\thumb
\begin{vf}{Tester ses connaissances}{5}
Répondre par \og vrai \fg{} ou \og faux \fg{} à chacune des affirmations suivantes. Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item On considère la fonction $f$ qui à tout nombre fait 
correspondre sa moitié. On peut alors dire que $4$ est l'image de $2$ 
par~$f$.
\item L'antécédent de 16 par la fonction $g:x\mapsto x^{2}$ est 4.
\item L'image de tout nombre par la fonction $h : x \mapsto (x-3)^2$ 
est positif.
\item Le point de coordonnées $(-2\;; 3)$ est sur la courbe
représentative de la fonction $f:x\mapsto 1-x^{2}$.
\end{questions}
\end{vf}

% VF1corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. Par la fonction $f$, l'image de $2$ est la moitié 
de $2$, c'est-à-dire $1$, et non $4$. En revanche, $4$ est 
l'antécédent de $2$ car la moitié de $4$ est $2$.

\item \emph{Faux}. \og 4 \fg{} est bien un antécédent de 16 par la fonction $g$ car $g(4) = 16$,  mais ce n'est pas le seul. Le nombre $-4$ est aussi un antécédent de 16 par $g$ car :
\[
(-4)^2 = 4^2 = 16.
\]
Donc \og 4 \fg{} n'est pas l'antécédent, mais UN antécédent de 16 par la fonction $g$. 

\item \emph{Vrai}. Comme $h(x)$ vaut $(x-3)^2$ et qu'un carré est 
toujours positif, $h(x)$ l'est aussi.

\item \emph{Faux}. Le point de coordonnées $(-2\;;3)$ n'est pas sur la courbe représentative de la fonction $f:x \mapsto 1-x^{2}$.

En effet :
\begin{align*}
f(-2)&=1-(-2)^{2}\\
        &=1-4\\
        &=-3.
\end{align*}
Donc le point de coordonnées $(-2\;;-3)$ est sur la courbe représentative de $f$ mais pas le point de coordonnées $(-2\;; 3)$.
\end{questions}
\end{corrige}

% QCM2 OLD
% 
% \begin{qcm}{Fonction linéaire ou affine ?}{3}
% Pour chacune des propositions suivantes, choisir la ou les réponse(s) correcte(s). Aucune justification n'est demandée.
% \begin{questions}
% \item La fonction $f:x\mapsto 2(x+1)-(5x-8)$ est :\par
%   \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
%    \choix{linéaire}&
%   \choix{affine}&
%   \choix{ni l'un ni l'autre}
%   \end{tabularx}
%  
% 
% \item La fonction $g:x\mapsto 2(x^{2}+1)-(5x^{2}-8)$ est:\par \resetchoix
%   \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
%    \choix{linéaire}&
%   \choix{affine}&
%   \choix{ni l'un ni l'autre}
%   \end{tabularx}
% 
% \item La fonction $h:x\mapsto 5(x^{2}+1)-(5x^{2}-8)$ est :\par \resetchoix
%  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
%    \choix{linéaire}&
%   \choix{affine}&
%   \choix{ni l'un ni l'autre}
%   \end{tabularx}
% \end{questions}
% \end{qcm}
% 
% % QCM2corr
% 
% \begin{corrige}
% \enlargethispage*{3em}
% \begin{questions}
% \item Réponse \choix[b]. La fonction $f:x \mapsto 2(x+1)-(5x-8)$ est affine.
% 
% En développant $f(x)$, il vient :
%   \[
%    2(x+1)-(5x-8)=2x+2-5x+8=-3x+10.
%   \]
% La fonction $f$ est donc bien une fonction affine pour laquelle $a =-3$ et $b = 10$.
% 
% \item Réponse \choix[c]. La fonction $g:x \mapsto 2(x^{2}+1)-(5x^{2}-8)$ n'est ni linéaire,  ni affine.
% 
% En développant $g(x)$, il vient : 
% \[
%  2(x^2 + 1) - (5x^2 - 8) = 2x^2 +2 - 5x^2 + 8 = -3x^2 + 10. 
% \]
% La fonction $g$ n'est donc pas de la forme $x \mapsto ax + b$. Ce n'est donc pas une fonction affine, ni, \emph{a fortiori}, une fonction linéaire.
% 
% \item Réponse \choix[b]. La fonction $h:x \mapsto 5(x^{2}+1) - (5x^{2}-8)$ est une fonction affine.
% 
% En développant $h(x)$, il vient : 
%   \[
%  5(x^{2}+1) - (5x^{2}-8) = 5x^2 + 5 - 5x^2 + 8 = 13.
%   \]
% La fonction $h$ est donc bien une fonction affine pour laquelle $a = 0$ et $b = 13$. Plus précisément, il s'agit d'une fonction constante.
% \end{questions}
% \end{corrige}

% QCM2

\begin{qcm}{QCM Fonctions et graphiques}{5}
 On considère la fonction $f$ dont la courbe $\mathcal{C}_f$ est 
représentée ci-dessous. 

\begin{center}
 \includegraphics[width=5cm]{179_08n_exo02}
\end{center}

Pour chacune des propositions suivantes, 
choisir la ou les réponse(s) correcte(s) à l'aide du graphique. 
Aucune justification n'est demandée.
\enlargethispage{5mm}
 \begin{questions}
  \item L'image de $2$ par $f$ est :
  \vspace{-5pt}
  \begin{multicols}{3}
  \begin{itemize}
   \item[\choix] $3$
   \item[\choix] $-1$
   \item[\choix] $5$
  \end{itemize}
\end{multicols}
  \vspace{-5pt}\resetchoix
  \item Les $2$ antécédents de ce nombre par $f$ sont:
    \vspace{-5pt}
  \begin{multicols}{3}
  \begin{itemize}
   \item[\choix] $-4$
   \item[\choix] $0$
   \item[\choix] $3$
  \end{itemize}
\end{multicols}\resetchoix
  \vspace{-5pt}
  \item $f(3)$ vaut :
    \vspace{-5pt}
  \begin{multicols}{3}
  \begin{itemize}
   \item[\choix] $4$
   \item[\choix] $3$
   \item[\choix] $2$
  \end{itemize}
\end{multicols}\resetchoix
  \vspace{-5pt}
\item Le nombre $4$ admet :
\begin{itemize}
 \item[\choix] aucun antécédent par $f$ ;
 \item[\choix] un unique antécédent par $f$ ;
 \item[\choix] deux antécédents par $f$.
\end{itemize}
 \end{questions}

\end{qcm}

\begin{corrige}
 \begin{center}
  \includegraphics{185_08n_exo02_corr}
 \end{center}
\begin{questions}
 \item \textit{Réponse \choix[b]}. Pour déterminer l'image de $2$ par 
$f$, on cherche le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ qui a pour 
abscisse $2$. Le tracé est en pointillés rouges sur le graphique. 
L'ordonnée de ce point est $-1$, c'est donc l'image de $2$ par~$f$.
\item \textit{Réponses \choix[a] et \choix[b]}. Pour déterminer 
graphiquement le nombre d'antécédents de $-4$, on trace la droite 
parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées 
$(0;-4)$, en bleu sur le graphique, et on regarde combien de points 
d'intersection elle a avec la courbe $\mathcal{C}_f$. Ici, on en voit 
deux, donc $-4$ a deux antécédents par $f$. 

\Par

De même, l'axe des abscisses coupe la 
courbe en deux points donc $0$ a également deux antécédents par $f$.

\Par

En revanche, la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le 
point de coordonnées $(0;3)$ ne coupe la courbe qu'en un point donc 
$3$ n'admet qu'un seul antécédent par $f$.
\item \textit{Réponse \choix[c]}. $f(3)$ est l'image de $3$ par $f$, 
on cherche donc le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ qui a pour 
abscisse $3$ (en pointillés noirs) : son ordonnée est $2$.
\item \textit{Réponse \choix[a]}. La droite parallèle à l'axe des 
abscisses passant par le point de coordonnes $(0;4)$, tracée en vert, 
ne coupe pas la courbe $\mathcal{C}_f$. Le nombre $4$ n'admet donc 
aucun antécédent.
\end{questions}

\end{corrige}


% QCM3 OLD
% 
% \begin{qcm}{Représentation graphique}{3}
% Pour chacune des propositions suivantes, choisir la ou les réponse(s) correcte(s). Aucune justification n'est demandée.
% \begin{questions}
% \item Le point $A(3\;; -2)$ est sur : \par \resetchoix
% \choix la droite ${\cal D}_1$  qui représente la fonction $f : x \mapsto 2x-8$
% 
% \choix la droite ${\cal D}_2$ qui représente la fonction $g: x \mapsto \dfrac{1}{3}x+1$
% 
% \choix la droite ${\cal D}_3$  qui représente la fonction $h : x \mapsto -2$
% 
% \item La représentation graphique de la fonction $m:x\mapsto -2(3x+5)+10$: \par \resetchoix
% \choix est une droite qui passe par le point de coordonnées $(0\;; 10)$
% 
% \choix est une droite qui passe par l'origine du repère
% 
% \choix n'est pas une droite
% \end{questions}
% \end{qcm}
% 
% % QCM3corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item Réponses \choix[a] et \choix[c]. Le point $A(3\;;-2)$ est sur la droite ${\cal D}_1$ qui représente graphiquement la fonction $f : x\mapsto 2x - 8$ mais aussi sur la droite ${\cal D}_3$ représentant la fonction $h : x\mapsto  -2$.
% 
% Si $x = 3$ :
%   \[
%   2x - 8 = 2 \times 3 - 8 = -2  
%   \]
% donc $A(3\;; -2)$ est bien sur ${\cal D}_1$.
% 
% En revanche, si $x = 3$ :
%   \begin{align*}
%   \dfrac{1}{3}x + 1 &= \dfrac{1}{3}\times 3 + 1 \\
% 		    &= 1 + 1\\
% 		    & = 2.  
%   \end{align*}
%   donc $A(3\;; -2)$ n'est pas sur ${\cal D}_2$.
% 
% Enfin, la droite ${\cal D}_3$ représente la fonction $h : x\mapsto  -2$, ce qui signifie que tous les points d'ordonnée $-2$ sont sur ${\cal D}_3$. Le point $A$ a bien pour ordonnée $-2$ donc $A$ est bien sur ${\cal D}_3$.
% 
% \begin{Remarque}
% ${\cal D}_3$ est parallèle à l'axe des abscisses et représente une fonction constante.
% \end{Remarque}
% 
% \item Réponse \choix[b]. 
% 
% La représentation graphique de la fonction \mbox{$m:x \mapsto -2(3x + 5) +10$} est une droite qui passe par l'origine du repère.
% 
% En développant $m(x)$, il vient :
%   \begin{align*}
%    m(x) &= -2(3x + 5) +10 \\
%         &= -6x - 10 + 10\\
%         & = -6x.
%   \end{align*}
% 
% Donc $m$ est une fonction linéaire et sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère.
% \end{questions}
% \end{corrige}

% % QCM4 OLD
% 
% \begin{qcm}{Augmentation et diminution}{3}
% \begin{questions}
% \item Une diminution de 27\;\% d'un nombre $x$ se traduit par la fonction :\par 
% \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
%   \choix{$f:x\mapsto -\dfrac{27}{100}x$} &
%   \choix{$g:x \mapsto x-\dfrac{27}{100}$}\\[8pt]
%   \choix{$h:x\mapsto 0,73x$}
% \end{tabularx}
%   
% \item  Sur une foire, Sébastien arrive à négocier une remise de 10\;\% sur un salon de jardin. Ce salon de jardin lui revient alors à 800 euros. Ce qu'il ne sait pas, c'est que le vendeur, sur la foire, avait augmenté tous ses prix de 10\;\% par rapport aux prix affichés en magasin.
% 
% Si Sébastien avait acheté le salon de jardin au magasin, il aurait payé : \par \resetchoix
%   \choix moins de 800 euros \quad
%   \choix 800 euros\quad
%   \choix plus de 800 euros
% \end{questions}
% \end{qcm}
% 
% % QCM4corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item Réponse \choix[c]. Une diminution de 27\;\% d'un nombre $x$ se traduit par la fonction $h:x \mapsto 0,73x$.
% 
% Une diminution de 27\;\% d'un nombre $x$ se traduit par la fonction \\
% $x \mapsto \left(1 - \dfrac{27}{100}\right)x$. Or :
% \[
% 1 - \dfrac{27}{100} = 1 - 0,27 = 0,73.
% \]
% 
% \item  Réponse \choix[c]. Si Sébastien avait acheté le salon de jardin au magasin, il aurait payé plus de 800 euros. En effet, reprenons les choses dans l'ordre. Ce salon de jardin était à un certain prix en magasin. Le vendeur augmente ce prix de 10\;\% pour le vendre sur la foire. Puis il accorde une réduction de 10\;\% à Sébastien. Mais cette réduction est calculée sur la base du prix affiché à la foire, qui est plus élevé que le prix en magasin. Donc cette réduction de 10\;\% est plus importante que l'augmentation de 10\;\% faite par le vendeur avant la foire\ldots Sébastien est donc gagnant et le prix en magasin était supérieur à 800 euros.
% \end{questions}
% \end{corrige}
% 
% \sectionnn{Généralités sur les fonctions}

\newpage
%% EX3

\begin{exo}{Tableau de valeurs}{Collège Chaptal, Paris}{1}{6}
 Voici un tableau de valeurs correspondant à une fonction $g$.
 \begin{center}
  \begin{tabular}{|C|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
   $x$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ 
\hline
$g(x)$ & $-3$ & $5$ & $1$ & $-2$ & $-4$ & $3$ & $5$ & $2$ & $-4$ \\ 
\hline
  \end{tabular}
 \end{center}
 \begin{questions}
  \item Quelle est l'image de $3$ par la fonction $g$ ?
  \item Quel nombre a pour image $-3$ par $g$ ?
  \item Quel est l'antécédent de $1$ par $g$ ?
  \item Quels sont les nombres ayant plusieurs antécédents par $g$ ?
 \end{questions}


\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
 Dans un tableau de valeurs, les images sont sur la ligne 
correspondant à $f(x)$,  il s'agit généralement (comme c'est le cas dans cet exercice) de la 2\ieme{} ligne. Les antécédents sont sur 
la ligne de la variable $x$, c'est-à-dire sur la 1\iere{} ligne.
\end{methode}
 \begin{questions}
  \item L'image de $3$ par la fonction $g$ est $2$.
  \item Le nombre $-4$ a pour image $-3$ par la fonction $g$.
  \item L'antécédent de $1$ par $g$ est $-2$. Le nombre $1$ n'a 
qu'un seul antécédent par $g$ car il n'apparaît qu'une seule fois sur 
la 2\ieme{} ligne.
\item Le nombre $5$ apparaît deux fois sur la 2\ieme{} ligne. Donc 
$5$ admet deux antécédents par $g$ qui sont $-3$ et $2$. De même, 
$-4$ admet deux antécédents par $g$ qui sont $0$ et $4$.
 \end{questions}

\end{corrige}

%% EX4

\begin{exo}{Images et antécédents}{Collège Chaptal, Paris}{1}{6}
On considère la fonction $f$ qui à $x$ fait correspondre $3x-8$.
 \begin{questions}
  \item Calculer $f(7)$ puis $f(-5)$.
  \item Calculer l'image de $\dfrac{2}{7}$ par $f$.
  \item Quel est l'antécédent de $1$ par $f$ ?
 \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 La fonction $f$ est définie par $f(x) = 3x-8$.
 \begin{questions}
  \item $\begin{aligned}[t]
          f(7) & = 3 \times 7 - 8 = 21 - 8 = 13. \\
          f(-5) & = 3 \times (-5) - 8 = -15 - 8 = -23.
         \end{aligned}$
\item Calculer l'image de $\dfrac{2}{7}$ par $f$ revient à calculer 
$f\left(\dfrac{2}{7}\right)$.
\[f\left(\dfrac{2}{7}\right) =3\times \left(\dfrac{2}{7}\right) - 8 
= \dfrac{6}{7} - 8 = \dfrac{6}{7}-\dfrac{56}{7} = -\dfrac{50}{7}.\]
Donc l'image de $\dfrac{2}{7}$ par $f$ est $-\dfrac{50}{7}$.
\item Déterminer l'antécédent de $1$ par $f$ revient à résoudre 
l'équation :
\begin{align*}
 f(x) & = 1 \\
 3x-8 & = 1 \\
 3x - 8 + 8 & = 1 + 8 \\
 3x & = 9 \\
 x & = 3
\end{align*}
L'antécédent de $1$ par $f$ est donc $3$.
 \end{questions}
\end{corrige}



% EX5

\begin{exo}{Lectures graphiques}{Collège Georges Politzer, Ivry-sur-Seine}{1}{4}
\enlargethispage{5mm}
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessous représente une fonction $f$.

\begin{center}
\includegraphics{180_08_07}
\end{center}

\begin{questions}
\item \`A l'aide de lectures graphiques, donner :
\begin{questions}
\item les images de $-2$ et de 4 par $f$ ;
\item tous les antécédents de $-2$ par $f$.
\end{questions}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$.
\end{questions}
\end{exo}

% EX5corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{methode}
Pour déterminer graphiquement l'image d'un nombre $x$, on regarde le point de la courbe qui a pour abscisse $x$, et on lit son ordonnée.

De même, pour déterminer graphiquement un antécédent d'un nombre $y$, on regarde le ou les points qui ont pour ordonnée $y$, et on lit leurs abscisses.
\end{methode}

\begin{questions}
\item L'image de $-2$ par la fonction $f$ est 2 et l'image de 4 par $f$ est $-2$.
\item Il n'y a qu'un point sur la courbe $\mathcal{C}_f$ qui a pour ordonnée le nombre $-2$, donc $-2$ a un antécédent par $f$ : le nombre 4 (attention: le point d'abscisse $2$ n'est pas exactement sur la courbe).
\end{questions}

\item La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe trois fois l'axe des abscisses. Il y a donc trois nombres $x$ tels que $f(x) = 0$. Les solutions de cette équation sont : $-3$ ~; 1 et 5.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX6

\begin{exo}{Lectures graphiques}{Collège Monthéty, 
Pontault-Combault}{2}{15}
\enlargethispage*{2em}
\`A l'instant initial $t = 0$, une machine lance vers le ciel une balle de tennis. La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous donne la hauteur de la balle pour un instant $t$ compris entre 0 et 6 secondes.
\begin{center}
\includegraphics{181_08_08}
\end{center}

\begin{questions}
\item  Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique :
\begin{questions}
\item  Quelle est la hauteur de la balle à l'instant $t = 2$ ?
\item \`A quel instant la balle atteint-elle sa hauteur maximale ?
\item Quelle est la hauteur maximale atteinte par cette balle ?
\item Au bout de combien de temps la balle retombe t-elle sur le sol ?
\end{questions}
\item Calculer la vitesse moyenne (en km/h) de cette balle entre les instants $t = 3$ et $t = 6$.

\item La trajectoire de la balle a été modélisée par une fonction $f$. La courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de cette fonction $f$. On donne : \[f~:~x \mapsto -5x^2 + 30x\]
Calculer $f(1,5)$.
\item En indiquant sur le graphique les tracés nécessaires, donner, par lecture graphique :
\begin{questions}
\item\label{ch8ex6q4a} Le (ou les) antécédent(s) de 25 par la fonction $f$.
\item\label{ch8ex6q4b} L'image de 4 par la fonction $f$.
\end{questions}
\item Que signifient les réponses des questions \ref{ch8ex6q4a} et \ref{ch8ex6q4b} pour la balle qui a été lancée ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX6corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item \`A l'instant $t = 2$, la balle est à 40 m du sol.
\item La balle atteint sa hauteur maximale au bout de 3 secondes (à l'instant $t = 3$).
\item La hauteur maximale atteinte par cette balle est de 45 m.
\item La balle retombe sur le sol au bout de 6 secondes.
\end{questions}
\item Rappel : la vitesse moyenne $v$ d'un objet est donnée par la formule : \\ $v = \dfrac{d}{t}$, où $t$ est le temps et $d$ est la distance parcourue.

Entre les instants $t = 3$ et $t = 6$, la balle parcourt 45 m. Il s'est écoulé 3~s. Donc :
\begin{align*}
v & = \dfrac{45}{3} = 15 \text{ m/s} \\
v & = \dfrac{15~\text{m}}{1~\text{s}} = 
\dfrac{0,015~\text{km}}{\dfrac{1}{3600}~\text{h}} = 0,015 \times 
3600~\text{km/h} = 54~\text{km/h}.
\end{align*}
La vitesse moyenne de cette balle entre les instants $t = 3$ et $t = 6$ est donc de 54 km/h.
\enlargethispage*{2em}
\item \raisebox{-.65cm}{\begin{tabular}{ll}
        $f(1,5)$ &$= -5\times 1,5^2 + 30 \times 1,5$ \\
               &$= -5 \times 2,25 + 45$ \\
               &$= -11,25 + 45$ \\
               &$= 33,75$ 
       \end{tabular}}
\item Voici les tracés à faire pour répondre à cette question :
\begin{center}
\includegraphics{188_08_08b}
\end{center}
\begin{questions}
\item 25 a deux antécédents par $f$ : les nombres 1 et 5.
\item L'image de 4 par la fonction $f$ est 40.
\end{questions}
\item La balle est à 25 mètres du sol aux instants $t = 1$ et $t = 5$ (c'est-à-dire 1~seconde et 5~secondes après le lancer). \`A l'instant $t = 4$ (c'est-à-dire 4 secondes après le lancer), la balle est à 40 mètres au-dessus du sol.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX7 OLD

% \begin{exo}{Tableau de valeurs}{Collège Georges Politzer, Ivry-sur-Seine}{1}{4}
% Voici un tableau de valeurs d'une fonction $g$ :
% \begin{center}
% % \begin{tabular}{|C|*6{Sc|}}
% % \hline
% % $x$ & -9 & -1 & 3 & 7 & 14 & 25\\ \hline
% % $g(x)$ & -1 & 14 & 27 & 58 & 42 & 11 \\ \hline
% % \end{tabular}
% \end{center}
% \begin{questions}
%  \item Recopier et compléter : 
%  \begin{align*}
%  &g ( 3 ) = \ldots\qquad g( -9 ) =\ldots \\
%  & g ( \ldots ) = 14\qquad g( \ldots ) =42 
%  \end{align*}
% 
%  \item Quelle est l'image de 7 par la fonction $g$ ? 
%  \item Donner un antécédent de 14 par la fonction $g$.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX7corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{methode}
% Dans un tableau de valeurs, les images sont les nombres de la deuxième ligne. Les
% antécédents ceux de la première ligne.
% \end{methode}
% \begin{questions}
%  \item  $g ( 3 ) = 27 \qquad g ( -9 ) =-1 \qquad g (-1) = 14 \qquad g (14 ) = 42$
%  \item L'image de 7 par $g$ est 58.
%  \item Un antécédent de 14 par $g$ est -1.
% \end{questions}
% \end{corrige}

% EX8

\begin{exo}{Tableau de valeurs}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{1}{6}
La fonction $g$ est définie pour tous les nombres $x\geqslant 0$ par :
\[
g(x)=\dfrac{3}{x+2}.
\]

Compléter le tableau de valeurs suivant :

\begin{center}
  \begin{tabular}[c]{|C|*{3}{>{\centering}p{1cm}|}}
    \hline
    $x$ & 0 & $0{,}5$ & \tabularnewline
    \hline
    $g(x)$ & & & 1 \tabularnewline
     \hline
  \end{tabular}
\end{center}
\end{exo}

% EX8corr

\begin{corrige}
Calcul des images de 0 et de $0,5$ :
\[
g(0)= \dfrac{3}{0 + 2} = 1,5 \qquad \text{et} \qquad
g(0,5) = \dfrac{3}{0,5 + 2} = \dfrac{3}{2,5}= 1,2.
\]

Pour déterminer l'antécédent de 1, il faut résoudre l'équation
$g(x) = 1$, c'est-à-dire :
\[\dfrac{3}{x + 2} = 1.\]

En multipliant chaque membre par $x + 2$, il vient $3 = x + 2$ et
donc $x = 1$.

Finalement, le tableau de valeurs de $g$ complété est :

\begin{center}
\begin{tabular}[c]{|C|*3{c|}}
\hline
$x$ & 0 & $0,5$ & 1\\
\hline
$g(x)$ & $1,5$ & $1,2$ & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{corrige}

%% EX8

\begin{exo}{\fontsize{11.5}{11.5}\selectfont Images, antécédents et 
points sur la courbe}{Collège Chaptal, Paris}{2}{12}
On considère la fonction $h$ telle que $h(x) = -x^2 + 8x - 11$.
\begin{questions}
 \item Calculer $h(2)$.
 \item Déterminer l'image de $-5$ par $h$.
 \item Déterminer par le calcul le(s) antécédent(s) de $-11$ par $h$.
 \item Le point A$\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{27}{4}\right)$ 
appartient-il à la courbe représentative de $h$ ?
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 La fonction $h$ est définie par $h(x) = -x^2 + 8x - 11$.
 \begin{questions}
  \item $h(2) = -2^2 + 8 \times 2 - 11 = -4 + 16 - 11 = 1$.
  \item $h(-5) = -(-5)^2 + 8 \times (-5) - 11 = -25 - 40 - 11 = -76$.
  
  Donc l'image de $-5$ par $h$ est $-76$.
  \item Déterminer les antécédents éventuels de $-11$ par $h$ revient 
à résoudre l'équation suivante :
\begin{align*}
 h(x) & = -11 \\
 -x^2 + 8x - 11 & = -11 \\
 -x^2 + 8x & = 0 \\
 x(-x+8) & = 0
\end{align*}
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs 
est égal à $0$. On a donc :
\begin{center}
\begin{tabular}{lcl}
 $x=0$ & ou & $-x+8 = 0$ \\
 $x=0$ & ou & $x=8$.
\end{tabular}
\end{center}
Les antécédents de $-11$ par $h$ sont donc $0$ et $8$.
\item \begin{methode}
       Pour savoir si un point A$(x_{\text{A}};y_{\text{A}})$ 
appartient à la courbe représentative d'une fonction $f$, on calcule 
$f(x_{\text{A}})$. Deux cas peuvent se produire :
\begin{itemize}
 \item soit $f(x_{\text{A}}) = y_{\text{A}}$ et alors A appartient 
à $\mathcal{C}_f$ ;
 \item soit $f(x_{\text{A}}) \neq y_{\text{A}}$ et alors 
A n'appartient pas
à $\mathcal{C}_f$.
\end{itemize}
      \end{methode}
Dans notre cas, A$\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{27}{4}\right)$, on 
calcule donc $h\left(\dfrac{1}{2}\right)$ pour le comparer à 
$-\dfrac{27}{4}$ :
\[h\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 
8\times \dfrac{1}{2} - 11 = -\dfrac{1}{4}+4-11 = 
-\dfrac{1}{4}+\dfrac{16}{4}-\dfrac{44}{4} = -\dfrac{29}{4}.\] On 
constate que $h\left(\dfrac{1}{2}\right) \neq -\dfrac{27}{4}$, donc 
le point $A$ n'appartient pas à la courbe représentative de $h$.
 \end{questions}

\end{corrige}

%% EX9

\begin{exo}{Expressions algébriques}{Collège Chaptal, Paris}{2}{10}
 \begin{questions}
  \item \`A tout nombre $x$, on fait correspondre la somme de son 
double et de son inverse.
\begin{questions}
 \item \'Ecrire une expression de la fonction $f$ ainsi définie.
 \item Calculer l'image de $10^4$ par la fonction $f$ (en écriture 
décimale).
\end{questions}
\item On considère la fonction $g$ qui, à un nombre, associe le 
triple de son carré.
\begin{questions}
\item \'Ecrire une expression de la fonction $g$ ainsi définie.
\item $-2$ est-il un antécédent de $36$ par $g$ ? Justifier.
 \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item \begin{questions}
  \item Le double de $x$ est $2x$ et l'inverse de $x$ est 
$\dfrac{1}{x}$. La fonction $f$ qui à tout nombre $x$, on fait 
correspondre la somme de son double et de son inverse s'écrit donc 
sous la forme $f(x) = 2x+\dfrac{1}{x}$.
  \item $f(10^4) = 2\times 10^4 + \dfrac{1}{10^4} = 
\text{\numprint{20000}} + \text{\numprint{0,0001}} = 
\text{\numprint{20000,0001}}$.
  \end{questions}
    \item \begin{questions}
  \item La fonction $g$ qui, à un nombre, associe le triple de son 
carré s'écrit :
\[g(x) = 3x^2.\]
  \item $g(-2) = 3 \times (-2)^2 = 3\times 4 = 12$.
  
  On constate que $g(-2) \neq 36$. Donc $-2$ n'est pas un antécédent 
de $36$ par $g$.
\begin{Remarque}
 on aurait également pu déterminer tous les antécédents de $36$ par 
$g$ et regarder si $-2$ en fait partie. Mais pour cela, il aurait fallu résoudre l'équation $3x^2 = 36$, ce qui aurait été plus long que de calculer 
$g(-2)$.
\end{Remarque}

  \end{questions}
 \end{questions}

\end{corrige}

%% EX10
\begin{exo}{Le ballon de basket}{Collège Chaptal, Paris}{2}{15}
 On s'intéresse à la trajectoire d'un ballon de basket lancé par un 
joueur non professionnel. Cette trajectoire est représentée en rouge 
sur le graphique page suivante. 
\begin{center}
 \includegraphics[width=10cm]{183_08n_exo10}
\end{center}
\begin{questions}
 \item Répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique :
 \begin{questions}
  \item De quelle hauteur le ballon est-il lancé ?
  \item \`A quelle hauteur se trouve le ballon lorsqu'il s'est 
déplacé de $1$~m latéralement ?
\item Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
\item \`A quelle distance du joueur le ballon retombe-t-il au sol ?
 \end{questions}
 \item La trajectoire du ballon peut être modélisée par la fonction 
$f$ dont la courbe est tracée en rouge sur le graphique. On donne :
\[f : x \mapsto -0,4x^2+1,2x+2.\]
\begin{questions}
\item Calculer l'image de $3,5$ par $f$.
\item Que signifie ce résultat concernant le ballon ?
\item Déterminer graphiquement les antécédents de $2$ par $f$, puis 
retrouver le résultat par le calcul.
\end{questions}
\enlargethispage{5mm}
\item Afin de déterminer précisément la hauteur du 
ballon en fonction 
de sa distance latérale par rapport au joueur, le coach décide 
d'utiliser un tableur. Il obtient le tableau suivant :

\vspace{5pt}

\begin{center} 
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash\columncolor{black!15}}p{
0.8cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}p{0.8cm}|}} \hline
\rowcolor{black!15} & 
\texttt{A} & \texttt{B} & \texttt{C} & \texttt{D} & \texttt{E} & 
\texttt{F} & \texttt{G}  \\ \hline
\texttt{1} & $x$ & $0$  & $0,2$ & $0,4$ & $0,6$ & $0,8$ & $1$ \\ 
\hline
\texttt{2} & $f(x)$ & $2$ & $2,224$ & $2,416$ & $2,576$ & $2,704$ & 
$2,8$ \\ \hline
 \end{tabular}
\end{center}

\vspace{5pt}

Pour remplir ce tableau, le coach a saisi une formule en \texttt{B2}, 
puis l'a étirée jusqu'à la cellule \texttt{G2}. Quelle formule a-t-il 
tapée dans la cellule \texttt{B2} ?
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item \begin{questions}
  \item Le ballon est lancé d'une hauteur de $2$~m. 
 \item Lorsque le ballon est à $1$~m du joueur latéralement, il se 
trouve à $2,8$~m du sol.
 \item La hauteur maximale atteinte par le ballon est $2,9$~m 
(lorsque le ballon est à $1,5$~m du joueur latéralement).
 \item Le ballon retombe sur le sol à $4,2$~m du joueur.
 \end{questions}
   \item \begin{questions}
  \item $f(3,5) = -0,4 \times 3,5^2 + 1,2 \times 3,5 + 2 = -4,9 + 4,2 
+ 2 = 1,3$.
 \item Cela signifie que le ballon est à $1,3$~m de hauteur lorsqu'il 
est $3,5$~m plus loin latéralement.
 \item Pour déterminer graphiquement les antécédents de $2$ par $f$, 
on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le 
point de coordonnées $(0;2)$ et on cherche les abscisses des points 
d'intersection de cette droite avec la courbe. Cette droite coupe la 
courbe aux 
points de coordonnées $(0;2)$ et $(3;2)$, donc les antécédents de $2$ 
par $f$ sont $0$ et $3$.

\Par

Vérifions ce résultat par le calcul en résolvant l'équation :
\begin{align*}
 f(x) & = 2 \\
 -0,4x^2 + 1,2x + 2 & = 2 \\
 -0,4x^2 + 1,2x & = 0 \\
 x(-0,4x+1,2) & = 0.
\end{align*}
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs 
est égal à $0$. On a donc :
\begin{center}
 \begin{tabular}{lcl}
  $x = 0$ & ou & $-0,4x+1,2 = 0$ \\
  $x = 0$ & ou & $-0,4x=-1,2$ \\
  $x = 0$ & ou & $x = \dfrac{1,2}{0,4} = 3$.
 \end{tabular}
\end{center}
Les antécédents de $2$ par $f$ sont bien $0$ et $3$.
 \end{questions}
   \item On veut faire apparaître dans la cellule \texttt{B2} la 
valeur de $f(0)$. Il faut donc demander à l'ordinateur de calculer 
l'expression $-0,4x^2 + 1,2x+2$ en remplaçant $x$ par le contenu de 
la cellule \texttt{B1}. Il faut donc taper dans la cellule 
\texttt{B2} :

\og \texttt{=-0.4*B1*B1+1.2*B1+2}\fg{}.
 \end{questions}

\end{corrige}

%% EX11

\begin{exo}{Aires et fonctions}{Collège Chaptal, Paris}{3}{20}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.5){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh8Ex11}}}
\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Aires et fonctions}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh8Ex11}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}

 \begin{questions}
  \item Démontrer que $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.
 \end{questions}

 \medskip
 
\begin{minipage}[b]{6cm}
 On considère la figure ci-contre sur laquelle :
 \begin{itemize}
  \item ABCD est un carré de côté $6$~cm ;
  \item E est un point de $[\text{AB}]$ tel que $\text{EB} = x$ (en 
cm) ;
\item F est un point de $[\text{AD}]$ tel que $\text{AF} = 2x$.
 \end{itemize}
 On cherche à déterminer pour quelle(s) valeur(s) de $x$ l'aire de 
EBCDF 
est égale à $28$~cm\up{2}.
\end{minipage}\hfill\includegraphics[width=4cm]{184_08n_exo11}

\begin{questions}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item \begin{questions}
 \item Donner un encadrement de $x$.
 \item Exprimer AE en fonction de $x$.
 \end{questions}
  \item \begin{questions}
 \item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire $T(x)$ du triangle AEF.
 \item Calculer $T(1,5)$. Que cela représente-t-il graphiquement ?
 \end{questions}
  \item \begin{questions}
 \item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire $P(x)$ du polygone EBCDF.
 \item Déterminer, par le calcul, le(s) antécédent(s) éventuel(s) de 
$28$ par $P$. Que peut-on en conclure ?
 \end{questions}
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]


\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh8Ex11}}}
\vspace*{-15pt}
\begin{questions}
  \item \begin{methode}
         Pour prouver une égalité, il ne faut surtout pas écrire 
l'égalité à démontrer. On écrit par exemple le membre de gauche et on 
le transforme pour arriver au membre de droite (ou le contraire).
        \end{methode}
Dans notre cas, nous avons une forme développée dans le membre de 
gauche et une forme factorisée dans le membre de droite. Il est plus 
simple de développer, on va donc partir du membre de droite.
\begin{align*}
 (x-2)(x-4) & = x^2 - 4x - 2x + 8 \\
 & = x^2 - 6x + 8.
\end{align*}
\begin{Remarque}
 lorsque ce type de question est posé en début d'exercice et qu'il 
semble sans rapport avec la suite, cela signifie que le résultat sera 
utile pour résoudre une des questions de l'exercice. Il faut donc le 
garder en tête.
\end{Remarque}
\item \begin{questions}
\item $x$ est une longueur, donc $x \geqslant 0$.

De plus, E est un point de $[\text{AB}]$, donc $\text{EB}\leqslant 
\text{AB}$, soit $x \leqslant 6$.

Enfin, F est un point de $[\text{AD}]$ et $\text{AF} = 2x$, donc $2x \leqslant 6$, soit $x \leqslant 3$.

Ces trois conditions réunies nous donnent l'encadrement suivant :
\[0 \leqslant x \leqslant 3.\]
\item E est un point de $[\text{AB}]$, donc :

\[\text{AE} = \text{AB}-\text{EB} = 6-x~\text{cm}.\]

\end{questions}
\Par
\item \begin{questions}
\item $T(x) = \dfrac{\text{AF}\times\text{AE}}{2} = 
\dfrac{2x(6-x)}{2} = x(6-x) = 6x-x^2~\text{cm}\up{2}$.

\Par 

\item $T(1,5) = 6\times 1,5 - 1,5^2 = 9-2,25 = 6,75$.

\Par

Graphiquement, cela signifie que lorsque E est situé à $1,5$~cm de B, 
l'aire du triangle AEF vaut $6,75$~cm\up{2}.
\end{questions}

\Par 

\item \begin{questions}
\item $P(x) = \mathcal{A}_{\text{ABCD}} - T(x) = 6^2 - (6x-x^2) = 36 
- 6x + x^2$.
\item Pour trouver le(s) antécédent(s) de $28$ par $P$, on résout :
\begin{align*}
 P(x) & = 28 \\
 36 - 6x + x^2 & = 28 \\
 36 - 6x + x^2 - 28 & = 28-28 \\
 x^2 - 6x + 8 & = 0.
\end{align*}
On reconnaît la forme développée de la question 1 dont on connaît la 
forme factorisée. On peut donc écrire :
\[(x-2)(x-4) = 0.\]
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs 
est égal à $0$. On a donc :
\begin{center}
 \begin{tabular}{lcl}
  $x-2 = 0$ & ou & $x-4 = 0$ \\
  $x=2$ & ou & $x=4$.
 \end{tabular}
\end{center}
 
Cependant, on sait que $x$ est une longueur inférieure ou égale à 
$3$~cm. Donc le seul antécédent de $28$ par $P$ est $2$.

On peut donc en conclure que l'aire du polygone EBCDF vaut 
$28$~cm\up{2} uniquement lorsque $x=2$, c'est-à-dire lorsque E est 
placé à $2$~cm de B, et F à 4~cm de A.

\end{questions}
 \end{questions}

\end{corrige}

%%%% END OLD %%%%%%%%%%

% EX9
% 
% \begin{exo}{Avec un tableur}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{1}{5}
% On veut déterminer à l'aide d'un tableur les images par la fonction
% 
% $f:x\mapsto \dfrac{(x-2)^2 - 5}{x+7}$ des nombres $-5$ ~; 0,2 ~; 4,7 ~; 13 et 34.
% \begin{center}
% % \begin{tabular}{|C|*6{Sc|}}
% % \hline\tabulartitle
% %  & A & B & C & D & E & F\\ \hline
% % 1 & $x$ & -5 & 0,2 & 4,7 & 13 & 34\\ \hline
% % 2 & $f(x)$ &  &  &  &  & \\ \hline
% % \end{tabular}
% \end{center}
% \begin{questions}
% \item Quelle formule doit-on taper dans la cellule B2 ?
% \item Compléter le tableau de valeur ci-dessus à l'aide d'un tableur.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX9corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item On veut faire apparaître dans la cellule B2 la valeur de $f (-5)$. On va donc demander à l'ordinateur de calculer l'expression $\dfrac{(x-2)^2-5}{x+7}$ en remplaçant $x$ par le contenu de la cellule B1. Il faut donc taper dans la cellule B2 : $\og{} =\rm ((B1 - 2 )\verb+^+2 - 5 ) / ( B1 + 7 )\fg{}$.
% 
% \item 
% \begin{methode}
% Pour compléter le tableau de valeurs, il suffit d'étirer la formule tapée dans la cellule B2 aux cellules C2 à F2.
% \end{methode}
% On obtient : 
% 
% \Par
% 
% \begin{center}
% % \begin{tabular}{|C|*6{Sc|}}
% % \hline\tabulartitle
% %  & A & B & C & D & E & F\\ \hline
% % 1 & $x$ & -5 & 0,2 & 4,7 & 13 & 34\\ \hline
% % 2 & $f(x)$ &  22 &$-0,24$ &0,2 &5,8 &24,85 \\ \hline
% % \end{tabular}
% \end{center}
% \end{questions}
% \end{corrige}
% 
% \sectionnn{Fonctions linéaires}

% EX10
% 
% \begin{exo}{Fonctions linéaires}{Collège Colette, Sartrouville}{1}{12}
% \begin{questions}
% \item Soit $f$ la fonction linéaire définie par la relation
% $f(x)=-\dfrac{8}{5}x$. Calculer :
% \begin{questions}
% \item $f(-2)$
% \item les antécédents respectifs de 1 et $-56$
% \end{questions}
% 
% \item Déterminer la fonction linéaire $g$ sachant que $\dfrac{3}{14}$ a pour image $1,5$ par $g$.
% 
% \item Déterminer la fonction linéaire $h$ sachant que 2 est l'image de 6 par $h$.
% 
% \item Représenter graphiquement les fonctions $f$, $g$ et $h$ dans un repère orthonormé d'unité 1~cm.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX10corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item $f(x) = -\dfrac{8}{5}x$ donc :
% \begin{questions}
% \item $f(-2) = -\dfrac{8}{5} \times (-2) = \dfrac{16}{5}$.
% \item On cherche le nombre $x$ tel que : $f(x) = 1$, c'est-à-dire tel que $-\dfrac{8}{5}x = 1$. On résout donc cette équation en
% multipliant chaque membre par $-\dfrac{5}{8}$ : $x = -\dfrac{5}{8}$.
% \end{questions}
% L'antécédent de 1 par $f$ est donc le nombre $-\dfrac{5}{8}$.
% 
% On cherche $x$ tel que $f(x) = -56$, c'est-à-dire tel que
% $-\dfrac{8}{5}x = -56$. 
% 
% On résout donc cette équation en multipliant chaque membre par $-\dfrac{5}{8}$ :
% \[
% x = -\frac{5}{8}\times (-56) = \frac{5\times 8 \times 7}{8} =35.
% \]
% 
% L'antécédent de $-56$ par $f$ est donc le nombre 35.
% 
% \item $g$ est une fonction linéaire donc de la forme $g:x \mapsto ax$.
% 
% De plus, on sait que $g\left(\dfrac{3}{14}\right) = 1,5$ donc on a : $a \times \dfrac{3}{14} = 1,5$.
% 
% Ce qui donne en multipliant chaque membre de cette équation par
% $\dfrac{14}{3}$ : 
% \[
% a = 1,5 \times \dfrac{14}{3} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{14}{3}=\dfrac{14}{2}= 7.
% \]
% 
% La fonction $g$ est donc la fonction telle que $g(x) = 7x$.
% 
% \item $h$ est une fonction linéaire donc de la forme $h:x \mapsto ax$.\enlargethispage*{2em}
% 
% De plus, on sait que $h(6) = 2$ donc on a $a \times 6 = 2$, ce qui donne en divisant chaque membre de cette équation par 6 : $a= \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
% 
% La fonction $h$ est donc la fonction telle que $h(x) = \dfrac{1}{3}x$.
% 
% \item Les fonctions $f$, $g$ et $h$ sont trois fonctions linéaires
% donc leur représentation graphique sont des droites que nous
% noterons respectivement $(d_1)$, $(d_2)$ et $(d_3)$, qui passent par l'origine du repère.
% 
% De plus :
% \[
% f(5) = -\dfrac{8}{5} \times 5 = -8 
% \]
% donc $(d_1)$ passe par le point de coordonnées $(5\;; -8)$.
% 
% \begin{Remarque}
% on avait déjà trouvé à la question~1 que :
% \[
% f(-2) = \dfrac{16}{5} = 3,2  
% \]
% mais le point de coordonnées $(-2\;; 3,2)$ est moins facile à placer que le point de coordonnées $(5\;; -8)$.
% \end{Remarque}
% 
% On sait que $g\left(\dfrac{3}{14}\right) = 1,5$ mais le point
% $\left(\dfrac{3}{14}\;; 1,5\right)$ ne sera pas non plus facile à
% placer donc on calcule par exemple :
% \[
% g(1) = 7 \times 1 =7.
% \]
% $(d_2)$ passe donc par le point de coordonnées $(1\;; 7)$.
% 
% Enfin, on sait que $h(6) = 2$ donc $(d_3)$ passe par le point
% de coordonnées $(6\;; 2)$.
% 
% On obtient alors le graphique suivant :
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{210_08_09}%[scale=0.7]
% \end{center}
% \end{questions}
% \end{corrige}
% 
% % EX11
% 
% \begin{exo}{Pourcentages}{Collège Louise Michel, Chaumont}{2}{5}
% Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
% 
% \begin{questions}
% \item J'achète un meuble dont le prix est de 460~\euro{}. Combien
% vais-je payer si l'on me fait une réduction de 20\;\% ?
% 
% \item Je paie une chemise soldée à 36~\euro{}. Quel était son prix
% avant la réduction de 20\;\% ?
% 
% \item Un canapé soldé passe de \nombre{1360}~\euro{} à
% 884~\euro{}. Quel est le pourcentage de réduction qui a été accordé ?
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX11corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item $460 \times \left(1 - \dfrac{20}{100}\right) = 460 \times 0,8 = 368$.
% 
% Le prix de ce meuble après la réduction de 20\;\% est de 368~\euro{}.
% 
% \item Notons $x$ le prix initial de cette chemise.
% 
% On sait que :
%   \[x \times \left(1 - \dfrac{20}{100}\right) = 36.\]
% 
% Nous allons donc résoudre cette équation :
% \begin{align*}
% x \times 0,8 &= 36 \\
% x &= \dfrac{36}{0,8}\\
% x & = 45.
% \end{align*}
% Avant la réduction de 20\;\%, cette chemise coûtait 45~\euro.
% \begin{attention}
% Pour répondre à ce type de question, il ne faut pas, pour calculer
% le prix initial avant la réduction de 20\;\%, augmenter le prix
% final de 20\;\% \ldots{} En effet, ici, la somme correspondant à 20\;\% de 36~\euro{} n'est pas la même que celle correspondant à 20\;\% du prix initial. En augmentant 36 de 20\;\%, on aurait trouvé $43,20$ \ldots{} et non 45.
% \end{attention}
% \item
% \begin{methode}
% Ici aussi, nous allons mettre en équation le problème pour
% répondre à la question posée.
% \end{methode}
% 
% Soit $x$ le pourcentage de réduction qui a été accordé.
% 
% On sait que : $\nombre{1360} \times \left(1 - \dfrac{x}{100}\right) = 884$.
% 
% On résout cette équation en commençant par développer le membre de
% gauche :
% \begin{align*}
% \nombre{1360} - 13,6x &= 884 \\
% - 13,6x &= 884 - \nombre{1360} \\
% - 13,6x &= -476 \\
% x &= \dfrac{476}{13,6}\\
% x&= 35.
% \end{align*}
% 
% Une réduction de 35\;\% a donc été accordée sur le prix de ce canapé.
% \end{questions}
% \end{corrige}
% 
% \sectionnn{Fonctions affines}
% 
% % EX12
% 
% \begin{exo}{Association droites-fonctions}{Collège Foch, Strasbourg}{1}{3}
% On a représenté page ci-contre les fonctions :
% \[
% f:x\mapsto 2x+3\quad g:x\mapsto -2x+3\quad h:x \mapsto 2x-3
% \] 
% et :
% \[
% k:x\mapsto -2x-3
% \]
% Associer chaque droite à la fonction représentée.
% 
% \newpage
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{204_08_10}
% \end{center}
% \end{exo}
% 
% % EX12corr
% 
% \begin{corrige}
% En observant le graphique, on remarque que : 
% \begin{itemize}
% \item Les droites $(d_3)$ et $(d_4)$ \og montent\fg{} alors que les
% droites $(d_1)$ et $(d_2)$ \og descendent\fg{}. Le coefficient
% directeur des droites $(d_3)$ et $(d_4)$ est donc positif alors que celui des droites $(d_1)$ et $(d_2)$ est négatif.
% 
% \item Les droites $(d_3)$ et $(d_1)$ coupent l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée $+3$ alors que les droites $(d_2)$ et $(d_4)$ coupent l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée $-3$. L'ordonnée à l'origine (c'est-à-dire le coefficient $b$) des droites $(d_3)$ et $(d_1)$ est donc 3 tandis que que celui des droites $(d_2)$ et
% $(d_4)$ est $-3$.
% \end{itemize}
% 
% Au vu de ces deux remarques et des expressions algébriques des
% fonctions proposées, il vient que :
% \begin{itemize}
% \item la droite $(d_1)$ représente la fonction $g$
% \item la droite $(d_2)$ représente la fonction $k$
% \item la droite $(d_3)$ représente la fonction $f$
% \item la droite $(d_4)$ représente la fonction $h$
% \end{itemize}
% 
% \begin{Remarque}
% les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ont toutes les deux $-2$ pour
% coefficient directeur. On remarque qu'elles sont parallèles. Il en
% est de même pour les droites $(d_3)$ et $(d_4)$, qui ont toutes les
% deux $+2$ pour coefficient directeur.
% \end{Remarque}
% \end{corrige}
% 
% % EX13
% 
% \begin{exo}{Tracé de droites et concourance}{Collège Foch, Strasbourg}{2}{10}
% \begin{questions}\label{ch5ex13}
% \item Tracer dans un repère $(O, I, J)$ les représentations graphiques des fonctions suivantes : $f:x\mapsto x+4$, $g:x\mapsto -4x+9$ et $h:x\mapsto 5$ (justifier vos réponses).
% \item Montrer que ces représentations graphiques sont concourantes en un point $M$ dont vous déterminerez les coordonnées.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX13corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item Les fonctions $f$, $g$ et $h$ sont des fonctions affines (avec une petite particularité pour $h$ : il n'y a pas de $x$, ce qui signifie que le coefficient de $x$ est égal à 0). Pour les représenter graphiquement (chacune par une droite), on va construire un tableau de valeurs en prenant deux valeurs de $x$.
% 
% \begin{center}
% % \begin{tabular}{|C|*2{Sc|}}
% % \hline
% % $x$ & 0 & 4\\
% % \hline
% % $f(x)$ & $4$ & $4+4=8$\\
% % \hline
% % $g(x)$ & $9$ & $-4\times4+9=-7$\\
% % \hline
% % $h(x)$ & 5 & 5\\
% % \hline
% % \end{tabular}
% \end{center}
% \enlargethispage*{2em}
% Ainsi,
% \begin{itemize}
% \item $(d_1)$, qui représente $f$, passe par les points de coordonnées $(0\;;4)$ et $(4\;;8)$;
% \item $(d_2)$, qui représente $g$, passe par les points de coordonnées $(0\;;9)$ et $(4\;;-7)$;
% \item $(d_3)$, qui représente $h$, passe par les points de coordonnées $(0\;;5)$ et $(4\;;5)$.
% \end{itemize}
% 
% On obtient alors le graphique suivant :
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{08_11}
% \end{center}
% 
% \item
% \begin{Remarque}
% dire que trois droites sont \emph{concourantes} signifie qu'elles
% passent toutes les trois par un \emph{même} point.
% \end{Remarque}
% 
% On va déterminer l'abscisse du point d'intersection des droites $(d_1)$ et $(d_2)$ en résolvant l'équation $f(x)=g(x)$ :
% \begin{align*}
% x+4 & =-4x+9\\
% x+4x &= 9-4\\
% 5x & = 5\\
% x & =1
% \end{align*}
% 
% Son ordonnée est donc égale à $f(1)=1+4=5$, donc le point d'intersection appartient aussi à $(d_3)$ (car $h(x)=5$).
% 
% Ainsi, les droites $(d_1)$, $(d_2)$ et $(d_3)$ sont concourantes en un point $M$ de coordonnées $(1\;; 5)$.
% \end{questions}
% \end{corrige}
% 
% % EX14
% 
% \begin{exo}{Calcul des coefficients}{Collège Buclos, Meylan}{2}{10}
% \begin{questions}
% \item  Déterminer la fonction affine $f$ vérifiant $f(3)=5$ et $f(-2) =1$.
%   
% \item Soit $A(1\;;-3)$ et $B\left(2\;; \dfrac{21}{5}\right)$.  Les points $A$ et $B$ appartiennent-ils à la représentation graphique de $f$ ?
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX14corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item  $f$ est une fonction affine, donc de la forme $f(x)=ax+b$.
% On sait que $f(3)=5$ ; posons alors E$(3\;;5)$. De plus, $f(-2)=1$ ; posons alors F$(-2\;;1)$. Ainsi, E et F appartiennent à la droite représentative de $f$ et d'après le cours,
% \[
% a=\dfrac{y_F-y_E}{x_F-x_E}=\dfrac{1-5}{-2-3}=\dfrac{-4}{-5}=\dfrac{4}{5}.
% \]
% Ainsi, $f(x)=\dfrac{4}{5}x+b$.
% 
% \'Etant donné que $f(3)=5$ et que $f(3)=\dfrac{4}{5}\times3+b=\dfrac{12}{5}+b$, on en déduit que :
% \[
% 5=\dfrac{12}{5}+b\qquad\text{soit :}\qquad b=5-\dfrac{12}{5}=\dfrac{25}{5}-\dfrac{12}{5}=\dfrac{13}{5}.
% \]
% Finalement, $f(x)=\dfrac{4}{5}x+\dfrac{13}{5}$.
%   
% \item $\begin{aligned}[t]
%    f(x_A)&=f(1)\\
%          &={4\over 5}\times 1+{13\over 5}\\
%          &={17\over 5}\\
%          &\neq y_A.
%   \end{aligned}$
%   
% Donc $A$ n'appartient pas à la représentation graphique de $f$.
%   
% $\begin{aligned}[t]
%     f(x_B)&=f(2)\\
%           &={4\over 5}\times 2+{13\over 5}\\
%           &={21\over 5}\\
%           &= y_B.
%   \end{aligned}$
%   
% Donc $B$ appartient à la représentation graphique de $f$.
% \end{questions}
% \end{corrige}
% 
% \sectionnn{Vers le brevet...}
% \enlargethispage*{\baselineskip}
% 
% % EX15
% 
% \begin{exo}{Des aires en fonctions}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{2}{15}
% \begin{center}
% \includegraphics{206_08_12}%[scale=0.6]
% \end{center}
% Le triangle AMC est rectangle en A et MEDB est un rectangle. M est un point du segment [AB]. L'unité est le cm.
% 
% On donne : $\rm AC = 4$, $\rm BD = 3$, $\rm AB = 10$ et on note $x$ la longueur MB.
% 
% \begin{questions}
% \item Entre quelles valeurs le nombre $x$ peut-il varier ?
% \item Exprimer, en fonction de $x$, les aires ${\cal A}_1(x)$ du triangle AMC et ${\cal A}_2(x)$ du rectangle MEDB.
% \item Représenter dans un repère orthonormé où l'unité est le centimètre les droites ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$ représentant
% respectivement les fonctions : 
% \[ 
% x \mapsto -2x+20\qquad \text{et}\qquad x\mapsto 3x.
% \]
%   
% \item Lire sur le graphique les coordonnées du point d'intersection des droites ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$. Interpréter ce résultat.
% 
% \item Est-il possible que l'aire du triangle AMC soit égale au triple de l'aire du rectangle MEDB ? Si oui, pour quelle valeur de  $x$ ? 
%   
% Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie au 10\ieme.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX15corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item \label{exo-quest8-a} M est un point du segment [AB] qui
% mesure 10~cm donc on a :
% \[0 \leqslant\rm BM \leqslant 10.\]
% $x$ peut donc varier entre 0 et 10.
% 
% \item
% \begin{itemize}
% \item $\begin{aligned}[t]
% {\cal A}_1(x) &= \dfrac{\rm AC \times AM}{2} \\
%               &= \dfrac{4 \times\rm AM}{2}\\
%               & = 2\times\rm AM.
% \end{aligned}$
% 
% Or M est un point de [BC] donc :
% \[
% {\rm AM = AB - BM} = 10 - x.
% \]
% Il vient alors :
% \[
% {\cal A}_1(x) = 2 \times (10 - x) = 20 - 2x.
% \]
% 
% \item $\begin{aligned}[t]
% {\cal A}_2(x) &=\rm BM \times BD \\
%               &= x \times 3\\
%               & = 3x.
% \end{aligned}$
% \end{itemize}
% 
% \item
% \begin{itemize}
% \item ${\cal D}_1$ représente la fonction $x \mapsto -2x + 20$. Son
% ordonnée à l'origine est donc 20. Elle coupe donc l'axe des
% ordonnées en un point d'ordonnée 20. Et si $x = 10$ :
% \[
% -2x + 20 = -2 \times 10 + 20 = 0\;,
% \]
% donc ${\cal D}_1$ passe par le point de coordonnées $(10\;; 0)$.
% 
% \item ${\cal D}_2$ représente la fonction linéaire $x \mapsto 3x$. Elle passe donc par l'origine du repère et si $x = 6$ alors :
% \[
% 3x = 3 \times 6 = 18\;,
% \]
% donc ${\cal D}_2$ passe par le point de coordonnées $(6\;; 18)$.
% \end{itemize}
% 
% On obtient le graphique suivant :
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{216_08_13}
% \end{center}
% 
% \begin{Remarque}
% on n'a représenté que les portions des droites ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$ qui correspondent aux nombres compris entre 0 et 10 (cf. question~\ref{exo-quest8-a}).
% \end{Remarque}
% 
% \item D'après le graphique, le point d'intersection des droites
% ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$ a pour coordonnées $(4\;; 12)$.
% 
% \begin{methode}
% Quand on vous demande d'\emph{interpréter} une lecture graphique, il faut chercher le lien entre le graphique et la situation initiale du problème.
% \end{methode}
% 
% D'après le graphique, si $\rm BM = 4$~cm alors l'aire du triangle et l'aire du rectangle sont toutes les deux égales à 12~cm$^2$.
% 
% En effet : 
% \begin{itemize}
% \item comme ${\cal D}_1$ représente la fonction affine $x \mapsto -2x + 20$ et que\linebreak \mbox{${\cal A}_1(x) = 20 - 2x$}, ${\cal D}_1$ représente l'aire du triangle AMC en fonction de $x$.
% 
% \item comme ${\cal D}_2$ représente la fonction linéaire $x \mapsto 3x$ et que ${\cal A}_2(x) = 3x$, ${\cal D}_2$ représente l'aire du rectangle MBDE en fonction de $x$.
% \end{itemize}
% 
% Les coordonnées du point d'intersection de ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$ correspondent donc à la position du point M pour laquelle les aires ${\cal A}_1(x)$ et ${\cal A}_2(x)$ sont égales.
% 
% \item Traduisons ce problème par une équation. On cherche à déterminer s'il est possible que ${\cal A}_1(x) = 3 \times {\cal A}_2(x)$, c'est-à-dire à déterminer si l'équation $20 - 2x = 3 \times 3x$ a des solutions (comprises entre 0 et 10).
% 
% On va donc résoudre cette équation :
% \begin{align*}
% 20 - 2x &= 9x \\
% 20 &= 9x + 2x \\
% 20 &= 11x \\
% x &= \dfrac{20}{11}\\
% x & \approx 1,8.
% \end{align*}
% 
% L'équation ${\cal A}_1(x) = 3 \times {\cal A}_2(x)$ a donc bien une solution comprise entre 0 et 10. Il est donc possible que l'aire du triangle AMC soit égale au triple de l'aire du rectangle MEDB.
% 
% Il faut que $x = \dfrac{20}{11}$ (valeur exacte), c'est-à-dire
% $BM \approx 1,8~\text{cm}$ (au 10\ieme{} près).
% \end{questions}
% \newpage
% \end{corrige}
% 
% % EX16
% 
% \begin{exo}{Cartouches d'encre}{Collège Saint-Louis-de-Gonzague, Paris}{2}{6}
% \begin{minipage}{0.5\linewidth}
% \begin{center}
% \includegraphics{08_14a}%[scale=0.8]
% \end{center}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{0.5\linewidth}
% \begin{center}
% \includegraphics{08_14b}%[scale=0.8]
% \end{center}
% \end{minipage}
% 
% \`A partir de combien de cartouches le prix sur Internet est-il plus intéressant que celui en magasin ? Justifier la réponse.
% \end{exo}
% 
% % EX16corr
% 
% \begin{corrige}
% Notons, pour $x$ cartouches d'encre achetées :
% \begin{itemize}
% \item $m(x)$ le prix payé en magasin ;
% \item $i(x)$ le prix payé sur Internet.
% \end{itemize}
% 
% On cherche $x$ tel que $i(x)\leqslant m(x)$.
% 
% Exprimons $i(x)$ et $m(x)$ en fonction de $x$ :
% \begin{align*}
% i(x) & = 15x+12\\
% m(x) & = 17x
% \end{align*}
% 
% On résout donc l'inéquation suivante :
% \begin{align*}
% 15x+12 & \leqslant 17x\\
% 15x+12-15x & \leqslant 17x-15x\\
% 12 & \leqslant 2x
% \end{align*}
% 
% En divisant par 2 les deux membres, on obtient :
% \begin{align*}
% \dfrac{12}{2} & \leqslant \dfrac{2x}{2}\\
% 6 & \leqslant x
% \end{align*}
% 
% Ainsi, à partir de 6 cartouches d'encre achetées, il est plus intéressant de faire son achat sur Internet.
% 
% \begin{Remarque}
% dans ce type d'exercices, vous pouvez aussi déterminer une réponse en faisant des \og essais \fg.
% 
% Ce n'est pas la meilleure méthode mais ces essais seront malgré tout valorisés par le correcteur.
% \end{Remarque}
% \end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
