\setcounter{chapter}{8}
\chapter{Fonctions linéaires et\\ fonctions affines}
\label{chap:fctlinetaffine}

\enlargethispage{1cm}

\begin{exointro}{Collège Chaptal, Paris}
Un coach sportif propose à ses clients plusieurs formules pour 
assister à ses cours cette année.
\begin{itemize}
\item Formule A : payer $20$~\EUR{} la séance.
\item Formule B : payer l'abonnement \og habitué\fg{} à $80$~\EUR{}, 
puis $10$~\EUR{} la séance.
\item Formule C : payer l'abonnement \og tout compris\fg{} à 
$200$~\EUR{}.

On note $x$ le nombre de séances effectuées par un des clients cette 
année. On note $f$ la fonction qui à $x$ associe le prix payé avec la 
formule A, 

$g$ la fonction qui lui associe le prix payé la formule B, et $h$ celle qui lui associe le prix payé avec la formule C.
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item Combien va-t-il payer pour $6$ séances avec la formule A ?
\item Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$. 

Comment se nomme cette 
fonction ?
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Combien va-t-il payer pour $5$ séances avec la formule B ?
\item Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$. 

Comment se nomme cette 
fonction ?
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Combien va-t-il payer pour $10$ séances avec la formule C ?
\item Exprimer $h(x)$ en fonction de $x$. 

Comment se nomme cette 
fonction ?
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Représenter ces trois fonctions dans un même repère.
\item \`A partir de combien de séances la formule B est-elle plus 
avantageuse que la formule A ? Vérifier le résultat par un calcul.
\item \`A partir de combien de séances la formule C est-elle plus 
avantageuse que la formule B ? Vérifier le résultat par un calcul.
\end{questions}
\item L'année suivante, le coach augmente ses tarifs de $12$~\%.\\ 
Quel sera le tarif de la séance avec la formule A ?
\end{questions}
\end{itemize}
\end{exointro}

\newpage

\section{Fonctions linéaires}

\subsection{Définition}

 \begin{defin}[fonction linéaire]
 Soit $a$ un nombre fixé. La \emph{fonction linéaire de coefficient} 
$a$ est la fonction qui, à tout nombre $x$, associe le produit $ax$.

On note $f : x \mapsto ax$.
 \end{defin}
 
 \begin{Exemples}
 La fonction linéaire de coefficient $-5$ est la fonction $g$ telle 
que :
\[g(x) = -5x.\]
La fonction qui, à tout nombre associe sa moitié, est la fonction 
linéaire $h$ telle que :
\[h(x) = \dfrac{1}{2}x.\]
 \end{Exemples}

 \begin{attention}
 La fonction \og carré\fg{} n'est pas une fonction linéaire, le 
coefficient $a$ doit être une constante.
 \end{attention}



\subsection{Lien avec la proportionnalité}

Considérons la fonction $f$ qui à tout nombre associe son triple, on 
a donc : 

$f(x) = 3x$. Dressons un tableau de valeurs de cette 
fonction :

\vspace{\baselineskip}

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $-5$ & $-3$ & $0$ & $2$ & $4$ & $10$ \\
\hline
$f(x)$ & $-15$ & $-9$ & $0$ & $6$ & $12$ & $30$ \\
\hline
\end{tabular}
\vspace*{-1.5ex}\begin{minipage}{2eX}
\rotatebox{-90}{$\curvearrowright$}
\end{minipage}
\hspace*{-1ex}\begin{minipage}{1eX}
\ovalbox{$\times 3$}
\end{minipage}
\end{center}

\vspace{\baselineskip}

Le tableau de valeurs associé à cette fonction linéaire de 
coefficient $3$ est un tableau de proportionnalité dont le 
coefficient de proportionnalité est $3$.

\begin{prop}
Toute situation de proportionnalité peut être représentée par une 
fonction linéaire dont le coefficient est égal au coefficient de 
proportionnalité.
\end{prop}

\begin{Exemple}
si un kilogramme de tomates \og c\oe{}ur de b\oe{}uf\fg{} coûte 
$3{,}80$~\EUR{}, alors le prix que l'on va payer est proportionnel à 
la masse que l'on va prendre.

Le prix de $x$ kg de ces tomates peut être exprimé par la fonction 
$f$ définie par :
\[f(x) = 3,8x.\]
\end{Exemple}


\subsection{Augmentations et réductions en pourcentages}

\begin{props}
\begin{itemize}
\item Augmenter un nombre de $t$~\% revient à le multiplier par 
$1+\dfrac{t}{100}$.
\item Réduire un nombre de $t$~\% revient à le multiplier par 
$1-\dfrac{t}{100}$.
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item Hugo mesurait $1,52$ m il y a trois ans. Depuis, sa taille a 
augmenté de $25$~\%. Pour déterminer sa nouvelle taille, on calcule :
\[\left(1+\dfrac{25}{100}\right) \times 1,52 = 1,25 \times 1,52 = 
1,9.\]
Hugo mesure donc $1{,}90$ m.
\item Une tablette tactile vaut $450$~\EUR{}. Pendant les soldes, il 
y 
a $15$~\% de réduction. Pour déterminer le prix de cette tablette 
pendant les soldes, on calcule :
\[\left(1-\dfrac{15}{100}\right) \times 450 = 0,85 \times 450 = 
382{,}5.\]
Cette tablette vaut donc $382{,}50$\EUR{} pendant ces soldes.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{aretenir}
\begin{itemize}
\item Augmenter $x$ de $t$~\%, c'est calculer l'image de $x$ par la 
fonction linéaire :
\[g : x \mapsto \left(1+\dfrac{t}{100}\right)x.\]
\item Diminuer $x$ de $t$~\%, c'est calculer l'image de $x$ par la 
fonction linéaire :
\[h : x \mapsto \left(1-\dfrac{t}{100}\right)x.\]
\end{itemize}

\end{aretenir}


\subsection{Représentation graphique}

\begin{prop}
La représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient 
$a$ est la droite passant par l'origine du repère et par le point de 
coordonnées $(1;a)$.
\end{prop}

\begin{Remarque}
cette droite passe aussi par tout point dont les coordonnées sont 
proportionnelles à $(1;a)$, par exemple $(2;2a)$ ou $(-5;-5a)$.

En effet, par définition, la représentation graphique de la fonction 
$f : x \mapsto ax$ est constituée de tous les points de coordonnées 
$(x;f(x))$, c'est-à-dire de coordonnées $(x;ax)$.
\end{Remarque}

\begin{defin}[coefficient directeur]
Soit la fonction linéaire $f$ définie par $f(x) = ax$.

$a$ est appelé le \emph{coefficient directeur} de la droite 
représentative de $f$.
\end{defin}

Le coefficient $a$ représente la \emph{pente} de la droite. En effet, 
$a$ donne l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des 
abscisses.

\begin{Exemples}
Construire les représentations graphiques des fonctions linéaires 
$f$, $g$ et $h$ définies par :
\[f(x) = 3x \; ; \; g(x) = -2x \text{ et } h(x) = 
\dfrac{4}{5}x.\]

La droite qui représente $f$ passe par l'origine et par le point A 
de coordonnées $(1;3)$. De plus, $a = 3 > 0$ donc la droite \og 
monte\fg{}.

La droite qui représente $g$ passe par l'origine et par le point B de 
coordonnées $(1;-2)$. De plus $a = -2 < 0$ donc la droite \og 
descend\fg{}.

La droite qui représente $h$ passe par l'origine et par le point C 
de coordonnées $\left(1;\dfrac{4}{5}\right)$ qui n'est pas facile à 
placer précisément, ou par le point D de coordonnées 
$\left(1\times 5;\dfrac{4}{5}\times 5\right)$ c'est-à-dire $(5;4)$.
\end{Exemples}

% \vspace{0.5cm}
% \begin{center}
% \textit{Voir graphique page suivante.}
% \end{center}
% \vspace{0.5cm}
% 
% \vfill\text{}

\begin{center}
\includegraphics{196_09n_01}
\end{center}

\section{Fonctions affines}

\subsection{Définition}

\begin{defin}[fonction affine]
Soit $a$ et $b$ deux nombres fixés. Une \emph{fonction affine} est 
une fonction qui, à tout nombre $x$ associe le nombre $ax+b$.

On note $f : x \mapsto ax+b$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
La fonction qui à tout nombre associe la différence de son double et 
de $7$ est la fonction affine $g$ telle que $g(x) = 2x-7$, avec $a=2$ 
et $b=-7$.
\end{Exemple}

\begin{Remarques}
Lorsque $b = 0$, alors $f(x) = ax$ et $f$ est la fonction linéaire de 
coefficient $a$.

Lorsque $a = 0$, alors $f(x) = b$, et $f$ est la fonction constante 
égale à $b$.
\end{Remarques}

\subsection{Représentation graphique}

\begin{prop}
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
\end{prop}

\begin{defin}[coefficient directeur et ordonnée à l'origine]
La représentation graphique de la fonction affine $f : x \mapsto 
ax+b$ est la droite (d) passant par tous les points de coordonnées 
$(x;ax+b)$ où :
\begin{itemize}
\item $a$ est appelé le \emph{coefficient directeur} de (d).
\item $b$ est appelé l'\emph{ordonnée à l'origine} de (d).
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{methode}
Pour tracer la droite représentative d'une fonction affine dans un 
repère, on peut :
\begin{itemize}
\item soit placer l'ordonnée sur l'axe des ordonnées et utiliser le 
coefficient directeur pour trouver un deuxième point (cette méthode 
est utilisée lorsque $a$ et $b$ sont des nombres entiers) ;
\item soit calculer l'image de deux nombres par cette fonction. On 
obtient ainsi les coordonnées de deux points par lesquels passe la 
droite cherchée.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{Exemples}
Traçons les représentations graphiques des fonctions affines $f$ et 
$g$ définies par :
\[f(x) = 5x - 4 \quad \text{ et } \quad g(x) = \dfrac{2}{3}x+3.\]
La droite représentative de la fonction $f$ a pour coefficient 
directeur $5$ et pour ordonnée à l'origine $-4$. On place donc sur 
l'axe des ordonnées le point d'ordonnée $-4$ et, à partir de ce 
point, on \og avance\fg{} de $1$ et on \og monte\fg{} de $5$ pour 
obtenir un deuxième point. La droite qui passe par ces deux points 
est la représentation graphique de $f$.

\Par

On a :
$g(0) = \dfrac{2}{3}\times 0 + 3 = 3$ et $g(6) = 
\dfrac{2}{3} \times 6 + 3 = 4 + 3 = 7$. On peut donc placer les 
points A $(0;3)$ et B $(6;7)$. La représentation graphique de la 
fonction $g$ est la droite (AB).
\end{Exemples}
% 
% \vspace{0.5cm}
% \begin{center}
% \textit{Voir graphique page suivante.}
% \end{center}
% \vspace{0.5cm}
% 
% \vfill\text{}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{198_09n_02}
\end{center}

\enlargethispage{1cm}

\section{Détermination d'une fonction par le calcul}

\subsection{Cas d'une fonction linéaire}

\text{}

\begin{methode}
On sait que la fonction recherchée s'écrit sous la forme $f(x) = ax$.

Il faut alors déterminer la valeur de $a$ en remplaçant $x$ par le 
nombre dont on connaît l'image par $f$ et résoudre l'équation obtenue.
\end{methode}

\text{}

\newpage

\begin{Exemple}
déterminer la fonction linéaire $f$ qui vérifie $f(-4) = 5$.

\Par

$f$ est une fonction linéaire donc elle s'écrit sous la forme $f(x) = 
ax$.
\begin{itemize}
\item $f(-4) = 5$ ;
\item $f(-4) = a \times (-4) = -4a$.
\end{itemize}
On a donc $-4a = 5$ soit $a = \dfrac{5}{-4} = \dfrac{-5}{4}$.

Ainsi, la fonction $f$ cherchée s'écrit : $f(x) = \dfrac{-5}{4}x$.
\end{Exemple}



\subsection{Cas d'une fonction affine}

\begin{prop}
On considère la fonction affine $f$ définie par $f(x) = ax  + b$.

Pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1 \neq x_2$, on a :
\[a = \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}.\]
\end{prop}

\begin{methode}
On sait que la fonction recherchée s'écrit sous la forme $f(x) = 
ax+b$. 

On commence par calculer la valeur de $a$ à l'aide de la formule 
ci-dessus.

On détermine ensuite la valeur de $b$ en remplaçant $x$ par un des 
deux nombres dont on connaît l'image par $f$ et on résout l'équation 
obtenue.
\end{methode}

\begin{Exemple}
déterminons la fonction affine $f$ telle que $f(3) = -5$ et $f(2) = 
1$.

$f$ est la fonction affine donc $f(x) = ax + b$. On calcule le 
coefficient $a$ :
\[a = \dfrac{f(3)-f(2)}{3-2} = \dfrac{-5-1}{1} = -6.\]
Donc $f(x) = -6x+b$. De plus :
\begin{itemize}
\item $f(2) = 1$ ;
\item $f(2) = -6 \times 2 + b = -12 + b$.
\end{itemize}
On a donc : $-12 + b = 1$, soit $b = 1 + 12 = 13$.

\Par

Ainsi, la fonction $f$ cherchée s'écrit : $f(x) = -6x+13$.
\end{Exemple}

\vfill\text{}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item Chaque séance coûtant $20$~\EUR{}, pour 6 séances, il va payer 

$6 \times 20 = 120$~\EUR{}.
\item Pour $x$ séances, il va donc payer $x \times 20 = 20x$ euros,
donc :
\[f(x) = 20x.\]
$f$ est la fonction linéaire de coefficient $20$.
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Avec la formule B, il paie un abonnement à $80$~\EUR{}, puis 
pour les 5 séances, $5 \times 10 = 50$~\EUR{}. Au total, il va donc 
payer :
\[80 + 50 = 130\text{~\EUR{}}.\]
\item Pour $x$ séances, il va donc payer $80 + x \times 10 = 80 + 
10x$ euros. On obtient ainsi $g(x) = 10x+80$. $g$ est la fonction 
affine de coefficient $10$ et d'ordonnée à l'origine $80$.
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Avec la formule C, le nombre de séances est illimité : en 
effet, quel que soit le nombre de séances effectuées, le client 
paiera $200$~\EUR{}. Il va donc payer $200$~\EUR{} pour les $10$ 
séances.
\item Le prix ne dépendant pas du nombre de séances effectuées, 

$h(x) 
= 200$. $h$ est la fonction constante égale à $200$.
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item
On représente les trois fonctions dans le repère suivant :

\hspace{-1cm}\includegraphics{200_09n_03}

\item \begin{methode}
      Quand on vous demande de \og lire sur le graphique\fg{} la 
réponse à une question, vous devez au moins tracer sur le graphique 
les pointillés qui mettent en évidence le point de la droite qui vous 
a permis de répondre, ainsi que ses coordonnées.
      \end{methode}

      \BreakWithoutItem

Graphiquement, le point d'intersection des droites représentatives de 
$f$ et de $g$ nous indique le nombre de séances pour lequel les 
formules A et B sont au même prix. Pour 8 séances, les formules A et 
B sont au même prix, ensuite la formule B devient plus avantageuse, 
c'est donc à partir de 9 séances que la formule B est préférable à la 
formule A.


Vérifions ce résultat par le calcul. On cherche pour quelles valeurs 
de $x$ on a $f(x) > g(x)$, c'est-à-dire :
\begin{align*}
20x & > 10x + 80 \\
20x - 10x & > 10x - 10x + 80 \\
10x & > 80 \\
\dfrac{10x}{10} & > \dfrac{80}{10} \\
x & > 8.
\end{align*}
Le premier entier strictement supérieur à $8$ est bien $9$.
\item Pour 12 séances, les formules B et C sont au même prix, ensuite 
la formule C devient plus avantageuse, c'est donc à partir de 13 
séances qu'il vaut mieux choisir la formule C.

Pour le vérifier par le calcul, on résout l'inéquation : $g(x) > 
h(x)$, soit :
\begin{align*}
10x + 80 & > 200 \\
100x + 80 - 80 & > 200 - 80 \\
10x & > 120 \\
\dfrac{10x}{10} & > \dfrac{120}{10} \\
x & > 12
\end{align*}
La formule C est donc plus avantageuse à partir de 13 séances.
\end{questions}
\item Augmenter un tarif de $12$~\% revient à le multiplier par 
$1+\dfrac{12}{100} = 1,12$. 

or $20 \times 1,12 = 22,4$. Donc l'année suivante, le tarif de la 
formule A passera à $22,40$~\EUR{} la séance.
\end{questions}
\end{solintro}
