{16000}=960.
\]
\item On en déduit alors que le nombre de clients sans l'option B ni l'option A  est :
\[
\numprint{16000}-960=\numprint{15040}.
\]
\item Il ne reste plus qu'à faire le total des deux premières lignes à compléter : $800+960=\numprint{1760}$ et $\numprint{3200}+\numprint{15040}=\numprint{18240}$.
\end{itemize}
\enlargethispage*{3em}
\item
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, il y a 20\;\% de clients qui ont choisi l'option A, donc $p(\text{A})=0,2$.

Il y a \numprint{1760} clients qui ont choisi l'option B donc :

$p(\text{B})=\dfrac{\numprint{1760}}{\numprint{20000}}=0,088$.

\item Il y a 800 clients qui ont choisi les deux options donc la probabilité demandée est égale à $\dfrac{800}{\numprint{20000}}=0,04$.

\item Il y a \numprint{3200} clients qui ont choisi l'option A sans l'option B, et 960 qui ont choisi l'option B sans l'option A. Il y a donc en tout $\numprint{3200}+960=\numprint{4160}$ clients qui n'ont qu'une seule option.

La probabilité demandée est donc égale à $\dfrac{\numprint{4160}}{\numprint{20000}}=0,208$.
\end{questions}

\item Ici, on change de référentiel : on ne s'intéresse plus aux \numprint{20000} clients mais aux \numprint{4000} qui ont choisi l'option A.

Parmi ceux-ci, \numprint{3200} n'ont pas choisi l'option B; la probabilité pour qu'un client avec l'option A n'ait pas l'option B est donc égale à :

$\dfrac{\numprint{3200}}{\numprint{4000}}=0,8$.

\begin{Remarque}
 on sait que parmi les clients qui ont choisi l'option A, $20$~\% ont 
aussi choisi l'option B. Or $100 - 20 = 80$, donc $80$~\% d'entre eux 
n'ont pas choisi l'option B. La probabilité cherchée vaut bien $0,8$.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

% EX12

\begin{exo}{Le jeu du nombre premier}{Collège Alain Fournier, 
Bordeaux}{3}{20}
Nous disposons de la \og grille \fg{} suivante :

\begin{center}
\includegraphics{157_07_10}
\end{center}

Le jeu consiste à partir de la case rouge (en bas à gauche) sur laquelle se trouve le nombre \og 2 \fg{} pour rejoindre la case verte (en haut à droite) sur laquelle est inscrit le nombre \og 5 \fg{} en empruntant le chemin que l'on veut dans la mesure où l'on va dans le sens indiqué par les flèches.

Par exemple, on peut emprunter le chemin : \og 2 -- 9 -- 8 -- 5 \fg.

\Par

À la fin, on additionne les nombres rencontrés sur le chemin emprunté; si c'est un nombre premier, on a gagné.

\begin{questions}
\item Montrer que le nombre de chemins possibles est un nombre premier.

\item On choisit au hasard l'un de ces chemins. 

Quelle est la probabilité de gagner le jeu du nombre premier ?

\item Une variante de ce jeu est de gagner lorsque la décomposition en produit de facteurs premiers de la somme des nombres rencontrés sur le chemin emprunté ne fait intervenir qu'un seul nombre premier.

Quelle est alors la probabilité de gagner à cette variante du jeu ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX12corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\enlargethispage*{3em}
\item \begin{methode}
Afin de compter tous les chemins possibles, il est nécessaire d'être organisé(e) dans notre dénombrement sans quoi, il est très facile d'oublier quelques chemins.

Ici, nous allons \og faire un balayage \fg{} des possibilités, du chemin \linebreak \og 2 -- 3 -- 6 -- 8 -- 5 \fg{} au chemin \og 2 -- 7 -- 11 -- 13 -- 5 \fg.
\end{methode}

Nous allons donc énumérer tous les chemins possibles :

\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item 2 -- 3 -- 6 -- 8 -- 5
\item 2 -- 3 -- 8 -- 5
\item 2 -- 3 -- 9 -- 8 -- 5
\item 2 -- 3 -- 9 -- 5
\item 2 -- 3 -- 9 -- 13 -- 5
\columnbreak
\item 2 -- 9 -- 8 -- 5
\item 2 -- 9 -- 5
\item 2 -- 9 -- 13 -- 5
\vfill\text{}
\columnbreak
\item 2 -- 7 -- 9 -- 8 -- 5
\item 2 -- 7 -- 9 -- 5
\item 2 -- 7 -- 9 -- 13 -- 5
\item 2 -- 7 -- 13 -- 5
\item 2 -- 7 -- 11 -- 13 -- 5
\end{multicols}
\end{itemize}

Il y a alors 13 chemins possibles, et \og 13 \fg{} est bien un nombre premier.

\item On gagne le jeu si la somme des nombres rencontrés sur le chemin emprunté est un nombre premier; il faut donc dresser la liste des sommes possibles, en nous aidant de ce qui a été fait précédemment :


\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $2+3+6+8+5=24$
\item $2+3+8+5=18$
\item $2+3+9+8+5=27$
\item $2+3+9+5=19$
\item $2+3+9+13+5=32$
\item $2+9+8+5=24$
\item $2+9+5=16$
\item $2+9+13+5=29$
\item $2+7+9+8+5=31$
\item $2+7+9+5=23$
\item $2+7+9+13+5=36$
\item $2+7+13+5=27$
\item $2+7+11+13+5=38$
\end{multicols}
\end{itemize}

Nous pouvons voir que seuls 19, 29, 31 et 23 sont des nombres premiers.

Par conséquent, 4 chemins nous permettent de gagner, sur les 13 au total.

La probabilité de gagner le jeu du nombre premier est donc égale à $\dfrac{4}{13}$.

\item \og La décomposition en produit de facteurs premiers de la somme des nombres rencontrés sur le chemin emprunté ne fait intervenir qu'un seul nombre premier \fg{} signifie que la somme s'exprime comme une puissance d'un nombre unique (par exemple, $2^3$ ou $5^2$).

Les nombres premiers satisfont bien entendu cette contrainte.

Parmi les autres sommes trouvées précédemment, 
\begin{itemize}
\item $24=2^3\times3$ donc 24 ne convient pas car deux nombres premiers interviennent dans sa décomposition (2 et 3)
\item $18=2\times3^2$ ne convient pas 
\item $27=3^3$ convient car il n'y a qu'un seul facteur premier
\item $32=2^5$ convient
\item $16=2^4$ convient
\item $36=2^2\times3^2 $ ne convient pas
\item $28=2^2\times7$ ne convient pas
\end{itemize}



Pour gagner à la variante du jeu du nombre premier, il faut donc obtenir une somme égale à 27, 19, 32, 16, 29, 31 ou 23.

Il faut toutefois faire attention à compter \og 27 \fg{} deux fois dans le calcul de la probabilité.

La probabilité de gagner à cette variante du jeu est donc égale à $\dfrac{8}{13}$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX13
\newpage
\begin{exo}{Loterie}{Collège Jules Vallès, Saint-Leu-d'Esserent}{3}{20}
Un jeu de loterie consiste à faire tourner une roue deux fois de suite. Cette roue est partagée en 20 secteurs angulaires de surface identique. On admet que chaque secteur a autant de chance d'être désigné.

Parmi ces secteurs, il y en a un rouge, un noir, deux de couleur bleu. Les autres sont verts. \`A chaque tour de roue, le gain dépend de la couleur du secteur désigné.

\begin{itemize}
 \item Rouge : le joueur gagne 10 \euro
 \item Noir : le joueur perd 10 \euro
 \item Bleu: le joueur gagne 5 \euro
 \item Vert : le joueur gagne 1 \euro
\end{itemize}

Le gain au terme du jeu est la somme des gains et pertes correspondant aux deux tours de roue.

\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité de gagner exactement 5 euros au premier tour de roue ?
\item Illustrer la situation par un arbre pondéré. Vous indiquerez au bout de chaque branche le gain correspondant.
\item Quelle est la probabilité d'avoir un gain supérieur strictement à 5 \euro{} au terme du jeu ?
\item Le forain responsable de cette loterie annonce \og{} Jeu gagnant plus de 9 fois sur 10 !\fg{}. 

Sachant que pour avoir le droit de jouer, il faut payer 5 euros, qu'en pensez-vous ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX13corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour gagner exactement 5 euros au premier tour, il faut que le secteur désigné soit bleu. Il y a 2 secteurs bleus sur un total de 20 secteurs.
La probabilité de gagner 5 euros au premier tour est donc de
$\dfrac{2}{20}$ soit de $0,1$.
\item On commence par tracer l'arbre qui traduit une expérience à deux épreuves.
On note :

\begin{itemize}
 \item R l'évènement \og{}le secteur est rouge\fg{}
 \item N l'évènement \og{}le secteur est noir\fg{}
 \item B l'évènement \og{}le secteur est bleu\fg{}
 \item V l'évènement \og{}le secteur est vert\fg{}
\end{itemize}
et on précise le gain associé à chacun de ces évènements. On peut ainsi calculer le gain correspondant à chaque branche.
On obtient la figure suivante.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{170_07_08}%
\end{center}

On peut ensuite compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la 
probabilité des évènements R, N, B et V (pour que l'arbre 
soit \og{}pondéré\fg{} ).
Nous avons déjà calculé $p ( \text{B} )$ à la question 1 
($p(\text{B}) = 0,1$).
Il faut donc calculer $p ( \text{R} )$, $p ( \text{N} )$ et $p ( 
\text{V} )$.
Il y a un seul secteur rouge donc $p(\text{R}) = \dfrac{1}{20} = 
0,05$.

De même, il y a un seul secteur noir donc $p(\text{N}) = 
\dfrac{1}{20} = 
0,05$.

Il y a 20 secteurs dont 4 secteurs bleus, noir ou rouge.
Les autres étant verts, il reste 16 secteurs verts ( car $20 - 4 = 16$ ) .

Donc $p(\text{V}) = \dfrac{16}{20} = \dfrac{4}{5} = 0,8$.

On peut alors compléter l'arbre précédent :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{170_07_07}
\end{center}
\item ~\par
\vspace*{-2.2em}
\begin{attention}
On remarque qu'il y a 16 tirages possibles et que parmi ces 16 tirages, il y en a 8 qui aboutissent à un gain strictement supérieur à 5~\euro{} (entre +6~\euro{} et +20~\euro{}). Cependant, il ne faut pas être tenté de répondre que la probabilité d'obtenir un gain
strictement supérieur à $5$~\EUR{} est de $\dfrac{8}{16}$ soit de 0,5 
! Effectivement, nous ne sommes pas dans une situation 
d'équiprobabilité. Il faut donc, pour calculer la probabilité de 
chaque chemin, effectuer le produit des probabilités des deux branches 
qui le constituent.
\end{attention}
D'après l'arbre pondéré, les 8 chemins qui mènent à un gain supérieur
strictement à 5~\euro{} sont les suivants :
\begin{center}
 RR -- RB -- RV -- BR -- BB -- BV -- VR -- VB
\end{center}
Calculons les probabilités de chacun de ces chemins en effectuant les
produits des probabilités
rencontrées sur chaque branche :
\begin{align*}
 p ( \text{RR})&=0,05\times0,05=0,0025 \\
p ( \text{RB})&=0,05\times0,1=0,005 \\
p ( \text{RV} )&=0,05\times0,8=0,04 \\
p ( \text{BR})&=0,1\times0,05=0,005 \\
p ( \text{BB})&=0,1\times0,1=0,01 \\
p ( \text{BV} )&=0,1\times0,8=0,08 \\
p (\text{VR})&=0,8\times0,05=0,04\\
p (\text{VB})&=0,8\times0,1=0,08
\end{align*}
La probabilité d'avoir un gain strictement supérieur à 5 \euro{} est
donc la somme des ces 8 probabilités, soit :
\[0,0025 + 0,005 + 0,04 + 0, 005 + 0, 01 + 0, 08 + 0, 04 + 0, 08 = 
0,2625.\]
\item Les chemins qui mènent à un gain négatif ou égal à 0 sont les suivants :
\begin{center}
 RN -- NR -- NN -- NB -- NV -- BN -- VN
\end{center}
La probabilité de ne pas gagner à cette loterie est donc de :
\Par
\begin{align*}
 &0,05\times0,05+0,05\times0,05+0,05\times0,05+0,05\times0,1+0,05\times0,8\\
 &+0,1\times0, 05+0,8\times0,05 \\
 &=0,0025+0,0025+0,0025+0,005+0,04+0,005+0,04 \\
 &=0,0975 < 0,1.
\end{align*}
\Par
La probabilité de ne pas gagner à cette loterie est inférieure à 10\%, ce qui signifie qu'on perd moins de 1 fois sur 10. On peut en déduire que l'on gagne plus de 9 fois sur 10. Le forain dit donc vrai. Cependant, chaque joueur doit payer 5 \euro{} pour jouer. Il n'est donc vraiment gagnant que s'il gagne strictement plus de 5 \euro{}. 

\newpage

Or on a vu à la question 2. que la probabilité de gagner strictement plus de 5 \euro{} n'est que d'environ $0,26$ soit environ une fois sur 4 $\left(\text{car } \dfrac{1}{4} =0,25\right)$.

Le joueur n'est donc réellement gagnant qu'environ une fois sur 4. Le reste du temps, c'est le forain qui est gagnant !
\end{questions}
\end{corrige}

% EX14
% 
% \begin{exo}{La cible circulaire}{Collège de Staël, Paris}{3}{10}
% 
% \begin{minipage}{45mm}
%  \includegraphics{07_09}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-46mm}
% Une cible est constituée d'un disque séparé en trois zones circulaires et concentriques de diamètres respectifs : 10, 20 et 40 cm. On suppose qu'une fléchette lancée au hasard sur cette cible atteint chaque zone avec une probabilité proportionnelle à son aire. Toutes les fléchettes
% lancées atteignent la cible.
% 
% Déterminer le pourcentage de chances qu'en lançant au hasard une fléchette sur cette cible, elle en atteigne la partie centrale.
% \end{minipage}
% \end{exo}
% 
% % EX14corr
% 
% \begin{corrige}
% L'aire de la partie centrale, en bleu sur le schéma, est (en cm$^2$) :
% \[
% A_1 = \pi \times 5^2 = 25\pi.
% \]
% 
% L'aire de la partie intermédiaire, en vert sur le schéma, est (en
% cm$^2$) :
% \begin{align*}
% A_2 &= \pi \times 10^2 - 25\pi \\
%     &= 100\pi - 25\pi\\
%     & = 75\pi.
% \end{align*}
% 
% Enfin, l'aire de la partie extérieure, en rouge sur le schéma, est (en cm$^2$) :
% \begin{align*}
% A_3 &= \pi \times 20^2 - \pi \times 10^2 \\
%     &= 400\pi - 100\pi\\
%     & =300\pi.
% \end{align*}
% 
% On remarque que :
% \[A_2 = 3A_1 \qquad \text{ et } \qquad A_3 = 12A_1. \]
% 
% D'après l'énoncé, la probabilité qu'une fléchette atteigne une zone
% donnée est proportionnelle à son aire. En notant $p_1$, $p_2$ et $p_3$ les probabilités respectives d'atteindre la partie centrale, la partie intermédiaire et la partie extérieure, on a donc :
% \[p_2 = 3p_1 \qquad \text{ et } \qquad p_3 = 12p_1. \]
% 
% Or toutes les fléchettes atteignent la cible, c'est-à-dire l'une des
% trois parties donc :
% \[p_1 + p_2 + p_3 = 1.\]
% 
% En remplaçant $p_2$ et $p_3$ par leurs expressions en fonction de
% $p_1$, il vient :
% \[p_1 + 3p_1 + 12p_1 = 1\;,\]
% 
% c'est-à-dire :
% \begin{align*}
%   16p_1 &= 1 \\ 
%   p_1 &= \dfrac{1}{16}\\
%   & = 0,0625.
% \end{align*}
% 
% Ainsi, en tirant au hasard une fléchette sur cette cible,
% on a $6,25$\;\% de chances d'atteindre la partie centrale.
% \end{corrige}
\thumb
\AfficheCorrige
