\thumb

%% EX1


\begin{vf}{Vrai ou faux}{5}
ABC et A'B'C' sont deux triangles semblables tels que $\widehat{\rm 
ABC}=\widehat{\rm A'B'C'}$ et $\widehat{\rm BAC}=\widehat{\rm 
B'A'C'}$. De plus, 
\begin{itemize}
\item $\rm AB=5$ cm et $\rm A'B'=3$ cm;
\item la hauteur issue du sommet C mesure 15~cm dans le triangle ABC.
\end{itemize}
Pour chacune des propositions suivantes, répondre par \og vrai \fg{} 
ou \og faux \fg.
\begin{questions}
\item Les angles $\widehat{\rm ABC}$ et $\widehat{\rm A'B'C'}$ sont 
homologues. 
\item $\rm B'C'=\dfrac{3}{5}BC$.

\item La hauteur issue du sommet C' dans le triangle A'B'C' mesure 
9~cm.
\item L'aire de A'B'C' représente les trois cinquièmes de celle de 
ABC.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}. Si deux angles de deux triangles semblables ont la 
même mesure alors ils sont \emph{homologues} d'après le cours.

\item \emph{Vrai}. En effet, si ABC et A'B'C' sont semblables, on peut 
dire que les côtés sont proportionnels; de plus, $\widehat{\rm 
ABC}=\widehat{\rm A'B'C'}$ et $\widehat{\rm BAC}=\widehat{\rm B'A'C'}$ 
donc :
\[
\dfrac{\rm A'B'}{\rm AB}=\dfrac{\rm A'C'}{\rm AC}=\dfrac{\rm B'C'}{\rm 
BC}.
\]

\Par

Ici, $\dfrac{\rm A'B'}{\rm AB}=\dfrac{3}{5}$ donc $\dfrac{\rm 
B'C'}{\rm BC}=\dfrac{3}{5}$, ce qui signifie que $\rm 
B'C'=\dfrac{3}{5}BC$.

\item \emph{Vrai}. Les triangles ABC et A'B'C' étant semblables, les 
côtés sont proportionnels et donc les hauteurs aussi, donc la hauteur 
issue de C' dans A'B'C' est égale aux $\dfrac{3}{5}$ de celle issue de 
C dans ABC, à savoir :
\[
\dfrac{3}{5}\times15=\dfrac{3}{5}\times3\times5=3\times3=9~\text{cm}.
\]

\item \emph{Faux}. L'aire de ABC est donnée par la formule : 
\[
{\cal A}=\dfrac{{\rm AB}\times h}{2}\;,
\]
où $h$ représente la hauteur issue de C. Donc :
\[
{\cal A}=\dfrac{5\times15}{2}=\dfrac{75}{2}=37,5~\text{cm}^2.
\]

L'aire de A'B'C' est donnée par la formule :
\[
{\cal A}'=\dfrac{{\rm A'B'}\times h'}{2}\;,
\]
où $h'$ représente la hauteur issue de C'. Donc :
\[
{\cal A}'=\dfrac{3\times9}{2}=\dfrac{27}{2}=13,5~\text{cm}^2.
\]

Ainsi, 
\[
\dfrac{{\cal A}'}{\cal 
A}=\dfrac{\frac{27}{2}}{\frac{75}{2}}=\dfrac{27}{2}\times\dfrac{2}{75}
=\dfrac{27}{75}=\dfrac{3\times9}{3\times25}=\dfrac{9}{25}\neq\dfrac{3}
{5}.
\]
\begin{Remarque}
 on aurait pu également utiliser la propriété suivante : \og lors 
d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport $k$, les aires sont 
multipliées par $k^2$\fg{}. Ici $k = \dfrac{3}{5}$, donc pour obtenir 
l'aire du triangle A'B'C', il faut multiplier l'aire de ABC par 
$\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$.
\end{Remarque}

\end{questions}
\end{corrige}

%% EX2
%% 

\begin{qcm}{Théorème de Thalès et sa réciproque}{5}
\begin{multicols}{2}
Pour chacune des propositions, choisir la réponse correcte. Aucune 
justification n'est demandée.

Les questions de ce QCM sont indépendantes mais se rapportent toutes 
à la figure ci-contre.

\hspace{1em}\includegraphics[scale=0.9]{233_09_01}
\end{multicols}
      
\begin{questions}
\item{On peut utiliser le théorème de Thalès \ldots{}}\par
\choix{} si on \emph{sait} que (BC) ~//~ (MN)

\choix{} si on veut \emph{démontrer} que (BC) ~//~ (MN)

\item Un élève a écrit : \og si je sais que $\rm\dfrac{AN}{AC} 
=\dfrac{AM}{AB}$, que $\rm A \in (NC)$ et que $\rm A \in (MB)$ alors 
je peux  utiliser la réciproque du théorème de Thalès\fg{} \Par 
\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} Sa rédaction est correcte &
\choix{} Sa rédaction n'est pas correcte
\end{tabularx}

\Par

\item{Si (MN) ~//~ (BC) alors :} \resetchoix\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $\rm\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{NA}{NC} = \dfrac{MN}{BC}$ &
\choix{} $\rm\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
\end{tabularx}

\Par

\item{On donne : $\rm AB = 3$~cm, $\rm AC = 5$~cm et $\rm AM = 6$~cm 
alors :} \resetchoix\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $\rm AN = 10$~cm & \choix{} On ne peut pas calculer AN
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. On peut utiliser le théorème de Thalès si on 
\emph{sait} que\linebreak (BC)~//~(MN).

Si on veut \emph{démontrer} que (BC) ~//~ (MN), il faut utiliser la  
\emph{réciproque} du théorème de Thalès.

\item Réponse \choix[b]. Sa rédaction n'est pas correcte.

Cet élève oublie de préciser qu'il faut que les points N, A et C d'une 
part et M, A et B d'autre part soient alignés \emph{dans le même 
ordre}. 

Cette condition se lit bien sûr sur la figure mais il faut
absolument l'écrire quand vous utilisez la réciproque du théorème de 
Thalès.

La figure ci-dessous par exemple vérifie bien les conditions
décrites par cet élève :

\begin{center}
\includegraphics{244_09_02}
\end{center}

En effet :
\[
\rm\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{2} = 2
\]
et :
\[
\rm\dfrac{AM}{AB} =\dfrac{3 + 3}{3} = 2
\]
donc on a bien $\rm\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AM}{AB}$.

De plus, on a bien : $\rm A \in (NC)$ et $\rm A \in (MB)$.

Et pourtant, on ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de
Thalès pour conclure que les droites (MN) et (BC) sont
parallèles ! Ceci vient du fait que A est \emph{sur} le segment
[NC] alors que A est à l'\emph{extérieur} du segment [BM]. Les points 
A, N et C d'une part et A, M et B d'autre part ne sont pas alignés 
dans le même ordre\ldots

\item Réponse \choix[b]. Si (MN) ~//~ (BC) alors $\rm\dfrac{AM}{AB} = 
\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.

Si (MN) ~//~ (BC) on peut en effet utiliser le théorème de Thalès qui nous permet d'écrire la relation ci-dessus.

\newpage
\begin{attention}
La relation $\rm\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{NA}{NC} = \dfrac{MN}{BC}$ est 
fausse. Il s'agit d'une erreur courante. Il faut, pour ne pas se 
tromper dans l'écriture de l'égalité des trois rapports, que dans les 
deux premiers quotients interviennent les longueurs des 4
segments qui ont pour extrémité le point commun aux deux triangles
de la configuration. Ici, il s'agit du point A et des longueurs
AM, AN, AB et AC.
\end{attention}

\item Réponse \choix[b]. On donne : $\rm AB = 3$~cm, $\rm AC = 5$~cm 
et $\rm AM = 6$~cm alors on ne peut pas calculer AN.

Les mesures des côtés [AB], [AC] et [AM] ne suffisent pas pour
calculer AN. Il manque la condition nécessaire pour utiliser le
théorème de Thalès : le parallélisme des droites (MN) et
(BC). En revanche, si l'on avait su que (MN) et (BC) étaient 
parallèles, alors on aurait pu calculer AN et on aurait trouvé $\rm AN 
= 10$~cm.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX3

\begin{qcm}{Application du théorème de Thalès}{10}
Pour chacune des propositions page suivante, choisir la ou les 
réponse(s) correcte(s). Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item ~\par \rule{0pt}{1pt}\vspace*{-2\baselineskip}
\begin{center}
\includegraphics{234_09_03}

(BD) ~//~ (CE)
\end{center}
\Par\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} $\rm EC = \dfrac{4}{3}$ & 
\choix{} $\rm EC = \dfrac{7}{3}$ &
\choix{} $\rm EC = 2,3$
\end{tabularx}

\item ~\par \rule{0pt}{1pt}\vspace*{-2\baselineskip}

\begin{center}
\includegraphics{234_09_04}	
\end{center}
\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} (BK) ~//~ (CJ) & \choix{} (JK) ~//~ (BC)\\[6pt]
\multicolumn{2}{@{}l@{}}{\choix{} (BC) et (KJ) ne sont pas parallèles}
\end{tabularx}

\item Avec les mêmes données qu'à la question 2. et si $\rm KJ = 4$~cm 
 alors : \resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $\rm BC = 6$~cm &
\choix{} $\rm BC = 7,2$~cm \\[6pt]
\multicolumn{2}{@{}l@{}}{\choix{} On ne peut pas calculer BC}
\end{tabularx}

\item{~\par \rule{0pt}{1pt}\vspace*{-2\baselineskip}

\begin{center}
\includegraphics{234_09_05}
\end{center}
} \resetchoix
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} (MN) ~//~ (BC) & 
\choix{} On ne peut pas conclure \\[6pt]
\multicolumn{2}{@{}l@{}}{\choix{} (MN) et (BC) ne sont pas parallèles}
\end{tabularx}

\newpage

\item{~\par \rule{0pt}{1pt}\vspace*{-2\baselineskip}

\begin{center}
\includegraphics{235_09_06}
\end{center}

Si (BC) ~//~ (MN), alors :
} \resetchoix
  
  \Par
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{} $\rm\dfrac{BC}{MN} = \dfrac{2}{5}$&
  \choix{} $\rm\dfrac{BC}{MN} = \dfrac{2}{7}$\\[6pt]
  \choix{} On ne peut pas conclure
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. $\rm EC = \dfrac{7}{3}$.

En effet, on peut ici utiliser le théorème de Thalès qui nous donne 
l'égalité : $\rm\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CE}$ d'où $\rm\dfrac{3}{3 
+ 4} = \dfrac{1}{CE}$, c'est-à-dire $\rm\dfrac{3}{7} = \dfrac{1}{CE}$ 
. 
  
On en  déduit $\rm EC = \dfrac{7}{3}$.

\begin{attention}
$2,3$ n'est qu'une valeur \emph{arrondie} de EC. Quant à la  réponse 
\\$\rm EC = \dfrac{4}{3}$, elle vient sans doute d'une mauvaise 
application du théorème de Thalès (égalité des trois rapports fausse).
\end{attention}

\item \label{ch6qcm5qb} Réponse \choix[b]. (JK)~//~(BC)

On a ici $\rm\dfrac{3}{2} = \dfrac{4,2}{2,8}$ (ces deux quotients sont 
égaux à $1,5$) donc :
\[
\rm\dfrac{AB}{AJ} = \dfrac{AC}{AK}.
\] 
De plus, les points K, A et C sont alignés dans le même ordre que les 
points J, A et B. Les hypothèses de la réciproque du théorème de 
Thalès sont donc vérifiées. On peut donc l'utiliser et conclure que 
(JK) ~//~ (BC).

\newpage

\item Réponse \choix[a]. $\rm BC = 6$~cm.

On peut en effet calculer BC avec les conditions de la  
question~\ref{ch6qcm5qb}, puisqu'on a vu précédemment que dans ces 
conditions, (BC) ~//~ (KJ). On a donc une configuration de Thalès et 
on peut utiliser le théorème de Thalès qui nous mène à l'égalité : 
\[
\rm\dfrac{AB}{AJ} = \dfrac{AC}{AK}= \dfrac{BC}{KJ} = 1,5.
\]

Si $\rm KJ = 4$~cm, il vient $\rm\dfrac{BC}{4} = 1,5$, d'où :
\[
\rm BC = 1,5\times 4 = 6.
\]

\item On ne peut pas répondre (réponse \choix[b]).

En effet, tout dépend de la mesure des segments [AM] et [AN].

Si par exemple $\rm AM = AN$ alors, comme $\rm MB = NC$, on aura aussi 
$\rm AB =  AC$ et donc $\rm\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$. Les 
points A, M et B d'une part et A, N et C d'autre part étant alignés 
dans le même ordre, on peut alors utiliser la réciproque du théorème 
de Thalès qui nous permet de conclure que (MN) ~//~ (BC).

En revanche, considérons un cas où $\rm AM \neq AN$. Prenons par 
exemple :
\[
\rm  BM = CN = 1.
\]

$\rm AM = 3$ et $\rm AN = 4$. On a alors :
\[
\rm\dfrac{AM}{AB} =\dfrac{3}{4} = 
0,75\qquad\text{et}\qquad\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{5} = 0,8
\]
donc $\rm\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$ et les droites (BC) et 
(MN) ne sont pas parallèles.

\item Si (BC) ~//~ (MN), alors $\rm\dfrac{BC}{MN} = \dfrac{2}{7}$ 
(réponse \choix[b]).

Si (BC) ~//~ (MN), on a une configuration de Thalès. On a alors,
d'après le théorème de Thalès, $\rm\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AC}{AN} = 
\dfrac{BC}{MN}$. On ne connaît pas les longueurs AB et AM mais en 
utilisant le partage régulier du segment [AM], on peut dire que 
$\rm\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{2}{7}$. On en déduit que 
$\rm\dfrac{BC}{MN} = \dfrac{2}{7}$.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Triangles semblables}

% EX4

\begin{exo}{Calculs de longueurs}{Collège La Providence, 
Orléans}{1}{5}
Sur la figure suivante, les triangles ABC et BA'C' sont semblables.

À l'aide des codages de cette figure, répondre aux questions 
suivantes.

\Par

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-61mm}
\begin{questions}
\item Calculer la longueur BA'.
\item Calculer la longueur BC.
\end{questions}
\vspace*{3cm}~
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\includegraphics{235_10_09}
\end{minipage}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Quand deux triangles sont semblables, avant de commencer le moindre 
calcul, il est nécessaire de connaître les sommets homologues ou les 
côtés homologues.
\end{methode}

D'après les codages, $\widehat{\rm BAC}=\widehat{\rm BA'C'}$ et 
$\widehat{\rm ABC}=\widehat{\rm A'BC'}$ donc les côtés homologues sont 
: $[\text{AB}]$ et $[\text{A'B}]$, $[\text{AC}]$ et $[\text{A'C'}]$, 
et $[\text{BC}]$ et $[\text{BC'}]$. Comme les triangles ABC et B'A'C' 
sont semblables, les longueurs de leurs côtés homologues sont 
proportionnelles.

On peut alors écrire:
\[
\rm\dfrac{A'B}{AB}=\dfrac{C'B}{BC}=\dfrac{A'C'}{AC}
\]
soit :
\[
\rm\dfrac{A'B}{3,2}=\dfrac{3}{BC}=\dfrac{2,8}{4}.
\]

\begin{questions}
\item Afin de déterminer la longueur BA', on prend l'égalité :
\[
\rm\dfrac{A'B}{3,2}=\dfrac{2,8}{4}.
\]
À l'aide de l'égalité des produits en croix, on obtient :
\[
\rm A'B=\dfrac{2,8\times3,2}{4}=2,24.
\]

\item Afin de déterminer la longueur BC, on prend l'égalité :
\[
\rm\dfrac{3}{BC}=\dfrac{2,8}{4}.
\]
On obtient alors :
\[
\rm BC=\dfrac{3\times4}{2,8}\approx4,29.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX5

\newpage
\begin{exo}{Avec les angles}{Collège Joliot Curie, Bagneux}{2}{6}
 Dans cet exercice, $x$ désigne une mesure d'angle aigu.
 
 Démontrer que les triangles ABC et DGF sont semblables.
 \begin{center}
  \includegraphics{236_10n_exo05}
 \end{center}

\end{exo}

\begin{corrige}
 Dans le triangle ABC, la somme des angles étant égale à 
$180\degres$, on a :
\begin{align*}
 x+2x+3x & = 180 \\
 6x & = 180 \\
 x & = \dfrac{180}{6} \\
 x & = 30.
\end{align*}
On en déduit que :
\begin{align*}
 \widehat{\text{B}} & = x = 30\degres \; ; \\
\widehat{\text{C}} & = 2x = 2\times 30 = 60\degres \; ; \\
\widehat{\text{A}} & = 3x = 3 \times 30 = 90\degres. \\
\end{align*}
Le triangle DEF étant équilatéral (comme le prouvent les codages), 
tous ses angles mesurent $60\degres$.

Ainsi, dans le triangle GDF, on a : $\widehat{\text{F}} = 60\degres$ 
et $\widehat{\text{G}}=90\degres$.

\Par

Les triangles ABC et GDF ont donc deux angles de même mesure. Or, si 
deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre 
triangle alors ces triangles sont semblables. Les triangles ABC et 
GDF sont donc semblables.
\end{corrige}

%% EX6

\begin{exo}{Dans un parallélogramme}{Collège Chaptal, Paris}{2}{15}
Construire un parallélogramme ABCD tel que $\text{AB} = 3$~cm et 
$\text{AD} = 5$~cm.

Placer le point E sur le segment $[\text{DC}]$ tel que 
$\text{DE}=2$~cm. La droite $(\text{AE})$ coupe $(\text{BC})$ en F. 
Placer F.
\begin{questions}
 \item Prouver que les triangles ADE et ABF sont semblables.
 \item Calculer la longueur BF.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{center}
 \includegraphics{248_10n_exo06c}
\end{center}
\begin{questions}
 \item Dans un parallélogramme, les angles opposés sont de même 
mesure, on a donc : $\widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{ADC}}$.

Par ailleur, les angles $\widehat{\text{BFA}}$ et 
$\widehat{\text{FAD}}$ sont alternes internes par rapport aux droites 
$(\text{BC})$ et $(\text{AD})$ coupées par la sécante $(\text{AE})$. 
Comme les droites $(\text{BC})$ et $(\text{AD})$ sont parallèles, ces 
angles ont la même mesure.

On a donc : $\widehat{\text{BFA}} = \widehat{\text{FAD}}$.

Les triangles ADE et ABF ont donc deux angles de même mesure. Or, si 
deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre 
triangle alors ces triangles sont semblables. Les triangles ADE et 
ABF sont donc semblables.
\item \begin{methode}
       Lorsqu'on doit calculer une longueur et que l'on a deux 
triangles semblables, on peut :
\begin{itemize}
 \item soit calculer le rapport d'agrandissement ou de réduction 
entre les deux triangles, puis l'utiliser pour calculer les longueurs 
manquantes ;
\item soit écrire l'égalité des rapports des côtés homologues.
\end{itemize}
      \end{methode}
Dans le cas présent, nous allons écrire l'égalité des rapports des 
côtés homologues.

On sait que $\widehat{\text{ABF}} = \widehat{\text{ADE}}$ donc les 
côtés opposés à ces angles, c'est-à-dire $[\text{AF}]$ et 
$[\text{AE}]$, sont des côtés homologues.

De la même manière $[\text{AB}]$ et $[\text{DE}]$ sont homologues et 
$[\text{AD}]$ et $[\text{BF}]$ le sont aussi. Comme les triangles ABF 
et ADE sont semblables, les longueurs de leurs côtés homologues sont 
proportionnelles. Autrement dit :
\[\dfrac{\text{AE}}{\text{AF}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{BF}} = 
\dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}.\]
En remplaçant les longueurs connues, on obtient :
\[\dfrac{\text{AE}}{\text{AF}} = \dfrac{\text{5}}{\text{BF}} = 
\dfrac{\text{2}}{\text{3}}.\]

On calcule ensuite BF à l'aide des produits en croix :
\[\text{BF} = \dfrac{3\times 5}{2} = \dfrac{15}{2} = 7,5~\text{cm}.\]
La longueur BF est donc égale à $7,5$~cm.
\end{questions}

\end{corrige}

\sectionnn{Homothéties}

%% EX7

\begin{exo}{Transformations}{Collège Chaptal, Paris}{1}{6}
On considère la figure ci-dessous.

\begin{center}
 \includegraphics{236_10n_exo07}
\end{center}

\newpage
Répondre aux questions suivantes sans justifier :
\begin{questions}
 \item Trouver l'image du triangle FKL : \begin{questions}
 \item par l'homothétie de centre K et de rapport 2 ;
 \item par la rotation de centre G, d'angle $90\degres$ dans le sens 
horaire ;
 \item par la translation qui transforme G en C.
 \end{questions}
 \item Recopier et compléter les phrases suivantes : \begin{questions}
 \item Le triangle ABD est l'image du triangle GHJ par \dots .
 \item Le triangle DGE est l'image du triangle MGK par \dots .
 \item Le triangle BEC est l'image du triangle FIK par \dots .
 \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item \begin{questions}
  \item L'image du triangle FKL par l'homothétie de centre K et de 
rapport 2 est le triangle AKM.

En effet, l'image du centre K est K lui-même ; l'image de F est le 
point F' situé sur $[\text{KF})$ tel que $\text{KF'} = 2\times 
\text{KF}$, c'est donc le point A. On raisonne de même pour trouver 
l'image de L.
  \item L'image du triangle FKL par la rotation de centre G, d'angle 
$90\degres$ dans le sens horaire est le triangle BAF.
  \item L'image du triangle FKL par la translation qui transforme G 
en C est le triangle BGH.
 \end{questions}
 \item 
 \begin{attention}
  Il ne faut pas confondre l'image et le triangle initial.
 \end{attention}

 \begin{questions}
  \item Le triangle ABD est l'image du triangle GHJ par la 
translation qui transforme G en A (ou J en D, ou encore L en F\dots).
  \item \begin{methode}
         Pour déterminer le rapport d'une homothétie qui transforme 
un triangle en un triangle semblable, on cherche d'abord son signe 
(positif lorsque les deux figures sont dans le même sens, négatif 
dans 
le cas contraire) puis sa distance à zéro en divisant une longueur 
d'un côté de l'image par la longueur du côté correspondant sur la 
figure de départ.
        \end{methode}
Ici, DGE et MGK ne sont pas dans le même sens, donc le rapport est 
négatif. De plus, $\dfrac{\text{DE}}{\text{MK}} = \dfrac{1}{2}$ donc 
le rapport vaut $-\dfrac{1}{2}$.

Le triangle DGE est donc l'image du triangle MGK par \mbox{l'homothétie}\\[8pt]
de centre G et de rapport $-\dfrac{1}{2}$.

  \item Le triangle BEC est l'image du triangle FIK par la symétrie 
d'axe $(\text{AM})$.% et rotation de centre J et d'angle 90°.
 \end{questions}
 \end{questions}
\end{corrige}

%% EX8

\begin{exo}{Constructions et quadrillages}{Collège Chaptal, 
Paris}{1}{10}
\`A l'aide du quadrillage proposé page suivante, construire l'image 
du triangle gris :
\begin{questions}
 \item par la translation qui transforme F en G, on le nomme $T_1$ ;
 \item par la symétrie d'axe (AB), on le nomme $T_2$ ;
 \item par la symétrie de centre C, on le nomme $T_3$ 
;
\item par l'homothétie de centre O et de rapport 3, on le nomme $T_4$ 
;
 \item par l'homothétie de centre O et de rapport $-0,5$, on le nomme 
$T_5$ ;
 \item par l'homothétie de centre O et de rapport $-2$, on le nomme 
$T_6$.
\end{questions}
\begin{center}
 \includegraphics{237_10n_exo08}
\end{center}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{methode}
  Pour tracer l'image du triangle par les homothéties de centre O :
  \begin{itemize}
   \item on commence par construire l'image du point C en faisant 
attention au signe du rapport ;
\item on continue la construction du triangle image en multipliant 
les longueurs initiales par la distance à zéro du rapport.
  \end{itemize}
 \end{methode}
\begin{center}
 \includegraphics{250_10n_exo08c}
\end{center}
\end{corrige}

%% EX9

\begin{exo}{Les cerfs-volants}{Collège Chaptal, 
Paris}{1}{8}
Le cerf-volant A'B'C'D' est l'image du cerf-volant ABCD par une 
homothétie.
\begin{center}
 \includegraphics{238_10n_exo09}
\end{center}
\begin{questions}
 \item Retrouver et placer le centre E de cette homothétie.
 \item Déterminer le rapport de cette homothétie.
 \item Calculer la distance B'C'.
 \item On sait que l'aire de ABCD vaut $4,5$~cm\up{2}. Calculer 
l'aire de A'B'C'D'.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
 \item Dans une homothétie, le centre, un point et son image sont 
alignés. Le point E doit être aligné avec A et A', ainsi qu'avec B et 
B'\dots Il suffit donc de tracer deux droites pour le placer, ici on 
a tracé $(\text{BB'})$ et $(\text{DD'})$.
\begin{center}
 \includegraphics[width=11cm]{251_10n_exo09c}
\end{center}
\item Les deux cerfs-volants sont situés du même côté par rapport au 
centre E, donc le rapport est positif.

On a donc $k = \dfrac{\text{D'A'}}{\text{DA}} = \dfrac{3,92}{2,8} = 
1,4$.

Ainsi, A'B'C'D' est l'image de ABCD par l'homothétie de centre E et 
de rapport 1,4.
\item $[\text{B'C'}]$ est l'image de $[\text{BC}]$ par cette 
homothétie, on a donc :
\[\text{B'C'} = k \times \text{BC} = 1,4 \times 2,1 = 
2,94~\text{cm}.\]
\item Le cerf-volant A'B'C'D' est un agrandissement du cerf-volant 
ABCD de rapport $1,4$. Or, lors d'un agrandissement de rapport $k$, 
les aires sont multipliées par $k^2$.

Ainsi on a :
$\begin{aligned}[t]
  \mathcal{A}_{\text{A'B'C'D'}} & = k^2 \times   
\mathcal{A}_{\text{ABCD}} \\
& = 1,4^2 \times 4,5 \\
& = 8,82~\text{cm}^2.
 \end{aligned}$
\enlargethispage{2em}
 
L'aire du cerf-volant A'B'C'D' est donc égale à 8,82~cm\up{2}.
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Thalès : théorème et réciproque}

%% EX10
\begin{exo}{Calcul de longueurs}{Collège Foch, Strasbourg}{1}{10}
Soit ABCD un rectangle tel que $\rm AB = 12$~cm et $\rm BC = 7$~cm.

Soit E le point du segment [AD] tel que $\rm AE = 5$~cm.

La droite (BE) coupe la droite (DC) en F.

\begin{questions}
\item Faire une figure.
\item Calculer EB.
\item Calculer EF et FD.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \text{}

\vspace{-.5cm}
\includegraphics{251_09_07}

\item On sait que dans le triangle ABE rectangle en A, $\rm AE = 5$~cm 
 et \\$\rm AB = 12$~cm.
  
Donc, d'après le théorème de Pythagore :
  \begin{align*}
   \rm EB^2 &=\rm AE^2 + AB^2 \\
         &= 5^2 + 12^2 \\
         &= 25 + 144\\
         & = 169.
  \end{align*}

  On en déduit : $\rm EB = \sqrt{169} = 13$.

[EB] mesure donc 13~cm.

\item On sait que ABCD est un rectangle donc (AB) et (DC) sont
parallèles.

On en déduit, comme F est sur (DC), que (FD) et (AB) sont
parallèles.

De plus, les droites $(\text{AD})$ et $(\text{BF})$ sont sécantes en 
E.

Donc d'après le théorème de Thalès : $\rm\dfrac{EF}{EB} = 
\dfrac{ED}{EA} = \dfrac{FD}{AB}$.

$\rm EB = 13$~cm, $\rm AB = 12$~cm, $\rm AE = 5$~cm donc :
  \[
  \rm\dfrac{EF}{13} = \dfrac{ED}{5} = \dfrac{FD}{12}.
  \]

  Or ABCD est un rectangle tel que $\rm BC = 7$~cm donc $\rm AD = BC = 
7$~cm et E est sur [AD] donc $\rm ED = AD - AE = 7 - 5 = 2$.

On a finalement : $\rm \dfrac{EF}{13} = \dfrac{2}{5} = 
\dfrac{FD}{12}$.

D'après l'égalité  $\rm\dfrac{EF}{13} = \dfrac{2}{5}$, donc :
$\rm   EF =\dfrac{13 \times 2}{5} = 5,2$.

D'après l'égalité  $\rm\dfrac{2}{5} = \dfrac{FD}{12}$, donc :
$\rm    FD =\dfrac{12 \times 2}{5} = 4,8$.

Ainsi, $\rm EF = 5,2$~cm et $\rm FD = 4,8$~cm.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX11

\begin{exo}{Détermination d'un parallélisme}{Collège Charles Péguy, 
Morsang-sur-Orge}{1}{5}
Soit ABC un triangle et M un point de [AB], R un point de
[AC].

Sachant que $\rm AM=3$, $\rm AB=7$, $\rm AC=21$ et $\rm RC=12$, que 
peut-on dire des droites (MR) et (BC) ? Justifier.
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
L'énoncé ne demande pas de figure, mais pour répondre correctement, un 
schéma à main levée s'impose.
\end{methode}

\begin{center}
  \includegraphics{253_09_19}
\end{center}

La figure fait penser à une configuration de Thalès et on nous demande 
si les droites (MR) et (BC) sont parallèles ou non\ldots{} Commençons 
par déterminer si les quotients $\rm\dfrac{AR}{AC}$ et 
$\rm\dfrac{AM}{AB}$ sont égaux ou différents.

On a d'une part $\rm\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{7}$.

De plus, comme $\rm R \in [AC]$ :
\begin{align*}
\rm AR &=\rm AC - RC \\
   &= 21 - 12\\
   & = 9 .
\end{align*}
 et donc :
\begin{align*}
\rm\dfrac{AR}{AC} &=\rm \dfrac{9}{21} \\
               &= \dfrac{3 \times 3}{3 \times 7}\\
               & =\dfrac{3}{7}.
\end{align*}

Finalement : $\rm\dfrac{AR}{AC} = \dfrac{AM}{AB}$.

De plus, les points A, M et B d'une part et A, R et C d'autre part 
sont alignés dans le même ordre donc, d'après la réciproque du 
théorème de Thalès, (MR) et (BC) sont parallèles.
\end{corrige}

%% Ex12

\begin{exo}{Profondeur d'un puits}{Collège Camille Saint-Saëns, 
Lizy-sur-Ourcq}{1}{5}

On veut mesurer la profondeur d'un puits par la méthode d'Euclide.

Une personne mesurant $1,62$~m doit se placer à 70~cm du bord du puits 
pour apercevoir le fond du puits. Ce puits a un diamètre de $1,30$~m.

La situation est représentée et schématisée géométriquement sur la
figure page suivante.

\begin{center}
\includegraphics{239_09_09}
\end{center}

En vous aidant du schéma géométrique, calculer la profondeur de ce
puits.
\end{exo}

\begin{corrige}
Le schéma géométrique correspondant à la situation concrète, on en
déduit que : $\rm AB = 1,62~\text{m}, BC = 0,7~\text{m}$ et que $\rm 
DC = 1,3$~m. On cherche à déterminer DE.

On sait que (AB) et (DE) sont perpendiculaires à (BD) donc
(AB) et (DE) sont parallèles.

De plus, les droites $(\text{AE})$ et $(\text{DB})$ sont sécantes en 
C.

Donc d'après le théorème de Thalès : $\rm \dfrac{CB}{CD} = 
\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{AB}{DE}$.

Il vient alors :
\[
\rm\dfrac{0,7}{1,3} = \dfrac{CA}{CE} = \dfrac{1,62}{DE}\;,
\]
en particulier : $\dfrac{0,7}{1,3} = \dfrac{1,62}{\rm DE}$.

On en déduit :
\[
\rm DE = \dfrac{1,3 \times 1,62}{0,7} \approx 3.
\]

La profondeur de ce puits est donc d'environ 3~m.
\end{corrige}

%% EX13

\begin{exo}{La tour de Tokyo}{Collège Chaptal, Paris}{1}{8}
 Pendant ses vacances, Emilie visite la tour de Tokyo, représentée 
par le segment $[\text{CD}]$. Elle décide alors de calculer la 
hauteur du sommet de la tour, représenté par le point D. Pour cela, 
elle plante un bâton $[\text{FG}]$ de $1,50$~m de haut et se place au 
point E, comme l'indique la figure ci-dessous (qui n'est pas à 
l'échelle). Le bâton et la tour sont perpendiculaires au sol.

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
 \textit{Voir le schéma page suivante.}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\newpage

\begin{center}
 \includegraphics{240_10n_exo13}
\end{center}
Elle effectue ensuite les relevés suivants : $\text{EG} = 2,4$~m et 
$\text{GC} = 530,4$~m.

Calculer la hauteur de la tour.
\end{exo}

\begin{corrige}
 $\text{G} \in [\text{EC}]$ donc $\begin{aligned}[t]
 \text{EC} & = \text{EG} + \text{GC} \\
 \text{EC} & = 2,4 + 530,4 \\
 \text{EC} & = 532,8~\text{m}. \\
                                  \end{aligned}$

Les droites $(\text{FG})$ et 
$(\text{DC})$ sont perpendiculaires à la 
même droite $(\text{EC})$ donc elles sont parallèles. Les droites 
$(\text{FD})$ et $(\text{GC})$ sont sécantes en E. On peut donc 
utiliser le théorème de Thalès.
On a donc :
\[\dfrac{\text{EF}}{\text{ED}} = \dfrac{\text{EG}}{\text{EC}} = 
\dfrac{\text{FG}}{\text{DC}}\]
soit :
\[\dfrac{\text{EF}}{\text{ED}} = \dfrac{2,4}{532,8} = 
\dfrac{1,5}{\text{DC}}.\]
On calcule ensuite DC à l'aide des produits en croix :

$\begin{aligned}[t]
  \text{DC} & = \dfrac{532,8\times 1,5}{2,4} \\
  \text{DC} & = 333~\text{m}.
 \end{aligned}$
 \enlargethispage{1em}
 
La tour de Tokyo mesure donc $333$ m.
% \newpage
\end{corrige}

%% EX14

\begin{exo}{La planche est-elle horizontale ?}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{2}{7}
Une planche a été posée comme représentée ci-dessous.

\begin{center}
 \includegraphics{240_09_27}
\end{center}

On donne :

\begin{itemize}
\item $\rm JB=52$ cm ;
\item $\rm JA = 1,6$ m ;
\item $\rm KB =54$ cm ;
\item $\rm KC = 1,62$ m.
\end{itemize}

La planche est-elle parallèle au sol ?

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{attention}
Dans un tel exercice, où l'on donne différentes mesures, il est 
important de convertir toutes ces mesures dans la même unité avant de 
faire le moindre calcul.
\end{attention}

\text{}

Ici, nous convertissons toutes les longueurs en cm :

\begin{itemize}
\item $\rm JB=52$ cm
\item $\rm JA = 160$ cm
\item $\rm KB =54$ cm
\item $\rm KC = 162$ cm
\end{itemize}

Sur la configuration proposée, les droites (KC) et (AJ) se coupent en 
B.

De plus :
\[
\rm\dfrac{BJ}{BA}=\dfrac{52}{160-52}=\dfrac{52}{108}=\dfrac{13\times4	
}{27\times4}=\dfrac{13}{27}
\]
et
\[
\rm\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{54}{162-54}=\dfrac{54}{108}=\dfrac{2\times3^3
}{2^2\times3^3}=\dfrac{1}{2}.
\]
Ainsi,
\[
\rm\dfrac{BJ}{BA}\neq\dfrac{BK}{BC}\;.
\]
Or, si les droites $(\text{KJ})$ et $(\text{AC})$ étaient parallèles, 
d'après le théorème de Thalès, ces rapports seraient égaux. Ce n'est 
pas le cas. On peut donc en conclure que les droites $(\text{KJ})$ et 
$(\text{AC})$ ne sont pas parallèles.

La planche n'est donc pas parallèle au sol.
\end{corrige}

%% EX15

\begin{exo}{Calcul de longueurs}{Collège Monthéty, 
Pontault-Combault}{2}{10}
Dans la figure page suivante, ABC est un triangle rectangle en A tel 
que $\rm AB = 7$~cm et $\rm AC 
= 5$~cm.

M est un point de [AC]. On note $\text{AM} = x$.

N est le point de [AB] tel que (MN) et (BC) sont parallèles.

\begin{center}
\includegraphics{241_09_08}
\end{center}

\begin{questions}
\item Exprimer AN en fonction de $x$.

\item Déterminer pour quelle position du point M, N est le milieu de 
[AB].

\item Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ du triangle AMN en fonction de 
$x$.

\item Déterminer la valeur exacte de $x$ telle que l'aire de AMN soit 
égale à 7~cm$^2$. En donner ensuite une valeur arrondie au mm près.
\end{questions}
\end{exo}

% EX9corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On sait que (MN) et (BC) sont parallèles.

De plus, les points A, M et C d'une part et A, N et B d'autre part 
sont alignés.

Donc, d'après le théorème de Thalès, $\rm\dfrac{AN}{AB} = 
\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.

On sait que $\rm AB = 7$~cm, $\rm AC = 5$~cm et que $\text{AM} = x$ 
donc il vient :
\[
\dfrac{\rm AN}{7} = \dfrac{x}{5} = \dfrac{\rm MN}{\rm 
BC}\;,\qquad\text{en particulier : }\qquad\dfrac{\rm AN}{7} = 
\dfrac{x}{5}.\]
On en déduit :
\[
{\rm    AN} = \dfrac{7 \times x}{5} = 1,4 x.
  \]

\item $\rm AB = 7$~cm donc N est le milieu de [AB] si $\rm AN = 3,5$.

  Il faut donc résoudre l'équation $1,4x = 3,5$ ce qui donne :
  \[
    x = \dfrac{3,5}{1,4} = 2,5.
  \]

N est donc le milieu de [AB] si M est à $2,5$~cm de A sur le segment 
[AC], c'est-à-dire au milieu de $[\text{AC}]$.

\item 
$\begin{aligned}[t]
\mathcal{A} & = \rm\dfrac{AM \times AN}{2} \\
            & = \dfrac{x \times 1,4 x}{2}\\
            & = 0,7 x^2
\end{aligned}$


\item Il faut résoudre l'équation $\mathcal{A} = 7$, c'est-à-dire 
$0,7x^2 = 7$.

Il vient, en divisant chaque membre de l'équation par $0,7$ : $x^2
  = 10$.

Cette équation a deux solutions : $\sqrt{10}$ et $-\sqrt{10}$.

Mais $x$ est un nombre positif (puisque $x$ est une longueur) donc
on a nécessairement : 
\begin{align*}
x & = \sqrt{10} \quad \text{(valeur exacte)}\\
  & \approx 3,2 \quad \text{(valeur arrondie au mm près).}
\end{align*}

Il faut donc placer M à environ $3,2$~cm de A pour que l'aire de AMN 
soit de 7~cm$^2$.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX16

\begin{exo}{Le garage}{Collège Chaptal, Paris}{1}{8}
 En se retournant lors d'une marche arrière pour garer sa voiture 
dans son garage, M. Tuc ne voit pas complètement la zone située 
derrière la voiture.

Sur le schéma, la zone rouge correspond à ce que M. Tuc ne voit pas 
lorsqu'il regarde en arrière.
\begin{center}
 \includegraphics{241_10n_exo16}
\end{center}
\textit{Données :} 
\begin{itemize}
 \item $\text{KL} = 1,40~\text{m}$ ;
 \item $\text{PQ} = 
1,10~\text{m}$ ;
 \item $\text{JK} = 5~\text{m}$.

\end{itemize}


\begin{questions}
 \item Montrer que la longueur JL est égale à $4,8$~m.
 \item Calculer la longueur QL en arrondissant au centimètre près.
 \item La fille de M. Tuc qui mesure $1,10$ m passe derrière la 
voiture à $90$ centimètres de celle-ci. Son père peut-il la voir ? 
Expliquer.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Le triangle JKL est rectangle en L. On peut donc appliquer le 
théorème de Pythagore. On a alors :

$\begin{aligned}[t]
  \text{JK}^2 & = \text{JL}^2 + \text{KL}^2 \\
  \text{JL}^2 & = 5^2 - 1,4^2 \\
  \text{JL}^2 & = 23,04 \\
  \text{JL} & = \sqrt{23,04} \\
  \text{JL} & = 4,8~\text{m}. \\
 \end{aligned}$
\item Les droites $(\text{QL})$ et $(\text{PK})$ sont sécantes en J ; 
les droites $(\text{PQ})$ et $(\text{KL})$ sont parallèles car elles 
sont perpendiculaires à la même droite $(\text{JL})$. On peut donc 
utiliser le théorème de Thalès.

On a donc :
\[\dfrac{\text{JQ}}{\text{JL}} = \dfrac{\text{JP}}{\text{JK}} = 
\dfrac{\text{PQ}}{\text{KL}}\]
soit :
\[\dfrac{\text{JQ}}{4,8} = \dfrac{\text{JP}}{5} = 
\dfrac{1,1}{1,4}\]
ou encore :
\[\dfrac{\text{JQ}}{4,8} = \dfrac{1,1}{1,4}.\]
On peut donc calculer JQ à l'aide des produits en croix :

$\begin{aligned}[t]
  \text{JQ} & = \dfrac{4,8\times 1,1}{1,4} \\
 \text{JQ} & \approx 3,77~\text{m (arrondi au cm).}
 \end{aligned}$

 $\text{Q} \in [\text{JL}]$ donc $\begin{aligned}[t]
                                   \text{JL} & = \text{JQ} + 
\text{QL} \\
4,8 & \approx 3,77 + \text{QL} \\
\text{QL} & \approx 1,03~\text{m}.
                                  \end{aligned}$
                                  
La longueur QL vaut donc environ $1,03$ m.
\item Si sa fille était placée en Q, elle ne serait pas dans le champ 
de vision de son père car le haut de sa tête serait en P.

Dans le cas présent, elle est à $90$ cm ($0,9$~m) de l'arrière de la 
voiture. Elle est plus proche de la voiture que si elle était en Q 
(car $0,9 < 1,03$) donc le haut de sa tête est dans la zone rouge et 
son père ne peut pas la voir !
 \end{questions}

\end{corrige}

%% EX17

\begin{exo}{Le skatepark (tâche complexe)}{Extrait du DNB 2016, 
Métropole}{3}{20}
\Par 

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
La figure PRC ci-contre représente un terrain appartenant
à une commune.

Les points P, A et R sont alignés.

Les points P, S et C sont alignés.

\mbox{Il est prévu d'aménager sur ce terrain :}
\begin{itemize}
\item une « zone de jeux pour enfants » sur la partie PAS ;
\item un « skatepark » sur la partie RASC.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics{242_09_21}
\end{minipage}

On connaît les dimensions suivantes :
\begin{itemize}
 \item $\text{PA} = 30$~m ;
 \item $\text{AR} = 10$~m ;
 \item $\text{AS} = 18$~m.
\end{itemize}
\begin{questions}
\item La commune souhaite semer du gazon sur la « zone de jeux pour 
enfants ». Elle décide d'acheter des sacs de 5 kg de mélange de 
graines pour gazon à 13,90 \euro{} l'unité. Chaque sac permet de 
couvrir une surface d'environ 140 m$^2$.

Quel budget doit prévoir cette commune pour pouvoir semer du gazon sur 
la totalité de la « zone de jeux pour enfants » ?

\item Calculer l'aire du « skatepark ».
\end{questions}
\end{exo}

% EX12corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Dans cette question, on demande de calculer un budget qui est 
directement lié à la surface de la \og zone de jeux pour enfants \fg.
\[
\rm \dfrac{PA \times AS}{2}=\dfrac{30\times18}{2}=30\times9=270.
\]
L'aire du triangle PAS est donc égale à 270 m$^2$.

Un sac peut couvrir 140 m$^2$ donc deux sacs seront nécessaires et 
suffisants pour couvrir la zone de jeux pour enfants (car 
$2\times140=280$ et $280>270$). Un sac coûte 13,90 \euro.
\[
2\times13,90=27,80.
\]
La commune doit donc prévoir un budget de 27,80 \euro{} pour pouvoir 
semer du gazon sur la totalité de la zone de jeux pour enfants.

\item Les droites $(\text{AR})$ et $(\text{SC})$ sont sécantes en P. 

De plus, les droites $(\text{AS})$ et $(\text{RC})$ sont parallèles 
car elles sont perpendiculaires à la même droite $(\text{RP})$. On 
peut donc appliquer le théorème de Thalès.
On a donc : $\dfrac{\text{PA}}{\text{PR}} = \dfrac{\text{PS}}{\text{PC}} = \dfrac{\text{AS}}{\text{RC}}$, soit 
$\dfrac{30}{30+10} = \dfrac{\text{PS}}{\text{PC}} = \dfrac{18}{\text{RC}}$, \linebreak

donc : $\dfrac{30}{40} = \dfrac{18}{\text{RC}}$.

\Par 

À l'aide de l'égalité des produits en croix, on déduit que :
\[
\rm RC=\dfrac{18\times40}{30}=24.
\]
Ainsi, l'aire du triangle PRC est : 
\[
\dfrac{\rm PR\times 
RC}{2}=\dfrac{40\times24}{2}=20\times24=480~\text{m}^2.
\]
L'aire de RASC s'obtient en soustrayant l'aire de PAS à l'aire de PRC.
\[
480-270=210.
\]
L'aire du \og skatepark \fg{} est donc égale à 210 m$^2$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}


%% EX18

\begin{exo}{Tipi indien (t\^ache complexe)}{Collège Jules Vallès, 
Saint-Leu-d'Esserent}{2}{20}

Sitting Bull, grand chef indien d'Amérique du Nord, veut coiffer le 
haut des perches de son tipi d'un chapeau de plumes symbolisant sa 
puissance.

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-35mm}
Son tipi est constitué de perches de 27 pieds de longueur appuyées les 
unes aux autres, recouverte d'une enveloppe faite de peaux d'animaux. 
Chaque perche dépasse de 3 pieds le sommet du tipi. La porte du tipi 
est, comme le veut la tradition, orientée vers l'Est. Le rayon du 
cercle tracé au sol par les perches est de 10 pieds.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{30mm}
\includegraphics{242_09_16}
\end{minipage}

\Par

Quel doit \^etre le diamètre du chapeau de plumes de Sitting Bull ? 
Expliquer la démarche par un texte présentant vos calculs et vos 
arguments.
\end{exo}

% EX10corr

\begin{corrige}
\begin{methode}
Penser à représenter la situation par un schéma !
\end{methode}

Représentons une \og coupe \fg{} du tipi de Sitting Bull :

\begin{center}
\includegraphics{258_09_17}
\end{center}

Sur le schéma précédent :

\begin{itemize}
\item O est le milieu de [AB] ;
\item ASB représente la partie du tipi recouverte par l'enveloppe en 
peaux ;
\item $[$SD$]$ et [SC] sont les parties respectives des tiges [AD] et 
[BC] qui dépassent du sommet S du tipi.
\end{itemize}

Le schéma doit vous faire penser au théorème de Thalès.

Comme chaque perche mesure 27 pieds, on a :
\[ \text{AD} = \text{BC} = 27.\]

De plus, chaque perche dépasse de 3 pieds donc :
\[ \text{SC} = \text{SD} =3\]
et
\[ \text{AS} = \text{BS} = 27-3=24.\]
[AS] et [BS] mesurent 24 pieds.

\par

D'après l'énoncé, le rayon du cercle tracé au sol est de 10 pieds donc 
:
\[ \text{AO}=\text{OB}=10\]
et
\[ \text{AB}=2\times10=20.\]
[AB] mesure 20 pieds.

On peut alors indiquer ces mesures sur le schéma :

\begin{center}
\includegraphics{259_09_18}
\end{center}

On cherche à calculer la longueur CD.

Pour cela, commençons par justifier que (CD) est parallèle à (AB).

En effet, on sait que A, S et D d'une part, B, S et C d'autre part 
sont respectivement alignés dans le m\^eme ordre et que :
\[ 
\dfrac{\text{SC}}{\text{SB}}=\dfrac{\text{SD}}{\text{SA}}=\dfrac{3}{24
}.\]
Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, on a bien :
\[ (\text{CD})~~//~~(\text{AB}).\]
On peut donc utiliser le théorème de Thalès pour calculer CD :
\[
\dfrac{\text{SC}}{\text{SB}}=\dfrac{\text{SD}}{\text{SA}}=\dfrac{\text
{CD}}{\text{AB}}\]
soit :
\[
\dfrac{3}{24}=\dfrac{3}{24}=\dfrac{\text{CD}}{20}.\]
On en déduit :
\[ 
\text{CD}=\dfrac{3\times20}{24}=\dfrac{3\times4\times5}{
3\times4\times2}=\dfrac{5}{2}=2,5.\]

Ainsi, [CD] mesure 2,5 pieds.

\Par

Le diamètre du chapeau de plumes doit \^etre de 2,5 pieds.

\begin{Remarque}
une recherche personnelle permet de convertir cette mesure en 
centimètre.

1 pied correspond environ à 30,47 cm, donc le chapeau de plumes doit 
avoir un diamètre d'environ 76 cm.
\end{Remarque}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
