\thumb

%% EX1

\begin{qcm}{Vérification des connaissances}{2}
Pour chacune des  propositions, choisir la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée. L'utilisation d'une calculatrice est déconseillée  si vous voulez vérifier votre seule maîtrise des connaissances du cours !

\begin{questions}
\item Dans un triangle EFG rectangle en F, le côté adjacent  à $\widehat{\rm E}$ est :
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{[EF]} & \choix{[EG]}
\end{tabularx}
 

\item Dans le triangle MNO ci-dessous, $\rm \cos \widehat{M} =\dfrac{MO}{MN}$\resetchoix
\begin{center}
\includegraphics{267_11_03}
\end{center}
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{Vrai}&  \choix{Faux}
  \end{tabularx}

\item{Sur une copie, un élève a écrit $\cos x = 1,2$ :} 
\resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
  \choix & Il peut calculer $x$ à l'aide de la calculatrice.\\[6pt]
  \choix & Il ne peut pas calculer $x$.
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

% QCM1corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. Dans un triangle EFG rectangle en F, le côté adjacent à $\widehat{\rm E}$ est [EF].

En effet, le côté adjacent à $\widehat{\rm E}$ est celui qui relie le sommet E et le sommet de l'angle droit : F.

\item \label{qcm-12-questb} Réponse \choix[b] : \emph{faux}. En effet, $\rm \cos\widehat{M}=\dfrac{MO}{MN}$ uniquement si OMN est un triangle rectangle en O, ce qui n'est pas précisé dans l'énoncé.
\begin{attention}
Dès que l'on souhaite utiliser une propriété, on doit savoir si on en 
a le droit. Ainsi, si l'on souhaite utiliser une formule de 
trigonométrie du cours, il est nécessaire de vérifier avant tout que 
le triangle est rectangle.
\end{attention}  

\item Réponse \choix[b]. Si $\cos x = 1,2$ on ne peut pas calculer $x$.

\begin{attention}
Le cosinus d'un angle est un nombre nécessairement inférieur à
1. Il ne peut pas être égal à $1,2$. Si vous essayez malgré tout
d'utiliser la touche {\Tacos} ou {\TAcos} de votre calculatrice, celle-ci vous affichera un message d'erreur.
\end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}

% EX2

\begin{qcm}{Calculs trigonométriques}{10}
Pour chacune des propositions, choisir la ou les réponse(s) possible(s). Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item Dans le triangle ci-dessous (tracé à main levée) :
\begin{center}
\includegraphics{267_11_04}
\end{center}
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$\sin \widehat{\rm C} = \dfrac{3}{4}$}&
  \choix{$\sin \widehat{\rm C} = \dfrac{3}{5}$}\\[6pt]
  \multicolumn{2}{@{}l@{}}{\choix{Il n'est pas possible de calculer $\sin \widehat{\rm C}$}}
  \end{tabularx}

\newpage

  \item{Dans la figure suivante :
    \begin{center}
      \includegraphics[scale=0.9]{268_11_05}
    \end{center}
  } \resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$\cos \widehat{\rm G} = \dfrac{12}{13}$}&
  \choix{$\cos \widehat{\rm G} = \dfrac{11}{12}$}\\[6pt]
\multicolumn{2}{@{}l@{}}{\choix{Il n'est pas possible de calculer $\cos \widehat{\rm G}$}}
\end{tabularx}

  \item{Dans la figure de la question 2,} \resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$\cos \widehat{\rm FEG} = \sin \widehat{\rm EGF}$}&
  \choix{$\cos \widehat{\rm FEG} = \sin \widehat{\rm GEF}$}\\[6pt]
  \choix{$\cos \widehat{\rm FEG} = \sin \widehat{\rm EFH}$}
  \end{tabularx}

  \item{Dans la figure ci-dessous :
    \begin{center}
      \includegraphics[scale=0.9]{268_11_06}
    \end{center}
  } \resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$\cos \widehat{\rm J} \approx 0,53$}&
  \choix{$\sin \widehat{\rm J} \approx 0,53$}\\[6pt]
  \multicolumn{2}{@{}l@{}}{ \choix{Il est impossible de calculer $\cos \widehat{\rm J}$ et $\sin \widehat{\rm J}$} }
  \end{tabularx}
  

  \item{Dans la figure de la question 4,} \resetchoix
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{$\rm IJ \approx 5,9$~cm}&
  \choix{$\rm IJ \approx 3,7$~cm}\\[6pt]
  \choix{$\rm IJ \approx 4,3$~cm}
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Réponse \choix[b]. Dans le triangle ABC, $\sin \widehat{\rm C} = \dfrac{3}{5}$.
 
En effet, ici, au contraire de la question~\ref{qcm-12-questb} du QCM précédent, on peut démontrer que le triangle ABC est bien rectangle en B :

Dans ce triangle ABC, on sait que $\rm AB = 3$, $\rm AC = 5$ et que $\rm BC = 4$.

Donc $\rm AB^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = AC^2$.

On en déduit, d'après la réciproque du théorème de Pythagore que
ABC est rectangle en B. On peut alors exprimer dans ce triangle le 
sinus de l'angle
$\widehat{\rm C}$ : 
\[
\rm \sin \widehat{C} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{5}.
\]

\item Réponse \choix[a]. $\cos \widehat{\rm G} = \dfrac{12}{13}$.

Dans la figure proposée, on a deux possibilités pour exprimer $\cos \widehat{\rm G}$: 
  \begin{itemize}
  \item soit on se place dans le triangle FGH rectangle en H,
  \item soit on se place dans le triangle EFG rectangle en F.
  \end{itemize}

  Dans le triangle FGH, $\rm \cos \widehat{G} = \dfrac{GH}{FG} = \dfrac{GH}{12}$ mais on ne connaît pas la valeur de GH\ldots{}

  Dans le triangle EFG, $\rm\cos \widehat{G} = \dfrac{FG}{EG} = \dfrac{12}{EG}$  mais on ne connaît pas la valeur de EG\ldots{}

  Il est donc \textit{a priori} impossible de calculer $\cos
  \widehat{\rm G}$\ldots{} mais en observant la figure, on se rend compte qu'on connaît les longueurs de deux côtés du triangle EFG rectangle en F : on peut donc calculer la longueur du troisième côté en utilisant le théorème de Pythagore : 
  \[
\rm  EG^2 = EF^2 + FG^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\;,
  \]
  donc $\rm EG = \sqrt{169} = 13$ et on a alors $\cos \widehat{\rm G} = \dfrac{12}{13}$.

\begin{Remarque}
si vous avez choisi la réponse \choix[b], c'est peut être que vous avez tracé la figure et mesuré la longueur GH\ldots{} Car en effet, $\rm GH\approx 11$. Mais les mesures sont souvent imprécises ! Démontrons que $\rm GH \neq 11$ :

On a vu que dans le triangle EFG, $\cos \widehat{\rm G}=\dfrac{12}{13}$.

Mais en exprimant $\cos \widehat{\rm G}$ dans FGH, on avait
déterminé : \[\cos \widehat{\rm G} = \dfrac{\rm GH}{12}.\]

Donc $\rm GH = 12 \times \cos \widehat{G} = 12 \times \dfrac{12}{13} = \dfrac{144}{13} \approx 11,08$. On a bien $\dfrac{144}{13} \neq 11$ et $\cos \widehat{\rm G} \neq \dfrac{11}{12}$.
\end{Remarque}

\item \label{qcm-12-quest2c} Réponses \choix[a] et \choix[c]. $\rm\cos \widehat{FEG} = \sin \widehat{EGF}$
  et $\rm\cos \widehat{FEG} = \sin \widehat{EFH}$.
\begin{itemize}
\item Dans le triangle EFG rectangle en F, $\rm\cos \widehat{FEG} = \dfrac{EF}{EG} = \sin \widehat{EGF}$.
\item Dans le triangle EFH rectangle en H, \[\rm\cos \widehat{FEG} = \cos \widehat{FEH} = \dfrac{EH}{EF} = \sin \widehat{EFH}.\]
\item En revanche, dans le triangle EFG rectangle en F \[\rm\cos
  \widehat{FEG} = \dfrac{EF}{EG} = \dfrac{5}{13}\] et $\rm\sin 
\widehat{GEF} = \dfrac{FG}{EG} = \dfrac{12}{13}$ donc $\rm\cos 
\widehat{FEG} \neq \sin \widehat{EFH}$.
\end{itemize}
  
\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Pour les réponses \choix[a] et \choix[c], on aurait pu utiliser 
la formule $\cos x~=~\sin(90-x)$ car les angles 
$\widehat{\text{FEG}}$ et $\widehat{\text{EGF}}$ sont 
complémentaires (angles aigus du triangle rectangle EFG), et les 
angles $\widehat{\text{FEG}}$ et $\widehat{\text{EFH}}$ le sont aussi 
(dans le triangle FEH).

\item Le seul angle aigu dont le cosinus et le sinus sont égaux
est l'angle de 45\degres. Sachant cela, nous aurions pu justifier plus rapidement que la réponse \choix[b] est fausse. En effet, dans la réponse \choix[b], on considère le cosinus et le sinus du même angle de sommet E.  

Or $\widehat{\rm E} \neq 45\degres$. En effet, si on avait $\widehat{\rm E} = 45\degres$ alors, on aurait nécessairement
$\widehat{\rm G} = 45\degres$ et le triangle EFG serait
isocèle en F, ce qui n'est pas le cas.
\end{itemize}
\end{Remarques}

\item  Réponse \choix[a]. $\cos \widehat{\rm J} \approx 0,53$.

On sait que dans le triangle IJK rectangle en I, $\widehat{\rm K} =32\degres$.

Les angles $\widehat{\text{J}}$ et $\widehat{\text{K}}$ sont 
complémentaires donc $\widehat{\text{J}} = 90-32 = 58\degres$.

Il vient $\cos \widehat{\rm J} \approx 0,53$ et $\sin \widehat{\rm J}\approx 0,84$.

\item Réponse \choix[b]. $\rm IJ \approx 3,7$~cm.

Dans le triangle IJK rectangle en I, $\rm \sin \widehat{K} =
  \dfrac{IJ}{JK}$ c'est-à-dire \\$\rm\sin 32\degres = \dfrac{IJ}{7}$ donc $\rm IJ = 7 \times \sin 32\degres \approx 3,7~\text{cm}$.
\end{questions}
\end{corrige}


% EX3

\begin{exo}{Calculs}{Collège Chaptal, Paris}{1}{12}
 Les questions suivantes sont indépendantes.
 \begin{questions}
  \item Le triangle ABC est rectangle en B et on a : 
$\widehat{\text{BAC}} = 28\degres$ et $\text{AC} = 5$~cm.

Calculer BC en arrondissant au centième près.
\item Le triangle DEF est rectangle en E et on a : $\text{DE} = 
4,5$~cm et \linebreak $\text{DF} = 6,7$~cm.

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{EDF}}$ arrondie au 
degré près.
\item Le triangle GHI est rectangle en H et on a : 
$\widehat{\text{HGI}} = 41\degres$ et $\text{HI} = 4,6$~cm.

Calculer GH en arrondissant au millimètre près.
 \end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{methode}
  Penser à tracer une figure à main levée pour chaque question, même 
si cela n'est pas demandé.
 \end{methode}

 \begin{questions}
  \item Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît l'hypoténuse 
et on cherche le côté opposé à l'angle $\widehat{\text{A}}$, on pense 
donc à utiliser la formule du sinus.

\begin{minipage}[b]{65mm}
$\sin\widehat{\text{A}}  = \dfrac{\text{côté opposé à l'angle }\widehat{\text{A}}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}}$

\Par

donc $\sin 28\degres = \dfrac{\text{BC}}{5}$.

\Par 

\`A l'aide de l'égalité des produits en croix, on obtient :

$\begin{aligned}[t]
 \text{BC} & = 5\times \sin 28\degres \\
 \text{BC} & \approx 2,35\text{ cm (arrondi au centième près).}
 \end{aligned}$
\end{minipage}\hfill \includegraphics{276_11n_exo03_corr-01}
  \item Dans le triangle DEF rectangle en E, on connaît l'hypoténuse 
et le côté adjacent à l'angle $\widehat{\text{D}}$, on pense donc à 
utiliser la formule du cosinus.

\Par

\begin{minipage}[b]{6cm}

$\begin{aligned}[t]
 \cos\widehat{\text{D}}&  = \dfrac{\text{côté adjacent à l'angle } 
\widehat{\text{D}}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{DF}} 
\\
\cos\widehat{\text{D}}&  = \dfrac{4,5}{6,7}.
\end{aligned}$

\`A l'aide de la calculatrice, on obtient~: 

$\widehat{\text{EDF}} \approx 48\degres$ (arrondi au degré près).
\end{minipage}\hfill 
\raisebox{-5mm}{\includegraphics{277_11n_exo03_corr-02}}




  \item Dans le triangle GHI rectangle en H, on connaît le côté 
opposé 
et on cherche le côté adjacent à l'angle $\widehat{\text{G}}$, on 
pense 
donc à utiliser la formule de la tangente.

\begin{minipage}[b]{6cm}
$\begin{aligned}[t]
 \tan\widehat{\text{G}}&  = \dfrac{\text{côté opposé à l'angle } 
\widehat{\text{G}}}{\text{côté adjacent à l'angle } 
\widehat{\text{G}}} = \dfrac{\text{HI}}{\text{GH}} 
\\
\tan 41\degres & = \dfrac{4,6}{\text{GH}} \\
\text{GH} \times \tan 41\degres & = 4,6 \\
\text{GH} & = \dfrac{4,6}{\tan 41\degres} \\
\end{aligned}$
\text{}
\end{minipage}\hspace{1cm}
\includegraphics{277_11n_exo03_corr-03}


On obtient alors $\text{GH} \approx 5,3\text{ cm (arrondi au millimètre 
près)}
$.
\end{questions}

\begin{methode}[moyen mnémotechnique]
\textbf{\og CAH SOH TOA \fg{}} est un acronyme formé des initiales :
\begin{itemize}
\item \textcolor{DR}{C}\textcolor{DG}{A}\textcolor{DB}{H} signifie 
que le \textcolor{DR}{C}osinus est le côté \textcolor{DG}{A}djacent 
divisé par l'\textcolor{DB}{H}ypoténuse;

\item \textcolor{DR}{S}\textcolor{DG}{O}\textcolor{DB}{H} signifie 
que le \textcolor{DR}{S}inus est le côté \textcolor{DG}{O}pposé 
divisé 
par l'\textcolor{DB}{H}ypoténuse;

\item \textcolor{DR}{T}\textcolor{DG}{O}\textcolor{DB}{A} signifie 
que la \textcolor{DR}{T}angente est le côté \textcolor{DG}{O}pposé 
divisé par le côté \textcolor{DB}{A}djacent.
\end{itemize}
\end{methode}
\end{corrige}


% 
% % EX4
% 
% \begin{exo}{Calcul de mesures d'angle}{Collège Jean-Jacques Perret, Aix-les-Bains}{1}{4}
% Dans chacun des cas des figures page suivante, calculer une valeur arrondie de $x$ (au degré près si $x$ est un angle ou au 10\ieme{} près si $x$ est une longueur) en appliquant la formule la mieux adaptée. Les figures ci-dessous sont volontairement fausses.
% 
% \begin{minipage}[c]{.33\linewidth}
%  \centering
%  \includegraphics{11_07}
%  figure~1
% \end{minipage}\hfill
% \begin{minipage}[c]{.33\linewidth}
%  \centering
%  \includegraphics{11_08}
%  figure~2  
% \end{minipage}
% 
% \begin{minipage}[c]{.33\linewidth}
%  \centering
%  \includegraphics{11_09}
%  figure~3
% \end{minipage}\hfill
% \begin{minipage}[c]{.33\linewidth}
%  \centering
%  \includegraphics{11_10}
%  figure~4
% \end{minipage}
% \end{exo}
% 
% % EX4corr
% 
% \begin{corrige}
% Dans cet exercice, dans toutes les figures, le triangle est rectangle, on peut donc à chaque fois utiliser une formule de trigonométrie pour calculer $x$ :
% 
% \begin{itemize}
% \item Figure~1 : $\tan x = \dfrac{4}{7} \approx 0,57$ donc $x \approx 30\degres{}$.
% \item Figure~2 : $\sin x = \dfrac{7}{9} \approx 0,78$ donc $x \approx 51\degres{}$.
% \item Figure~3 : $\cos 40\degres{} = \dfrac{35}{x}$ donc $x =
%  \dfrac{35}{\cos 40\degres{}} \approx 45,7$.
% \item Figure~4 : $\sin 53\degres{} = \dfrac{x}{12}$ donc $x = 12  \times \sin 53\degres{} \approx 9,6$.
% \end{itemize}
% 
% 
% \begin{attention}
% La valeur d'un cosinus, d'un sinus ou d'une tangente est rarement un nombre dont la partie décimale est finie. Aussi, pour éviter les erreurs dues aux  arrondis quand on déduit la valeur d'un angle à partir de la valeur de son cosinus, de son sinus ou de sa tangente, il vaut mieux garder le plus possible de chiffres après la virgule (même si on n'en écrit que 2 en général).
% 
% Par exemple ici, dans la figure 1, si on avait écrit : 
% \[
% \tan x  = \dfrac{4}{7} \approx 0,6\] 
% et utilisé cette valeur pour en déduire $x$ à l'aide de la calculatrice, celle-ci nous donnerait une valeur arrondie de $x$ au 100\ieme{} de degré près de  $30,96\degres$. On aurait donc répondu : $x \approx 31\degres$ au lieu de $x \approx 30\degres$\ldots{}
% 
% C'est la raison pour laquelle il vaut mieux garder en mémoire le plus longtemps possible la valeur donnée par la calculatrice pour le sinus, le cosinus ou la tangente.
% 
% Par exemple, pour calculer la valeur de l'angle dont la tangente vaut $\dfrac{4}{7}$, vous tapez d'abord : 4 {\Tdiv{}}7 ~{\Texe} (ou {\Tenter})  
% 
% puis  : {\Tseconde} (ou {\Tshift}) {\Ttan} {\Tans} (ou {\T{REP}}).
% 
% Vous obtiendrez ainsi le résultat le plus précis possible. 
% \end{attention}
% \end{corrige}

% EX4

\begin{exo}{Utilisation de la trigonométrie}{Collège Cocteau, Maisons-Laffitte}{1}{5}
\begin{center}
\includegraphics{269_11_12}
\end{center}
Depuis la surface de la Terre (T), on voit le Soleil sous un angle 
$\widehat{\rm ATB}$ de $0,54\degres$. On prendra comme distance Terre 
-- Soleil arrondie : $\rm TC = \nombre{150000000}~\text{km}$. On admet 
que (TC) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\rm ATB}$.

\begin{questions}
\item Calculer $\widehat{\rm ATC}$.
\item Calculer le rayon AC du Soleil. Donner le résultat arrondi à 
100~km près.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item (TC) est la bissectrice de $\widehat{\rm ATB}$ et on sait que $\widehat{\rm ATB} = 0,54\degres$.
 
Donc $\rm\widehat{ATC} = \dfrac{\widehat{ATB}}{2} = \dfrac{0,54}{2} = 0,27$.

Ainsi, $\widehat{\rm ATC} = 0,27\degres{}$.

\item Dans le triangle TAC rectangle en A, $\rm\sin \widehat{ATC} = \dfrac{AC}{AT}$.

En remplaçant les valeurs connues dans cette égalité, il vient :
  \[
  \sin 0,27\degres{} = \dfrac{\rm AC}{\nombre{150000000}}.
  \]

On en déduit : $\rm AC = \nombre{150000000} \times \sin 0,27\degres\approx \nombre{706900}$.

Le rayon du Soleil est donc d'environ \nombre{706900}~km.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX5

\begin{exo}{Calcul de longueurs}{Collège Roger Martin du Gard, \'Epinay}{2}{14}
On donne la figure suivante qui n'est pas aux vraies grandeurs.

\begin{center}
\includegraphics{269_11_13}
\end{center}

On donne les valeurs suivantes :
\[
\cos 30\degres{} \approx 0,866~; \quad
\sin 30\degres{} = 0,5 ~;\quad
\cos 40\degres{} \approx 0,766~; \quad
\cos 45\degres{} \approx 0,766.
\]

\begin{questions}
\item  Calculer les valeurs approchées de DC, AC et AB au centième de mètre.
\item  Calculer la mesure en degr\'es de l'angle $\widehat{\rm ACB}$.\\
En d\'eduire la nature du triangle ABC.

\item Calculer le périmètre et l'aire du quadrilatère ABCD. Donner les valeurs arrondies au 1/10.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Dans le triangle ACD rectangle en C :
    \[
    \rm \sin \widehat{DAC} =\dfrac{DC}{AD}.\]
    On a :
    \[
    \rm DC=AD\times\sin\widehat{DAC} = 140\times\sin 30\degres =140\times0,5=70\text{ m}\]
    et
    \[\rm \cos\widehat{DAC}=\dfrac{AC}{AD}\]
    donc :
    \[\rm AC=AD\times\cos \widehat{DAC} =140\times\cos30\degres \approx 140\times 0,866\approx121,24 \text{ m}.\]
    Dans le triangle ABC rectangle en A :
    \[\rm \cos{\widehat{CAB}} =\dfrac{AB}{AC}\]
    donc :
    \[\rm 
    AB=CA\times\cos{\widehat{CAB}} \approx 121,24\times\cos{45}\degres\approx85,73 \text{ m}.\]

\item  La somme des trois angles d'un triangle vaut $180\degres$.\\
    Dans le triangle ABC :
    \[\rm\widehat{ABC} +\widehat{BCA} +\widehat{CAB} =180\degres\]
    donc :
    \[\rm\widehat{ACB} =180\degres{} -\widehat{CBA} -\widehat{BAC}
    =180\degres{}-90\degres{}-45\degres{}=45\degres.\]
    Donc le triangle rectangle ABC est isoc\`ele en B.

    \item  Le p\'erim\`etre $\mathcal{P}$ est \'egal \`a $\rm AD+DC+BC+AB$.\\
    Nous avons calcul\'e DC et AB, et comme ABC est isoc\`ele en B :
    \[\rm BC=BA\approx85,73~\mathrm{m}\]
    \[\mathcal{P}\approx 140+70+85,73+85,73\approx381,5\text{ m}\]
    L'aire d'un triangle est donn\'e par la relation :
    \[\text{aire}=\dfrac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}.\]
    L'aire du triangle ABC rectangle en B est donc :
    \[\rm\mathcal{A}_{ABC}= \dfrac{BC\times BA}{2} \approx \dfrac{85,73 \times 85,73}{2}=\nombre{3674,8} \text{ m}^{2}.\]
    L'aire du triangle ACD rectangle en C est donc :
    \[\rm\mathcal{A}_{ACD}= \dfrac{AC\times CD}{2} \approx \dfrac{121,24\times70}{2}\approx\numprint{4243,4}\text{ m}^{2}\]
    L'aire totale $\mathcal{A}$ est la somme des deux aires :
    \[\rm\mathcal{A}=\mathcal{A}_{ABC}+\mathcal{A}_{ACD}\approx\numprint{3675}+\numprint{4243,4}\approx\numprint{7918,2}\text{ m}^{2}.\]
  \end{questions}
\end{corrige}

% EX6

\begin{exo}{Calcul d'aire}{Collège Notre-Dame le Menimur, Vannes}{2}{6}
Soit un triangle CDE isoc\`ele en D de base [CE] et de hauteur [CH].

On donne $\rm CH=5$ cm et $\rm\sin \widehat{CDH}=0,4$.

Calculer l'aire de ce triangle.
\end{exo}

\begin{corrige}
Un schéma rapide permet de visualiser le problème :

\begin{center}
\includegraphics{279_11_11}%[scale=0.7]
\end{center}

On rappelle que l'aire d'un triangle est donn\'ee par la relation :
\[
\text{aire}=\dfrac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}
\]
o\`u la hauteur est celle qui repose sur la base. 

Donc l'aire $\mathcal A$ est \'egale \`a $\rm\dfrac{DE\times 
CH}{2}$.

Il faut calculer DE, mais comme le triangle est isoc\`ele en D, $\rm 
DE=CD$.

Dans le triangle CHD rectangle en H, $\rm\sin \widehat{CDH} 
=\dfrac{CH}{CD}$.

Donc :
\begin{align*}
\rm CD &=\rm\dfrac{CH}{\sin{\widehat{CDH}}} = \dfrac{5}{0,4} 
=12,5\text{ cm} \\
\rm DE &=12,5\text{ cm} \\
\intertext{donc :}
\mathcal A &=\dfrac{12,5\times 5}{2}=31,25\text{ cm}^{2}.
\end{align*}
\end{corrige}

% EX7

\begin{exo}{Deux propriétés}{Collège Camille Claudel, Rouen}{2}{8}
 \label{ch11exo7deuxpropr}
 On considère un angle aigu $x$ dans un triangle rectangle.
 \begin{questions}
  \item Prouver que $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$.
  \item Prouver que $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
 \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
 Pour prouver ces égalités, il ne faut surtout pas écrire les 
égalités à démontrer. On écrit par exemple le membre de gauche et on 
le transforme pour arriver au membre de droite (ou le contraire).
\end{methode}

Considérons le triangle ABC rectangle en A, et prenons $x = 
\widehat{\text{ABC}}$.
\begin{center}
 \includegraphics{280_11n_exo07_corr}
\end{center}
\begin{questions}
  \item $\begin{aligned}[t]
          (\cos x)^2 + (\sin x)^2 & = 
\left(\dfrac{\text{côté adjacent à $x$}}{\text{hypoténuse}}\right)^2 
+ \left(\dfrac{\text{côté opposé à $x$}}{\text{hypoténuse}}\right)^2 
\\
&  = \left(\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}\right)^2 + 
\left(\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}\right)^2 \\
& = \dfrac{\text{AB}^2}{\text{BC}^2} + 
\dfrac{\text{AC}^2}{\text{BC}^2} \\
& = \dfrac{\text{AB}^2 + \text{AC}^2}{\text{BC}^2}
         \end{aligned}$

Comme le triangle ABC est rectangle en A, d'après le théorème de 
Pythagore, on a : $\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$.

On obtient donc :
\[(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = \dfrac{\text{BC}^2}{\text{BC}^2} = 1.\]
On a donc prouvé que pour tout angle aigu $x$, on a :
\[(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1.\]
\item Pour prouver la deuxième égalité, on va transformer le membre 
de droite :
\[\dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\dfrac{\text{côté opposé à 
$x$}}{\text{hypoténuse}}}{\dfrac{\text{côté adjacent à 
$x$}}{\text{hypoténuse}}} = 
\dfrac{\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}}{\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}} = 
\dfrac{\text{AC}}{\psline(0,0.08)(0.5,0.08)\text{BC}}\times 
\dfrac{\psline(0,0.08)(0.5,0.08)\text{BC}}{\text{AB}} = 
\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = \tan x.\]
Ainsi, pour tout angle aigu $x$, on a :
\[\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}.\]
\end{questions}

\end{corrige}


%% EX8

\begin{exo}{Le chenal Tahiti Moorea}{Collège Saint Pierre, Brunoy}{2}{12}
\text{}\vspace{-5pt}

% \begin{minipage}[b]{0.5\linewidth}
La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle.

\begin{center}
 \includegraphics{270_11_14}
\end{center}


Deux points B et M sont situés de part et d'autre du chenal Tahiti Moorea.

Un géomètre veut calculer la distance séparant ces deux points.

\`A l'aide de ses instruments, il a fait les mesures suivantes : $\rm AB = 16$~km, $\widehat{\rm BAM} = 75~\degres$ et $\widehat{\rm ABM} = 60~\degres$.

Dans le triangle ABM, on appelle H le pied de la hauteur issue de A.
% \end{minipage}

\begin{questions}
\item Démontrer que la longueur BH est égale à 8~km.

\item Calculer la longueur AH arrondie au centième de kilomètre.

\item Montrer que $\widehat{\rm HAM} = 45\degres$. En déduire, sans calcul que $\rm HM = HA$. Justifier votre réponse.

\item Calculer BM.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Dans le triangle ABH rectangle en H, $\rm\cos \widehat{ABH} = \dfrac{BH}{BA}$.

En remplaçant les valeurs connues dans cette égalité, il vient :
  \[\cos 60\degres{} = \dfrac{\rm BH}{16}.\]

On en déduit : $\rm BH = 16 \times \cos 60\degres = 8$.

Ainsi, $\rm BH = 8$~km.

\item Dans le triangle ABH rectangle en H, on sait que $\rm AB =
  16~\text{km}$ et que $\rm BH = 8~\text{km}$.

  Donc, d'après le théorème de Pythagore, 
  \begin{align*}
   \rm  AH^2 &= \rm AB^2 - BH^2 \\
    &= 16^2 - 8^2 \\
    &= 256 - 64 \\
    &= 192.
  \end{align*}

  On en déduit que $\rm AH = \sqrt{192} \approx 13,86$.

\item
\begin{methode}
    On veut calculer ici la valeur d'un angle dans un triangle
    rectangle. Il est donc raisonnable de vouloir utiliser une des
    formules de trigonométrie. Cependant, pour que les calculs
    aboutissent, il faut connaître les longueurs d'au moins deux côtés
    du triangle. Or ici, nous ne connaissons que AH. C'est
    insuffisant. Il faut donc procéder autrement.
  \end{methode}

  On va calculer $\widehat{\rm BAH}$. On en déduira ensuite la valeur de $\widehat{\rm HAM}$.
 
  En effet, $\rm\widehat{HAM} = \widehat{BAM} - \widehat{BAH} = 75 - \widehat{BAH}$.

  \begin{Remarque}
    pour calculer $\widehat{\rm BAH}$, on pourrait utiliser une formule de
    trigonométrie puisqu'on connaît les longueurs des trois côtés mais
    il y a plus simple :
  \end{Remarque}

  Dans le triangle BAH, on sait que $\rm\widehat{ABH} = \widehat{ABM} = 60\degres{}$ et que\linebreak $\widehat{\rm BHA} = 90\degres{}$.

  Or la somme des angles d'un triangle vaut 180\degres{}.

  Donc $\widehat{\rm BAH} = 180 - (90 + 60) = 180 - 150 = 30$.

  On en déduit alors : $\widehat{\rm HAM} = 75 - 30 = 45$.

 On a donc bien $\widehat{\rm HAM} = 45\degres$.

  Dans le triangle HAM, on sait que $\widehat{\rm HAM} = 45\degres$ et que $\widehat{\rm AHM} = 90\degres$.

  Or la somme des angles d'un triangle vaut 180\degres{}.

  Donc $\widehat{\rm HMA} = 180 - (90 + 45) = 180 - 135 = 45$.

  On a donc $\rm \widehat{HMA} = \widehat{HAM} = 45\degres$.

  Or si un triangle a deux angles de même mesure alors il est isocèle.

  Donc HMA est isocèle en H, c'est-à-dire : $\rm HM = HA$.

\item On sait que $\rm BH = 8$~km, que $\rm HM = HA$ et que $\rm AH \approx 13,86~\text{km}$.

De plus, $\rm H \in [BM]$ donc :
\[
\rm  BM = BH + HM \approx  21,86.
\]
La longueur BM est donc d'environ 21,86~km.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX9

\begin{exo}{\`A la fenêtre}{Collège Chaptal, Paris}{2}{8}
 Romain (R) observe ses amis Fabien (F) et Luc (L) de la fenêtre de 
sa chambre. \`A l'aide des données de la figure ci-dessous (qui n'est 
pas à l'échelle), déterminer la distance qui sépare Fabien de Luc. 
Arrondir au dm près.
\begin{center}
 \includegraphics{271_11n_exo09}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
 Pour trouver la distance FL, il nous faut calculer les distances EF 
et EL.
\begin{itemize}
 \item Dans le triangle REF rectangle en E :
 \begin{align*}
  \tan \widehat{\text{F}} = \dfrac{\text{RE}}{\text{EF}} \\
  \tan 32\degres = \dfrac{19}{\text{EF}}.
 \end{align*}
\`A l'aide de l'égalité des produits en croix, on obtient :
\[\text{EF} = \dfrac{19}{\tan 32\degres}.\]
\begin{methode}
 $\dfrac{19}{\tan 32\degres}$ est la valeur exacte de la longueur EF.

\Par

Il est inutile (et même dangereux) d'en chercher un arrondi. Il faut en effet garder les valeurs exactes pour faire les calculs qui suivent, afin d'obtenir une valeur exacte au résultat final.
\end{methode}
\item Dans le triangle REL rectangle en E :
 \begin{align*}
  \tan \widehat{\text{L}} = \dfrac{\text{RE}}{\text{EL}} \\
  \tan 24\degres = \dfrac{19}{\text{EL}}
 \end{align*}
\`A l'aide de l'égalité des produits en croix, on obtient :
\[\text{EL} = \dfrac{19}{\tan 24\degres}.\]
\end{itemize}
Le point F appartient au segment $[\text{EL}]$ donc on a :
\begin{align*}
 \text{FL} & = \text{EL} - \text{EF} \\
 \text{FL} & = \dfrac{19}{\tan 24\degres} - \dfrac{19}{\tan 
32\degres} \approx 12,3~\text{m (arrondi au dm près).}
\end{align*}
Fabien est donc à environ $12,3$ mètres de Luc.
\end{corrige}


%% EX10

\begin{exo}{Calcul d'un angle et d'une longueur}{Collège Paul Bert, 
Chatou}{2}{10}

On considère la figure ci-dessous (les dimensions ne sont pas respectées sur le schéma) :

\begin{center}
\includegraphics{271_11_15}
\end{center}

On donne $\rm AB = 6$~cm, $\rm AC = 7,5$~cm et $\rm BC = 4,5$~cm.

E est un point de [AB] tel que $\rm AE = 10$~cm.

La parallèle à (AC) passant par B coupe (CE) en D.

\begin{questions}
\item Démonter que le triangle ABC est rectangle.

\item Calculer la valeur arrondie au degré près de la mesure de $\widehat{\rm BCE}$.

\item Déterminer la longueur du segment [BD].
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On sait que dans le triangle ABC, $\rm AB = 6$~cm, $\rm AC 
=7,5$~cm et\linebreak $\rm BC = 4,5$~cm.

On calcule d'une part : $\rm AC^2 = 7,5^2 = 56,25$.

Et d'autre part : $\rm AB^2 + BC^2 = 6^2 + 4{,}5^2 = 36 + 20{,}25 = 56{,}25$.

On a donc : $\rm AC^2 = AB^2 + BC^2$.

On en déduit, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, que le
triangle ABC est bien rectangle en B.

\item On cherche la mesure de l'angle $\widehat{\rm BCE}$ dans le triangle BCE rectangle en B. On va donc utiliser une formule de
trigonométrie. Mais pour cela il nous faut les longueurs d'au moins
deux côtés. 

On sait que $\rm BC = 4{,}5~\mathrm{cm}$.

On va calculer BE. En effet, on sait que $\rm AE = 10$~cm et que $\rm B \in [AE]$ donc $\rm BE = AE -  AB = 10 - 6 = 4$.

Dans le triangle BCE rectangle en B, $\rm\tan \widehat{BCE} =
\dfrac{BE}{BC} = \dfrac{4}{4{,}5}$.

On en déduit : $\rm\widehat{BCE} \approx 42\degres$ (au degré près).

\item
  \begin{attention}
    Il ne faut pas se laisser tenter et essayer de calculer BD en
    utilisant une formule de trigonométrie. En effet, [BD] n'est pas
    le côté d'un triangle rectangle\ldots{} Même si cela semble être le cas
    sur la figure.
  \end{attention}

  Analysons un peu mieux les données :\enlargethispage*{3em}
  
  On sait que (BD) et (AC) sont parallèles et les droites 
$(\text{AB})$ et $(\text{CD})$ sont sécantes en E.

  On peut donc utiliser le théorème de Thalès qui nous permet
  d'écrire l'égalité :
  \[\rm\dfrac{ED}{EC} = \dfrac{EB}{EA} = \dfrac{BD}{AC}.\]

  On remplace les longueurs connues par leurs valeurs :
  \[\rm\dfrac{ED}{EC} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{BD}{7{,}5}\;,\]

  en particulier, $\rm\dfrac{4}{10} = \dfrac{BD}{7{,}5}$ donc $\rm BD = \dfrac{4\times 7{,}5}{10} = 3$.

Ainsi, $\rm BD = 3$~cm.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX9
% 
% \begin{exo}{Dans un cercle}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{2}{12}\enlargethispage*{3em}
% $\cal C$ est un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que $\rm AB =10$~cm.\enlargethispage*{2em}
%  
% On considère un point C sur $\cal C$  tel que $\rm AC = 6$~cm.
% 
% On admet la propriété suivante : \og \emph{Si un triangle est inscrit dans un cercle, et si l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle.} \fg{} 
% \begin{questions}
% \item Faire une figure.
% 
% \item Calculer CB.
% 
% \item Calculer la mesure de $\widehat{\rm CAB}$ au degré près.
% \end{questions}
% 
% 
% La hauteur de ABC issue de C coupe le côté [AB] en H.
% 
% \begin{questions}\setcounter{enumi}{3}
% \item Compléter la figure.
% 
% \item Calculer CH.
% \end{questions}
% 
% 
% I est le point de [AC) tel que $\rm AI = 9$~cm.
% 
% \begin{questions}\setcounter{enumi}{5}
% \item Calculer la mesure de $\widehat{\rm CBI}$ au degré près.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX9corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item Voir figure complète en fin de correction page \pageref{chap:trigonometrie-figure-exo-dans-un-cercle}.
% 
% \item On sait que le point C est un point du cercle $\cal C$ qui a pour diamètre le segment [AB].
% 
% Or si un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre d'un
% cercle et un point sur ce cercle alors il est rectangle en ce point.
% 
% Donc ABC est rectangle en C.
% 
% On peut donc utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle ABC
% rectangle en C :
% \[\rm BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64.\]
% 
% On en déduit : $\rm BC = \sqrt{64} = 8$.
% 
% Ainsi, $\rm BC = 8$~cm.
% 
% \item
%   \begin{methode}
%     Ici, nous connaissons les mesures exactes des trois côtés du
%     triangle ABC rectangle en C. Pour calculer la mesure de
%     $\widehat{\rm CAB}$, nous pouvons donc utiliser indifféremment une des trois formules de trigonométrie. Nous allons utiliser ici le sinus de l'angle $\widehat{\rm CAB}$.
%   \end{methode}
% 
%   Dans ABC rectangle en C, $\rm\sin \widehat{CAB} = \dfrac{CB}{AB} =
%   \dfrac{8}{10} = 0,8$.
% 
%   On en déduit, à l'aide de la calculatrice : $\rm\widehat{CAB} \approx 53\degres{}$.
% 
% \item Voir figure complète en fin de correction page \pageref{chap:trigonometrie-figure-exo-dans-un-cercle}.
% 
% \item $\rm [CH]$ est la hauteur issue de C dans ABC, donc le triangle
%   CAH est rectangle en H. 
% 
%   On peut donc exprimer dans le triangle CAH rectangle en H :
%   \[
%   \rm\sin \widehat{CAH} = \dfrac{CH}{AC} = \dfrac{CH}{6}.
%   \]
% 
%   \begin{methode}
%     On a calculé à la question précédente une valeur arrondie au degré
%     près de $\rm\widehat{CAB}$ qui est égal à $\rm\widehat{CAH}$. On
%     pourrait donc utiliser cette valeur et écrire :
%     \[\rm CH = 6 \times \sin \widehat{CAH} \approx 6 \times \sin
%     53\degres.\]
% 
%     Cependant, 53\degres{} étant une valeur arrondie, il est gênant
%     d'utiliser ce résultat dans un calcul, les erreurs d'arrondi
%     risquant de se répercuter. Nous allons d'ailleurs calculer ainsi
%     uniquement une valeur arrondie de CH. Alors qu'en utilisant la
%     valeur exacte de $\rm\sin \widehat{CAH}$, nous pouvons déterminer la
%     valeur exacte de CH.
%   \end{methode}
% 
%   En effet : $\rm\sin \widehat{CAH} = \sin \widehat{CAB} = 0{,}8$ d'après
%   la question 3.
% 
%   On a donc l'égalité : $\rm\dfrac{CH}{6} = 0{,}8$.
% 
%   D'où : $\rm CH = 6 \times 0{,}8 = 4{,}8$
% 
%  Ainsi, $\rm CH = 4{,}8$~cm.
% 
% \item On sait que ACB est rectangle en C et que I est sur [AC)
%   donc CBI est un triangle rectangle en C.
% 
%   De plus $\rm C \in [AI]$ donc $\rm CI = AI - AC = 9 - 6 = 3$.
%  
%   On peut donc exprimer dans CBI  rectangle en C : \[\rm\tan
%   \widehat{CBI} = \dfrac{CI}{BC} = \dfrac{3}{8}.\]
% 
%   On en déduit, à l'aide de la calculatrice que $\rm\widehat{CBI} \approx 21\degres{}$.
% \end{questions}
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{11_16}\label{chap:trigonometrie-figure-exo-dans-un-cercle}
% \end{center}
% \end{corrige}

% EX10
% 
% \begin{exo}{Géométrie plane}{Collège Louise Michel, Chaumont}{2}{14}
% 
% ABCD est un rectangle tel que $\rm AB = 5$~cm et $\rm BC = 8$~cm.
% 
% I est le point de [BC] tel que $\rm DI = 8$~cm.
% 
% \begin{questions}
% \item Faire une figure.
% 
% \item Quelle est la nature du triangle ADI ? Justifier.
% 
% \item Calculer CI.
% 
% \item Calculer la mesure de l'angle $\rm\widehat{CDI}$.
% 
% \item En déduire les mesures des angles du triangle ADI.
% \end{questions}
% \end{exo}
% 
% % EX10corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{questions}
% \item ~\par\vspace*{-2em}
%   \begin{center}
%     \includegraphics{11_17}
%   \end{center}
% 
% \item On sait que ABCD est un rectangle tel que $\rm BC = 8~\text{cm}$
%   donc \[\rm AD = BC = 8~\text{cm}.\]
% 
%   On sait aussi que $\rm DI = 8$~cm.
% 
%   Finalement, $\rm DI = AD$.
% 
%   Donc ADI est un triangle isocèle en D.
% 
% \item ABCD est un rectangle donc le triangle DCI est rectangle en C.
% 
%   De plus, dans le rectangle ABCD, $\rm CD = AB = 5~\text{cm}$.
% 
%   D'après le théorème de Pythagore dans le triangle DCI rectangle en C, on a alors :
%   \begin{align*}
%   \rm  CI^2 &= \rm DI^2 - CD^2 \\
%     &= 8^2 - 5^2 \\
%     &= 64 - 25 \\
%     &= 39.
%   \end{align*}
% 
%   On en déduit : $\rm CI = \sqrt{39} \approx 6{,}2~\text{cm}$.
% 
% \item Dans le triangle CDI rectangle en C, $\rm\cos \widehat{CDI} =
%   \dfrac{CD}{DI} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625$.
% 
%   On en déduit à l'aide de la calculatrice : $\rm\widehat{CDI} \approx
%   51\degres{}$.
% 
% \item On sait que $\rm\widehat{CDI} \approx 51\degres{}$ et que
%   $\rm\widehat{CDA}$ est un angle droit donc \[\rm\widehat{CDA}=  90\degres.\]
% 
%   On en déduit : $\rm\widehat{ADI} = \widehat{CDA} - \widehat{CDI}  \approx 90 - 51$ d'où $\rm\widehat{ADI} \approx 39\degres$.
% 
%   De plus, on sait que ADI est isocèle en D.
% 
%   Or si un triangle est isocèle alors les deux angles adjacents à la
%   base ont la même mesure.
% 
%   Donc $\rm\widehat{DAI} = \widehat{DIA}$.
% 
%   On sait que dans le triangle ADI, $\rm\widehat{ADI} \approx
%   49\degres{}$ et que $\rm\widehat{DAI} = \widehat{DIA}$.
% 
%   Or la somme des angles d'un triangle vaut 180\degres{}.
% 
%   Donc $\rm\widehat{DAI} + \widehat{DIA} = 180 - \widehat{ADI} \approx  180 - 39$.
% 
%   Finalement : $\rm\widehat{DAI} = \widehat{DIA} \approx \dfrac{180 -39}{2}$.
% 
% Dans le triangle ADI, 
% \[
% \rm\widehat{DAI} = \widehat{DIA} \approx 70,5\degres{}
% \]
% et
% \[
% \rm\widehat{ADI} \approx  39\degres.
% \]
% \end{questions}
% \end{corrige}

% EX11

\begin{exo}{Compétition de ski}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{2}{15}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]

\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Compétition de ski}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh11Ex11}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh11Ex11}}}
Lors d'une compétition de ski, un présentateur annonce 
au micro :

\og  Le skieur a dévalé la piste d'élan en 5 secondes. Sa vitesse moyenne sur cette longueur est d'au moins 90~km/h.  \fg{} 

Cette dernière affirmation est-elle vraie sachant que l'inclinaison de la piste est 45$^\circ$ ? Justifier votre réponse.

\Par\Par

\hspace*{-0.7cm}\includegraphics{272_11_20}
\end{exo}

\begin{corrige}
\vspace*{-10pt}\hspace{-5mm}\PictoNathanLive[Video]


\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,-0.5){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh11Ex11}}}
\vspace*{-20pt}

\text{}
Représentons la situation par le schéma ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{284_11_21}
\end{center}

Dans ce schéma,
\begin{itemize}
\item $\text{[SB]}$ représente la piste d'élan ;
\item le triangle SAB est rectangle en A ;
\item SA est la différence d'altitude entre le départ de la piste et la fin de la piste.

On a donc :
\[\rm SA=\numprint{1985}-\numprint{1900}=85~\text{m}.\]

\item $\rm\widehat{SBA}$ est l'angle d'inclinaison donc d'après l'énoncé :
\[\rm \widehat{SBA}=45\degres.\]
\end{itemize}



On cherche à calculer la vitesse $V$ (en m/s) de ce skieur sachant qu'il parcourt la distance SB en 5 secondes. On a donc :
\[ V=\dfrac{\rm SB}{5}.\]
Il faut donc calculer SB.

\par

Dans le triangle SAB rectangle en A,
\begin{align*}
\rm\sin\widehat{\text{SBA}} & = \dfrac{\text{SA}}{\text{SB}}\\
\sin 45\degres & = \dfrac{85}{\rm SB}.
\end{align*}
On en déduit :
\[\rm SB=\dfrac{85}{\sin 45\degres}\approx120,2~\text{m}.\]
Par suite, on obtient :
\[ V\approx\frac{120,2}{5}\approx 24~\text{m/s}.\]
Convertissons cette vitesse en km/h :
\begin{align*}
V & \approx \dfrac{24\times\numprint{3600}}{\numprint{1000}}\\
V & \approx 86,5~\text{km/h}.
\end{align*}

La vitesse moyenne de ce skieur est donc d'environ 86,5~km/h, ce qui est inférieur à 90~km/h. Le présentateur s'est donc trompé, mais de peu.

\begin{Remarque}
On aurait pu aussi calculer SB en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle SAB rectangle en A.

En effet, d'après l'énoncé, 
\[ \widehat{\rm SBA}=45\degres\]
 et 
 \[\widehat{\rm SAB}=90\degres\;,\] 
 donc on a : 
 \[\widehat{\rm BSA}=180-(90+45)=45\degres\]
 (car la somme des angles d'un triangle vaut $180\degres$).

On en déduit alors que le triangle SAB est isocèle en A (car il a deux angles de m\^eme mesure). On a donc, dans le triangle SAB rectangle en A :
\[\rm AB=AS=85~\text{m}\;,\]
ce qui nous permet de calculer SB en utilisant la relation :
\[\rm SB^2=SA^2+AB^2\]
que permet d'écrire le théorème de Pythagore.
\end{Remarque}
\end{corrige}

% EX12

\begin{exo}{Utiliser les formules}{Collège Chaptal, Paris}{2}{6}
On considère un angle aigu $x$ tel que $\cos x = \dfrac{3}{5}$.
\begin{questions}
 \item Sans utiliser la calculatrice, déterminer la valeur de $\sin 
x$.
\item En déduire la valeur de $\tan x$.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
 \item \begin{methode}
        \'Etant donné qu'on ne peut pas utiliser la calculatrice, on 
ne peut pas déterminer la valeur de $x$. Il faut donc penser à 
utiliser la formule reliant le cosinus et le sinus.
       \end{methode}
       
       On sait que pour tout angle aigu $x$, on a :
       \[(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1.\]
       En remplaçant $\cos x$ par $\dfrac{3}{5}$, on obtient :
       \begin{align*}
        \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + (\sin x)^2 & = 1 \\
        \dfrac{9}{25} + (\sin x)^2 & = 1 \\
        (\sin x)^2 & = 1-\dfrac{9}{25} \\
        (\sin x)^2 & = \dfrac{25}{25} - \dfrac{9}{25} \\
        (\sin x)^2 & = \dfrac{16}{25}.
       \end{align*}
Or l'équation $x^2 = a$ (pour $a \geqslant 0$) admet deux solutions 
$-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$. On en déduit que :
\[\sin x = -\sqrt{\dfrac{16}{25}} = -\dfrac{4}{5} \text{ ou } \sin x 
= \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}.\]
Cependant, le sinus d'un angle aigu est un nombre compris entre $0$ 
et $1$, on peut donc en conclure que :
\[\sin x = \dfrac{4}{5}.\]
\item On utilise la formule $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, et on 
a donc :
\[\tan x = \dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{3}{5}} = \dfrac{4}{5}\times 
\dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3}.\]

\end{questions}


\end{corrige}


% % EX12
% 
% \begin{exo}{Les pompiers (tâche complexe)}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{2}{15}
% Lors d'une intervention, les pompiers doivent atteindre une fenêtre située à 18~mètres au-dessus du sol en utilisant leur grande échelle qui pivote autour de son pied et qui est télescopique. Ils doivent prévoir les réglages de l'échelle. Le pied de l'échelle est situé sur le camion, placé face à la fenêtre, à 1,5~m du sol et à 10~m de l'immeuble. 
% 
% \Par
% 
% Quels réglages de leur échelle les pompiers doivent-ils faire pour qu'elle atteigne la fenêtre ?
% \end{exo}
% 
% % EX12corr
% 
% \begin{corrige}
% Avant tout, faisons un schéma :
% \begin{center}
% \includegraphics{11_22}
% \end{center}
% La fenêtre est à 18 mètres du sol, donc $\rm SF=18$.
% 
% Le pied de l'échelle est à 1,5 m du sol et à 10 m de l'immeuble;\\ donc $\rm SR=1,5$ et $\rm PR=10$.
% 
% On en déduit alors que :
% \[
% \rm RF=SF-SR=18-1,5=16,5.
% \]	
% Ainsi, dans le triangle PRF rectangle en R,
% \[
% \rm\tan\widehat{RPF}=\dfrac{RF}{PR}=\dfrac{16,5}{10}=1,65.
% \]
% On en déduit alors que :
% \[
% \rm\widehat{RPF}=\tan^{-1}(1,65)\approx59\degres.
% \]
% De plus,
% \[
% \rm\cos\widehat{RPF}=\dfrac{RP}{PF}
% \]
% donc :
% \[
% \rm PF=\dfrac{RP}{\cos\widehat{RPF}}\approx\dfrac{10}{\cos(59\degres)}\approx19,3.
% \]
% 
% L'échelle devra donc mesurer 19,3 mètres.
% \end{corrige}

% EX13

\newpage

\begin{exo}{Valeur exacte de sin 15\degres}{Collège Saint-Louis-de-Gonzague, Paris}{3}{30}

Dans la figure ci-dessous :

\begin{itemize}
\item Le triangle ABC est équilatéral et $\rm AB = 2$~cm.

\item Le triangle BCD est isocèle et rectangle en D.

\item H est le pied de la hauteur issue de A.
\end{itemize}

\begin{center}
  \includegraphics{273_11_18}
\end{center}

\begin{questions}
\item Montrer que le point D est sur la droite (AH).

\item Calculer la mesure de $\rm\widehat{ABD}$.

\item Montrer que $\rm AH = \sqrt{3}$ et $\text{AD} = \sqrt{3} - 1$.

\item Soit K le pied de la hauteur issue de D dans le triangle ABD.
  \begin{questions}
  \item Montrer que $\rm KD = \sqrt{2} \times \sin 15\degres$.
  \item En déduire l'expression de l'aire du triangle ABD en
    fonction de $\sin 15\degres$.
  \end{questions}

\item On veut calculer l'aire du triangle ABD par une autre méthode :
  \begin{questions}
  \item Calculer l'aire exacte des triangles ABH et BDH.
  \item En déduire l'aire du triangle ABD.
  \end{questions}

\item Déduire des questions précédentes que  $\sin 15\degres=
  \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 
  
  (on admettra pour cela que $\sqrt{3}\times\sqrt{2}=\sqrt{6}$).
\end{questions}
\end{exo}

% EX13corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On sait que ABC est équilatéral et que (AH) est la hauteur issue de A de ABC.

  Or, dans un triangle équilatéral, les hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices sont confondues.

  Donc (AH) est aussi la médiatrice de [BC].

  On sait que BCD est isocèle en D donc D est équidistant de B
  et de C.

  Or, si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.

  Donc D est sur la médiatrice de [BC].

 Ainsi, D est sur (AH).


\item On sait que ABC est équilatéral.

  Or les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent chacun
  60\degres{}.

  Donc :\[ \rm\widehat{ABC} = 60\degres{}.\]

  On sait que BCD est isocèle en D.

  Or, si un triangle est isocèle, alors les deux angles adjacents à la
  base ont la même mesure.

  Donc : \[ \rm\widehat{DBC} = \widehat{DCB}. \]

  On sait de plus que BCD est rectangle en D donc: \[
  \rm\widehat{BDC} = 90\degres{}. \]

  Or la somme des angles d'un triangle vaut 180\degres{}.

  Donc :
  \[
  \rm\widehat{DBC} = \dfrac{180 - 90}{2} = 45\degres.
  \]

  Finalement, 
  \[
  \rm\widehat{ABD} = \widehat{ABC} - \widehat{DBC} = 60 -
  45 = 15\degres{}.
  \]

\item On sait que ABC est équilatéral et que $\rm AB = 2~\text{cm}$ donc
  $\rm BC = 2~\text{cm}$.

  On sait aussi que (AH) est la médiatrice de [BC] donc H est le
  milieu de [BC].
 
  On en déduit : $\rm BH = 1~\text{cm}$.

  De plus, (AH) étant la médiatrice de [BC], ABH et BHD sont rectangles en H.

  On a alors, d'après le théorème de Pythagore dans ABH rectangle en H :
  \begin{align*}
  \rm AH^2 & = \rm AB^2 - BH^2\\
  \rm AH^2& = 2^2 - 1^2\\
  \rm AH^2& = 4 - 1\\
  \rm AH^2& = 3\\
  \rm AH & = \sqrt3.
  \end{align*}
  
  Dans le triangle BHD rectangle en H, 
  \[
  \rm\tan \widehat{DBH} = \dfrac{DH}{BH}
  \]
  d'où :
  \[
  \rm\tan 45\degres = \dfrac{DH}{1}\] et donc : 
  \[
  \rm DH = \tan 45\degres = 1.
  \]

  Finalement, comme D est sur [AH], 
  \[
  \rm AD = AH - DH = \sqrt{3} - 1.
  \]
\newpage
\item Complétons la figure de l'énoncé :

  \begin{center}
    \includegraphics{288_11_19}
  \end{center}

  \begin{questions}
  \item D'après le théorème de Pythagore dans BHD rectangle en H,
    on a : 
    \begin{align*}
    \rm BD^2 & = \rm BH^2 + HD^2\\
    \rm BD^2 & = 1^2 + 1^2\\
    \rm BD^2 & = 2\\
    \rm BD\phantom{^2} & = \sqrt2.
    \end{align*}

    De plus, (DK) est la hauteur issue de D de ABD, donc BKD
    est rectangle en K.

    Dans le triangle BKD rectangle en K, 
    \[
    \rm\sin \widehat{KBD} = \dfrac{KD}{BD}
    \]
    d'où :
    \[
    \rm\sin 15\degres = \dfrac{KD}{\sqrt{2}}.
    \]

    On en déduit : 
    \[
    \rm KD = \sqrt{2} \times \sin 15\degres.
    \]

  \item \label{exo-12-quest4b}L'aire du triangle ABD en fonction de
    $\sin 15\degres$ (en cm$^2$) est :
    \begin{align*}
    \rm {\cal A}_{ABD}&  = \dfrac{\rm AB \times KD}{2}\\[6pt]
    \rm {\cal A}_{ABD}&  = \dfrac{2 \times \sqrt{2} \times \sin 15\degres{}}{2}\\[6pt]
    \rm {\cal A}_{ABD}& = \sqrt{2} \times \sin 15\degres.
    \end{align*}
  \end{questions}

\item
  \begin{questions}
  \item L'aire de ABH (en cm$^2$) est : 
  \begin{align*}
  \rm {\cal A}_{ABH} & = \dfrac{\rm BH \times AH}{2}\\[6pt]
  \rm {\cal A}_{ABH} & = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{2}\\[6pt]
  \rm {\cal A}_{ABH} & = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  \end{align*}

L'aire de BDH (en cm$^2$) est : 
\begin{align*}
\rm {\cal A}_{BDH} & = \dfrac{\rm BH \times HD}{2}\\[6pt]
\rm {\cal A}_{BDH} & = \dfrac{1 \times 1}{2}\\[6pt]
\rm {\cal A}_{BDH} & = \dfrac{1}{2}.
\end{align*}

  \item \label{exo-12-quest5b} On en déduit l'aire du triangle ABD :
    \begin{align*}
    \rm {\cal A}_{ABD}&  = {\cal A}_{\rm ABH} - {\cal A}_{\rm BDH} \\
    \rm {\cal A}_{ABD} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\\[6pt]
    \rm {\cal A}_{ABD} & = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}.
    \end{align*}
  \end{questions}

\item D'après la question~4 (b), 
\[ {\cal A}_{\rm ABD} = \sqrt{2} \times \sin 15\degres{}. \]

Et, d'après la question~5 (b), 
\[ {\cal A}_{\rm ABD} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}.\]

On en déduit l'égalité : 
\[\sqrt{2} \times \sin 15\degres = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}.\]

En divisant par $\sqrt{2}$ chaque membre de cette égalité, il vient: \[\sin 15\degres{} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\times \sqrt{2}}.\]

En multipliant alors le numérateur et le dénominateur de ce quotient  par $\sqrt{2}$, on obtient :
\begin{align*}
\sin 15\degres{} & = \dfrac{(\sqrt{3} - 1) \times \sqrt{2}}{2
\times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}\\[6pt]
\sin 15\degres{}& = \dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}- 1 \times \sqrt{2}}{2 \times 2}\\[6pt]
\sin 15\degres{}& = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.
\end{align*}

Ainsi, la valeur exacte de $\sin 15\degres{}$ est donnée par la formule : 

\[
\sin 15\degres{} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


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\AfficheCorrige
