\thumb

% EX1

\begin{qcm}{Agrandissements et réductions}{5}
Pour chacune des propositions, choisir la ou les réponse(s) possible(s). 

Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item \raisebox{-19mm}{\begin{tabular}{*2{m{0.45\linewidth}}}
Pavé 1 : & Pavé 2 :\\
\includegraphics{299_12_16}
&
\hspace*{13mm}\includegraphics{299_12_17}
\end{tabular}}
\par
\choix{Le pavé 2 est un agrandissement du pavé 1 de rapport 2}

\choix{Le pavé 2 est un agrandissement du pavé 1 de rapport $1,5$}

\choix{Le pavé 2 n'est pas un agrandissement du pavé 1}

\item{Si on sectionne un cylindre de révolution par un plan
       parallèle à sa base coupant sa hauteur en son milieu, alors on
       obtient un \og petit\fg{} cylindre qui est une réduction du \og  grand\fg{} de rapport $0,5$.} \resetchoix 
      
      \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{40mm}@{}}
     \choix{Vrai}& 
     \choix{Faux} &
     \choix{On ne peut pas répondre}
     \end{tabularx}

  \item{Sur une carte à l'échelle 1/\nombre{100000}, une surface
    de 15~km$^2$ est représentée par une surface de\ldots{}} \resetchoix
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXp{40mm}@{}}
  \choix{15~m$^2$}&
  \choix{15~dm$^2$}&
  \choix{15~cm$^2$}
  \end{tabularx}
  
 \item Deux cubes ont des volumes respectifs de 8~cm$^3$ et 64~cm$^3$. Alors, le plus grand est un agrandissement du plus petit de rapport\ldots\resetchoix
     
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
   \choix{2}&
   \choix{8}&
  \choix{$\sqrt{8}$}
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Réponse \choix[b]. Le pavé 2 est un agrandissement du pavé 1 de rapport $1,5$.
  

  Si on range dans l'ordre croissant les dimensions respectives du
  \og petit\fg{} pavé et du \og grand\fg{} pavé dans un tableau, on
  obtient :

   \begin{center}
     \begin{tabular}{|L|*3{Zc|}}
       \hline
       Dimensions du \og petit \fg{} pavé & 1 & 6 & 8 \\
       \hline
       Dimensions du \og grand\fg{} pavé & 1,5 & 9 & 12 \\
       \hline
     \end{tabular}
   \end{center}

  On remarque que les dimensions du \og grand\fg{} sont bien  proportionnelles aux dimensions du petit et que le rapport de
  proportionnalité (et donc d'agrandissement) est $1{,}5$.
\item Réponse \choix[b]. Faux.

  Si on sectionne un cylindre de révolution par un plan parallèle à sa
  base coupant sa hauteur en son milieu, alors on obtient deux \og
  petits\fg{} cylindres identiques, de hauteur égale à la moitié de la
  hauteur du \og grand\fg{} cylindre. Mais le rayon de la base de ces
  \og petits\fg{} cylindres est le même que celui du \og
  grand\fg{}. Ces deux \og petits\fg{} cylindres ne sont donc pas des
  réductions du \og grand\fg{} !
  
\item Réponse \choix[c]. Sur une carte à l'échelle $1/\nombre{100000}$, une surface de 15~km$^2$ est représentée par une surface de 15~cm$^2$.

  En effet, le rapport de réduction est ici de $1/\nombre{100000}$
  donc les aires sont multipliées par $(1/\nombre{100000})^2$,
  c'est-à-dire divisées par $10^{10}$. Or,
  \[15~\text{km}^2 = 15 \times 10^6~\text{m}^2\qquad\text{et}\qquad 1~\text{m}^2 = 10^4~\text{cm}^2,\] donc :
  \[15~\text{km}^2 = 15 \times 10^{10}~\text{cm}^2.\] Finalement, si on divise $15~\text{km}^2$ par $10^{10}$, on obtient 15~cm$^2$.
  
\item Réponse \choix[a]. Le \og gros\fg{} cube est un agrandissement du \og petit\fg{}  de rapport 2.

D'après le cours, si $k$ est le rapport d'agrandissement alors les
volumes sont multipliés par $k^3$. Or,
\[
64 = 8 \times 8 = 8 \times2^3.
\]
Le volume du \og petit\fg{} cube a donc bien été multiplié par $2^3$.
 \end{questions}
\end{corrige}

% QCM2

\begin{qcm}{Problèmes de sections}{3}
Pour chacune des propositions, choisir la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.

\begin{questions}
  \item{La section d'un cube par un  plan parallèle à une arête est\ldots{}}
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
   \choix{un carré}&	
  \choix{un rectangle}
  \end{tabularx}
 

  \item{La section d'une sphère par un plan est un disque} \resetchoix
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{Vrai}&
  \choix{Faux}
\end{tabularx}

  \item{Si on sectionne une sphère de rayon 5~m par un plan distant
    du centre de la sphère de 3~m, alors le rayon de la section
    vaut\ldots{}}  \resetchoix
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{3~m} &
  \choix{4~m}
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item Réponse \choix[b]. La section d'un cube par un plan parallèle 
à une arrête est un rectangle.

\item Réponse \choix[b]. Faux.

  La section d'une sphère par un plan qui lui est sécant est un cercle
  et non un disque\ldots{} C'est la section d'une \emph{boule} par un
  plan sécant qui est un disque.

\item Réponse \choix[b]. Si on sectionne une sphère de rayon 5~m par un plan distant du centre de la sphère de 3~m alors le rayon de la section vaut 4~m.
 

  Représentons la situation par le schéma page suivante :

  \begin{center}
    \includegraphics{308_12_18}
  \end{center}

  Le rayon de la section est le segment [HM] dont on va calculer la
  longueur en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OHM
  rectangle en H :
  \begin{align*}
  \rm  HM^2 &\rm = OM^2 - OH^2 \\
         &= 5^2 - 3^2 \\
         &=25 - 9\\
         & = 16.
  \end{align*}
  Donc $\rm HM =\sqrt{16}= 4$~m.
 \end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{La sphère}

% EX3

\begin{exo}{Coordonnées sphériques}{Collège Aimé Césaire, 
Grenoble}{1}{3}
 Associer chaque ville à la latitude et la longitude qui lui 
correspondent :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|l|cll|}\hline
  Berlin (en Allemagne) & \choix[a] & longitude : 18$\degres$E & 
latitude : 34$\degres$S \\ \hline
  Pékin (en Chine) & \choix[b] & longitude : 6$\degres$O & latitude : 
53$\degres$N \\ \hline
  Le Cap (en Afrique du Sud) & \choix[c] & longitude : 13$\degres$E & 
latitude : 
52$\degres$N \\ \hline
  Dublin (en Irlande) & \choix[d] & longitude : 116$\degres$E & 
latitude : 
40$\degres$N \\ \hline
 \end{tabular}

\end{center}
\'Ecrivez sur votre copie le nom de la ville, puis la lettre 
correspondante (\choix[a], \choix[b], \choix[c] ou \choix[d]).
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{methode}
  Dans ce type d'exercice, on peut d'abord repérer les villes qui 
sont les plus éloignées du méridien de Greenwich (à l'ouest ou à 
l'est) ou les plus éloignées de l'équateur terrestre (au nord ou au 
sud).
\end{methode}
On sait que Pékin est la ville la plus à l'est du méridien de 
Greenwich, donc parmi toutes les longitudes proposées, il faut 
choisir 116$\degres$E.

Le Cap est la ville la plus au sud de l'équateur terrestre, donc sa 
latitude est 34$\degres$S.

Il reste Berlin et Dublin qui n'ont pas des latitudes très éloignées, 
mais on sait que Dublin est à l'ouest du méridien de Greenwich, donc 
sa longitude est 6$\degres$O.

On peut donc en conclure que :
\begin{itemize}
 \item Berlin a pour longitude 13$\degres$E et pour latitude 
52$\degres$N. C'est la proposition~\choix[c].
 \item Pékin a pour longitude 116$\degres$E et pour latitude 
40$\degres$N. C'est la proposition~\choix[d].
 \item Le Cap a pour longitude 18$\degres$E et pour latitude 
34$\degres$S. C'est la proposition~\choix[a].
 \item Dublin a pour longitude 6$\degres$O et pour latitude 
53$\degres$N. C'est la proposition~\choix[b].
\end{itemize}

\end{corrige}

%% EX4

\begin{exo}{Balles et ballons}{Collège Chaptal, Paris}{1}{7}
 \begin{questions}
  \item On admet qu'un ballon de basket est assimilable à une sphère 
de rayon~$r_1$ mesurant $12,1$ cm. Calculer le volume $\mathcal{V}_1$ 
de ce ballon (donner le résultat arrondi au cm\up{3} près).
\item On admet qu'une balle de tennis est assimilable à une sphère de 
rayon~$r_2$, en cm. La balle de tennis est ainsi une réduction du 
ballon de basket. Le coefficient de réduction est $\dfrac{4}{15}$.
\begin{questions}
\item Calculer $r_2$ (arrondir au mm près).
\item Sans utiliser cette valeur de $r_2$, calculer le volume 
$\mathcal{V}_2$ d'une balle de tennis (arrondir au cm\up{3} près).
\end{questions}
 \end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item $\begin{aligned}[t]
          \mathcal{V}_1 & = \dfrac{4}{3}\pi \times r_1^3 \\
          \mathcal{V}_1 & = \dfrac{4}{3}\pi \times 12,1^3 \\
          \mathcal{V}_1 & = \text{\numprint{7421}}~\text{cm\up{3} 
(arrondi au cm\up{3} près).}
         \end{aligned}$
         
Le ballon de basket a un volume d'environ \numprint{7421}~cm\up{3}.
\item \begin{questions}
\item Le rayon $r_2$ est une réduction du rayon $r_1$ de rapport 
$\dfrac{4}{15}$. On a donc :

$\begin{aligned}[t]
          r_2 & = r_1\times \dfrac{4}{15} \\
          r_2 & = 12,1 \times \dfrac{4}{15} \\
          r_2 & = 3,2~\text{cm (arrondi au mm près).}
         \end{aligned}$
         
         Le rayon de la balle de tennis vaut environ $3,2$~cm.
    \item Lors d'une réduction de rapport $k$, les volumes sont 
multipliés par $k^3$. On a donc :

$\begin{aligned}[t]
          \mathcal{V}_2 & = \mathcal{V}_1 \times 
\left(\dfrac{4}{15}\right)^3 \\
          \mathcal{V}_2 & = \text{\numprint{7421}}\times 
\left(\dfrac{4}{15}\right)^3 \\
          \mathcal{V}_2 & = 141~\text{cm\up{3} 
(arrondi au cm\up{3} près).}
         \end{aligned}$
         
La balle de tennis a un volume d'environ 141~cm\up{3}.
\end{questions}
 \end{questions}

\end{corrige}

% EX5

\begin{exo}{La Géode}{Collège Saint-Laurent, Lagny-sur-Marne}{2}{18}
Dans le  parc de la cité des sciences se trouve la Géode, salle de 
cinéma qui a extérieurement la forme d'une calotte sphérique de rayon 
18~m, posée sur le sol. On a représenté ce bâtiment dans le schéma 
ci-dessous.

\Par

\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[scale=0.8]{300_12_21}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7cm}
On donne : 
\begin{itemize}
\item $\rm OM = 18$~m;
\item $\widehat{\rm MOH} = 52~\degres$.
\end{itemize}
\vspace*{2cm}~
\end{minipage}



\begin{questions}
\item 
  \begin{questions}
  \item Calculer la valeur arrondie de OH au mètre près.
  \item En déduire la hauteur totale de la Géode.
  \end{questions}
  
\item
  \begin{questions}
  \item Calculer la valeur arrondie au mètre près de HM.
  \item Quelle est la forme de la surface au sol occupée par la
    Géode ?
  \item Calculer la valeur arrondie au m$^2$ près de l'aire 
$\mathcal{A}$ de cette surface.
  \end{questions}
  
  
\item On veut représenter le triangle OHM à l'échelle $1/300$.
  \begin{questions}
  \item Quelle est la longueur OM sur ce dessin ?
  \item Construire le triangle OHM à l'échelle $1/300$.
  \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

% EX7corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
  \item On sait que le triangle OHM est rectangle en M, que 
  $\rm OM = 18$ et que $\widehat{\rm MOH} = 52~\degres$, on peut donc 
utiliser une formule de trigonométrie pour
    calculer OH :
    \[\rm\cos \widehat{MOH} = \frac{OH}{OM}.\]
    On a donc :
    \[\rm\cos 52~\degres{} = \frac{OH}{18}\;,\]
    d'où :
    \[
    \rm  OH = 18 \times \cos 52~\degres{} \approx 11.
    \]

La longueur OH est donc d'environ 11~m.

  \item La hauteur totale de la Géode est la somme du rayon de la 
calotte sphérique (18~m) et de la longueur OH (environ 11~m), elle est 
donc d'environ 29~m.
  \end{questions}

\item
  \begin{questions}
  \item Utilisons une formule de trigonométrie dans le triangle OHM 
rectangle en H :
    \begin{align*}
     \rm \sin \widehat{MOH} & \rm = \frac{HM}{OM}\\
      \sin 52~\degres{} &= \rm\frac{HM}{18}.
    \end{align*}

    On en déduit :
    \[
   \rm   HM = 18 \times \sin 52~\degres{} \approx 14.
    \]

Ainsi, $\rm HM \approx 14~\text{m}$.

\begin{methode}
On aurait pu utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle
OHM rectangle en H puisqu'on connaît la mesure de OM et
une valeur arrondie de OH. Les calculs nous auraient mené à la
même valeur arrondie de HM au mètre près. Cependant, on
remarque que dès la première décimale, les deux résultats
obtenus avec les deux méthodes sont différents\ldots{} Les calculs 
liés à l'utilisation du théorème de Pythagore sont en effet moins 
précis car ils nécessitent l'utilisation d'une valeur arrondie (celle 
de HM) et les erreurs d'arrondi se
répercutent\ldots{}
\end{methode}

\item La surface au sol occupée par la Géode est un disque de rayon 
HM, c'est-à-dire d'environ 14~m.

  \item  $\begin{aligned}[t]
	  \mathcal{A} &= \rm \pi \times HM^2 \\
                &= \pi \times (18 \times \sin 52~\degres)^2\\
                & \approx 632.
        \end{aligned}$
    
    La Géode occupe donc une surface au sol d'environ 632~m$^2$.

\begin{attention}
Si on utilise ici pour le calcul de $\mathcal{A}$ la valeur arrondie 
de HM, c'est-à-dire 14, à la place de la valeur exacte de HM, 
c'est-à-dire $18 \times \sin 52~\degres$, on trouve $\mathcal{A} =  
616~\text{m}^2$\ldots{} La différence entre ces deux résultats n'est 
pas négligeable !
\end{attention}
\end{questions}

\item
  \begin{questions}
  \item Dans la réalité, le rayon OM de la calotte sphérique est de 
18~m, soit de \nombre{1800}~cm. Sur une représentation à l'échelle 
$1/300$, cette longueur va être multipliée par $\dfrac{1}{300}$, soit 
divisée par 300 : 
    \[
\rm     OM \div 300 = \nombre{1800} \div 300 = 6.
    \]
Sur ce dessin, [OM] mesure donc 6~cm.

\item
\begin{methode}
On trace un triangle rectangle en H tel que $\rm\widehat{MOH} = 
52~\degres$ et $\rm OM = 6~\text{cm}$.
\end{methode}
  
\begin{center}
\includegraphics{311_12_22}
\end{center}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX6

\begin{exo}{De Casablanca à Xi'an}{Collège Chaptal, Paris}{3}{15}
 On assimile la Terre à une boule de centre O et de rayon 
\numprint{6370} km.

Le point C représente la ville de Casablanca (au Maroc), il est situé 
sur le même méridien que le point E placé sur l'équateur.
\begin{center}
 \includegraphics{301_12n_exo06}
\end{center}
\begin{questions}
 \item Quel est l'angle sur la figure ci-dessus correspondant à la 
latitude de Casablanca ?
\item \begin{questions}
\item Sachant que la distance CH vaut \numprint{5280} km, calculer la 
mesure de l'angle $\widehat{\text{HOC}}$ (arrondir au degré près).
\item En déduire la latitude de Casablanca.
\end{questions}
\item Les coordonnées géographiques de Xi'an (en Chine) sont 
$(34\degres\text{N};109\degres\text{E})$. Sachant que la longitude de 
Casablanca est 8$\degres$O, déterminer la distance parcourue pour 
aller de Casablanca à Xi'an en restant sur le 34\ieme{} parallèle 
nord (arrondir au km près). 
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage{2em}
 \begin{questions}
  \item L'angle correspondant à la latitude de Casablanca est l'angle 
$\widehat{\text{COE}}$, il s'agit d'une latitude nord, Casablanca 
étant située dans l'hémisphère Nord.
\item \begin{questions}
\item Dans le triangle OHC rectangle en H :
\begin{align*}
 \sin\widehat{\text{HOC}} & = \dfrac{
 \text{côté opposé à $\widehat{\text{HOC}}$}}{\text{hypoténuse}} = 
\dfrac{\text{HC}}{\text{OC}} \\
& = \dfrac{\text{\numprint{5280}}}{\text{\numprint{6370}}} \\
\widehat{\text{HOC}} & \approx 56\degres.
\end{align*}
\item L'angle $\widehat{\text{HOE}}$ est un angle droit, donc 
$\widehat{\text{HOC}}+\widehat{\text{COE}} = 90\degres$. On a donc :
\begin{align*}
 \widehat{\text{COE}} & = 90 - \widehat{\text{HOC}} \\
 \widehat{\text{COE}} & \approx 90 - 56 \\
 \widehat{\text{COE}} & \approx 34\degres.
\end{align*}
La latitude de Casablanca est donc à peu près : 34$\degres$N.
\end{questions}
\newpage
\item \text{}

\vspace{-30pt}
\begin{center}
 \includegraphics{312_12n_exo06_corr}
\end{center}
Le 34\ieme{} parallèle nord est le cercle de centre H dont le rayon 
$[\text{HC}]$ mesure \numprint{5280} km. Nommons $\mathcal{C}$ ce 
cercle et X la ville de Xi'an.

Casablanca et Xi'an ayant pour longitudes respectives 8$\degres$O 
et 109$\degres$E, on a donc :
\[\widehat{\text{CHX}} = 8 + 109 = 117\degres.\]
La distance parcourue pour aller de Casablanca à Xi'an en restant sur 
le 34\ieme{} parallèle nord est la longueur de l'arc 
$\overset{\;\rotatebox{90}{)}}{\text{CX}}$ sur le cercle 
$\mathcal{C}$.

\Par

Or, la mesure de l'angle $\widehat{\text{CHX}}$ est proportionnelle à 
la 
longueur de l'arc de cercle 
$\overset{\;\rotatebox{90}{)}}{\text{CX}}$ qu'il 
intercepte. On peut donc dresser le tableau de proportionnalité 
suivant :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|L|c|c|} \hline
  Mesure de l'angle (en $\degres$) & $117$ & $360$ \\ \hline
  Longueur de l'arc (en km) & $\ell$ & $2 \times \pi \times 
\text{\numprint{5280}}$ \\ \hline
 \end{tabular}
\end{center}
En effet, comme nous connaissons le rayon du cercle $\mathcal{C}$, 
nous pouvons calculer la circonférence du cercle qui correspond à 
l'angle plein ($360\degres$).

\Par

On a ainsi :
\begin{align*}
 \ell & = \dfrac{117 \times 2 \times \pi \times 
\text{\numprint{5280}}}{360} \\
\ell & \approx \text{\numprint{10782}}~\text{km (arrondi au km près).}
\end{align*}
On doit donc parcourir environ $\text{\numprint{10782}}$~km sur le 
34\ieme{} parallèle nord pour aller de Casablanca à Xi'an.
\end{questions}

\end{corrige}


\sectionnn{Section d'un solide par un plan et volumes}


%% EX7
\begin{exo}{Cône de révolution}{Collège Monthéty, 
Pontault-Combault}{1}{10}

\begin{center}
\includegraphics{302_12_28}
\end{center}

Dans le cône de révolution représenté ci-dessus, on donne :
\[
\rm SO = 9~\text{cm, } SO' = 5~\text{cm et } OA = 4~\text{cm}.
\]
La section de ce cône par un plan $\mathcal{P}$ parallèle à la base et 
passant par $\rm O'$ coupe le segment [SA] en $\rm A'$.

\begin{questions}
\item Répondre sans donner aucune justification aux questions
  suivantes : 
  \begin{questions}
  \item Quelle est la nature de cette section ?
  \item Quelle est la nature du triangle SOA ?
  \item Que peut-on dire des segments [OA] et $\rm [O'A']$ ?
  \end{questions}

\item Représenter en vraie grandeur et sans aucun calcul : 

  \begin{itemize}
  \item le triangle SOA (en plaçant les points $\rm O'$ et $\rm A'$) ;
  \item puis la section du cône par le plan $\mathcal{P}$.
  \end{itemize}

\item Déterminer par un calcul la valeur arrondie au 1/10 du rayon 
de cette section.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item La section de ce cône par un plan parallèle à sa base est un 
disque.
\item Le triangle SOA est un triangle rectangle en O.
\item Les segments [OA] et $\rm [O'A']$ sont parallèles.
\end{questions}
\item 
\begin{methode}
On obtient le point A' en traçant la droite parallèle à (OA) 
passant par O'. Le point A' est le point d'intersection de 
cette droite et du segment [SA]. Ensuite, cette première figure nous 
donne la longueur O'A' que l'on peut reporter à l'aide d'un 
compas pour tracer la section du cône par le plan $\mathcal{P}$. En 
effet, cette section est, d'après le cours, un disque de centre O' 
et de rayon O'A'.
\end{methode}  
  
\begin{center}
\includegraphics{313_12_29}
\end{center}

 
\item
\begin{methode}
On cherche la valeur de $\rm O'A'$. La figure de la question
précédente doit nous mettre sur la voie. En effet, il s'agit d'une 
configuration de Thalès.
\end{methode}

Dans les triangles SOA et $\rm SO'A'$, on sait que les points S, $\rm 
O'$ et O sont alignés d'une part, que les points S, $\rm A'$ et A sont 
alignés d'autre part, et que les droites $\rm (A'O')$  et (AO) sont 
parallèles.

Donc, d'après le théorème de Thalès :
\[
\rm    \frac{SO'}{SO} = \frac{SA'}{SA} = \frac{A'O'}{AO}\;,
\]
ce qui donne : 
  \[
\rm    \frac{5}{9} = \frac{SA'}{SA} = \frac{A'O'}{4}.
  \]
En particulier : 
  \[\rm\frac{5}{9} = \frac{A'O'}{4}.\]

  On en déduit, en utilisant l'égalité des produits en croix :
  \[
\rm    A'O' = \frac{5 \times 4}{9} = \frac{20}{9}.
  \]

Ainsi, $\rm A'O' \approx 2,2~\text{cm}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX8

\begin{exo}{Grandeurs quotients}{Collège Cassignol, Bordeaux}{1}{5}
 Pour réaliser les fondations d'une maison, on construit une dalle en 
béton. Cette dalle a pour dimensions : $16$~m de longueur, $12$~m de 
largeur et $15$~cm d'épaisseur.

On sait que la masse volumique du béton est égale à \numprint{2500} 
kg/m\up{3}.
\begin{questions}
 \item Calculer le volume de béton nécessaire pour réaliser cette 
dalle (en m\up{3}).
\item Calculer la masse de cette dalle en tonnes.
\end{questions}

\end{exo}


\begin{corrige}
 \begin{questions}
  \item \begin{methode}
         Avant tout calcul, penser à convertir toutes les longueurs 
dans la même unité.
        \end{methode}
Ici, on convertit l'épaisseur en mètre, on a : 
$15~\text{cm}=0,15~\text{m}$.

La dalle a la forme d'un pavé droit, son volume $\mathcal{V}$ vaut 
donc :
\begin{align*}
 \mathcal{V} & = L \times \ell \times h \\
  \mathcal{V} & = 16 \times 12 \times 0,15 \\
   \mathcal{V} & = 28,8~\text{m}\up{3}.
\end{align*}
Cette dalle en béton a donc un volume de $28,8$~m\up{3}.
\item La masse volumique d'un objet, notée $\mu$, est égale au 
quotient de sa masse $m$ par son volume $\mathcal{V}$. On a donc :
\[\mu = \dfrac{m}{\mathcal{V}}.\]
On a ainsi :
\begin{align*}
 m & = \mu \times \mathcal{V} \\
 m & = \text{\numprint{2500}} \times 28,8 \\
 m & = \text{\numprint{72000}}~\text{kg} \\
  m & = 72~\text{t}.
\end{align*}
Cette dalle en béton pèse donc 72 tonnes.
 \end{questions}

\end{corrige}

%% EX9

\begin{exo}{Pyramide régulière}{Collège Hoche, Versailles}{1}{6}
L'unité de longueur est le cm. L'unité de volume est le cm$^3$.

Un jouet a la forme d'une pyramide r\'eguli\`ere de hauteur $12$.

Sa base est un carr\'e de c\^ot\'e $7$.
\begin{questions}
\item  Calculer le volume $\cal{V}$ \ de la pyramide.

\item La pyramide est lest\'ee (alourdie) \`a sa base. Plong\'ee dans 
une baignoire remplie d'eau, elle flotte pointe en haut, laissant hors 
de l'eau la moiti\'e de sa hauteur. Le plan de sa base est alors 
parall\`ele \`a celui de la surface de l'eau. La situation est 
représentée sur la figure suivante :

\begin{center}
\includegraphics{303_12_20}
\end{center}

  \begin{questions}
  \item En considérant que la partie hors de l'eau est une
    réduction du jouet, déduire de la question 1 le volume de cette 
partie.

  \item Quel est le volume de la partie qui est sous l'eau ?
  \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  La formule donnant l'aire d'une pyramide r\'eguli\`ere est :
  \[\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h\]
  o\`u $\mathcal{B}$ est l'aire de la base (ici l'aire du carr\'e) :
  \[\begin{aligned}[t]
     \mathcal{B}&=7^2=49~\text{cm}^2
    \end{aligned} \qquad \text{et} \qquad 
    \begin{aligned}[t]
      h&=12~\text{cm}.
    \end{aligned}
\]
  Donc :
  \[
    \mathcal{V} =\frac{1}{3}\times49\times12= 196~\text{cm}^{3}.
  \]


\item 
  \begin{questions}
  \item La partie hors de l'eau est une réduction du jouet de rapport 
$0,5$ puisque la moitié de la hauteur est hors de  l'eau. Il suffit 
donc pour déterminer le volume $\mathcal{V}_1$ de la partie hors de 
l'eau, de multiplier le volume $\mathcal{V}$ du jouet par $(0,5)^3$, 
ce qui donne :
    \begin{align*}
      \mathcal{V}_1 &= \mathcal{V} \times (0,5)^3 \\
                    &= 196 \times 0,125\\
                    & = 24,5.
    \end{align*}

Le volume de cette partie est donc de $24,5~\text{cm}^3$.
\item
\begin{attention}
Ce n'est pas parce que la surface de l'eau coupe la hauteur de la 
pyramide en deux parties égales que le volume de la partie sous l'eau 
est le même que le volume de la partie hors de
l'eau !
\end{attention}

    Le volume $\mathcal{V}_2$ de la partie sous l'eau est la 
différence entre
    le volume $\mathcal{V}$ du jouet et le volume $\mathcal{V}_1$ de 
la partie hors de
    l'eau.

    Ce qui donne :
    \begin{align*}
      \mathcal{V}_2 &= \mathcal{V} - \mathcal{V}_1 \\
                    &= 196 - 24,5\\
                    & = 171,5.
    \end{align*}

La partie sous l'eau a donc un volume de $171,5~\text{cm}^3$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX10

\begin{exo}{Objet spongieux}{Collège Alain Fournier, Bordeaux}{1}{7}
Un objet est sculpté dans une éponge. Il a pour propriété de 
s'agrandir de 20\;\% lorsqu'on le mouille. Lorsqu'il est sec, son 
volume est égal à 50 cm$^3$.

Quel est son volume, en cm$^3$ et en cl, une fois mouillé ? 
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Quand il s'agit d'agrandir d'un certain pourcentage, il est utile de 
penser à ce que nous avons vu dans 
le chapitre~\ref{chap:fctlinetaffine} 
sur les fonctions linéaires et affines : agrandir de $t\;\%$ revient 
à multiplier les 
longueurs par $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$.
\end{methode}

Le coefficient d'agrandissement est ici égal à :
\[
k=1+\dfrac{20}{100}=1,2.
\]
Nous savons que si un solide est agrandi avec un facteur 
d'agrandissement de $k$, alors son volume est multiplié par $k^3$.

Le volume de l'objet sec est 50 cm$^3$ donc son volume mouillé est :
\begin{align*}
 50 \times 1,2^3 & = 86,4~\text{cm\up{3}} \\
 & = \text{\numprint{0,0864}}~\text{dm\up{3}} \\
 & = \text{\numprint{0,0864}}~\text{L} \\
 & = 8,64~\text{cL}.
\end{align*}

\begin{aretenir}
Pour convertir des volumes, il faut absolument connaître l'égalité 
suivante :
\[1~\text{dm}\up{3} = 1~\text{L}.\]
\end{aretenir}
\end{corrige}

%% EX11

\begin{exo}{Pyramide régulière}{Collège Jean-Jacques Perret, 
Aix-les-Bains}{2}{10}
\enlargethispage*{5em}
\vspace{0.5em}
\begin{minipage}[b]{\dimexpr\linewidth-45mm}
SMNOP est une pyramide régulière à base carrée de 25~m de côté. 

La hauteur [SH] mesure 12~m.

\begin{questions}
\item Calculer en m$^3$, le volume $\mathcal{V}_1$ de cette pyramide.

\item On réalise une maquette à l'échelle $1/20$ de cette pyramide. 
Par quelle fraction doit-on multiplier $\mathcal{V}_1$ pour obtenir le 
volume $\mathcal{V}_2$ de la pyramide réduite ? 

En déduire la valeur de $\mathcal{V}_2$.
\end{questions}
\end{minipage}
\hfill
\raisebox{-5mm}{\includegraphics{303_12_25}}
\end{exo}

% EX10corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
	\mathcal{V}_1 &=\rm \frac{1}{3} \times (MN)^2 \times SH \\
    &= \frac{1}{3} \times25^2 \times 12\\
    & = \nombre{2500}.
      \end{aligned}$

  Le volume $\mathcal{V}_1$ de cette pyramide est de 
\nombre{2500}~m$^3$.

\item La maquette est une réduction de rapport $\dfrac{1}{20}$ de  la 
pyramide. Il faut donc, d'après le cours, multiplier le volume  
$\mathcal{V}_1$ par $\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}$, c'est-à-dire par 
$\dfrac{1}{\nombre{8000}}$, pour obtenir le volume $\mathcal{V}_2$ de 
la maquette. Ce qui donne :
  \begin{align*}
    \mathcal{V}_2 &= \mathcal{V}_1 \times \frac{1}{\nombre{8000}} \\
                  &= \nombre{2500} \times\frac{1}{\nombre{8000}}\\
                  & = 0,3125.
  \end{align*}

Ainsi, le volume de la maquette est de $\nombre{0,3125}$~m$^3$ soit de 
$312,5~\text{dm}^3$.
\end{questions}
\end{corrige}

% EX12


\begin{exo}{Hologramme}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{2}{10}
Un ingénieur d'une entreprise de création design a créé un objet en verre formé à partir d'un cube ABCDEFGH dans lequel il y a deux pyramides identiques SABCD et SEFGH remplies d'eau teintée en bleu marine (voir représentation page ci-contre).

On sait que $\rm AB=60$~cm et que S est le milieu des diagonales du cube [AG] et [FD].

Afin de présenter cet objet à une conférence dans un amphithéâtre, le patron de l'entreprise souhaite réaliser un hologramme qui multiplie les longueurs de l'objet par 40.

\begin{center}
\includegraphics{304_12_12}
\end{center}

\begin{questions}
\item Quel est le volume minimal à réserver pour l'hologramme ? Donner le résultat en m$^3$.
\item Quel est le volume d'eau enfermé dans cet objet en litre ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le cube a une arête de longueur 60 cm. Il a donc un volume égal à :
\[
{\cal V}_{\text{cube}}=60^3=\numprint{216000}~\text{cm}^3=0,216~\text{m}^3.
\]

L'hologramme a un facteur d'agrandissement égal à 40 donc son volume est :
\[
{\cal V}_{\text{hologramme}}=0,216\times40^3=\numprint{13824}~\text{m}^3.
\]
La scène où sera l'hologramme devra donc pouvoir contenir au minimum \numprint{13824}~m$^3$.

\item Complétons la figure de l'énoncé :
\begin{center}
\includegraphics{317_12_13}
\end{center}

P est le pied de la hauteur de la pyramide SABCD; c'est le milieu de la diagonale [AC].

Dans le triangle ACG, P et S sont les milieux respectifs de [AC] et [AG] donc APS est une réduction de ACG de facteur 0,5. Ainsi,
\[
\rm SP=0,5\times CG=0,5\times60=30.
\]
De plus, l'aire de la base de la pyramide SABCD est :
\[
{\cal A}_{\text{ABCD}}=60^2=\numprint{3600}\qquad\text{(aire d'un carré)}.
\]
Par conséquent, le volume de la pyramide SABCD est :
\[
{\cal V}_{\text{SABCD}}=\dfrac{\numprint{3600}\times30}{3}=\numprint{3600}\times10=\numprint{36000}~\text{cm}^3
\]
et donc, le volume total d'eau est le double de \numprint{36000}, c'est-à-dire \numprint{72000}~cm$^3$, soit 72 L (car il y a 2 pyramides identiques).
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX13

\begin{exo}{Bassin en forme de cône}{Collège Saint-Charles, 
Paris}{2}{18}
\vspace{0.5em}
\begin{minipage}[b]{\dimexpr\linewidth-55mm}
Dans un jardin public, un bassin a la forme d'un c\^one d'axe (OS) tel 
que $\rm OS=1,2$ m. La bordure de ce bassin est un cercle de rayon 
$\rm OC=3~\text{m}$.

\begin{questions}
\item Quelle longueur de grillage (\`a 1~m par exc\`es) faudra-t-il 
pour entourer le bassin ?

\item  Calculer une valeur arrondie \`a $0,1$ m de SC.
\end{questions}
\end{minipage}\hfill\includegraphics[scale=0.9]{304_12_23}

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{2}


\item Calculer $\tan{\widehat{\rm OSC}}$ puis $\widehat{\rm OSC}$ \`a 
$1\degres$  pr\`es.

\item Calculer le volume $\cal{V}$ de ce bassin \`a $0,001 \text{ 
m}^3$ pr\`es.  Combien de litres d'eau faudra-t-il pour remplir ce 
bassin ?

\item On remplit ce bassin à l'aide d'une pompe dont le débit est de 
\numprint{7500}~L/h. Combien de temps faut-il prévoir pour le remplir 
entièrement ?

\item Lorsque le bassin est partiellement rempli, l'eau occupe un 
c\^one de sommet S de de hauteur $\rm SO'$ et de rayon $\rm O'C'$.  
Calculer le volume $\mathcal{V}'$ d'eau dans ce bassin si $\rm SO' = 
\dfrac{1}{3} \times SO$. En donner une valeur arrondie au dm$^3$ près.

\item  À quelle distance de S doit-on placer $\rm O'$ pour que le 
volume rempli $\cal{V}'$ soit égal à $\dfrac{1}{8}\times \cal{V}$ ?
\end{questions}
\end{exo}

% EX8corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour entourer le bassin, il faut que le grillage puisse faire 
tout le tour de celui-ci; il faut donc que sa longueur soit \'egale au 
p\'erim\`etre de la bordure du bassin.\enlargethispage*{2em}

Or le rayon de la bordure est $\rm OC=3$~m, donc le p\'erim\`etre 
$\mathcal{P}$ est : 
  \[
  2\pi\times\text{OC}\approx18,850\text{ m}.
  \]

  Donc la longueur de grillage n\'ecessaire est 19~m.

\item  Dans le triangle OSC rectangle en O, on applique le 
th\'eor\`eme de Pythagore :
  \[\rm OS^2+OC^2=SC^{2}.\]
  Donc :
  \begin{align*}
 \rm   SC^2&=1,2^2+3^2\\
        &=1,44+9\\
        &=10,44\;,
  \end{align*}
  d'o\`u :
\[
  \rm  SC=\sqrt{10,44} \approx,23 \approx 3,2~\text{m (\`a $0,1$ m par 
d\'efaut)}. \]

\item  Dans le triangle OSC rectangle en O :
  \begin{align*}
\rm    \tan{\widehat{OSC }} &=\rm\frac{OC}{OS}\\
                         &=\frac{3}{1,2}\\
                         &=2,5.
  \end{align*}
  On trouve alors, à l'aide de la calculatrice :
  \[\rm\widehat{OSC}\approx 68~\degres{} \text{ \`a 1~\degres{} 
pr\`es}.\]

\item  Le volume $\mathcal{V}$ d'un c\^one est \'egal \`a :
  \[\mathcal{V}=\frac{1}{3}\mathcal{B}\times h\;,\]
  o\`u $h$ est la hauteur du c\^one ($h={\rm OS}$) et $\mathcal{B}$ 
est la surface de la base du c\^one :
  \[
\rm    \mathcal{B} =\pi\times OC^2=9\pi.
  \]
  Donc :
  \begin{align*}
      \mathcal{V} &=\frac{1}{3}\times9\pi\times\rm OS\\
                  &=3\pi\times1,2\\
                  &\approx 11,310~\text{m}^3 \text{ \`a 0,001 m$^3$ 
pr\`es}.
  \end{align*}
Or $1~\text{L}=1~\text{dm}\up{3}$, on a donc :
\[11,310~\text{m}\up{3}=\text{\numprint{11310}}~\text{dm}\up{3}=\text{
\numprint{11310}}~\text{L}.\]
Il faut donc environ \numprint{11310} litres d'eau pour remplir ce 
bassin.
\item Nommons $d$ le débit de la pompe et $t$ le temps pour remplir 
le bassin. On a donc :
\begin{align*}
 d & = \dfrac{\mathcal{V}}{t} \\
 \text{\numprint{7500}} & = \dfrac{\text{\numprint{11310}}}{t}.
\end{align*}
Ce qui nous donne :
\begin{align*}
 t & = \dfrac{\text{\numprint{11310}}}{\text{\numprint{7500}}}  \\
 t & = 1,508.
\end{align*}
Il faut donc environ 1 heure et demie pour remplir le bassin 
entièrement.
\item Le cône de sommet S et de hauteur $\rm SO'$ est une réduction du 
cône de sommet S et de hauteur SO. 

$\rm SO' = \dfrac{1}{3} \times SO$ donc le rapport de réduction est de 
$\dfrac{1}{3}$. 

Or on connaît le volume $\mathcal{V}$ du grand cône d'après la 
question 4 : 
  \[
    \mathcal{V} = 3\pi \times 1,2 = 3,6\pi.
  \]

  On peut donc en déduire le volume $\mathcal{V}'$ du \og petit\fg{} 
cône en  utilisant la formule du cours :
  \begin{align*}
    \mathcal{V}' &= \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \times \mathcal{V} \\
                 &= \dfrac{1}{27} \times 3,6\pi \approx 
0,419~\text{m}^3.
  \end{align*}

Ainsi, lorsque le bassin est partiellement rempli, l'eau
  occupe un volume d'environ 419~dm$^3$.

\item On sait que si le rapport de réduction vaut $k$ alors 
$\mathcal{V}' = k^3 \times \mathcal{V}$.

Il faut donc que $k^3 = \dfrac{1}{8}$. On en déduit que $k = 
\dfrac{1}{2}$ et qu'il faut placer $\rm O'$ au milieu de [SO], 
c'est-à-dire à $0,6~\text{m}$ de S.
\end{questions}
\end{corrige}

%% EX14

% EX14

\begin{exo}{Plans parallèles}{Collège Saint-Joseph de Tivoli, Bordeaux}{2}{10}
On considère le parallélépipède rectangle ci-dessous.

M est un point de [DC] tel que $\rm DM=2$~cm.

On considère alors le plan $({\cal P})$ parallèle au plan (DEGB) 
passant par M.

\begin{center}
\includegraphics{305_12_15a}
\end{center}

\begin{questions}
\item Reproduire ce schéma et construire la section ${\cal S}$ du 
parallélépipède avec le plan $({\cal P})$.
\item Calculer l'aire de DEGB. En donner une valeur approchée au 
centième.
\item En déduire l'aire de la section ${\cal S}$. En donner une valeur 
approchée au centième.
\end{questions}
\end{exo}

% EX14corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{methode}
Pour construire la section du parallélépipède rectangle avec le plan 
parallèle à (DBGE) passant par M,
\begin{itemize}
\item on commence par tracer la parallèle à (DB) passant par M; 

elle coupe [BC] en un point que l'on va nommer N.
\item Ensuite, on trace la parallèle à (BG) passant par N; 

elle coupe [GF] en O.
\item Enfin, on trace la parallèle à (EG) passant par O; elle coupe 
[EF] en P.
\item On trace pour finir le segment [PM]. 

La section est le quadrilatère MNOP.
\end{itemize}
\end{methode}
\enlargethispage*{2em}
\begin{center}
\includegraphics{320_12_15b}
\end{center}

$\cal S$ est donc le rectangle MNOP.

\item DEGB est un rectangle. En effet, toutes les faces du 
parallélépipède rectangle sont perpendiculaires donc (DB) et (EG) sont 
parallèles entre elles et sont perpendiculaires à (DE) et (BG).

L'aire de DEGB est donc égale à $\rm DB \times DE$.

Le triangle ABD est rectangle en A donc d'après le théorème 
de\linebreak Pythagore :
\[
\rm DB^2  = \rm AD^2+AB^2 = 2^2+5^2 = 4+25 = 29.
\]
Donc $\rm DB=\sqrt{29}$. L'aire de DBGE est donc égale à :
\[
\sqrt{29} \times 2 \approx 10,77~\text{cm}^2.
\]

\item Dans le triangle DBC, M appartient à [DC], N appartient à [CB] 
et (MN)~//~(DB) donc, d'après le théorème de Thalès, 
\[
\rm\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{MN}{DB}=\dfrac{3}{5}
\]
donc $\rm MN=\dfrac{3\times DB}{5}=\dfrac{3\times\sqrt{29}}{5}\approx3,23$.

Ainsi, l'aire de MNOP est :
\[
{\cal A}_{\rm MNOP}=\rm MN \times ON \approx 
3,23\times2\approx6,46~\text{cm}^2.
\]

La section MNOP a donc une aire à peu près égale à 6,46 cm$^2$.
\end{questions}
\end{corrige}


%% EX15
\newpage
\begin{exo}{Raisonnement déductif}{Collège Marie Curie, Sceaux}{3}{20}
ABCDEFGH est un cube de $6$ cm de c\^ot\'e. Le point I est le milieu 
de [AD].

\begin{center}
\includegraphics{306_12_26}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculer le volume de la pyramide ABIF.
  
\item
\begin{questions}
\item  Calculer BI, IF et BF.
\item Représenter en vraies grandeurs le triangle IBF et placer le 
point H sur le segment [BF] tel que (IH) soit la hauteur
issue de I dans le triangle IBF.
\item  Calculer l'aire du triangle IBF.
\end{questions}
  
\item Déduire des questions 1 et 2 une valeur arrondie au mm près de 
la hauteur issue de A de la pyramide ABIF.
\end{questions}
\end{exo}

% EX11corr

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le volume d'une pyramide est donné par la formule $\mathcal{V} = 
\dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la 
base et $h$ est la hauteur associée.

\begin{Remarque}
Nous avons ici pour la pyramide ABIF le choix entre plusieurs
bases, chaque face pouvant être considérée comme une base. Il faut 
choisir une face dont on sait facilement calculer l'aire et pour 
laquelle on connaît la mesure de la hauteur associée. Par exemple, si 
on choisit la face AIF pour base, la hauteur associée est le segment 
[AB]. En revanche, si on choisit la face ABF, alors la hauteur 
associée est le segment [AI].
\end{Remarque}

Prenons comme base, la face AIB qui est un triangle rectangle en A. 
  
Son aire vaut : 
\begin{align*}
    \mathcal{B} &=\rm\frac{1}{2} \times AI \times AB \\
                &=\rm \frac{1}{2} \times\frac{AD}{2} \times AB \\
                &= \frac{1}{4} \times 6^2\\
                & = 9~\text{cm}^{2}.
  \end{align*}

  La hauteur associée à cette base est le segment [AF] qui mesure 
6~cm.

Donc le volume $\mathcal{V}$ de cette pyramide est :
  \[
    \mathcal{V} = \frac{1}{3} \times 9 \times 6 = 18~\text{cm}^{3}.
  \]

\item
  \begin{questions}
  \item Dans le triangle BIA rectangle en A, on peut utiliser le 
th\'eor\`eme de Pythagore :
    \begin{align*}
 \rm     BI^2& \rm =IA^2+AB^2\\
          &=3^2+6^2\\
          &=45.
    \end{align*}
Ainsi, $\rm  BI =\sqrt{45}\approx6,7$~cm.

Le triangle AIF a les mêmes dimensions que le triangle AIB.
C'est un triangle rectangle en A dont les deux côtés de l'angle droit 
mesurent 3 et 6~cm. Il est donc inutile de refaire les calculs. $\rm 
IF = IB$ et donc $\rm IF \approx 6,7$~cm.\enlargethispage*{3em}

Dans le triangle ABF rectangle en A, on peut encore utiliser
le th\'eor\`eme de Pythagore : 
    \begin{align*}
\rm     BF^2 & \rm =BA^2+AF^2\\
          &=6^2+6^2\\
          &=72\;,
    \end{align*}
donc $\rm BF =\sqrt{72}\approx8,5~\text{cm}$.

\item~\par\vspace*{-2em}
\begin{center}
\includegraphics{321_12_27}
\end{center}

\item Nous venons de voir que $\rm BI=IF$, donc le triangle BIF est 
isocèle. Dans ce triangle, le pied de la hauteur issue de I est donc 
le milieu de [BF] (la hauteur et la médiane sont confondues).
    \[
  \rm    BH=\frac{BF}{2}\approx4,25~\text{cm}.
    \]
    Pour calculer la hauteur, on utilise le th\'eor\`eme de Pythagore  
  dans le triangle BIH rectangle en H : 
    \[\rm IH^2+HB^2=BI^{2}.\]
    Donc :
    \begin{align*}
 \rm    IH^2& \rm =BI^2-HB^2\\
          &=45-18\\
          &=27\;,
    \end{align*}
    d'o\`u $\rm IH = \sqrt{27}\approx 5,2~\text{cm}$.
    
    
    L'aire du triangle BIF est donn\'ee par :
    \[
 \rm     \mathcal{A}_{\rm BIF}=\frac{\text{base}\times 
\text{hauteur}}{2}= \frac{BF\times IH}{2}\;,
    \]
    d'o\`u :
    \[\mathcal{A}_{\rm BIF}\approx\frac{8,5\times 
5,2}{2}\approx22,1~\text{cm}^{2}.
    \]
  \end{questions}

\item Notons $h$ la mesure de la hauteur issue de A de la pyramide 
ABIF.

  On sait d'après la question 1 que le volume $\mathcal{V}$ de cette 
pyramide
  est :
  \[\mathcal{V} = 18~\text{cm}^3.\]

  On sait d'après la question 2 que l'aire du triangle IBF est :
  \[\mathcal{A}_{\rm IBF} \approx 22,1~\text{cm}^2.\]

  Or, d'après le cours, 
  \[\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\rm IBF} \times h.\]

  On en déduit : 
  \begin{align*}
   h &= \frac{3\mathcal{V}}{\mathcal{A}_{\rm IBF}} \\
     &\approx \frac{3 \times 18}{22,1} \\
     &\approx 2,4.
  \end{align*}

La hauteur issue de A de la pyramide ABIF mesure donc environ 
$2,4~\text{cm}$.
\end{questions}
\end{corrige}



% % EX6
% 
% \begin{exo}{Éclipse solaire}{Collège Jules Ferry, Paris}{1}{10}
% L'illustration suivante est issue du site Internet de la NASA :
% \begin{center}
% \includegraphics{12_32}
% \end{center}
% Sachant que le Soleil est environ 387 fois plus éloigné que la Lune à partir de la Terre, combien faudrait-il de Lunes pour faire un volume égal à celui du Soleil ?
% \end{exo}
% 
% % EX6corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{methode}
% Dans une telle situation, il est conseillé de faire un schéma simple.
% \end{methode}
% La situation peut se schématiser ainsi :
% \begin{center}
% \includegraphics{12_14}
% \end{center}
% où :
% \begin{itemize}
% \item S représente le centre du Soleil;
% \item L représente le centre de la Lune;
% \item T représente le point de la Terre où l'on observe l'éclipse;
% \item SA représente le rayon du Soleil;
% \item LB représente le rayon de la Lune.
% \end{itemize}
% L'énoncé nous dit que $\rm TS \approx 387\times TL$ (le Soleil est environ 387 fois plus éloigné que la Lune à partir de la Terre).
% 
% Ainsi,\enlargethispage*{2em}
% \[
% \rm\dfrac{TS}{TL}=387.
% \]
% Or, d'après le théorème de Thalès,
% \[
% \rm\dfrac{TS}{TL}=\dfrac{SA}{LB}
% \]
% donc $\rm \dfrac{SA}{LB}=387$, c'est-à-dire que le Soleil est un agrandissement de la Lune de facteur $387$. Ainsi, ${\cal V}_{\text{Soleil}}=387^3\times{\cal V}_{\text{Lune}}$.
% 
% $387^3=\numprint{57960603}$, donc il faudrait \numprint{57960603} Lunes pour obtenir un volume égal à celui du Soleil.
% \end{corrige}
% 
% % EX7
% 
% 
% % EX8
% 
% \sectionnn{Calculs de volumes}
% 
% % EX9
% 
% \begin{exo}{La pyramide du Louvre}{Collège Jean Giono, Nice}{1}{5}
% \begin{minipage}{4cm}
% La pyramide du Louvre est une pyramide r\'eguli\`ere dont la hauteur mesure 21~m et dont la base carr\'ee a 34~m de c\^ot\'e.
% 
% \Par
% 
% Calculer son volume.
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{4cm}
% \includegraphics{12_24}
% \end{minipage}
% \end{exo}
% 
% % EX9corr
% 
% \begin{corrige}
% Le volume d'une pyramide est :
% \[
% \mathcal{V} =\frac{1}{3}\times \mathcal{B} \times h.
% \]
% Ici, la surface $\mathcal{B}$ de la base est la surface du carr\'e de $34$ m de c\^ot\'e. Donc :
% \[
% \mathcal{B} =34^2 = \nombre{1156}\text{ m}^2
% \]
% et
% \[
% \mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\numprint{1156}\times 21=\nombre{8092}\text{ m}^{3}.
% \]
% \end{corrige}
% 
% % EX10
% 
% 
% % EX11
% 
% 
% % EX12
% 
% \begin{exo}{La piscine (t\^ache complexe)}{Collège Monthéty, Pontault-Combault}{3}{20}
% \enlargethispage*{3em}
% Dans cet exercice, on admet la propriété suivante : \og \emph{Si un triangle est inscrit dans un cercle, et si l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle.} \fg{} 
% 
% \Par
% 
% Marie et \'Emilie sont assises en deux points diamétralement opposés d'une piscine circulaire de profondeur 1,70 m. Lorsque Lucie prend place au bord du même bassin, toutes deux nagent tout droit vers elle. Après un parcours de 10 m, Marie atteint Lucie alors qu'\'Emilie devra nager 14 m de plus que Marie pour la rejoindre. 
% 
% \Par
% 
% Combien de litres d'eau y a-t-il dans la piscine ? Expliquer.
% \end{exo}
% 
% % EX12corr
% 
% \begin{corrige}
% \begin{methode}
% Dans cet exercice, il paraît nécessaire de tracer un schéma (à main levée) pour illustrer la situation. Cela nous permet de mathématiser la situation en représentant la piscine par un cylindre et chaque jeune fille par un point.
% \end{methode}
% 
% 
% On peut représenter la situation par le schéma ci-contre, dans lequel les emplacements initiaux de Marie, \'Emilie et Lucie sont représentés respectivement par les points M, E et L.
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{12_30}
% \end{center}
% 
% \Par
% 
% Pour déterminer le nombre de litres d'eau contenus dans cette piscine, il faut déterminer le volume du cylindre représenté par cette piscine.
% 
% La formule du volume d'un cylindre est :
% \[ V=\pi\times\text{rayon}^2\times\text{hauteur}.\]
% 
% On connaît la hauteur qui est de 1,70 m.
% 
% Il ne nous reste donc qu'à déterminer le rayon de la face supérieure.
%  
% \`A l'aide des indications, de l'énoncé, on peut faire un schéma de la face supérieure de cette piscine et y indiquer les mesures des segments [ML] et [LE].
% 
% On a $\text{ML}=10$~m et $\text{LE}=10+14=24$~m.
% 
% \Par
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{12_31}
% \end{center}
% 
% \Par
% 
% De plus, d'après l'énoncé, [ME] est un diamètre du cercle et MLE est un triangle inscrit dans ce cercle.
% 
% Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle 
% 
% Donc MLE est un triangle rectangle en L.
% 
% \Par
% 
% On sait que MLE est rectangle en L, que $\text{ML}=10$~m et que $\text{LE}=24$~m.
% 
% Donc d'après le théorème de Pythagore :\enlargethispage*{2em}
% 
% \begin{align*}
% \text{ME}^2 & = \text{ML}^2 + \text{LE}^2\\
% & = 10^2 + 24^2\\
% & = 100 + 576\\
% & = 676.
% \end{align*}
% 
% On en déduit :
% \[ \text{ME} =\sqrt{676} = 26~\text{m}.\]
% De plus,
% \[ 26\div 2 = 13.\]
% 
% Le rayon de ce cercle vaut donc 13 m.
% 
% On peut alors calculer le volume de la piscine : 
% 
% \[ V =  \pi\times13^2\times1,70\approx902,580~\text{m}^3.\]
% 
% Or, 1 m$^3 = \numprint{1000}$~L.
% 
% On peut alors conclure qu'il y a \numprint{902580}~L d'eau dans cette piscine.
% \end{corrige}
% 
% \sectionnn{Sections}
% 
% % EX13
% 
% % EX15
% 
% \begin{exo}{La hauteur de l'étagère}{Collège Alain Fournier, Bordeaux}{3}{10}
% Monsieur Lebricolo possède un meuble en forme de pyramide dans lequel il souhaite installer une étagère GHIJ de sorte qu'elle soit parallèle à sa base ABCD comme sur le schéma ci-dessous.
% 
% \begin{center}
% \includegraphics{12_19}
% \end{center}
% 
% Déterminer la hauteur $h$ à laquelle il doit installer son étagère afin que son aire soit égale à la moitié de celle de ABCD.
% 
% On arrondira la valeur trouvée au centimètre.
% \end{exo}
% 
% % EX15corr
% 
% \begin{corrige}
% Notons ${\cal A}_{\rm ABCD}$ l'aire du rectangle ABCD et ${\cal A}_{\rm GHIJ}$ celle de GHIJ.
% \begin{itemize}
% \item GHIJ est une réduction de ABCD car c'est la section de la pyramide SABCD par un plan parallèle à sa base. Donc il existe un nombre $k$ tel que :
% \[
% {\cal A}_{\rm GHIJ} = k^2 \times {\cal A}_{\rm ABCD}.
% \]
% 
% \item On souhaite que :
% \[
% {\cal A}_{\rm GHIJ} = \dfrac{1}{2} \times {\cal A}_{\rm ABCD}
% \]
% donc il faut que :
% \[ k^2=\dfrac{1}{2}=0,5 \]
% c'est-à-dire que $k=\sqrt{0,5}$.
% 
% \item Notons $h'$ la hauteur de la pyramide SGHIJ. Alors, d'une part on a :
% \[
% h'=120-h
% \]
% d'autre part, on a : $h'=k\times120$, soit $h'=120\times\sqrt{0,5}$.
% 
% Ainsi,
% 
% \[ 
% 120\sqrt{0,5}=120-h
% \]
% 
% soit :
% \[ 
% h=120-120\sqrt{0,5}\approx35,147.
% \]
% \enlargethispage*{2em}
% Il faut donc que monsieur Lebricolo mette son étagère à 35 cm de hauteur environ au-dessus de ABCD pour que son aire soit égale à la moitié de celle de ABCD.
% \end{itemize}
% \end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
