\setcounter{chapter}{9}
\chapter{Triangles semblables, homothéties\\et théorème de Thalès}
\label{chap:thales}

\section{Triangles semblables}

\begin{exointro}{Collège Condorcet, Paris}
ABC est un triangle tel que :
\[
\rm AB=5~cm,\; BC=2~cm \text{ et } AC=6~cm.
\]
On considère alors le milieu D de [AC] et E le point de [AB] tel que :
\[
\rm\widehat{ADE}=\widehat{ABC}.
\]

\begin{center}
\includegraphics{221_10_01}
\end{center}

\begin{questions}
\item Montrer que ABC et ADE sont deux triangles semblables.
\item Calculer les longueurs des côtés du triangle ADE.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Définitions}

\begin{defin}[triangles semblables]
On dit que deux triangles sont \emph{semblables} lorsque leurs angles 
sont égaux deux à deux. On dit aussi qu'ils ont la \emph{même forme}.
\end{defin}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item[1)] Les triangles ABC et LMN, représentés ci-dessous, sont 
semblables car 
on a :
\[\widehat{\rm A} = \widehat{\rm L} = 50\degres \; ; \; \widehat{\rm 
B} = \widehat{\rm N} = 20\degres \; \text{et} \; \widehat{\rm C} = 
\widehat{\rm M} = 110\degres.\]

\Par
%% FIGURE 10n_01
\begin{center}
\includegraphics{222_10n_01}
\end{center}
\item [2)] Les triangles ABC et LMN ci-dessous sont également 
semblables.

\Par

%% FIGURE 10n_02
\begin{center}
\includegraphics{222_10n_02}
\end{center}
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{defins}
Lorsque deux triangles sont semblables :
\begin{itemize}
\item deux angles de même mesure pris dans deux triangles différents 
sont appelés \emph{angles homologues} ;
\item les sommets des angles homologues sont appelés \emph{sommets 
homologues} ;
\item les côtés opposés aux angles homologues sont des \emph{côtés 
homologues}.
\end{itemize}
\end{defins}

Dans l'exemple 1 ci-dessous, les côtés $[\rm AB]$ et $[\rm NL]$ sont 
des côtés homologues car ils sont opposés à l'angle mesurant 
$110\degres$.

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textit{Voir illustration page suivante.}
\end{center}

\vfill\text{}

%% FIGURE 10n_03
\begin{center}
\includegraphics{223_10n_03}
\end{center}

\subsection{Propriétés}

\begin{prop}
Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre 
triangle alors ces triangles sont semblables.
\end{prop}

En effet, comme la somme des angles d'un triangle est égale à 
$180\degres$, dès qu'on a deux angles en commun pour les deux 
triangles, le troisième l'est aussi.

\begin{methode}
Dans les résolutions d'exercices où l'on vous demande de démontrer 
que deux triangles sont semblables, il suffit de vérifier que deux 
couples d'angles sont égaux deux à deux. Il est inutile de faire le 
calcul pour le troisième angle.
\end{methode}

\begin{prop}
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés 
homologues sont proportionnelles.
\end{prop}

Reprenons l'exemple précédent dans lequel les triangles ABC et LMN 
sont semblables. On peut donc dresser le tableau de proportionnalité 
suivant.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|c|c|c|}
\hline
Longueurs dans le triangle ABC & AB & AC & BC  \\
\hline
Longueurs dans le triangle LMN & LN & LM & MN \\
\hline
\end{tabular}
\vspace*{-1.5ex}\begin{minipage}{2eX}
\rotatebox{-90}{$\curvearrowright$}
\end{minipage}
\hspace*{-1ex}\begin{minipage}{1eX}
\ovalbox{$\times k$}
\end{minipage}
\end{center}

\vspace{15pt}

Le coefficient de proportionnalité $k$ vaut donc :
\[k = \dfrac{\rm LN}{\rm AB} = \dfrac{\rm LM}{\rm AC} = \dfrac{\rm 
MN}{\rm BC}.\]

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Lorsque $k > 1$, le triangle LMN est un agrandissement de ABC 
de rapport $k$.
\item Lorsque $k < 1$, le triangle LMN est une réduction de ABC de 
rapport $k$.
\end{itemize}
\end{Remarques}

\begin{prop}[réciproque de la propriété 2]
Si les longueurs des côtés de deux triangles sont deux à deux 
proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.
\end{prop}

\begin{Exemple}
considérons le triangle EDF tel que : $\text{ED}=2$ cm, $\text{DF}=3$ 
cm et $\text{EF}=4$ 
cm et le triangle JKL tel que $\text{JK}=10$ cm, $\text{KL}=15$ cm 
et $\text{JL}=20$ cm. 
On a :
\[\dfrac{\rm JK}{\rm ED} = \dfrac{10}{2} = 5 \; ; \; \dfrac{\rm 
KL}{\rm DF} = \dfrac{15}{3} = 5 \; \text{et} \; \dfrac{\rm JL}{\rm 
EF} = \dfrac{20}{4} = 5.\]
Les rapports sont égaux, donc les triangles EDF et JKL sont 
semblables. On peut également dire que :
\begin{itemize}
\item JKL est un agrandissement de EDF de rapport $5$.
\item EDF est une réduction de JKL de rapport $\dfrac{1}{5}$.
\end{itemize}
\end{Exemple}

\enlargethispage{1cm}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item \begin{methode}
Dès lors qu'il s'agit de montrer que deux triangles sont semblables et 
que l'on parle d'angles dans l'énoncé, il est intéressant de penser à 
la propriété 1 vue ci-dessus.
\end{methode}

D'après la figure et l'énoncé, $\rm\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$ et 
$\rm\widehat{EAD}=\widehat{BAC}$. 

Les triangles ABC et AED ont donc deux paires d'angles de 
même\linebreak mesure.

Or, si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre 
triangle alors ces triangles sont semblables (propriété 1).

Ainsi, les triangles ABC et AED sont semblables.
\item \begin{methode}
Quand on vous demande de calculer les longueurs d'un triangle 
semblable à un autre triangle dont on connaît les dimensions, 
commencez par repérer les côtés homologues pour écrire les égalités 
de quotients.
\end{methode}

On sait que $\widehat{\rm ADE} = \widehat{\rm ABC}$ donc les côtés 
opposés à ces angles, c'est-à-dire [AE] et [AC] sont des côtés 
homologues.

\BreakWithoutItem
On a de la même manière : $\widehat{\rm DAE} = \widehat{\rm BAC}$ 
donc [DE] et [BC] sont homologues et enfin $\widehat{\rm DEA} = 
\widehat{\rm BCA}$ donc [AD] et [AB] le sont aussi.

Comme les triangles ABC et ADE sont semblables, les longueurs de 
leurs côtés homologues sont proportionnelles. Autrement dit :
\[\dfrac{\rm AE}{\rm AC} = \dfrac{\rm DE}{\rm BC} = \dfrac{\rm 
AD}{\rm AB}.\]
On sait que D est le milieu de [AC] donc $\text{AD}=\dfrac{\rm 
AC}{2} = 3$ 
cm.

On remplace les longueurs connues dans l'égalité ci-dessus et on 
obtient :
\[\dfrac{\rm AE}{6} = \dfrac{\rm DE}{2} = \dfrac{3}{5}.\]
On calcule ensuite DE et AE à l'aide des produits en croix :

$\dfrac{\rm DE}{2} = \dfrac{3}{5}$ donc $\text{DE}=\dfrac{3\times 
2}{5} = 
\dfrac{6}{5} = 1{,}2$ cm.

$\dfrac{\rm AE}{6} = \dfrac{3}{5}$ donc $\text{AE}=\dfrac{6\times 
3}{5} = 
\dfrac{18}{5} = 3{,}6$ cm.

On a ainsi : $\text{AD}=3$ cm, $\text{DE}=1{,}2$ cm et 
$\text{AE}=3{,}6$ cm.
\begin{methode}
On aurait pu également calculer le coefficient de réduction et 
multiplier les longueurs AC et BC par ce coefficient pour obtenir AE 
et DE.

Dans cet exercice, le coefficient de réduction vaut $\dfrac{3}{5} = 
0{,}6$. 

On a donc :

$\text{AE}=0{,}6\times \rm AC = 0{,}6 \times 6 = 3{,}6$ cm

et $\text{DE}=0{,}6 \times \rm BC = 0{,}6\times 2 = 1{,}2$ cm.
\end{methode}
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Homothéties}

\subsection{Définitions}

\begin{defin}[homothétie]
On appelle \emph{homothétie} de centre O et de rapport $k$, la 
transformation du plan qui à tout point M du plan associe le point 
M' tel que :
\begin{itemize}
\item si $k > 0$ alors M et M' sont du même côté par rapport à O 
et $\text{OM'} = k \times \rm OM$ ;
\item si $k < 0$ alors M et M' sont de part et d'autre de O 
et $\text{OM'} = -k \times \rm OM$.

\end{itemize}

\end{defin}

\begin{Exemples}
%% FIGURE 10n_04
\begin{center}
\includegraphics{226_10n_04}
\end{center}
Ici, A$_1$ est l'image de A par l'homothétie de centre O et de 
rapport 3. En effet : O, A et A$_1$ sont alignés dans cet ordre et 
$\text{OA}_1 = 3\times \rm OA$.

A$_2$ est l'image de A par l'homothétie de centre O et de 
rapport $-2$. En effet : A$_2$, O et A sont alignés dans cet 
ordre et 
$\text{OA}_2 = 2\times \rm OA$.
\end{Exemples}

\begin{methode}
Pour construire l'image M' d'un point M par l'homothétie de centre 
O et de rapport $k$, il faut :
\begin{itemize}
\item tracer la droite (OM), puis : soit $k > 0$ et M' est du même 
côté que M par rapport à O, soit $k < 0$ et M' est du côté opposé 
à M par rapport à O ;
\item reporter les longueurs afin de vérifier les égalités :

$\text{OM'}=k\times \rm OM$ lorsque $k > 0$ et $\text{OM'} = -k 
\times \rm OM$ lorsque $k < 0$.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item L'image du centre d'une homothétie est lui-même.
\item L'homothétie de centre O et de rapport $-1$ est la symétrie 
centrale de centre O.
\end{itemize}
\end{Remarques}

Comme pour les autres transformations du plan vues les années 
précédentes, l'image d'une figure (polygone, cercle, etc.) par une 
homothétie s'obtient en construisant les images de certains points de 
la 
figure initiale.

\begin{Exemple}
dans l'illustration qui suit, la figure F' est l'image de la figure 
F par une homothétie de centre O et de rapport $k$ (avec $k > 1$).
\Par
%% FIGURE 10n_05
\begin{center}
\includegraphics{226_10n_05}
\end{center}
\end{Exemple}

%\begin{Remarque}
%le logiciel GeoGebra permet une compréhension visuelle de ce qu'est 
%l'image d'une figure par une homothétie.
%\end{Remarque}

\qrset{height=1.1cm,version=5}
\rput(-1,0.5){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh10Cours1}}}
\rput(0.3,1){\PictoNathanLive[Video]}
\NathanLiveVideo[Visualisez l'image de F par une homothétie en vidéo.]{Homothéties}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh10Cours1}%geogebra.org/classic/jsbfgeey}
%\textit{\textbf{Visualisez l'image de F par une homothétie en vidéo.}}


\subsection{Agrandissements et réductions}

\begin{prop}
On considère une figure F' qui est l'image d'une figure F par 
l'homothétie de centre O et de rapport $k$.
\begin{itemize}
\item Si $k > 1$, ou si $k < -1$, alors F' est un 
\emph{agrandissement} de 
F.
\item Si $-1 < k < 1$, alors F' est une \emph{réduction} de F.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}
\label{prop:carac-homotheties}
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport $k > 0$ :
\begin{itemize}
\item les longueurs sont multipliées par $k$ ;
\item les aires sont multipliées par $k^2$ ;
\item les volumes sont multipliés par $k^3$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{Exemple}
Considérons le triangle A'B'C' qui est l'image du triangle ABC 
par l'homothétie de centre O et de rapport $-2$.
\Par
%% FIGURE 10n_06
\begin{center}
\includegraphics{227_10n_06}
\end{center}
\Par
$k = -2 < -1$, donc le triangle A'B'C' est un agrandissement de 
rapport 2 du triangle ABC (un rapport n'est jamais négatif !).
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
on en déduit que les triangles A'B'C' et ABC sont des triangles 
semblables.
\end{Remarque}

Grâce à la propriété \ref{prop:carac-homotheties}, on peut écrire :

$\text{A'B'} = 2\times \rm AB$ et 
$\text{Aire}(\text{A'B'C'}) = 2^2 \times 
\text{Aire}(\text{ABC})$.

Considérons page suivante le rectangle D'E'F'G' qui est l'image du 
rectangle DEFG par l'homothétie de centre O et de rapport $0,5$.
\Par
%% FIGURE 10n_07
\begin{center}
\includegraphics{228_10n_07}
\end{center}
\Par
Le rectangle D'E'F'G' est réduction du rectangle DEFG de 
rapport $0,5$ et on a :

$\text{D'E'} = 0,5\times \text{DE} \; \text{et} \; 
\text{Aire}(\text{D'E'F'G'}) = 0,5^2 
\times \text{Aire}(\text{DEFG})$.

\section{Théorème de Thalès et sa réciproque}

\begin{exointro}{Collège Jean Cocteau, Maisons-Laffitte}
\rput(-0.8,-0.9){\PictoNathanLive}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.3,0.2){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh10ExType2}}}
\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Théorème de Thalès et sa réciproque}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh10ExType2}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}

\Par

\begin{center}
\includegraphics[scale=.9]{228_09_c_01}
\end{center}

\Par

Sur la figure ci-dessus, O est un point de [RB] et de [SA].

On donne $\rm OR = 7$, $\rm OS = 4,2$ , $\rm OB = 5$, $\rm OA = 3$ et $A\rm B = 6$.
  
\begin{questions}
\item Démontrer que (AB) et (RS) sont parallèles.
\item Calculer RS.
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{exointro}

\subsection{Théorème de Thalès}
\label{sec:thm-thales-31}

\begin{thm}
Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en un point A, et si (BC) 
est parallèle à (MN), alors :
\[
\dfrac{\rm AB}{\rm AM}=\dfrac{\rm AC}{\rm AN}=\dfrac{\rm BC}{\rm 
MN}.
\]
\end{thm}

\textit{Configurations possibles :}

\begin{center}
\includegraphics{229_09_c_02b}%[scale=0.7]
\hspace{\stretch{3}}
\includegraphics{229_09_c_02c}%[scale=0.7]
\hspace{\stretch{3}}
\includegraphics{229_09_c_02a}%[scale=0.7]
\end{center}

\begin{Remarques}
Les triangles ABC et AMN sont des triangles semblables.

Dans la \emph{configuration 1}, M et N sont les images respectives 
de B et C par une homothétie de centre A et de rapport $k>1$. 

\Par

Dans la \emph{configuration 2}, M et N sont les images respectives 
de B et C par une homothétie de centre A et de rapport $k$ où 
$0<k<1$. 

\Par

Dans la \emph{configuration 3}, M et N sont les images respectives 
de B et C par une homothétie de centre A et de rapport $k<0$. 
\end{Remarques}

\begin{Exemple}
on considère la figure ci-dessous. On sait que : (GF) // (DB). On 
cherche à calculer les longueurs EF et ED.
\Par
%% FIGURE 10n_08 :
\begin{center}
\includegraphics{229_10n_08}
\end{center}
\end{Exemple}
Les droites (GD) et (FB) étant sécantes en E, et les droites (GF) et 
(DB) étant parallèles, on peut utiliser le théorème de Thalès.

On a donc : $\dfrac{\rm EG}{\rm ED} = \dfrac{\rm EF}{\rm EB} = 
\dfrac{\rm FG}{\rm DB}$, soit $\dfrac{2,6}{\rm ED} = \dfrac{\rm 
EF}{6} = \dfrac{3,2}{4,8}$.

$\dfrac{\rm EF}{6} = 
\dfrac{3,2}{4,8}$ donc $\text{EF} = \dfrac{6\times 3,2}{4,8} = 4$~cm.

$\dfrac{2,6}{\rm ED} = \dfrac{3,2}{4,8}$ donc $\text{ED} = 
\dfrac{2,6\times 4,8}{3,2} = 3,9$~cm.


\begin{anecdote}
Il n'existe aucune certitude sur la vie de Thalès de Milet qui aurait 
vécu en Grèce au \textsc{vi}\ieme{} siècle avant J.-C. Considéré 
comme le premier mathématicien de l'Histoire, Thalès aurait trouvé 
son fameux théorème en voulant mesurer la hauteur d'une pyramide en 
\'Egypte en utilisant un bâton, l'ombre de ce bâton et l'ombre de la 
pyramide\dots{}
\end{anecdote}

\subsection{Réciproque du théorème de Thalès}

La réciproque du théorème de Thalès permet de prouver que deux 
droites sont parallèles.

\begin{thm}
Si :
\begin{itemize}
\item A, M, B d'une part, et A, N, C d'autre part sont alignés dans le 
même ordre
\item $\dfrac{\rm AB}{\rm AM}=\dfrac{\rm AC}{\rm AN}$ 
\end{itemize}
alors (BC) et (MN) sont parallèles.
\end{thm}

\begin{attention}
Il faut calculer \textit{séparément} les quotients $\dfrac{\rm AB}{\rm AM}$ et $\dfrac{\rm AC}{\rm AN}$ pour vérifier qu'ils sont égaux.
%Pour prouver l'égalité des quotients $\dfrac{\rm AB}{\rm AM}$ et $\dfrac{\rm AC}{\rm AN}$, il faut les calculer \emph{séparément} pour vérifier qu'ils sont égaux.
\end{attention}

\begin{Exemple}
considérons la figure ci-dessous. Les droites (DE) et (BC) sont-elles 
parallèles ?
\end{Exemple}
%% FIGURE 10n_09
\Par
\begin{center}
\includegraphics{230_10n_09}
\end{center}
\Par
D'une part : $\dfrac{\rm AD}{\rm AB} = \dfrac{4}{7}$ et d'autre part :
$\dfrac{\rm AE}{\rm AC} = \dfrac{2,8}{4,9} = \dfrac{28}{49} = 
\dfrac{4}{7}$.

Donc : $\dfrac{\rm AD}{\rm AB} = \dfrac{\rm AE}{\rm AC}$. 

De plus, 
les points A, D et B sont alignés dans le même ordre que A, E et C. 
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut en conclure que 
les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

% \vspace{0.5cm}
% \begin{center}
% \it Voir solution de l'exercice type 2 à la page suivante.
% \end{center}
% \vspace{0.5cm}
% 
% \vfill \text{}



\label{sec:app-thm-thales}

\subsection{Application du théorème de Thalès}

Le théorème de Thalès va également nous permettre de démontrer que 
deux droites ne sont pas parallèles.

Considérons la figure ci-dessous et démontrons que les droites 
(RS) et (TU) ne sont pas 
parallèles.


%% FIGURE 10n_10
\Par
\begin{center}
\includegraphics{231_10n_10}
\end{center}
\Par


On calcule les rapports des longueurs que nous connaissons.

D'une part : $\dfrac{\rm MR}{\rm MU} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ 
et d'autre part : $\dfrac{\rm MS}{\rm MT} = \dfrac{3,5}{5} = 
\dfrac{7}{10}$.

Donc : $\dfrac{\rm MR}{\rm MU} \neq \dfrac{\rm MS}{\rm MT}$.

Or, si les droites (RS) et (TU) étaient parallèles, d'après le 
théorème de Thalès, ces rapports seraient égaux. Ce n'est pas le cas. 
On peut donc en conclure que les droites (RS) et (TU) ne sont pas 
parallèles.


\begin{aretenir}
\begin{itemize}
\item Dans une configuration avec des triangles ayant deux côtés 
parallèles, le théorème de Thalès permet de calculer les longueurs 
des côtés.
\item La réciproque du théorème de Thalès permet de prouver que deux 
droites sont parallèles.
\end{itemize}
\end{aretenir}


\begin{solintro}
\rput(-0.8,-2.6){\PictoNathanLive[Video]}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.3,-1.5){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh10ExType2}}}
\begin{questions}
\item
\begin{methode}
      La figure proposée rappelle la configuration 3 du paragraphe 
\ref{sec:thm-thales-31}. De plus, on nous demande de prouver que deux 
droites sont parallèles. On se dit donc qu'il va falloir utiliser la 
réciproque du théorème de Thalès.

Pour cela, on commence par calculer les deux rapports 
\emph{séparément}, pour vérifier qu'ils sont égaux.
      \end{methode}
     
    On a d'une part : $\dfrac{\rm OR}{\rm OB} = \dfrac{7}{5}$ ;
   
   et d'autre part : $\dfrac{\rm OS}{\rm OA} = \dfrac{4,2}{3} = 
\dfrac{42}{30} = \dfrac{6\times 7}{6\times 5} = \dfrac{7}{5}$.



On a donc : $\dfrac{\rm OR}{\rm OB} = \dfrac{\rm OS}{\rm OA}$.


Par ailleurs, les points R, O et B d'une part et les points S, O et A 
d'autre part, sont alignés dans le même ordre.

Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (RS) 
et (AB) sont parallèles.
\item Nous venons de démontrer que la figure de l'énoncé est une 
configuration de Thalès. On a en effet :
\begin{itemize}
\item les droites (RB) et (SA) sont sécantes en O,
\item les droites (RS) et (AB) sont parallèles.
\end{itemize}
On peut utiliser le théorème de Thalès, ainsi :
  \[\rm\frac{OR}{OB} = \frac{OS}{OA} = \frac{RS}{AB}\]
On remplace dans cette égalité les longueurs connues par leurs 
valeurs :
  \[\frac{7}{5} = \frac{4,2}{3} = \frac{\rm RS}{6}\]

Utilisons ensuite, pour les calculs, l'égalité $\dfrac{4,2}{3} 
=\dfrac{\rm RS}{6}$.

D'après la propriété de l'égalité des produits en croix : 
\begin{align*}
\rm RS & = \dfrac{4,2 \times 6}{3} = 4,2 \times 2 = 8,4.
\end{align*}

Ainsi, $\rm RS = 8,4$.

\textit{Remarque :} pour le calcul de RS, on aurait aussi pu utiliser 
l'égalité :  

\[
\dfrac{7}{5} = \dfrac{\rm RS}{6}.
\]

On aurait bien sûr obtenu le même résultat.
\end{questions}

\vspace*{-2em}
\end{solintro}
