\setcounter{chapter}{11}
\chapter{Géométrie dans l'espace}
\label{chap:espace}

\begin{exointro}{Collège Jean Cocteau, Maisons-Laffitte}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.2,0.2){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh12ExType}}}
\rput(-0.7,-0.9){\PictoNathanLive[Video]}
\NathanLiveVideo[Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.]{Géométrie dans l'espace}{https://media.prepamath.fr/IL3MCh12ExType}
%\textit{\textbf{Vous pouvez retrouver le corrigé de cet exercice en vidéo.}}
\Par

\begin{center}
\includegraphics{291_12_01}
\end{center}



On a représenté sur la figure ci-dessus un cône de révolution de sommet S et d'axe (SI). La base de ce cône est un disque $\mathcal{D}$ de centre I et de diamètre [AB]. Ce cône a été sectionné par un plan parallèle à sa base et passant par le point I' de l'axe (SI). Les points A' et B' sont les points respectivement de [SA] et de [SB] appartenant à la section. On note $\mathcal{D}'$ cette section.

On donne :
\[
\rm SA' = SB' = 6,5~cm \qquad et \qquad A'B' = 5~cm.
\]

On admet que (SI) est perpendiculaire à [A'B'] en I' et à
[AB] en I.

\begin{questions}
\item Quelle est la nature de la section $\mathcal{D}'$ ? %La représenter en vraie grandeur.
\item Calculer la longueur SI'.
\item Déterminer :
\begin{questions}
\item La valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}'$ de $\mathcal{D}'$.
\item La valeur exacte du volume $\mathcal{V}'$ du cône de sommet S et de base $\mathcal{D}'$.
\end{questions}
\end{questions}
\Break

Le cône de sommet S et de base $\mathcal{D}$ est un agrandissement du  cône de sommet S et de base $\mathcal{D}'$. On donne $\rm II' = 3$ cm.
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{3}
\item Déterminer le rapport de cet agrandissement.
\item Exprimer : 
\begin{questions}
\item l'aire $\mathcal{A}$ du disque $\mathcal{D}$ en fonction de $\mathcal{A}'$.
\item le volume $\mathcal{V}$ du cône de sommet S et de base $\mathcal{D}$ en fonction de $\mathcal{V}'$.
\end{questions}
\item En déduire les valeurs arrondies à l'unité de $\mathcal{A}$ (en cm$^2$) et de $\mathcal{V}$\linebreak (en cm$^3$).
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{exointro}


\section{La sphère et la boule}

\subsection{Définitions}

\begin{defins}[sphère et boule]
La \emph{sphère de centre} O \emph{et de rayon} $r$ est l'ensemble 
des points M de l'espace tels que $\text{OM} = r$.

La \emph{boule de centre} O \emph{et de rayon} $r$ est l'ensemble des 
points M de l'espace tels que $\text{OM} \leqslant r$.
\end{defins}

\begin{center}
\includegraphics[width=5.4cm]{292_12n_01}
\end{center}

\begin{Remarques}
Tout cercle de centre O et de rayon $r$ est un \emph{grand cercle} de la sphère.

Tout point de la sphère appartient à une infinité de cercles.
\end{Remarques}

\begin{props}
L'aire d'une sphère de rayon $r$ vaut : $\mathcal{A} = 4\pi r^2$.

Le volume d'une boule de rayon $r$ vaut : $\mathcal{V} = 
\dfrac{4}{3}\pi r^3$.
\end{props}

\begin{Exemples}
L'aire d'une sphère de rayon $3$ cm est égale à $4 \times \pi \times 
3^2 = 36\pi$~cm\up{2}, soit environ $113$~cm\up{2} (arrondi à l'unité 
près).

Le volume d'une boule de rayon $5$ m est égal à $\dfrac{4}{3}\pi 
\times 5^3 = \dfrac{500\pi}{3}$~m\up{3}, soit environ $524$~m\up{3} 
(arrondi à l'unité près).
\end{Exemples}

\subsection{Repérage sur une sphère}

On assimile la Terre à une sphère.

Chaque point P de cette sphère est repéré par deux coordonnées 
(correspondant à des mesures d'angles) : sa longitude et sa latitude.

Pour déterminer ces deux angles, on trace :
\begin{itemize}
\item des méridiens (pour la longitude) ;
\item des parallèles (pour la latitude).
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[width=11cm]{293_12n_02}
\end{center}


Le méridien de référence est le méridien de Greenwich. Ses points ont 
pour longitude $0\degres$. La parallèle de référence est l'équateur. 
Les points sur l'équateur ont pour latitude $0\degres$.

\Par

La longitude du lieu P est la mesure de l'angle $\widehat{\rm AOM}$ 
suivie de l'indication Ouest ou Est. La latitude du lieu P est la 
mesure de l'angle $\widehat{\rm MOP}$ suivie de l'indication Nord ou 
Sud.

\Par

Ici, le point P a pour coordonnées ($60\degres$E ; $55\degres$N).

\subsection{Section d'une sphère par un plan}

La section d'une sphère de centre O et de rayon $R$ par un plan est 
un cercle de centre I et de rayon $r$.

% \vspace{0.5cm}
% \begin{center}
% \textit{Voir figure page suivante.}
% \end{center}
% \vfill\text{}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{294_12n_03}
\end{center}


Dans les exercices sur les sections de sphères par un plan, on sera 
généralement amené à calculer le rayon $R$ de la sphère, le rayon $r$ 
de la section ou la distance OI entre les deux centres.

Le triangle OIM étant rectangle en I, on peut appliquer le théorème 
de Pythagore.

On a donc :
\begin{align*}
\text{OM}^2 & = \text{OI}^2 + \text{IM}^2 \\
R^2 & = \text{OI}^2 + r^2.
\end{align*}

\section{Repérage dans un pavé droit}

Tout point M d'un pavé droit peut être repéré en choisissant un des 
sommets comme origine du repère et les arêtes passant par ce sommet 
comme axes.

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\textit{Voir figure page suivante.}
\end{center}
\vfill\text{}

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{295_12n_04}
\end{center}

Ainsi, ici on a :

\begin{tabular}{ccccc}
A $(0;0;0)$ & B $(3;0;0)$ & C $(3;8;0)$ & D $(0;8;0)$ & E $(0;0;6)$ 
\\
F $(3;0;6)$ & G $(3;8;6)$ & H $(0;8;6)$ & P $(3;4;0)$ & Q $(0;8;4)$
\end{tabular}


\section{Section d'un solide par un plan et volumes}
\label{sec-sect-solid}\enlargethispage*{3em}

\scalebox{0.9}{
\begin{tabular}{%
|>{\flushleft\arraybackslash}m{1.5cm}%
|>{\centering\arraybackslash}m{2cm}%
|>{\flushleft\arraybackslash}m{1.5cm}%
|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}%
|>{\flushleft\arraybackslash}m{1.5cm}|}
\hline \tabulartitle
\centering\arraybackslash\textbf{Solide} &
\textbf{Formule du volume $\pmb{\cal V}$} &
\centering\arraybackslash\textbf{Type de section} &
\textbf{Représentation dans l'espace} &
\centering\arraybackslash\textbf{Nature de la section}\\\hline
%
\multirow{2}{1.5cm}[-1cm]{Parallélé\-pipède rectangle (ou pavé droit) 
d'arêtes $a$, $b$ et $c$.} &
\multirow{2}{1.5cm}[-2.4cm]{\kern-6pt\scalebox{0.95}{${\cal V}=$ $a\times b\times c$}} &
Section par un plan $\mathcal{P}$ parallèle à une des faces &
\rule[-0.4cm]{0cm}{4cm}\includegraphics{295_12_03}
&
Rectangle de mêmes dimensions que la face à
laquelle le plan est parallèle \\
\cline{3-5}
%
&
&
Section 
par un plan $\mathcal{P}$ parallèle à une des arêtes &
\rule[-0.4cm]{0cm}{45mm}\includegraphics{295_12_04}
& 
Rectangle dont un côté a la même
mesure que l'arête à laquelle le plan est 
parallèle\\\hline
\end{tabular}}

\scalebox{0.9}{\begin{tabular}{%
|>{\flushleft\arraybackslash}m{1.5cm}%
|>{\centering\arraybackslash}m{2cm}%
|>{\flushleft\arraybackslash}m{1.5cm}%
|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}%
|>{\flushleft\arraybackslash}m{1.5cm}|}
\hline \tabulartitle
\centering\arraybackslash\textbf{Solide} &
\textbf{Formule du volume $\pmb{\cal V}$} &
\centering\arraybackslash\textbf{Type de section} &
\textbf{Représentation dans l'espace} &
\centering\arraybackslash\textbf{Nature de la section}\\\hline
\multirow{2}{1.5cm}[-1cm]
{%
\flushleft\arraybackslash Cube d'arête $a$
} 
&
\multirow{2}{1.5cm}[-1.5cm]
{\centering\arraybackslash ${\cal V}=a^{3}$} 
&
Section par un plan $\mathcal{P}$ parallèle à une des faces 
&
\rule[-0.4cm]{0cm}{3cm}\includegraphics{296_12_05}%[width=3.5cm]
&
Carré de côté $a$ \\
\cline{3-5}
%
&
&
Section par un plan $\mathcal{P}$ parallèle à une des arêtes 
&
\rule[-0.4cm]{0cm}{3cm}\raisebox{-5mm}{\includegraphics{296_12_06}}
&
Rectangle dont un côté mesure $a$\\
\hline
\multirow{2}{1.5cm}[-1cm]
{\flushleft\arraybackslash Cylindre de révolution de hauteur $h$ et de 
base circulaire de rayon $r$ et d'aire $B$.} 
&
\multirow{2}{2cm}[-1.5cm]
{%
\begin{minipage}{2cm}
\centering 
${\cal V}=B\times h$\linebreak~\linebreak avec \linebreak~\linebreak
\mbox{$B=\pi\times r^{2}$}
\end{minipage}
} 
&
Section par un plan $\mathcal{P}$ parallèle à la base 
&
\rule[-0.4cm]{0cm}{3cm}
\raisebox{-2mm}{\includegraphics{296_12_07}}
&
Disque de rayon $r$\\
\cline{3-5}
%
&
&
Section par un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l'axe du cylindre 
&
\rule[-0.4cm]{0cm}{3cm}
\raisebox{-2mm}{\includegraphics{296_12_08}}%[width=2cm]
&
Rectangle dont un côté mesure $h$\\
\hline
Cône \vrule width 0pt height 4mm de révolution de hauteur $h$ et de base circulaire de rayon $r$ et d'aire $B$.
&
\begin{minipage}{2cm}
\centering 
${\cal V}=\dfrac{B\times h}{3}$\linebreak~\linebreak avec\linebreak~\linebreak $B=\pi \times r^{2}$ 
\end{minipage}
&
\multirow{2}{1.5cm}[-1cm]
{\flushleft\arraybackslash Section par un plan $\mathcal{P}$ 
parallèle à la base} &
\includegraphics{296_12_09}%[width=3.5cm]
& 
\multirow{2}{1.5cm}[-1cm]
{\flushleft\arraybackslash Réduction de la base dans le rapport 
$\dfrac{h'}{h}$}
\\
\cline{1-2}
\cline{4-4}
Pyramide de hauteur $h$ et de base polygonale d'aire $B$ 
& 
${\cal V}=\dfrac{B\times h}{3}$ 
& 
&
\includegraphics{296_12_10}%[width=3.5cm]
\vrule width 0pt height 27mm
&
\\
\hline
\end{tabular}}

\begin{Remarque} lorsqu'on sectionne un cône de révolution ou une 
pyramide par un plan parallèle à la base, on obtient un \og petit\fg{} 
cône ou une \og petite\fg{} pyramide qui sont des réductions du cône 
ou de la pyramide initiale.
\end{Remarque}

\enlargethispage*{2em}

% \begin{anecdote}[Perspective cavalière]
% Une origine possible de l'expression « perspective cavalière » est qu'un cavalier regardant du haut de son cheval un objet à terre le voit quasiment en perspective cavalière. 
% 
% Le terme datant du XVI\ieme{} siècle, où il était utilisé en architecture militaire, une autre interprétation proviendrait du fait qu'un cavalier est, en matière de fortification, un haut monticule de terre. La vue cavalière est alors la vue qu'a sur la campagne, un observateur situé sur le haut du cavalier ; la perspective cavalière serait donc le procédé utilisé par le dessinateur de fortifications pour rendre la vue cavalière.
% \end{anecdote}

\begin{props}
Soient $\mathcal{F}'$ et $\mathcal{F}$ deux figures du plan, d'aires 
respectives $\mathcal{A}'$ et $\mathcal{A}$.

Si $\mathcal{F}'$ est un agrandissement ou une réduction de 
$\mathcal{F}$ de rapport $k > 0$ alors :
\[\mathcal{A}' = \mathcal{A} \times k^2.\]
Soient $\mathcal{S}'$ et $\mathcal{S}$ deux solides de l'espace, 
de volumes
respectifs $\mathcal{V}'$ et $\mathcal{V}$.

Si $\mathcal{S}'$ est un agrandissement ou une réduction de 
$\mathcal{S}$ de rapport $k > 0$ alors :
\[\mathcal{V}' = \mathcal{V} \times k^3.\]
\end{props}

\begin{Exemple}
on considère une pyramide ayant pour volume $\mathcal{V} = 
250$~cm\up{3} et dont la base a pour surface $\mathcal{A} = 
75$~cm\up{2}. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base 
pour obtenir une réduction de cette pyramide de rapport $0,8$.
\end{Exemple}

La base de cette réduction a pour aire : $\mathcal{A}_1 = 
\mathcal{A}\times 0,8^2 = 75\times 0,8^2 = 48$~cm\up{2}.

Le volume de cette réduction vaut : $\mathcal{V}_1 = \mathcal{V} 
\times 
0,8^3 = 250 \times 0,8^3 = 128$~cm\up{3}.

\begin{Remarque}
on dit qu'une pyramide est \emph{régulière} si sa base est un 
polygone dont tous les côtés et tous les angles ont la même mesure et 
si le pied de sa hauteur est le centre de ce polygone. Les autres 
faces sont alors des triangles isocèles superposables.
\end{Remarque}

\begin{Exemple}[très courant]
~\Par
\begin{center}
\includegraphics{297_12_11}

\Par

Pyramide régulière à base carrée
\end{center}
\end{Exemple}

\newpage

\begin{solintro}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.2,-1.5){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL3MCh12ExType}}}
\rput(-0.7,-2.6){\PictoNathanLive[Video]}

\begin{questions}
\item $\mathcal{D}'$ est un disque de centre $\rm I'$ et de diamètre 
$\rm [A'B']$. D'après l'énoncé $\rm A'B' = 5$ cm donc la section est 
un disque de rayon $2,5$ cm.

\item $\rm [A'I']$ est un rayon du disque $\mathcal{D}'$ de diamètre 5 cm donc :
\[ \rm A'I'  = \dfrac{5}{2} = 2,5~{cm}. \]
On sait que $\rm A'SI'$ est un triangle rectangle en $\rm I'$, que $\rm A'I' = 2,5$ cm et que $\rm SA' = 6,5$ cm donc d'après le théorème de Pythagore : 
\[
\rm  (SI')^2 = \big(SA'\big)^2 - \big(A'I'\big)^2= 6,5^2 - 2,5^2 = 36.
\]  
On en déduit que $\rm SI' = \sqrt{36} = 6$~cm.
\item \label{enum-14-3}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\mathcal{A}'=\rm \pi \times (AI')^2 = \pi \times 2,5^2 = 6,25\pi.
\end{aligned}$

La valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}'$ de $\mathcal{D}'$ est $6,25\pi$ cm$^2$.

\item $\begin{aligned}[t]
\mathcal{V}' &= \rm\dfrac{\mathcal{A}' \times SI'}{3} = \dfrac{6,25 
\pi \times 6}{3} = 12,5 \pi.
\end{aligned}$

La valeur exacte du volume $\mathcal{V}'$ est donc $12,5 \pi$ cm$^3$.
\end{questions}
\item $\rm I' \in [SI]$ donc :
\begin{align*}
\rm   SI & \rm = SI' + I'I = 6 + 3 = 9.
  \end{align*}

  On a donc :
\[
\rm   \dfrac{SI}{SI'} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} = 1,5.
\]

  Le rapport de cet agrandissement est donc de $1,5$.
 
  
\item 
  \begin{questions}
  \item $\mathcal{D}$ est un agrandissement de $\mathcal{D}'$ de rapport $1,5$  donc :
\[
      \mathcal{A} = \mathcal{A}' \times (1,5)^2
                  = 2,25 \times \mathcal{A}'.
\]

  \item Le cône de volume $\mathcal{V}$ est un agrandissement du cône de volume $\mathcal{V}'$ de rapport $1,5$ donc :
\[
      \mathcal{V} = \mathcal{V}' \times (1,5)^3 
                  = 3,375 \times \mathcal{V}'.
\]
  \end{questions}

  \item D'après les résultats calculés à la question~\ref{enum-14-3}, on déduit :
\[
\mathcal{A} = 2,25 \times 6,25 \pi \approx 44
\]
et :
\[
\mathcal{V} = 3,375 \times 12,5 \pi \approx 133.
\]

Ainsi, $\mathcal{A} \approx 44$ cm$^2$ et $\mathcal{V} \approx 133$ cm$^3$.
\end{questions}
\end{solintro}



