\thumb
\begin{vf}{Tester ses connaissances}{5}
Répondre par \og vrai \fg{} ou \og faux \fg{} à chacune des 
affirmations suivantes. Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item La fonction $h:x \mapsto \dfrac{2x+1}{3}$ est une fonction 
affine.
\item Pour toute fonction linéaire $f$, on a : $f(0) = 0$.
\item Toute droite dans un repère représente une fonction linéaire.
\item Augmenter une quantité de $20$~\% revient à multiplier cette 
quantité par $\dfrac{6}{5}$.
\end{questions}
\end{vf}

% VF1corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}. La fonction $h:x \mapsto \dfrac{2x + 1}{3}$ est une 
fonction affine.

En effet, on peut écrire $h$ sous la forme $h:x \mapsto 
\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}$. C'est donc bien une fonction affine pour 
laquelle $a=\dfrac{2}{3}$ et $b=\dfrac{1}{3}$.

\item \textit{Vrai}. $f$ est une fonction linéaire donc elle s'écrit 
sous la forme \linebreak $f(x) = ax$, donc $f(0) = a\times 0 = 0$. 
C'est 
d'ailleurs pour cela que la droite représentative d'une fonction 
linéaire passe par l'origine du repère.

\item \emph{Faux}. Toute droite dans un repère ne représente pas 
toujours une fonction linéaire. 

Hormis l'axe des ordonnées, seules les droites qui passent par 
l'origine du repère représentent une fonction linéaire. En revanche, 
on peut dire que toute droite, qui n'est pas parallèle à l'axe des 
ordonnées, représente une fonction affine.

\item \textit{Vrai}. Augmenter une quantité de $20$~\% revient à 
multiplier cette quantité par $1 + \dfrac{20}{100} = 1,2$. Or 
$\dfrac{6}{5} = 1,2$, donc cela revient bien à multiplier cette 
quantité par $\dfrac{6}{5}$.
\end{questions}
\end{corrige}

% QCM2

\begin{qcm}{Fonction linéaire ou affine ?}{3}
Pour chacune des propositions suivantes, choisir la ou les réponse(s) 
correcte(s). Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item La fonction $f:x\mapsto 2(x+1)-(5x-8)$ est :\par
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
   \choix{linéaire}&
  \choix{affine}&
  \choix{ni l'un ni l'autre}
  \end{tabularx}
 

\item La fonction $g:x\mapsto 2(x^{2}+1)-(5x^{2}-8)$ est:\par 
\resetchoix
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
   \choix{linéaire}&
  \choix{affine}&
  \choix{ni l'un ni l'autre}
  \end{tabularx}

\item La fonction $h:x\mapsto 5(x^{2}+1)-(5x^{2}-8)$ est :\par 
\resetchoix
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
   \choix{linéaire}&
  \choix{affine}&
  \choix{ni l'un ni l'autre}
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM2corr

\begin{corrige}
\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. La fonction $f:x \mapsto 2(x+1)-(5x-8)$ est 
affine.

En développant $f(x)$, il vient :
  \[
   2(x+1)-(5x-8)=2x+2-5x+8=-3x+10.
  \]
La fonction $f$ est donc bien une fonction affine pour laquelle $a 
=-3$ et $b = 10$.

\item Réponse \choix[c]. La fonction $g:x \mapsto 
2(x^{2}+1)-(5x^{2}-8)$ n'est ni linéaire,  ni affine.

En développant $g(x)$, il vient : 
\[
 2(x^2 + 1) - (5x^2 - 8) = 2x^2 +2 - 5x^2 + 8 = -3x^2 + 10. 
\]
La fonction $g$ n'est donc pas de la forme $x \mapsto ax + b$. Ce 
n'est donc pas une fonction affine, ni, \emph{a fortiori}, une 
fonction linéaire.

\item Réponse \choix[b]. La fonction $h:x \mapsto 5(x^{2}+1) - 
(5x^{2}-8)$ est une fonction affine.

En développant $h(x)$, il vient : 
  \[
 5(x^{2}+1) - (5x^{2}-8) = 5x^2 + 5 - 5x^2 + 8 = 13.
  \]
La fonction $h$ est donc bien une fonction affine pour laquelle $a = 
0$ et $b = 13$. Plus précisément, il s'agit d'une fonction constante.
\end{questions}
\end{corrige}


\begin{qcm}{Représentation graphique}{3}
Pour chacune des propositions suivantes, choisir la ou les réponse(s) 
correcte(s). Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item Le point A$(3\;; -2)$ est sur : \par \resetchoix
\choix la droite ${\cal D}_1$  qui représente la fonction $f : x 
\mapsto 2x-8$

\choix la droite ${\cal D}_2$ qui représente la fonction $g: x \mapsto 
\dfrac{1}{3}x+1$

\choix la droite ${\cal D}_3$  qui représente la fonction $h : x 
\mapsto -2$

\item La représentation graphique de la fonction $m:x\mapsto 
-2(3x+5)+10$: \par \resetchoix
\choix est une droite qui passe par le point de coordonnées $(0\;; 
10)$

\choix est une droite qui passe par l'origine du repère

\choix n'est pas une droite
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM3corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponses \choix[a] et \choix[c]. Le point A$(3\;;-2)$ est sur 
la droite ${\cal D}_1$ qui représente graphiquement la fonction $f : 
x\mapsto 2x - 8$ mais aussi sur la droite ${\cal D}_3$ représentant la 
fonction $h : x\mapsto  -2$.

Si $x = 3$ :
  \[
  2x - 8 = 2 \times 3 - 8 = -2  
  \]
donc A$(3\;; -2)$ est bien sur ${\cal D}_1$.

En revanche, si $x = 3$ :
  \begin{align*}
  \dfrac{1}{3}x + 1 &= \dfrac{1}{3}\times 3 + 1 \\
		    &= 1 + 1\\
		    & = 2.  
  \end{align*}
  donc A$(3\;; -2)$ n'est pas sur ${\cal D}_2$.

Enfin, la droite ${\cal D}_3$ représente la fonction $h : x\mapsto  
-2$, ce qui signifie que tous les points d'ordonnée $-2$ sont sur 
${\cal D}_3$. Le point A a bien pour ordonnée $-2$ donc A est bien 
sur ${\cal D}_3$.

\textit{Remarque :} ${\cal D}_3$ est parallèle à l'axe des abscisses 
et représente une 
fonction constante.

\item Réponse \choix[b]. 

La représentation graphique de la fonction \mbox{$m:x \mapsto -2(3x + 
5) +10$} est une droite qui passe par l'origine du repère.

En développant $m(x)$, il vient :
  \begin{align*}
   m(x) &= -2(3x + 5) +10 \\
        &= -6x - 10 + 10\\
        & = -6x.
  \end{align*}

Donc $m$ est une fonction linéaire et sa représentation graphique est 
une droite qui passe par l'origine du repère.
\end{questions}
\end{corrige}

% QCM4

\begin{qcm}{Augmentation et diminution}{3}
\begin{questions}
\item Une diminution de 27\;\% d'un nombre $x$ se traduit par la 
fonction :\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
  \choix{$f:x\mapsto -\dfrac{27}{100}x$} &
  \choix{$g:x \mapsto x-\dfrac{27}{100}$}\\[8pt]
  \choix{$h:x\mapsto 0,73x$}
\end{tabularx}
  
\item  Sur une foire, Sébastien arrive à négocier une remise de 10\;\% 
sur un salon de jardin. Ce salon de jardin lui revient alors à 800 
euros. Ce qu'il ne sait pas, c'est que le vendeur, sur la foire, avait 
augmenté tous ses prix de 10\;\% par rapport aux prix affichés en 
magasin.

Si Sébastien avait acheté le salon de jardin au magasin, il aurait 
payé : \par \resetchoix
  \choix moins de 800 euros \quad
  \choix 800 euros\quad
  \choix plus de 800 euros
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM4corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. Une diminution de 27\;\% d'un nombre $x$ se 
traduit par la fonction $h:x \mapsto 0,73x$.

Une diminution de 27\;\% d'un nombre $x$ se traduit par la fonction \\
$x \mapsto \left(1 - \dfrac{27}{100}\right)x$. Or :
\[
1 - \dfrac{27}{100} = 1 - 0,27 = 0,73.
\]

\item  Réponse \choix[c]. Si Sébastien avait acheté le salon de jardin 
au magasin, il aurait payé plus de 800 euros. En effet, reprenons les 
choses dans l'ordre. Ce salon de jardin était à un certain prix en 
magasin. Le vendeur augmente ce prix de 10\;\% pour le vendre sur la 
foire. Puis il accorde une réduction de 10\;\% à Sébastien. Mais cette 
réduction est calculée sur la base du prix affiché à la foire, qui est 
plus élevé que le prix en magasin. Donc cette réduction de 10\;\% est 
plus importante que l'augmentation de 10\;\% faite par le vendeur 
avant la foire\ldots Sébastien est donc gagnant et le prix en magasin 
était supérieur à 800 euros.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Fonctions linéaires et pourcentages}

% EX5 OLD 10

\begin{exo}{Fonctions linéaires}{Collège Colette, Sartrouville}{1}{12}
\begin{questions}
\item Soit $f$ la fonction linéaire définie par la relation
$f(x)=-\dfrac{8}{5}x$. Calculer :
\begin{questions}
\item $f(-2)$
\item les antécédents respectifs de 1 et $-56$
\end{questions}

\item Déterminer la fonction linéaire $g$ sachant que $\dfrac{3}{14}$ 
a pour image $1,5$ par $g$.

\item Déterminer la fonction linéaire $h$ sachant que 2 est l'image de 
6 par $h$.

\item Représenter graphiquement les fonctions $f$, $g$ et $h$ dans un 
repère orthonormé d'unité 1~cm.
\end{questions}
\end{exo}

% EX10corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x) = -\dfrac{8}{5}x$ donc :
\begin{questions}
\item $f(-2) = -\dfrac{8}{5} \times (-2) = \dfrac{16}{5}$.
\item On cherche le nombre $x$ tel que : \[f(x) = 1,\] c'est-à-dire 
tel 
que $-\dfrac{8}{5}x = 1$. 

On résout cette équation en multipliant par 
$-\dfrac{5}{8}$ chaque membre et on obtient : $x = -\dfrac{5}{8}$.

L'antécédent de 1 par $f$ est donc le nombre $-\dfrac{5}{8}$.

On cherche $x$ tel que $f(x) = -56$, c'est-à-dire tel que
$-\dfrac{8}{5}x = -56$. 

On résout donc cette équation en multipliant chaque membre par 
$-\dfrac{5}{8}$ :
\[
x = -\frac{5}{8}\times (-56) = \frac{5\times 8 \times 7}{8} =35.
\]

L'antécédent de $-56$ par $f$ est donc le nombre 35.
\end{questions}
\item $g$ est une fonction linéaire donc de la forme $g:x \mapsto ax$.

De plus, on sait que $g\left(\dfrac{3}{14}\right) = 1,5$ donc on a : 
$a \times \dfrac{3}{14} = 1,5$.

Ce qui donne en multipliant chaque membre de cette équation par
$\dfrac{14}{3}$ : 
\[
a = 1,5 \times \dfrac{14}{3} = \dfrac{3}{2} \times 
\dfrac{14}{3}=\dfrac{14}{2}= 7.
\]

La fonction $g$ est donc la fonction telle que $g(x) = 7x$.

\item $h$ est une fonction linéaire donc de la forme $h:x \mapsto 
ax$.\enlargethispage*{2em}

De plus, on sait que $h(6) = 2$ donc on a $a \times 6 = 2$, ce qui 
donne en divisant par 6 chaque membre de cette équation : $a= 
\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

La fonction $h$ est donc la fonction telle que $h(x) = \dfrac{1}{3}x$.

\item Les fonctions $f$, $g$ et $h$ sont trois fonctions linéaires
donc leur représentation graphique sont des droites que nous
noterons respectivement $(d_1)$, $(d_2)$ et $(d_3)$, qui passent par 
l'origine du repère.

De plus :
\[
f(5) = -\dfrac{8}{5} \times 5 = -8 
\]
donc $(d_1)$ passe par le point de coordonnées $(5\;; -8)$.

\begin{Remarque}
on avait déjà trouvé à la question~1 que :
\[
f(-2) = \dfrac{16}{5} = 3,2  
\]
mais le point de coordonnées $(-2\;; 3,2)$ est moins facile à placer 
que le point de coordonnées $(5\;; -8)$.
\end{Remarque}

On sait que $g\left(\dfrac{3}{14}\right) = 1,5$ mais le point
$\left(\dfrac{3}{14}\;; 1,5\right)$ ne sera pas non plus facile à
placer, donc on calcule par exemple :
\[
g(1) = 7 \times 1 =7.
\]
$(d_2)$ passe donc par le point de coordonnées $(1\;; 7)$.

Enfin, on sait que $h(6) = 2$ donc $(d_3)$ passe par le point
de coordonnées $(6\;; 2)$.

On obtient alors le graphique suivant :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{210_08_09}%[scale=0.7]
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

% EX6 OLD 11

\begin{exo}{Pourcentages}{Collège Louise Michel, Chaumont}{2}{5}
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

\begin{questions}
\item J'achète un meuble dont le prix est de 460~\euro{}. Combien
vais-je payer si l'on me fait une réduction de 20\;\% ?

\item Je paie une chemise soldée à 36~\euro{}. Quel était son prix
avant la réduction de 20\;\% ?

\item Un canapé soldé passe de \nombre{1360}~\euro{} à
884~\euro{}. Quel est le pourcentage de réduction qui a été accordé ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX11corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $460 \times \left(1 - \dfrac{20}{100}\right) = 460 \times 0,8 = 
368$.

Le prix de ce meuble après la réduction de 20\;\% est de 368~\euro{}.

\item Notons $x$ le prix initial de cette chemise.

On sait que :
  \[x \times \left(1 - \dfrac{20}{100}\right) = 36.\]

Nous allons donc résoudre cette équation :
\begin{align*}
x \times 0,8 &= 36 \\
x &= \dfrac{36}{0,8}\\
x & = 45.
\end{align*}
Avant la réduction de 20\;\%, cette chemise coûtait 45~\euro.
\begin{attention}
Pour répondre à ce type de question, il ne faut pas, pour calculer
le prix initial avant la réduction de 20\;\%, augmenter le prix
final de 20\;\%. En effet, ici, la somme correspondant à 
20\;\% de 36~\euro{} n'est pas la même que celle correspondant à 
20\;\% du prix initial. En augmentant 36 de 20\;\%, on aurait trouvé 
$43,20$ \ldots{} et non 45.
\end{attention}
\item
\begin{methode}
Ici aussi, nous allons mettre en équation le problème pour
répondre à la question posée.
\end{methode}

Soit $x$ le pourcentage de réduction qui a été accordé.

On sait que : $\nombre{1360} \times \left(1 - \dfrac{x}{100}\right) = 
884$.

On résout cette équation en commençant par développer le membre de
gauche :
\begin{align*}
\nombre{1360} - 13,6x &= 884 \\
- 13,6x &= 884 - \nombre{1360} \\
- 13,6x &= -476 \\
x &= \dfrac{-476}{-13,6}\\
x&= 35.
\end{align*}

Une réduction de 35\;\% a donc été accordée sur le prix de ce canapé.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX7

\begin{exo}{Deux augmentations}{Collège Chaptal, Paris}{2}{6}
 Un vélo coûtait $80$~\euro{} en 2018. Son prix augmente de $12$~\% 
en 
2019, puis de $5$~\% en 2020.
\begin{questions}
 \item Combien coûte-t-il en 2020 après ces deux augmentations ?
 \item De quel pourcentage son prix a-t-il augmenté depuis 2018 ?
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Augmenter un prix de $12$~\% revient à le multiplier par :
  \[1 + \dfrac{12}{100} = 1,12.\] En 2019, le vélo coûte donc : $80 
\times 1,12 = 89,60$~\euro{}.

Augmenter un prix de $5$~\% revient à le multiplier par :
\[1 + \dfrac{5}{100} = 1,05.\]
En 2020, le vélo coûte donc : $89,60 \times 1,05 = 94,08$~\euro{}.
\item \begin{attention}
Lorsqu'une valeur subit deux augmentations 
successives (ou deux diminutions), il ne faut surtout pas ajouter les 
pourcentages. 

En effet, la deuxième augmentation se fait par rapport 
à la valeur augmentée (de 2019) et non par rapport à la valeur 
initiale. On peut résoudre ce type de problème en résolvant une 
équation (comme dans la question 3 de l'exercice précédent), ou en 
déterminant le coefficient permettant de trouver la valeur finale à 
partir de la valeur initiale.
      \end{attention}
Calculons ce coefficient :
\[\dfrac{94,08}{80} = 1,176.\]
Or, on remarque que $1,176 = 1+0,176 = 1 + \dfrac{17,6}{100}$.

Il s'agit donc d'une augmentation de $17,6$~\% par rapport au prix 
initial.

\textit{Remarque :} pour trouver ce coefficient, on aurait pu 
également multiplier les deux coefficients trouvés à la question 
précédente. En effet :
\[1,12 \times 1,05 = 1,176.\]
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Fonctions affines}

% EX8 OLD 12

\begin{exo}{Association droites-fonctions}{Collège Foch, 
Strasbourg}{1}{3}
On a représenté page ci-contre les fonctions :
\[
f:x\mapsto 2x+3\quad g:x\mapsto -2x+3\quad h:x \mapsto 2x-3
\] 
et :
\[
k:x\mapsto -2x-3
\]
Associer chaque droite à la fonction représentée.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{204_08_10}
\end{center}
\end{exo}

% EX12corr

\begin{corrige}
En observant le graphique, on remarque que : 
\begin{itemize}
\item Les droites $(d_3)$ et $(d_4)$ \og montent\fg{} alors que les
droites $(d_1)$ et $(d_2)$ \og descendent\fg{}. Le coefficient
directeur des droites $(d_3)$ et $(d_4)$ est donc positif alors que 
celui des droites $(d_1)$ et $(d_2)$ est négatif.

\item Les droites $(d_3)$ et $(d_1)$ coupent l'axe des ordonnées en un 
point d'ordonnée $+3$ alors que les droites $(d_2)$ et $(d_4)$ coupent 
l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée $-3$. L'ordonnée à 
l'origine (c'est-à-dire le coefficient $b$) des droites $(d_3)$ et 
$(d_1)$ est donc 3 tandis que que celui des droites $(d_2)$ et
$(d_4)$ est $-3$.
\end{itemize}

Au vu de ces deux remarques et des expressions algébriques des
fonctions proposées, il vient que :
\begin{itemize}
\item la droite $(d_1)$ représente la fonction $g$
\item la droite $(d_2)$ représente la fonction $k$
\item la droite $(d_3)$ représente la fonction $f$
\item la droite $(d_4)$ représente la fonction $h$
\end{itemize}

\begin{Remarque}
les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ont toutes les deux $-2$ pour
coefficient directeur. On remarque qu'elles sont parallèles. Il en
est de même pour les droites $(d_3)$ et $(d_4)$, qui ont toutes les
deux $+2$ pour coefficient directeur.
\end{Remarque}
\end{corrige}

%%EX 9

\begin{exo}{Avec un tableur}{Extrait du DNB Polynésie 2019}{1}{5}
 On a utilisé une feuille de calcul pour obtenir les images de 
différentes valeurs de $x$ par une fonction affine $f$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|>{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|
 >{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|
 >{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|
 >{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|
 >{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|
 >{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|
 >{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|
 >{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|} \hline
 \multicolumn{2}{|l|}{\texttt{B2}} & 
\multicolumn{7}{l|}{\texttt{=3*B1-4}} \\ \hline
 \rowcolor{black!10} & \texttt{A} & \texttt{B} & \texttt{C} & 
\texttt{D} & \texttt{E} & \texttt{F} & \texttt{G} & \texttt{H} \\ 
\hline
\cellcolor{black!10} \texttt{1} & $x$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 
\\ \hline
\cellcolor{black!10} \texttt{2} & $f(x)$ & 
\psline[linewidth=1pt](-0.3,0.3)(0.95,0.3)\psline[linewidth=1pt](-0.3,
-0.14)(0.95,-0.14)\psline[linewidth=1pt](-0.3,
0.3)(-0.3,-0.14)\psline[linewidth=1pt](0.94,
0.3)(0.94,-0.14)\psline[linewidth=3pt](0.89,
-0.14)(0.98,-0.14)$-10$ & $-7$ & $-4$ & $-1$ 
& $2$ & $5$ & $8$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{questions}
 \item Quelle est l'image de $-1$ par la fonction $f$ ?
 \item Quel est l'antécédent de $5$ par la fonction $f$ ?
 \item Donner l'expression de $f(x)$.
 \item Calculer $f(10)$.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item $-1$ est dans la cellule \texttt{C1} donc l'image de $-1$ par 
$f$, c'est-à-dire $f(-1)$, est dans la cellule \texttt{C2} et vaut 
donc $-7$.
\item $5$ est dans la cellule \texttt{G2}, donc l'antécédent de $5$ 
par $f$ est en \texttt{G1} et vaut $3$.
\item La formule écrite dans la cellule \texttt{B2} est \og 
\texttt{=3*B1-4}\fg{}, on en déduit que :
\[f(x) = 3x-4.\]
\item $\begin{aligned}[t]
        f(10) & = 3 \times 10 - 4 \\
        & = 30 - 4 \\
        & = 26.
       \end{aligned}$

 \end{questions}

\end{corrige}

%% EX10

\begin{exo}{Fonctions et représentations}{Collège Janson de Sailly, Paris}{2}{16}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh9Ex10}}}

\vspace*{-12pt}

\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Fonctions et représentations}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh9Ex10}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}
\Par


On considère les trois fonctions suivantes :

\[f : x \mapsto -3x\quad ; \quad ; \quad g : x \mapsto 2x+5 \quad ; \quad h : x \mapsto 
7.\]
\Par
\begin{questions}
 \item Pour chaque fonction, calculer l'image de $-\dfrac{2}{3}$.
 \item Pour chaque fonction, calculer les antécédents de $7$.
 \item Pour chaque fonction, calculer les antécédents de $-2,5$.
 \item Tracer la représentation graphique de chacune de ces trois 
fonctions.
\item Donner la solution de l'équation $-3x=2x+5$ graphiquement puis 
par le calcul.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,1.1){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh9Ex10}}}
\vspace*{-15pt}
 \begin{questions}
  \item $f\left(-\dfrac{2}{3}\right) = -3\times 
\left(-\dfrac{2}{3}\right) = 2$, donc l'image de $-\dfrac{2}{3}$ par $f$ est $2$.

$g\left(-\dfrac{2}{3}\right) = 2\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)+5 = -\dfrac{4}{3} + \dfrac{15}{3} = \dfrac{11}{3}$,

donc l'image de $-\dfrac{2}{3}$ par $g$ est $\dfrac{11}{3}$.

\enlargethispage{2em}

$h$ est la fonction constante égale à $7$, donc l'image de 
$-\dfrac{2}{3}$ par $h$ est $7$.
\item Déterminer les antécédents de $7$ par $f$ et $g$ revient à 
résoudre les deux équations: \hspace{2em}
 $\begin{aligned}[t]
  f(x) & = 7 \\
  -3x & = 7 \\
  \dfrac{-3x}{-3} & = \dfrac{7}{-3} \\
  x & = -\dfrac{7}{3}.
  \end{aligned}$ \hspace{3em} $\begin{aligned}[t]
   g(x) & = 7 \\
   2x + 5 & = 7 \\
   2x & = 7-5 \\
   2x & = 2 \\
   x & = 1.
  \end{aligned}$
  

Ainsi, l'antécédent de $7$ par $f$ est $-\dfrac{7}{3}$, et 
l'antécédent de $7$ par $g$ est $1$.

D'autre part, $h(x) = 7$ pour tout nombre $x$, donc tous les nombres 
sont des antécédents de $7$ par $h$ (il y en a donc une infinité).
\item Pour déterminer les antécédents de $-2,5$ par $f$ et $g$, on 
résout :
\begin{multicols}{2}
 $\begin{aligned}[t]
  f(x) & = -2,5 \\
  -3x & = -2,5 \\
  \dfrac{-3x}{-3} & = \dfrac{-2,5}{-3} \\
  x & = \dfrac{5}{6}.
  \end{aligned}$
  
 $\begin{aligned}[t]
   g(x) & = -2,5 \\
   2x + 5 & = -2,5 \\
   2x & = -2,5-5 \\
   2x & = -7,5 \\
   x & = -3,75.
  \end{aligned}$
\end{multicols}

Ainsi, l'antécédent de $-2,5$ par $f$ est $\dfrac{5}{6}$, et 
l'antécédent de $-2,5$ par $g$ est $-3,75$.

Enfin, $-2,5$ n'a pas d'antécédent par $h$ car pour tout nombre $x$, 
$h(x)$ vaut $7$ et non $-2,5$.

\item $f$ est une fonction linéaire donc sa représentation graphique 
est une droite passant par l'origine du repère. 

De plus, $f(x) = -3x$, donc cette droite a pour pente $-3$ et passe donc par le point 
de coordonnées $(1;-3)$.

$g(x) = 2x+5$, donc $g$ est la fonction affine de coefficient $2$ et 
d'ordonnée à l'origine $5$. Sa représentation graphique est donc la 
droite passant par le point de coordonnées $(0;5)$ et de pente $2$.

Enfin, la représentation graphique de $h$ est la droite parallèle à l'axe des abscisses passant le point de coordonnées $(0;7)$.

\begin{center}
 \includegraphics[scale=1.1]{214_09n_exo10}
\end{center}

\item Pour résoudre graphiquement l'équation $-3x=2x+5$, on cherche 
l'abscisse du point d'intersection des représentations graphiques des 
fonctions $f$ et $g$. On lit sur le graphique grâce aux pointillés 
$x=-1$.

Vérifions ce résultat par le calcul :
\begin{align*}
 f(x) & = g(x) \\
 -3x & = 2x+5 \\
 -3x-2x & = 5 \\
 -5x & = 5 \\
 \dfrac{-5x}{5} & =\dfrac{5}{-5} \\
 x & = -1.
\end{align*}
La solution de l'équation $-3x=2x+5$ est bien $-1$.
\end{questions}

\end{corrige}

%% EX11

\begin{exo}{Calcul des coefficients}{Collège des Buclos, Meylan}{2}{10}
\begin{questions}
\item  Déterminer la fonction affine $f$ vérifiant $f(3)=5$ et $f(-2) 
=1$.
  
\item Soit A$(1\;;-3)$ et B$\left(2\;; \dfrac{21}{5}\right)$.  Les 
points A et B appartiennent-ils à la représentation graphique de 
$f$ ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX11corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  $f$ est une fonction affine donc $f(x) = ax+b$.

On sait que $f(3) = 5$ et $f(-2) = 1$, on peut donc utiliser la 
formule :
\[a = \dfrac{f(3)-f(-2)}{3-(-2)} = \dfrac{5-1}{5} = \dfrac{4}{5}.\]
Donc $f(x) = \dfrac{4}{5}x+b$. De plus :
\begin{itemize}
 \item $f(3) = 5$ ;
 \item $f(3) = \dfrac{4}{5}\times 3 + b = \dfrac{12}{5}+b$.
\end{itemize}
  On a donc $\dfrac{12}{5}+b = 5$ soit :
  \[b = 5-\dfrac{12}{5} = \dfrac{25}{5} - \dfrac{12}{5} = 
\dfrac{13}{5}.\]
Ainsi, la fonction $f$ cherchée s'écrit : $f(x) = 
\dfrac{4}{5}x+\dfrac{13}{5}$.
\item $\begin{aligned}[t]
   f(x_A)&=f(1)\\
         &={4\over 5}\times 1+{13\over 5}\\
         &={17\over 5} \neq y_A.
  \end{aligned}$
  
Donc A n'appartient pas à la représentation graphique de $f$.
  
$\begin{aligned}[t]
    f(x_B)&=f(2)\\
          &={4\over 5}\times 2+{13\over 5}\\
          &={21\over 5} = y_B.
  \end{aligned}$
  
Donc B appartient à la représentation graphique de $f$.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX12
\begin{exo}{Des aires en fonctions}{Collège Monthéty, 
Pontault-Combault}{2}{15}
\begin{center}
\includegraphics{206_08_12}%[scale=0.6]
\end{center}
Le triangle AMC est rectangle en A et MEDB est un rectangle. M est un 
point du segment [AB]. L'unité est le centimètre.

On donne : $\rm AC = 4$, $\rm BD = 3$, $\rm AB = 10$ et on note $x$ la 
longueur MB.

\begin{questions}
\item Entre quelles valeurs le nombre $x$ peut-il varier ?
\item Exprimer, en fonction de $x$, les aires ${\cal A}_1(x)$ du 
triangle AMC et ${\cal A}_2(x)$ du rectangle MEDB.
\item Représenter dans un repère orthonormé où l'unité est le 
centimètre les droites (${\cal D}_1$) et (${\cal D}_2$) représentant
respectivement les fonctions : 
\[ 
x \mapsto -2x+20\qquad \text{et}\qquad x\mapsto 3x.
\]
  
\item Lire sur le graphique les coordonnées du point d'intersection 
des droites (${\cal D}_1$) et (${\cal D}_2$). Interpréter ce résultat.

\item Est-il possible que l'aire du triangle AMC soit égale au triple 
de l'aire du rectangle MEDB ? Si oui, pour quelle valeur de  $x$ ? 
  
Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie au 1/10.
\end{questions}
\end{exo}

% EX15corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \label{exo-quest8-a} M est un point du segment [AB] qui
mesure 10~cm donc on a :
\[0 \leqslant\rm BM \leqslant 10.\]
$x$ peut donc varier entre 0 et 10.

\item
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
{\cal A}_1(x) &= \dfrac{\rm AC \times AM}{2} \\
              &= \dfrac{4 \times\rm AM}{2}\\
              & = 2\times\rm AM.
\end{aligned}$

Or M est un point de [BC] donc :
\[
{\rm AM = AB - BM} = 10 - x.
\]
Il vient alors :
\[
{\cal A}_1(x) = 2 \times (10 - x) = 20 - 2x.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
{\cal A}_2(x) &=\rm BM \times BD \\
              &= x \times 3\\
              & = 3x.
\end{aligned}$
\end{itemize}

\item \text{}

\vspace{-20pt}
\begin{minipage}[b]{5cm}
\begin{itemize}
\item $({\cal D}_1)$ représente la fonction affine $x \mapsto -2x + 
20$. Son
ordonnée à l'origine est donc 20. Elle coupe donc l'axe des
ordonnées en un point d'ordonnée 20. 

Et si $x = 10$ :
\[
-2x + 20 = -2 \times 10 + 20 = 0\;,
\]
donc $({\cal D}_1)$ passe par le point de coordonnées $(10\;; 0)$.

\item $({\cal D}_2)$ représente la fonction linéaire $x \mapsto 3x$. 
Elle passe donc par l'origine du repère et si $x = 6$ alors :
\[
3x = 3 \times 6 = 18\;,
\]
donc $({\cal D}_2)$ passe par le point de coordonnées $(6\;; 18)$.

\end{itemize}
On obtient le graphique ci-contre.

\textit{Remarque :} on n'a représenté que les portions des droites 
$({\cal D}_1)$ et $({\cal 
D}_2)$ qui correspondent aux nombres compris entre 0 et 10 (cf. 
question~\ref{exo-quest8-a}).

\end{minipage}\hspace{1em}\includegraphics{216_08_13}

\newpage

\item D'après le graphique, le point d'intersection des droites
$({\cal D}_1)$ et $({\cal D}_2)$ a pour coordonnées $(4\;; 12)$.

\begin{methode}
Quand on vous demande d'\emph{interpréter} une lecture graphique, il 
faut chercher le lien entre le graphique et la situation initiale du 
problème.
\end{methode}

D'après le graphique, si $\rm BM = 4$~cm alors l'aire du triangle et 
l'aire du rectangle sont toutes les deux égales à 12~cm$^2$.

En effet : 
\begin{itemize}
\item comme $({\cal D}_1)$ représente la fonction affine $x \mapsto 
-2x 
+ 20$ et que\linebreak \mbox{${\cal A}_1(x) = 20 - 2x$}, ${\cal D}_1$ 
représente l'aire du triangle AMC en fonction de $x$.

\item comme $({\cal D}_2)$ représente la fonction linéaire $x \mapsto 
3x$ et que \linebreak ${\cal A}_2(x) = 3x$, ${\cal D}_2$ représente 
l'aire du 
rectangle MBDE en fonction de $x$.
\end{itemize}

Les coordonnées du point d'intersection de $({\cal D}_1)$ et $({\cal 
D}_2)$ correspondent donc à la position du point M pour laquelle les 
aires ${\cal A}_1(x)$ et ${\cal A}_2(x)$ sont égales.

\item Traduisons ce problème par une équation. On cherche à déterminer 
s'il est possible que ${\cal A}_1(x) = 3 \times {\cal A}_2(x)$, 
c'est-à-dire à déterminer si l'équation $20 - 2x = 3 \times 3x$ a des 
solutions (comprises entre 0 et 10).

On va donc résoudre cette équation :
\begin{align*}
20 - 2x &= 9x \\
20 &= 9x + 2x \\
20 &= 11x \\
x &= \dfrac{20}{11}\\
x & \approx 1,8.
\end{align*}

L'équation ${\cal A}_1(x) = 3 \times {\cal A}_2(x)$ a donc bien une 
solution comprise entre 0 et 10. Il est donc possible que l'aire du 
triangle AMC soit égale au triple de l'aire du rectangle MEDB.

Il faut que $x = \dfrac{20}{11}$ (valeur exacte), c'est-à-dire
$\text{BM} \approx 1,8~\text{cm}$ (au 1/10 près).
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
