\setcounter{chapter}{7}
\chapter{Généralités sur\\les fonctions}
\label{chap:fonctions}

\enlargethispage{2cm}

\begin{exointro}{Collège Chaptal, Paris}
Voici un programme réalisé avec Scratch :
\Par
\textit{Vous pouvez retrouver ce programme en tapant:}
\begin{center}
\texttt{https://scratch.mit.edu/projects/450505024}
\end{center} 

\qrset{height=1.1cm,version=5}
\rput(-1.3,0){\psframebox{\qrcode{https://scratch.mit.edu/projects/450505024}}}
\begin{scratch}
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{demander \ovalnum{Choisir un nombre} et attendre}
\blockvariable{mettre \selectmenu{x} à \ovalmove{réponse}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{x} à 
\ovaloperator{\ovalvariable{x}*\ovalvariable{x}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{x} à 
\ovaloperator{\ovalvariable{x}-\ovalnum{9}}}
\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le nombre obtenu 
est} et \ovalvariable{x}}}
\end{scratch}

%\NathanLiveProg[\normalfont\selectfont \textit{Pour accéder à ce programme en ligne :}]{Fonctions}{scratch.mit.edu/projects/450505024}

\begin{questions}
\item Appliquer ce programme au nombre $-5$.
\item On appelle $f$ la fonction qui à tout nombre $x$ fait 
correspondre le nombre obtenu avec le programme de calcul ci-dessus.
\begin{questions}
\item Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.
\item Vérifier que $f(-5) = 16$.
\end{questions}
\item Calculer l'image de $2$ par la fonction $f$.
\item Existe-t-il des nombres qui ont pour image $0$ par la fonction 
$f$ ?
\item Déterminer les antécédents éventuels de $-4$ par la fonction 
$f$.
\end{questions}

\vspace*{-10pt}
\end{exointro}



 

\section{Qu'est ce qu'une fonction ?}

\begin{defin}[fonction]
Une \emph{fonction} $f$ est un procédé qui permet d'associer à un 
nombre $x$ un unique nombre noté $f(x)$ (se lit \og $f$ de $x$\fg{}).

Le nombre $x$ s'appelle la \emph{variable}.
\end{defin}

On peut le schématiser de la manière suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node at (0,0) {$x$};
\node at (0,-0.2) [anchor=north] {Nombre de départ};
\draw[->,>=latex]  (1,0)--(2,0);
\node[draw] at (3,0) {fonction $f$};
\draw[->,>=latex] (4,0)--(5,0);
\node at (6,0) {$f(x)$};
\node at (6,-0.2) [anchor=north] {Nombre à l'arrivée};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\Par

On dit que \og $f$ est la fonction qui à $x$ associe le nombre 
$f(x)\fg{}$.

\Par

On le note : $x \mapsto f(x)$.

\begin{Exemple}
Soit $f$ la fonction qui à un nombre associe son triple.

On peut alors écrire $f(x) = 3x$ ou encore $f : x \mapsto 3x$.
\end{Exemple}

\section{Images et antécédents par une fonction}

\begin{defin}[image et antécédent]
Soit $f : x \mapsto f(x)$. On pose $y = f(x)$.
\begin{itemize}
\item Le nombre $f(x)$ s'appelle l'\emph{image} de $x$ par la 
fonction $f$.
\item Le nombre $x$ est un \emph{antécédent} de $y$ par la fonction 
$f$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{Remarques}
Un nombre ne peut avoir qu'une seule image par une fonction.

\Par

Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).
\end{Remarques}

\begin{Exemple}
on considère la fonction $g$ qui à tout nombre fait correspondre son 
carré. On peut donc écrire $g(x) = x^2$.
\begin{itemize}
\item $g(3) = 3^2 = 9$ donc $9$ est l'image de $3$ par $g$.
\item $g(-3) = (-3)^2 = 9$ donc $9$ est aussi l'image de $-3$ par $g$.
\end{itemize}
On peut aussi dire que $3$ et $-3$ sont deux antécédents de $9$ par 
$g$.

\Par

On remarque également que les nombres strictement négatifs n'ont pas 
d'antécédent par la fonction $g$ (car un carré est toujours positif).
\end{Exemple}

\begin{aretenir}
Pour calculer l'image d'un nombre $a$ par une fonction $f$, on 
remplace la variable $x$ par $a$ et on calcule $f(a)$.

Pour déterminer les antécédents d'un nombre $b$ par une fonction $f$, 
on doit résoudre l'équation $f(x) = b$.
\end{aretenir}

\begin{Exemple}
on considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 4x - 7$.

L'image de $6$ par $f$ est :
\[f(6) = 6 \times 4 - 7 = 24 - 7 = 17.\]
Pour trouver le(s) antécédent(s) de $3$ par $f$, on doit résoudre 
$f(x) = 3$, c'est-à-dire :
\begin{align*}
4x - 7 & = 3 \\
4x - 7 + 7 & = 3 + 7 \\
4x & = 10 \\
x & = \dfrac{10}{4} = 2,5.
\end{align*}
On en conclut que $2,5$ est l'unique antécédent de $3$ par $f$.
\end{Exemple}


\section{Tableau de valeurs}

\begin{defin}[tableau de valeurs]
\'Etant donnée une fonction $f$, on peut regrouper plusieurs nombres et leur image par $f$ dans un tableau à deux lignes, que l'on nomme \emph{tableau de valeurs}, de la forme :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $\ldots$ \\
\hline
$f(x)$ & $f(x_1)$ & $f(x_2)$ & $f(x_3)$ & $\ldots$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par\Par

où $x_1$, $x_2$, $x_3$, \ldots{} sont différentes valeurs de $x$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
avec la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2$, on peut construire 
le tableau de valeurs suivant :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{c|}}
\hline
$x$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\
\hline
$g(x)$ & $9$ &  $4$ & $1$ & $0$ & $1$ & $4$ & $9$
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{Exemple}

\newpage

\section{Représentation graphique}

\begin{defin}[représentation graphique]
Dans un repère, l'ensemble des points M$(x;f(x))$ est appelé la 
représentation graphique de $f$ (ou courbe représentative de $f$). On 
note cette courbe $\mathcal{C}_f$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
pour obtenir la représentation graphique de la fonction $g$ définie 
par $g(x)=x^2$, on s'aide du tableau de valeurs obtenu précédemment, 
et on place les points A $(-3;9)$, B $(-2;4)$, C $(-1;1)$, O (0;0), 
D $(1;1)$ et E $(2;4)$ et F $(3;9)$, puis on les relie à main levée 
pour obtenir la courbe suivante :

\Par

\begin{center}
\includegraphics{176_08n_01}
\end{center}

\end{Exemple}

\vfill\text{}

\newpage

\section{Appartenance d'un point à une représentation graphique}

\begin{prop}
Un point A de coordonnées $(x_A;y_A)$ appartient à la représentation 
graphique d'une fonction $f$ si $y_A = f(x_A)$.
\end{prop}

\begin{Exemple}
soit la fonction $f$ définie par $f(x) = -7x+9$.

Le point A $(2;-5)$ appartient-il à la représentation graphique de 
$f$ ?

On a : $f(2) = -7 \times 2 + 9 = -14 + 9 = -5$ donc $f(x_A) = y_A$.

Par conséquent, le point A appartient à la représentation graphique 
de $f$.
\end{Exemple}



% \newpage
% 
% \section{Fonction linéaire}
% 
% \subsection{Définitions}
% 
% \begin{defins}[fonction linéaire et coefficient]
% Une \emph{fonction linéaire} est une fonction $f$ définie par :
% \[ f:x\longmapsto ax \]
% où $a$ est un nombre réel non nul que l'on appelle \emph{coefficient} de la fonction.
% \end{defins}
% 
% \begin{Exemples}
% Les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
% \[
% f(x)=5x \qquad,\qquad g(x)=-4x\qquad \text{et}\qquad h(x)=-\dfrac{5}{7}x \] 
% sont des fonctions linéaires.
% \end{Exemples}
% 
% \subsection{Lien avec la proportionnalité}
% 
% \begin{prop}
% Une situation de proportionnalité peut être représentée par une fonction linéaire dont le coefficient est égal au coefficient de proportionnalité.
% \end{prop}
% 
% \begin{Exemple}
% si un kilogramme de tomates \og c\oe ur de b\oe uf \fg{}  coûte 3,80~\euro, alors le prix que l'on va devoir payer est proportionnel à la masse que l'on va prendre. 
% 
% Le prix de $x$ kg de ces tomates peut être exprimé par la fonction $f$ définie par : 
% \[ f(x)=3,8x. \]
% (on multiplie par 3,8 le nombre de kilogrammes que l'on achète)
% \end{Exemple}
% 
% \begin{props}
% \begin{itemize}
% \item Si un nombre $x$ est augmenté de $p$\;\% alors sa nouvelle valeur est, après augmentation :
% 
% \[
% f(x) = \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)x.
% \]
% 
% \item Si un nombre $x$ est diminué de $p$\;\% alors sa nouvelle valeur est, après diminution :
% 
% \[
% f(x) = \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)x.
% \]
% \end{itemize}
% \end{props}
% \enlargethispage*{2em}
% \begin{Remarque}
% une augmentation ou une diminution en pourcentage se traduit donc  par une fonction linéaire de coefficient $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ ou $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.
% \end{Remarque}
% 
% \newpage
% 
% \begin{Exemples}
% \begin{itemize}
% \item Hugo mesurait 1,52 m il y a trois ans. Depuis, sa taille a augmenté de 25\;\%. Pour déterminer sa nouvelle taille, on calcule:
% 
% \[
% \left(1+\dfrac{25}{100}\right)\times1,52=1,25\times1,52=1,9. 
% \]
% 
% \Par
% 
% Hugo mesure donc 1,90 m.
% 
% \item Une tablette tactile vaut 450~\euro. Pendant les soldes, il y a 15\;\% de réduction. Pour déterminer le prix de cette tablette pendant les soldes, on calcule :
% 
% \[
% \left(1-\dfrac{15}{100}\right)\times450=0,85\times450=382,5.
% \]
% 
% \Par
% 
% Cette tablette vaut donc 382,50~\euro{} pendant ces soldes.
% \end{itemize}
% \end{Exemples}
% 
% \subsection{Représentation graphique}
% 
% \begin{prop}
% La représentation graphique d'une fonction linéaire $f$ définie par $f(x)=ax$ est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées $(1\;;a)$.
% \end{prop}
% 
% \begin{Remarque}
% la droite passe aussi par n'importe quel point dont les coordonnées sont proportionnelles à $(1\;;a)$, par exemple $(2\;;2a)$, ou $(3\;;3a)$,\ldots
% \end{Remarque}
% 
% \begin{defin}[coefficient directeur]
% Soit la fonction linéaire $f$ définie par $f(x)=ax$.
% 
% $a$ est appelé le \emph{coefficient directeur} de la droite représentative de $f$.
% \end{defin}
% 
% \begin{Exemple}
% Soit $f$ la fonction linéaire de coefficient égal à $-0,5$. Alors, $f$ est définie par : $f(x)=-0,5x$.
% 
% \Par
% 
% \begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-55mm}
% Ici, $a=-0,5$ donc pour tracer la droite représentative de $f$, on peut prendre par exemple le point de coordonnées $(4\;;-0,5\times4)$, c'est-à-dire $(4\;;-2)$.
% \end{minipage}
% \hfill
% \begin{minipage}{50mm}
% %\scalebox{0.6}{
% \includegraphics{08_16}%}
% \end{minipage}
% \end{Exemple}
% 
% \section{Fonction affine}
% 
% \subsection{Définitions}
% 
% \begin{defin}
% Une \emph{fonction affine} est une fonction $f$ définie par :
% \[
% f:x\longmapsto ax+b
% \]
% où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
% \end{defin}
% 
% \begin{Exemples}
% Les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
% \[
% f(x)=-3x+2\qquad,\qquad g(x)=\dfrac{1}{2}x-9\qquad\text{et}\qquad h(x)=-0,8x+1,2
% \]
% sont des fonctions affines.
% \end{Exemples}
% 
% \subsection{Représentation graphique}
% 
% \begin{prop}
% La représentation graphique d'une fonction affine $f$ définie par $f(x)=ax+b$ est une droite.
% \end{prop}
% 
% \begin{defins}
% Soit $f$ une fonction affine définie par : $f(x)=ax+b$.
% 
% $a$ est appelé le \emph{coefficient directeur} de la droite représentative de $f$.
% 
% $b$ est appelé l'\emph{ordonnée à l'origine} de la droite représentative de $f$.
% \end{defins}
% 
% \begin{methode}
% Pour tracer la droite représentative d'une fonction affine dans un repère, on doit calculer l'image d'au moins deux valeurs de $x$. On obtient ainsi les coordonnées de deux points ; la droite cherchée est celle qui passe par ces deux points.
% 
% Dans la pratique, on prendra $x=0$ car les calculs sont simples. Quant à la seconde valeur, on peut prendre ce que l'on veut de sorte que les calculs ne soient pas compliqués.
% \end{methode}
% 
% \begin{Exemple}
% soit la fonction $f$ définie par $f(x)=2x-3$.
% 
% Alors, $f(0)=2\times0-3=0-3=-3$ et $f(5)=2\times5-3=10-3=7$. On obtient alors les deux points A$(0\;;-3)$ et B$(5\;;7)$.
% 
% La droite représentative de $f$ est la droite (AB) représentée page ci-contre.
% 
% \Break
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{08_01}
% \end{center}
% \end{Exemple}
% 
% \begin{Remarque}
% le coefficient directeur d'une droite représente la pente de cette droite. Que ce soit pour une fonction linéaire définie par $f(x)=ax$ ou pour une fonction affine définie par $g(x)=ax+b$,
% \begin{itemize}
% \item si $a>0$, la droite \og monte \fg{} ;
% \item si $a<0$, la droite \og descend \fg{} ;
% \item si $a=0$, la droite est parallèle à l'axe des abscisses ;
% \item plus $a$ s'éloigne de $0$ et plus la droite sera inclinée (et donc se rapprochera d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées).
% \end{itemize}
% \end{Remarque}
% 
% \section{Détermination des coefficients a et b}
% 
% \subsection{Appartenance d'un point à une représentation graphique}
% 
% \begin{prop}
% Un point de coordonnées $(x\;;y)$ appartient à la représentation graphique d'une fonction $f$ si $y=f(x)$.
% \end{prop}
% 
% \begin{Exemple}
% soit la fonction $f$ définie par :
% \[
% f:x\longmapsto -2x+5.
% \]
% Le point A$(2\;;1)$ appartient-il à la droite représentative de $f$ ?
% \[
% f(2) = -2\times2+5 = -4+5=1\qquad\text{donc }y_A=f(x_A).
% \]
% Par conséquent, A appartient à la droite représentative de $f$.
% \end{Exemple}
% 
% \subsection{Calculs de a et b}
% 
% \subsubsection{Cas d'une fonction linéaire}
% 
% \begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-46mm}
% On considère la droite ci-contre.
% 
% Cette droite passe par l'origine du repère donc elle représente une fonction linéaire $f$, avec $f(x)=ax$.
% 
% Pour déterminer la valeur de $a$, on prend un point de la droite dont on peut facilement lire les coordonnées : ici, A$(2\;;3)$.
% 
% D'après le paragraphe précédent, $y_A=f(x_A)$ car A appartient à la droite, donc :
% \[ 3=f(2)=a\times2 \qquad\text{donc :}\qquad a=\dfrac{3}{2}.\]
% Cette droite représente donc la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{3}{2}x$.
% \end{minipage}
% \hfill
% \begin{minipage}{43mm}
% \includegraphics{08_17}
% \end{minipage}
% 
% \begin{Remarque}
% quand la fonction linéaire représente une situation de proportionnalité, le coefficient directeur de la droite est égal au coefficient de proportionnalité.
% \end{Remarque}
% 
% \subsubsection{Cas d'une fonction affine}
% 
% \begin{minipage}{50mm}
% \includegraphics{08_18}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-50mm}
% On commence par calculer $a$ avec la formule :
% \[
% a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
% \]
% A$(-1\;;3)$ et B$(2\;;-1)$ donc la formule donne :
% \[
% a=\dfrac{-1-3}{2-(-1)}=\dfrac{-4}{3}.
% \]
% Ensuite, on utilise le fait que A (par exemple) appartienne à la droite, donc que \mbox{$y_A=ax_A+b$}, ce qui donne :
% \[
% 3=-\dfrac{4}{3}\times(-1)+b\quad\text{soit : }3=\dfrac{4}{3}+b
% \]
% \end{minipage}
% 
% \hspace{50mm}et donc : $b=3-\dfrac{4}{3}=\dfrac{9}{3}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{3}$.
% 
% Ainsi, $f(x)=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$.
% 
% \newpage
% 
% \section{Intersection de deux droites}
% 
% Considérons deux fonctions (affines ou linéaires) $f$ et $g$ telles que :
% \[
% f(x)=ax+b\qquad\text{et}\qquad g(x)=a'x+b'
% \]
% (si $b=0$, $f$ est linéaire et si $b'=0$, $g$ est linéaire).
% 
% Notons ${\cal D}_f$ la droite représentative de $f$ et ${\cal D}_g$ celle de $g$.
% 
% \begin{prop}
% Si $a=a'$, alors ${\cal D}_f$ et ${\cal D}_g$ sont parallèles.
% \end{prop}
% 
% \begin{Exemple}
% si $f(x)=-2x+3$ et $g(x)=-2x-5$ alors $a=a'=-2$ donc ${\cal D}_f$ et ${\cal D}_g$ sont parallèles.
% \end{Exemple}
% 
% \begin{prop}
% Supposons que $a\neq a'$. Alors, le point d'intersection de ${\cal D}_f$ et ${\cal D}_g$ a pour abscisse le nombre $x$ solution de l'équation $f(x)=g(x)$.
% \end{prop}
% 
% \begin{Exemple}
% soient $f(x)=-2x+3$ et $g(x)=5x-2$. Ici, $-2\neq5$ donc ${\cal D}_f$ et ${\cal D}_g$ sont sécantes en un point d'abscisse $x$ telle que :
% \begin{align*}
% -2x+3 & =5x-2 \\
% -2x-5x & =-2-3\\
% -7x & = -5\\
% x & = \dfrac{-5}{-7}=\dfrac{5}{7}
% \end{align*}
% Il suffit maintenant de trouver son ordonnée en calculant $f(x)$ par exemple :
% \[ f\left(\dfrac{5}{7}\right)=-2\times\dfrac{5}{7}+3=\dfrac{-10}{7}+\dfrac{21}{7}=\dfrac{-10+21}{7}=\dfrac{11}{7}.\]
% On aurait aussi pu calculer $g(x)$ :
% \[
% g\left(\dfrac{5}{7}\right)=5\times\dfrac{5}{7}-2=\dfrac{25}{7}-\dfrac{14}{7}=\dfrac{25-14}{7}=\dfrac{11}{7}.
% \]
% Ainsi, les droites ${\cal D}_f$ et ${\cal D}_g$ se coupent en un point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{7}\;;\dfrac{11}{7}\right)$.
% \end{Exemple}

\enlargethispage*{2em}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item L'utilisateur choisit le nombre $-5$ qui va dans 
\ovalmove{réponse}.
On a ensuite les étapes suivantes :
\begin{itemize}
\item La variable $x$ prend la valeur $-5$.
\item La variable $x$ prend la valeur $(-5)\times (-5) = 25$.
\item La variable $x$ prend la valeur $25 - 9 = 16$.
\end{itemize}
Le nombre obtenu est $16$.
\item \begin{questions}
\item Ce programme multiple le nombre choisi par lui-même, 
c'est-à-dire calcule le carré de ce nombre, puis soustrait $9$ au 
résultat obtenu.

La fonction $f$ est donc définie par $f(x) = x^2 - 9$.
\item $f(-5) = (-5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16$.
\end{questions}
\item Pour calculer l'image de $2$ par $f$, on remplace $x$ par $2$. 
On obtient : $f(2) = 2^2 - 9 = 4 - 9 = -5$. L'image de $2$ par $f$ 
est 
donc $-5$.
\item S'ils existent, les nombres qui ont pour image $0$ doivent 
vérifier 

$f(x) = 0$. On doit donc résoudre l'équation $x^2 - 9 = 0$, 
soit $x^2 = 9$.

Les solutions de cette équation sont $-3$ et $3$. Il existe donc deux 
nombres qui ont pour image $0$ par $f$ : $-3$ et $3$.

Autrement dit, $-3$ et $3$ sont les antécédents de $0$ par la 
fonction $f$.

\BreakWithoutItem

\item On cherche l'ensemble des nombres vérifiant $f(x) = -4$, 
c'est-à-dire :
\begin{align*}
x^2 - 9 & = -4 \\
x^2 - 9 + 9 & = -4 + 9 \\
x^2 & = 5 \\
x = \sqrt{5} & \text{ ou } x = -\sqrt{5}.
\end{align*}
On en conclut que $-4$ admet deux antécédents par la fonction $f$ : 
$-\sqrt{5}$ et $\sqrt{5}$.
\end{questions}
\end{solintro}

\begin{anecdote}
Le terme \og fonction\fg{} a été utilisé pour la première fois au 
\textsc{xvii}\ieme{} siècle par le grand mathématicien et philosophe 
allemand Gottfried Wilhelm Leibniz, qui est aussi à l'origine de 
l'utilisation des mots \og coordonnées\fg{} et \og 
différentielle\fg{} en maths.
\end{anecdote}

% \begin{anecdote}
% Jusqu'au XVII\ieme{} siècle, la notion de fonction reste assez vague.
% 
% Le terme de \emph{fonction} est dû au mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -- 1716).
% 
% Quant à la notation \og $f(x)$ \fg, elle vient du mathématicien Jean Bernoulli\linebreak (1667 -- 1748) qui proposa la notation \og  $\Phi x$ \fg, où $\Phi$ (lire : phi) désigne une lettre de l'alphabet grec. 
% \end{anecdote}
