\setcounter{chapter}{10}
\chapter{Trigonom�trie}
\label{chap:trigonometrie}

\begin{exointro}{Coll�ge Paul Bert, Chatou}
Dans le triangle ABC ci-dessous, [AH] est la hauteur issue de A.

On donne $\rm AH = 5$ cm, $\rm AB = 8$ cm et $\rm \widehat{ACH} = 51\degres$. 

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{265_11_01}%[scale=0.8]
\end{center}

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item D�terminer la valeur, arrondie au dixi�me de degr�, de 
l'angle $\widehat{\rm HBA}$.
\item Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifier votre r�ponse. 
\end{questions}
\item Calculer la valeur arrondie au mm pr�s de HB.
\item Calculer la valeur arrondie au mm pr�s de CH.
\end{questions}
\vspace*{-2em}
\end{exointro}

\section{Vocabulaire dans un triangle rectangle}

Dans un triangle rectangle, le c�t� oppos� � l'angle droit s'appelle 
l'\emph{hypot�nuse}. C'est le plus grand c�t� du triangle.

\Par

Si l'on consid�re un des deux angles aigus du triangle, les autres 
c�t�s du triangle rectangle s'appellent :
\begin{itemize}
\item le \emph{c�t� adjacent} � cet angle ;
\item le \emph{c�t� oppos�} � cet angle.
\end{itemize}

\begin{Exemple}
on consid�re le triangle ABC rectangle en A.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{264_11n_01}
\end{center}
\end{Exemple}

\begin{Remarques}
On aurait pu choisir l'angle $\widehat{\text{C}}$ qui est aussi un 
angle aigu. Dans ce cas :
\begin{itemize}
\item le c�t� adjacent � l'angle $\widehat{\text{C}}$ est 
$[\text{AC}]$ ;
\item le c�t� oppos� � l'angle $\widehat{\text{C}}$ est $[\text{AB}]$.
\end{itemize}
\end{Remarques}

\begin{defin}[angles compl�mentaires (rappel)]
On dit que deux angles sont \emph{compl�mentaires} lorsque leur somme 
est �gale � $90\degres$.
\end{defin}

\begin{Remarque}
Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont compl�mentaires. En 
effet, la somme des angles dans un triangle �tant �gale � 
$180\degres$ et l'angle droit ayant pour mesure $90\degres$, la somme 
des deux angles restants vaut $90\degres$.

Dans l'exemple ci-dessus, les angles $\widehat{\text{B}}$ et 
$\widehat{\text{C}}$ sont compl�mentaires. On a donc :
\[\widehat{\text{B}} + \widehat{\text{C}} = 90\degres.\]
Cette �galit� permet de trouver rapidement la valeur de l'un lorsque 
l'on conna�t l'autre.
\end{Remarque}

\section{Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu}

\begin{defins}[cosinus, sinus et tangente]
Dans un triangle rectangle:
\begin{itemize}
\item le \textit{cosinus} d'un angle aigu $x$ est : $\cos x = 
\dfrac{\text{c�t� adjacent � $x$}}{\text{hypot�nuse}}$ ;
\item le \textit{sinus} d'un angle aigu $x$ est : $\sin x = 
\dfrac{\text{c�t� oppos� � $x$}}{\text{hypot�nuse}}$ ;
\item la \textit{tangente} d'un angle aigu $x$ est : $\tan x = 
\dfrac{\text{c�t� oppos� � $x$}}{\text{c�t� adjacent � $x$}}$.
\end{itemize}
\end{defins}


\begin{Exemple}
on consid�re le triangle EFG rectangle en E.

\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{263_11n_02}
\end{center}


On a donc :
\begin{align*}
\cos \widehat{\text{F}} & = \dfrac{\text{c�t� adjacent � 
$\widehat{\text{F}}$}}{\text{hypot�nuse}} = 
\dfrac{\text{FE}}{\text{FG}} = \dfrac{3}{5} = 0,6 \; ; \\
\sin \widehat{\text{F}} & = \dfrac{\text{c�t� oppos� � 
$\widehat{\text{F}}$}}{\text{hypot�nuse}} = 
\dfrac{\text{EG}}{\text{FG}} = \dfrac{4}{5} = 
0,8 \; ; \\
\tan \widehat{\text{F}}& = \dfrac{\text{c�t� oppos� � 
$\widehat{\text{F}}$}}{\text{c�t� adjacent � $\widehat{\text{F}}$}} = 
\dfrac{\text{EG}}{\text{FE}} = \dfrac{4}{3}
\end{align*}
\end{Exemple}

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu sont des 
rapports de longueurs. Il s'agit donc de \emph{nombres positifs} qui 
s'expriment sans unit�.
\item Le cosinus et le sinus d'un angle aigu s'obtiennent en divisant 
un c�t� par l'hypot�nuse, qui est le plus grand c�t� du triangle 
rectangle. Ce sont donc des \emph{nombres inf�rieurs} � $1$.
\end{itemize}
Ainsi, pour tout angle aigu $x$, on a :
\[0 \leqslant \cos x \leqslant 1 \; ; \; 0 \leqslant \sin x \leqslant 1 \; ; \; \tan x \geqslant 0.\]
\end{Remarques}

\section{Propri�t�s}

\begin{prop}
Le cosinus d'un angle aigu est �gal au sinus de son compl�mentaire.
\[\cos x = \sin(90\degres-x).\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
$\cos 20\degres = \sin(90\degres-20\degres)= \sin 70\degres$.
\end{Exemple}

\begin{anecdote}
Le \og co\fg{} du mot cosinus vient du mot \textit{co}mpl�mentaire.
\end{anecdote}

Reprenons en effet le triangle ABC \hbox{rectangle} en A, dans lequel 
les 
angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$ sont 
compl�mentaires.

\begin{center}
\includegraphics{264_11n_01}
\end{center}

On a :
\[\cos \widehat{\text{B}} = \dfrac{\text{c�t� adjacent 
� $\widehat{\text{B}}$}}{\text{hypot�nuse}} 
= \dfrac{\text{c�t� 
oppos� 
� 
$\widehat{\text{C}}$}}{\text{hypot�nuse}} = \sin \widehat{\text{C}}. 
\]







\begin{prop}
Pour tout angle aigu $x$, on a :
\begin{itemize}
\item $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$ ;
\item $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
\end{itemize}
\end{prop}

Ces deux formules sont d�montr�es dans l'exercice 
\ref{ch11exo7deuxpropr} page \pageref{ch11exo7deuxpropr}


\section{Utilisation de la calculatrice}
\label{sec-util-calc}


\begin{attention}
V�rifier que votre calculatrice soit en mode \emph{degr�s}, sinon elle affichera des r�sultats incorrects.

En effet, il existe d'autres unit�s que le degr� (le \emph{radian} ou le \emph{grade}).
\end{attention}

Les calculatrices \og coll�ge\fg{} sont programm�es pour :
\begin{itemize}
\item donner la valeur approch�e du cosinus, du sinus ou de la 
tangente de n'importe quel angle de mesure donn�e � l'aide des 
touches \T{COS}, \T{SIN} et \T{TAN} ;
\item donner la valeur approch�e de l'angle aigu qui a pour cosinus, 
pour sinus ou pour tangente un nombre donn� � l'aide des touches 
\T{ACOS}, \T{ASIN} et \T{ATAN} ou \Tm{COS^{-1}}, \Tm{SIN^{-1}} et 
\Tm{TAN^{-1}}. Ces touches sont en g�n�ral les m�mes que les touches 
\T{COS}, \T{SIN} et \T{TAN} mais on y fait appel en appuyant d'abord 
sur la touche \T{SECONDE} ou \T{SHIFT} de la calculatrice.
\end{itemize}

\textit{Exemples :}

Pour calculer $\cos 30\degres$, on tape successivement sur la touche 
\T{COS}, puis sur $30$ et enfin sur \T{EXE} (ou \T{ENTER}). La 
calculatrice affiche alors une valeur approch�e de $\cos 30\degres$ : 
$\cos 30\degres \approx 0,87$ (arrondi au centi�me pr�s).

\Par

Pour calculer la mesure d'un angle lorsque l'on conna�t son sinus, 
comme dans l'exemple du paragraphe 2 dans lequel on a 
$\sin\widehat{\text{F}} = 0,8$ ; on tape successivement sur les 
touches \T{SECONDE} (ou \T{SHIFT}) puis \T{SIN}, puis sur $0,8$ et 
enfin sur \T{EXE} (ou \T{ENTER}). La calculatrice affiche alors une 
valeur approch�e de l'angle $\widehat{\text{F}}$ cherch� : 
$\widehat{\text{F}} \approx 53\degres$ (arrondi au d�gr�).

\enlargethispage{5em}

\begin{aretenir}
Pour tout angle aigu $x$ d'un triangle rectangle, on a :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}p{4cm}|>{
\centering\arraybackslash}p{4cm}|} \hline
\rule[-1.2em]{0pt}{3em} $\cos x = \dfrac{\text{c�t� adjacent � 
$x$}}{\text{hypot�nuse}}$ & $\sin x = \dfrac{\text{c�t� oppos� � 
$x$}}{\text{hypot�nuse}}$ \\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{\rule[-1.2em]{0pt}{3em} $\tan x = 
\dfrac{\text{c�t� oppos� � $x$}}{\text{c�t� adjacent � 
$x$}} = \dfrac{\sin x}{\cos x}$} \\ \hline
\rule[-1.2em]{0pt}{3em} $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$ & $\cos x = 
\sin(90\degres-x)$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
% 
% \begin{tabular}{|*3{>{\centering\arraybackslash}m{0.3\linewidth}|}}
% \hline
% \rule[-2.5ex]{0pt}{7ex}$\rm\cos x=\dfrac{\text{c�t� adj. 
% � $x$}}{\text{hypot�nuse}} $
% &
% \rule[-2.5ex]{0pt}{7ex}$\rm\sin x=\dfrac{\text{c�t� opp. 
% � $x$}}{\text{hypot�nuse}}$
% &
% \rule[-2.5ex]{0pt}{7ex}$\rm\tan x=\dfrac{\text{c�t� opp. 
% � $x$}}{\text{c�t� adj. 
% � $x$}}$\\
% \hline
% \end{tabular}
% 
% \Par
% 
% Ces trois formules vont nous permettre de calculer :
% \begin{itemize}
% \item un angle aigu dans un triangle rectangle lorsque l'on conna�t 
% les longueurs de deux c�t�s ;
% \item la longueur d'un c�t� d'un triangle rectangle lorsque l'on 
% conna�t un angle aigu.
% \end{itemize}
\end{aretenir}


\Par

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item 
\begin{methode}
Quand il est demand� de calculer la valeur d'un angle aigu dans
un triangle rectangle, il faut penser aux formules de
trigonom�trie. Ensuite, il faut d�terminer les longueurs qui
sont donn�es par l'�nonc� et caract�riser de quels c�t�s il
s'agit par rapport � l'angle cherch�.

\Par

Ici, on cherche la valeur de $\widehat{\rm HBA}$ et on
conna�t les longueurs des c�t�s [BA] et [AH] dans le triangle
ABH rectangle en H. Ces c�t�s sont respectivement l'hypot�nuse et le 
c�t� oppos� � l'angle $\widehat{\rm HBA}$. Or la formule qui fait 
intervenir l'hypot�nuse et le c�t� oppos� est la formule du sinus. 
C'est donc le sinus de l'angle $\widehat{\rm HBA}$ que nous allons 
calculer. Nous en d�duirons ensuite, � l'aide de la calculatrice, la 
valeur de l'angle $\widehat{\rm HBA}$.
\end{methode}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{265_11_01}
\end{center}

\BreakWithoutItem

Dans le triangle HBA rectangle en H :
\[
\rm\sin \widehat{HBA} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{5}{8} = 0,625.
\]

On en d�duit � l'aide de la calculatrice que $\rm\widehat{HBA}
\approx 38,7\degres$.

\item On sait que dans le triangle ABC, $\rm\widehat{CBA} =
\widehat{HBA} \approx 38,7\degres$ et que $\widehat{\rm ACB} = 51\degres$. Or la somme des angles d'un triangle vaut 180\degres.

Donc $\widehat{\rm BAC} \approx 180 - (51 + 38,7) \approx
90,3\degres$.

Ainsi, le triangle ABC n'est pas rectangle en A.
\end{questions}

\item Dans le triangle AHB rectangle en H, on sait que $\rm AB = 8$ cm et que $\rm AH = 5$ cm. Donc, d'apr�s le th�or�me de Pythagore :
\[
\rm  BH^2 =\rm AB^2 - AH^2 = 8^2 - 5^2 = 64 - 25 = 39.
\]
On en d�duit : $\rm BH = \sqrt{39} \approx 6,2$.

Ainsi, $\rm BH \approx 6,2$ cm (au mm pr�s).

\textit{Remarque :}
pour calculer BH, on aurait aussi pu utiliser une formule de
trigonom�trie dans le triangle ABH rectangle en H. En effet,
on conna�t la valeur de $\widehat{\rm HBA}$ et de la longueur du c�t� 
[BA]. La formule du cosinus de $\widehat{\rm HBA}$ nous m�nerait au  
calcul de BH. Cependant, cette m�thode est moins pr�cise que celle que 
nous avons utilis�e car nous ne connaissons qu'une valeur 
\emph{arrondie} de $\widehat{\rm HBA}$.
\item 
\begin{methode}
Dans le triangle $\text{AHC}$ rectangle en $\text{H}$ 
on conna�t la valeur de 
l'angle $\widehat{\rm ACH}$, la longueur du c�t� oppos� �
$\widehat{\rm ACH}$ ($\rm AH = 5$ cm) et on cherche la longueur du
c�t� adjacent � $\widehat{\rm ACH}$. La formule de trigonom�trie qui 
fait intervenir les longueurs des c�t�s oppos� et adjacent �tant la 
formule de la tangente d'un angle, on va exprimer $\tan \widehat{\rm 
ACH}$.
\end{methode}

Dans le triangle ACH rectangle en H : $\rm \tan \widehat{ACH} 
=
\dfrac{AH}{HC}$.
\enlargethispage*{2em}
On remplace dans cette �galit� les grandeurs connues par leurs
valeurs : 
\[
\tan 51\degres{}  = \dfrac{5}{\rm HC}\;,
\]
d'o�, � l'aide de l'�galit� des produits en croix:
\[
\rm  HC = \dfrac{5}{\tan 51\degres}.
\]
Le calcul, fait � l'aide de la calculatrice, nous donne $\text{HC}
\approx 4$ cm (au mm pr�s).
\end{questions}
\end{solintro}


