\setcounter{chapter}{13}
\devoirsynthese{Brevet blanc}{Brevet blanc}

Cet énoncé est constitué d'exercices issus des épreuves de Brevet posées dans différents centres d'examen.

\Par

\emph{L'usage de la calculatrice est autorisé.}

\emph{Le sujet est constitué de sept exercices indépendants.}

\emph{Le candidat peut les traiter dans l'ordre qui lui convient.}

\Par

\emph{La notation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non aboutis.}

\emph{Pour bien aborder l'épreuve du brevet, voir nos conseils au début de l'ouvrage.}

\begin{exobb}{Exercice 1 -- 20 points}{}{2}{20}
\emph{Cet exercice est un QCM.}

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est juste.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Aucun point n'est retiré en cas de mauvaise réponse.}

\begin{tabular}{|m{4.6cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}
|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|
>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|} 
\hline
\tabulartitle Questions posées & Réponse \choix[a] & Réponse 
\choix[b] & Réponse \choix[c] \\ 
\hline
\begin{questions}
\item Les solutions de l'équation $(3x-2)(2x+6) = 0$ sont 
: 
\end{questions}
& 
$\dfrac{2}{3}$ et $-3$  & $\dfrac{3}{2}$ et $-3$ & $\dfrac{-2}{3}$ et 
$3$ \\ \hline
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{1}
\item L'écriture scientifique de $\dfrac{5\times 10^6 
\times 1,2 \times 10^{-8}}{2,4\times 10^5}$ est :
\end{questions}  & 
$25 \times 10^{-8}$ & $2,5\times 10^{-7}$ & $2,5\times 10^3$\\ \hline
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{2}
\item

L'aire du rectangle 
ABCD est :

 \includegraphics{343_bb01} 
\end{questions} & 
$x+2$ & $4x+4$ & $x^2 + 2x$ \\ \hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|m{4.5cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}
|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|
>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|} 
\hline
\tabulartitle Questions posées & Réponse \choix[a] & Réponse 
\choix[b] & Réponse \choix[c] \\ 
\hline
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{3}
\item Un dé équilibré a six faces. On le lance une fois. 

La 
probabilité d'obtenir un 

diviseur de $12$ est : 
\end{questions} & $\dfrac{2}{3}$ & 
$\dfrac{5}{6}$ & $\dfrac{1}{2}$ \\ \hline
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{4}
\item Une vitesse de $36$~km/h est égale à :
\end{questions}  & 
10~m/s & 60~m/s & 100~m/s\\ \hline
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{5}
\item Si $-3x < 12$, alors :
\end{questions}  & 
$x < -4$ & $x<0$ & $x > -4$\\ \hline
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{6}
\item La médiane de la série de 

valeurs $7$ ; $8$ ; $8$ ; $12$ 
; $12$ ; $14$ ; $15$ ; $15$ ; $41$ est $\ldots$ 
\end{questions}  & 
égale à la moyenne de cette série. & supérieure à la moyenne de 
cette série. & inférieure à la moyenne de cette série.\\ \hline
\begin{questions}
\setcounter{enumi}{7}
\item Un article coûtant $150$~\EUR{} 

subit une baisse de $30$~\%. 

Son nouveau prix 

est alors : 
\end{questions}  & 
$45$~\EUR{} & $105$~\EUR{} & $120$~\EUR{} \\ \hline
\end{tabular}
\vspace{15pt}

\text{}
\end{exobb}

% EX1corr

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. 

En effet, l'équation $(3x-2)(2x+6) = 0$ est une équation \og produit 
nul\fg{}. 

Or, un produit est nul si et seulement si un des facteurs 
est égal à $0$. Donc :
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
$3x - 2 = 0$ & \text{ ou } $\quad 2x+6 = 0$ \\ 
$3x = 2$ & \text{ ou } $\quad 2x = -6$ \\ 
$x = \dfrac{2}{3}$ & \text{ ou }  $\quad x = -\dfrac{6}{2} = -3$ \\ 
\end{tabular}
\end{center}
\item Réponse \choix[b].
\begin{align*}\dfrac{5\times 10^6 \times 1,2 \times 
10^{-8}}{2,4\times 10^5}&  = 
\dfrac{5\times 1,2}{2,4}\times \dfrac{10^{6} \times 10^{-8}}{10^5} 
\\ & = 
\dfrac{5\times 1,2}{2\times 1,2} \times \dfrac{10^{-2}}{10^5} = 
2,5\times 10^{-7}.\end{align*}
\item Réponse \choix[c].

Si $\mathcal{A}$ correspond à l'aire du rectangle ABCD alors :
\[\mathcal{A} = \text{AD}\times \text{AB} = x(x+2) = x^2 + 2x.\]
\item Réponse \choix[b].

Les diviseurs de $12$ sont : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ et $12$. 
Lorsqu'on lance le dé, parmi les $6$ issues possibles, seule l'issue 
\og obtenir 5\fg{} ne donne pas un diviseur de $12$. On a donc $5$ 
chances sur $6$ de tomber sur un diviseur de $12$.

\text{}

\item Réponse \choix[a].

\[36\text{~km/h} = \dfrac{36~\text{km}}{1~\text{h}} = 
\dfrac{\text{\numprint{36000}~\text{m}}}{\text{\numprint{3600}}~\text{
s}} = 10~\text{m/s}.\]
\item Réponse \choix[c].

En effet, pour résoudre l'inéquation, il faut diviser ses deux 
membres par $-3$ qui est négatif, et donc changer le sens de 
l'inégalité.

On obtient aisni : $\dfrac{-3x}{-3} > \dfrac{12}{-3}$, soit $x > -4$.

\begin{attention}
Le sens d'une inéquation change lorsque l'on multiplie (ou que l'on 
divise) les deux membres par un nombre négatif.
\end{attention}

\item Réponse \choix[c].

La moyenne vaut :
\[\dfrac{7+8+8+12+12+14+15+15+41}{9} \approx 14,7.\]
Il y a $9$ valeurs dans la série donnée. La médiane est donc la 
5\ieme{} valeur de cette série, c'est-à-dire $12$. Elle est donc 
inférieure à la moyenne.
\item Réponse \choix[b].

Baisser le prix d'un article de $30$~\% revient à le multiplier par 

$1-\dfrac{30}{100} = 0,7$ et $150 \times 0,7 = 105$.

\begin{aretenir}
N'oubliez pas que réduire une quantité de $t$~\% revient à multiplier 
par $\left(1-\dfrac{t}{100}\right)$.

De même, augmenter une quantité $t$~\% revient à la multiplier par $1 
+ \dfrac{t}{100}$.
\end{aretenir}

\end{questions}
\end{corrigebb}

% EX2

\begin{exobb}{Exercice 2 -- 10 points}{DNB Métropole La Réunion juillet 2019}{1}{15}
Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de 69 diamants, 
\numprint{1150} perles et \numprint{4140} pièces d'or.

\begin{questions}
\item Décomposer $69$ ; \numprint{1150} et \numprint{4140} en 
produits de facteurs premiers.
\item Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins. 
Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et 
diamants ont été distribués à part égales ?
\end{questions}

\end{exobb}

% EX2corr

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item
\begin{methode}
Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, on 
commence par se remettre en tête la liste des nombres premiers à 
tester : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ ; $13$ ; $17$ ; $19$ ; $23$ ; 
$29$ \dots puis on applique la méthode vue au chapitre 5 page 
\pageref{meth:factpremiers}
\end{methode}
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{r|l}
69 & 3 \\
23 & 23 \\
1 &
\end{tabular}
\hspace{1cm}
\begin{tabular}[t]{r|l}
\numprint{1150} & 2 \\
575 & 5 \\
115 & 5 \\
23 & 23 \\
1 &
\end{tabular}
\hspace{1cm}
\begin{tabular}[t]{r|l}
\numprint{4140} & 2 \\
\numprint{2070} & 2 \\
\numprint{1035} & 5 \\
345 & 3\\
115 & 5\\
23 & 23 \\
1 &
\end{tabular}
\end{center}

On obtient ainsi :
\begin{itemize}
\item $69 = 3 \times 23$
\item $\text{\numprint{1150}} = 2 \times 5^2 \times 23$
\item $\text{\numprint{4140}} = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 23$
\end{itemize}
\item Le partage a été équitable et toutes les pièces, perles et 
diamants ont été distribués, ce qui signifie que chaque marin a reçu 
le même nombre de pièces, de perles et de diamants que les autres. Le 
nombre de marins doit donc être un diviseur de 69, de \numprint{1150} 
et de \numprint{4140}.

Seul le facteur 23 est commun aux trois décompositions, il y a donc 
23 marins.

\textit{On peut également en déduire que chacun d'eux recevera $3$ 
diamants, $2\times 5^2 = 50$ perles et $2^2 \times 3^2 \times 5 = 
180$ pièces.}

\begin{methode}
Dans toutes les situations de partages équitables d'objets, on sera 
amené à chercher des diviseurs communs à ces objets.
\end{methode}
\end{questions}
\end{corrigebb}

% EX3
\newpage
\begin{exobb}{Exercice 3 -- 19 points}{D'après le DNB Métropole La Réunion juillet 2019}{2}{20}

Voici deux programmes de calcul :

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\textbf{Programme 1}

\fbox{
\begin{minipage}{4cm}
Choisir un nombre

\vspace{15pt}

Le multiplier par $3$

\vspace{15pt}

Ajouter $1$
\end{minipage}}
\end{center}

\vfill
\text{}

\columnbreak

\begin{center}
\textbf{Programme 2}

\includegraphics{345_bb02}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{questions}
\item Vérifier que si on choisit $5$ comme nombre de départ :
\begin{itemize}
\item le résultat avec le programme 1 vaut $16$ ;
\item le résultat avec le programme 2 vaut $28$.
\end{itemize}
\end{questions}

On appelle A$(x)$ le résultat obtenu avec le programme 1 en fonction 
du nombre $x$ choisi au départ et B$(x)$ le résultat obtenu avec le 
programme 2.

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{1}
\item \begin{questions}
\item Exprimer A$(x)$ en fonction de $x$.
\item Déterminer le nombre que l'on doit choisir au départ pour 
obtenir 0 comme résultat avec le programme 1.
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Exprimer B$(x)$ en fonction de $x$.
\item Développer et réduire l'expression B$(x)$.
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Montrer que $\text{B}(x)-\text{A}(x) = (x+1)(x-3)$.
\item Quels nombres doit-on choisir au départ pour que le programme 
1 et le programme 2 donnent le même résultat ? Expliquer la démarche.
\end{questions}
\end{questions}



\end{exobb}

% EX3corr

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Avec le programme 1, on a :
\[5 \to 3 \times 5 = 15 \to 15 +1 = 16.\]

Le résultat avec le programme 1 
est donc 16.

\Par

Avec le programme 2, on a :
\[5 \to 5-1 = 4 \text{ (à gauche) et } 5+2 = 7\text{ (à droite)} \to 
4 \times 7 = 28.\]

Le résultat avec le programme 2 vaut donc 28.
\item \begin{questions}
\item Avec le programme $1$, on a $x \to 3x \to 3x+1$, donc on a :
\[\text{A}(x) = 3x+1.\]
\item On veut résoudre $\text{A}(x) = 0$ c'est-à-dire :
\begin{align*}
& 3x + 1 = 0 \\
& 3x = -1 \\
& \dfrac{3x}{3} = \dfrac{-1}{3} \\
& x = -\dfrac{1}{3}
\end{align*}
On doit choisir $-\dfrac{1}{3}$ au départ pour obtenir $0$ comme 
résultat avec le programme 1.
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Avec le programme $2$, on a :
\[x \to x-1 \text{ (à gauche) et } x \to x+2 \text{ (à droite)},\]
donc $\text{B}(x) = (x-1)(x+2)$.
\item $\text{B}(x) = (x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 =  x^2 + x - 2$.
\end{questions}
\enlargethispage{2em}
\item \begin{questions}
\item Développons les deux expressions :
\begin{itemize}
\item $\text{B}(x)-\text{A}(x) = x^2 + x - 2 - (3x+1) = x^2 + x - 2 - 
3x - 1$

$\phantom{\text{B}(x)-\text{A}(x)} = x^2 - 2x - 3$.
\item $(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$.
\end{itemize}
On peut donc en déduire que $\text{B}(x)-\text{A}(x) = (x+1)(x-3)$.
\begin{methode}
Pour montrer que deux expressions sont égales, il faut les calculer 
séparément.
\end{methode}
\item On veut que $\text{B}(x)=\text{A}(x)$, soit 
$\text{B}(x)-\text{A}(x) = 0$ ou encore

$(x+1)(x-3) = 0$. On 
reconnaît une équation \og produit nul\fg{}.

Donc : $x+1 = 0$ ou $x-3 = 0$, soit $x=-1$ ou $x = 3$. Il faut donc 
choisir $-1$ ou $3$ au départ pour que le programme 1 et le programme 
2 donnent le même résultat.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrigebb}

% EX4

\begin{exobb}{Exercice 4 -- 19 points}{DNB Métropole La Réunion juillet 2019}{3}{25}

\textit{Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur 
approchée des résultats au centième près.}

% \enlargethispage{2cm}

\begin{minipage}[b]{8cm}
Joanna veut construire un décor de théâtre constitué de trois 
triangles en bois superposés, comme indiqué sur la figure 1 
ci-contre.

Pour cela, elle dispose d'une plaque rectangulaire ABCD de 4 m sur 2 
m, qu'elle se propose de découper de la manière indiquée sur la 
figure 2 à la page suivante.
\end{minipage}\hfill \raisebox{-8mm}{
\includegraphics[trim={0 0 6cm 0},clip]{346_bb03}}

\begin{minipage}[b]{6cm}
Le triangle ADM respecte les conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item le triangle ADM est rectangle en A ;
\item $\text{AD} = 2$ m ;
\item $\widehat{\text{ADM}} = 60\degres$.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill\includegraphics[trim={3cm 0 0 0},clip]{346_bb03}
\begin{questions}
\item Montrer que $[\text{AM}]$ mesure environ $3,46$~m.
\item La partie de la plaque non utilisée est représentée en 
quadrillé sur la Figure 2. Calculer une valeur approchée au centième 
de la proportion de la plaque qui n'est pas utilisée.
\item Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, 
Joanna veut que les trois triangles AMD, PNM et PDN soient 
semblables. Démontrer que c'est bien le cas.
\item Joanna aimerait que le coefficient d'agrandissement pour passer 
du triangle PDN au triangle AMD soit plus petit que $1,5$. Est-ce le 
cas ? Justifier.
\end{questions}

\end{exobb}

% EX4corr

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Dans le triangle ADM rectangle en A, 

\begin{methode}
On connaît la mesure de 
l'angle $\widehat{\text{ADM}}$ et AD, la longueur du côté adjacent à 
cet angle. On cherche AM, la longueur du côté opposé à cet angle. On 
va donc utiliser la tangente.
\end{methode}
\[\tan\widehat{\text{ADM}} = \dfrac{\text{côté opposé à 
$\widehat{\text{ADM}}$}}{\text{côté adjacent à 
$\widehat{\text{ADM}}$}} = \dfrac{\text{AM}}{\text{AD}}.\]
En remplaçant par les valeurs, on obtient :
\[\tan 60 = \dfrac{\text{AM}}{2}.\]
Ainsi : $\text{AM} = 2 \times \tan 60 \approx 3,46$~m (au centième 
près).

Le segment $[\text{AM}]$ mesure environ $3,46$~m.

\begin{attention}
N'oubliez pas que les formules de trigonométrie ne s'utilisent que 
dans les triangles rectangles. Il faut donc toujours préciser dans 
quel triangle vous travaillez.
\end{attention}
\item $\text{M} \in [\text{AB}]$, donc $\text{MB} - 
\text{AB}-\text{AM}$. Ainsi $\text{MB} \approx 4-3,46 \approx 0,54$~m.

La proportion de plaque non utilisée est donc :
\[\dfrac{\text{MB}}{\text{AB}} \approx \dfrac{0,54}{4} \approx 0,14 
\quad \text{(au centième près)}.\]
\item La somme des angles dans un triangle est égale à $180\degres$.
\begin{itemize}
\item Dans le triangle AMD rectangle en A, on a donc :
\[\widehat{\text{DAM}} = 90\degres \; ; \; \widehat{\text{ADM}} = 
60\degres \; ; \; \widehat{\text{AMD}} = 180 - (90 + 60) = 
30\degres.\]
\item Dans le triangle DPN rectangle en P, on a :
\[\widehat{\text{DPN}} = 90\degres \; ; \; \widehat{\text{PDN}} = 90 
- \widehat{\text{ADM}} = 30\degres.\]
\end{itemize}
Les triangles DPN et ADM ayant deux angles en commun (de $90\degres$ 
et $30\degres$), ces deux triangles sont semblables.
\begin{itemize}
\item Dans le triangle MPN rectangle en P, on a :
\[\widehat{\text{MPN}} = 90\degres \; ; \; \widehat{\text{PMN}} = 
90-\widehat{\text{AMD}} = 60\degres.\]
\end{itemize}
Les triangles PMN et ADM ayant deux angles en commun (de $90\degres$ 
et $60\degres$), ces deux triangles sont semblables.

Ainsi, les trois triangles AMD, PNM et PDN sont semblables.
\item Les triangles DNP et ADM sont semblables.

Le rapport d'agrandissement pour passer de DNP à ADM est par exemple, 
le rapport des hypoténuses : $\dfrac{\text{DM}}{\text{DN}}$.

On a : $\text{DN} = \text{AM} \approx 3,46$~m. Il nous faut donc 
calculer la 
longueur DM.

\begin{methode}
On peut soit utiliser le théorème de Pythagore dans le 
triangle $\text{ADM}$ rectangle en $\text{A}$ (mais pour cela 
utiliser la valeur approchée que nous avons trouvée dans la question 
1), soit utiliser la trigonométrie.

On connaît le côté adjacent à $\widehat{\text{ADM}}$ et on cherche 
l'hypoténuse, on va donc utiliser la formule du cosinus.
\end{methode}


Dans le triangle ADM rectangle en A :
\[\cos\widehat{\text{ADM}} = \dfrac{\text{côté adjacent à 
$\widehat{\text{ADM}}$}}{\text{hypoténuse}} = 
\dfrac{\text{AD}}{\text{DM}},\]
soit $\cos 60 = \dfrac{2}{\text{DM}}$. On a donc $\cos 60 \times 
\text{DM} = 2$, 

soit $\text{DM} = \dfrac{2}{\cos 60} = 4$~m.

Le rapport d'agrandissement est $\dfrac{4}{3,46}$, soit envrion 
$1,16$. Il 
est donc inférieur à $1,5$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrigebb}

% EX5

\begin{exobb}{Exercice 5 -- 7 points}{DNB 
Polynésie juin 2014}{1}{10}
Pour construire un mur vertical, il faut parfois utiliser un coffrage 
et un étayage qui maintiendra la structure verticale le temps que le 
béton sèche.

Cet étayage peut se représenter par le schéma ci-dessous :

\begin{center}
\includegraphics{346_bb04-1}
\hspace{1cm}
\includegraphics{346_bb04-2}
\end{center}

Les poutres de fer sont coupées et fixées de façon que :
\begin{itemize}
\item les segments $[\text{AB}]$ et $[\text{AE}]$ sont 
perpendiculaires ;
\item C est situé sur la barre $[\text{AB}]$ ;
\item D est situé sur la barre $[\text{BE}]$ ;
\item $\text{AB} = 3,5$~m ; $\text{AE}=2,625$~m et $\text{CD}=1,5$~m.
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Calculer la longueur BE.
\item Sachant que les barres $[\text{CD}]$ et $[\text{AE}]$ sont 
parallèles, à quelle distance de A le point C est-il placé ?
\end{questions}

\end{exobb}

% EX5corr

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Le triangle ABE est rectangle en A. On peut donc appliquer 
le théorème de Pythagore.
\[\text{BE}^2 = \text{AB}^2 + \text{EA}^2 = 3,5^2 + 2,625^2 = 
\text{\numprint{19,140625}}.\]
On en déduit : $\text{BE} = \sqrt{\text{\numprint{19,140625}}} = 
4,375$.

La barre $[\text{BE}]$ mesure donc $4,375$~m.
\item Les droites $(\text{DE})$ et $(\text{CA})$ sont sécantes en B 
et les barres $[\text{CD}]$ et $[\text{AE}]$ sont parallèles, on peut 
donc utiliser le théorème de Thalès.

On a ainsi :
\[\dfrac{\text{BD}}{\text{BE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{BA}} = 
\dfrac{\text{DC}}{\text{EA}}\]
soit :
\[\dfrac{\text{BD}}{4,375} = \dfrac{\text{BC}}{3,5} = 
\dfrac{1,5}{2,625}\]
\[\dfrac{\text{BC}}{3,5} = \dfrac{1,5}{2,625}\]
donc : $\text{BC} = \dfrac{3,5\times 1,5}{2,625} = 2$~m.

Comme $\text{C}\in [\text{BA}]$, on a : $\text{CA} = 
\text{BA}-\text{BC} = 3,5 - 2 = 1,5$~m.

Le point C est placé sur le segment $[\text{BA}]$ à $1,5$~m 
du point A.
\end{questions}
\end{corrigebb}

% EX6

\begin{exobb}{Exercice 6 -- 11 points}{D'après le DNB Amérique du Sud novembre 2017}{2}{15}
\begin{multicols}{2}
Avec le logiciel Scratch, on a programmé le bloc d'instructions \og 
carré\fg{} ci-contre, afin de l'utiliser ensuite dans les deux 
programmes ci-dessous.

\Par

\textit{Rappel :} l'instruction \og avancer de 10\fg{} fait avancer 
le lutin de 10 pixels.

\vfill\text{}

\hspace{1cm}\begin{scratch}[scale=0.8]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{carré}}
\blockpen{\textcolor{white}{stylo en position d'écriture}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur}}
\blockmove{tourner de \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\blockpen{\textcolor{white}{relever le stylo}}
\end{scratch}
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\textbf{Programme \no 1}

\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{10}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{
\blockmoreblocks{carré}
\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à 
\ovaloperator{\ovalvariable{longueur}+\ovalnum{20}}}
}
\blocklook{cacher}
\end{scratch}

\textbf{Programme \no 2}

\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{10}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{
\blockmoreblocks{carré}
\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à 
\ovaloperator{\ovalvariable{longueur}*\ovalnum{2}}}
}
\blocklook{cacher}
\end{scratch}
\end{multicols}

\newpage

Voici trois dessins :

\Par

\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}b{3.3cm}|>{
\centering\arraybackslash}b{3.3cm}|>{\centering\arraybackslash}b{
3.3cm}|} \hline
\tabulartitle Dessin \no 1 & Dessin \no 2 & Dessin \no 3 \\ \hline
\includegraphics{348_bb05-1} & 
\includegraphics{348_bb05-2} & 
\includegraphics{348_bb05-3} \\ \hline
\end{tabular}

\begin{questions}
\item Lequel de ces trois dessins obtient-on avec le programme \no 1 ?
\item Lequel de ces trois dessins obtient-on avec le programme \no 2 ?
\item Pour chacun des deux programmes, déterminer la longueur, en 
pixel, du côté du plus grand carré dessiné. Justifier les deux 
réponses.
\item Dans le cas du dessin \no 3 :
\begin{questions}
\item Quelle est la transformation géométrique qui permet d'obtenir 
le plus petit carré à partir du plus grand ?
\item Quel est le rapport de réduction ?
\item On appelle $\mathcal{A}_g$ l'aire du plus grand carré et 
$\mathcal{A}_p$ l'aire du plus petit carré. Exprimer $\mathcal{A}_p$ 
en fonction de $\mathcal{A}_g$.
\end{questions}
\end{questions}

\end{exobb}

% EX6corr

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item Avec le programme \no 1, on obtient le dessin \no 2.

\textit{En effet, le côté du premier carré tracé vaut $10$ pixels, 
puis les côtés de chaque carré tracé mesurent $20$ pixels de plus que 
ceux du précédent.}
\item Avec le programme \no 2, on obtient le dessin \no 3.

\textit{En effet, le côté du premier carré tracé vaut toujours $10$ 
pixels, 
puis les côtés de chaque carré tracé sont deux fois plus grands que 
ceux du précédent.}
\item Avec le programme \no 1, la longueur du plus grand carré 
dessiné vaut :
\[10 + 20 + 20 + 20 = 70~\text{pixels}.\]
Avec le programme \no 2, la longueur du plus grand carré dessiné vaut 
:
\[10 \times 2 \times 2 \times 2 = 80~\text{pixels}.\]
\item \begin{questions}
\item Le plus petit carré est l'image du plus grand par une 
homothétie de rapport $k$, avec $0 < k < 1$. Le centre de cette 
homothétie est le sommet commun aux deux carrés (\textit{en bas à 
gauche sur le dessin}).
\item Le plus petit carré a pour côté $10$ pixels et le côté du plus 
grand mesure $80$ pixels. Le petit carré est donc une réduction de 
rapport $\dfrac{10}{80} = \dfrac{1}{8}$ du grand carré.
\item $\mathcal{A}_p = \left(\dfrac{1}{8}\right)^2 \times 
\mathcal{A}_g = \dfrac{1}{64}\times \mathcal{A}_g$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrigebb}

% EX7

\begin{exobb}{Exercice 7 -- 14 points}{DNB Centres étrangers juin 2019}{2}{15}
Une famille désire 
acheter, pour les enfants, une piscine cylindrique hors sol 
équipée d'une pompe électrique. Elle compte l'utiliser cet été 
du mois de juin au mois de septembre inclus.

Elle dispose d'un budget de 200~\EUR{}.

\`A l'aide des documents suivants, dire si le budget de cette famille 
est suffisant pour l'achat de cette piscine et les frais de 
fonctionnement.

\textit{Laisser toute trace de recherche, même si elle n'est pas 
aboutie.}

\subsubsectionnn{Document 1}

\begin{multicols}{2}
\hspace*{-1cm}\includegraphics[width=6cm]{348_bb06}

Caractéristiques techniques :
\begin{itemize}
\item Hauteur de l'eau : 65~cm.
\item Consommation électrique moyenne de la pompe : 3,42~kWH par jour.
\item Prix (piscine + pompe) : 80~\EUR{}.
\end{itemize}
\end{multicols}

\subsubsectionnn{Document 2}

Prix d'un kWh : 0,15~\EUR{}. 

Le kWh (kilowatt-heure) est l'unité de mesure de l'énergie électrique.

\subsubsectionnn{Document 3}

Prix d'un m\up{3} d'eau : $2,03$~\EUR{}.

\subsubsectionnn{Document 4}

Le volume $\mathcal{V}$ d'un cylindre est donné par la formule 
suivante :
\[\mathcal{V} = \pi \times r^2 \times h\]
où $r$ est le rayon du cylindre et $h$ sa hauteur.

\end{exobb}

% EX7corr

\begin{corrigebb}
La famille doit prévoir trois dépenses :
\begin{itemize}
\item L'\emph{achat} de la piscine, soit $80$~\EUR{}.

\item La \emph{consommation d'eau} pour remplir la piscine.
\begin{attention}
Pour calculer le volume d'eau dans la piscine, n'oubliez pas de 
convertir les longueurs en mètres, car on vous donne le prix de l'eau 
au 
m\up{3}.
\end{attention}
Le rayon de la piscine vaut $\dfrac{260}{2} = 130~\text{cm} = 
1,3~\text{m}$ et la hauteur mesure $65~\text{cm} = 0,65~\text{m}$.

Le volume d'eau de la piscine est donc égal à :
\[\mathcal{V} = \pi \times 1,3^2 \times 0,65 \approx 
\text{\numprint{3,45104}}~\text{m\up{3}}.\]
Le coût en eau est donc égal à environ 
$\text{\numprint{3,45104}}\times 2,03 \approx 7,01$~\EUR{}.
\item La \emph{consommation électrique} de la pompe.

Pour utiliser la piscine du mois de juin au mois de septembre 
inclus, il faut compter : $30 + 31 + 31 + 30 = 122$ jours de 
fonctionnement.

La pompe consomme en moyenne $3,42$~kWh par jour et le prix d'un kWh 
est de $0,15$~\EUR{}.

Le coût électrique est donc de : $122 \times 3,45 \times 0,15 \approx 63,14$~\EUR{}.
\end{itemize}
Le coût total est donc de : $80 + 7,01 + 63,14 = 150,15$~\EUR{}, soit 
moins que les $200$~\EUR{} de budget. La famille peut donc envisager 
d'acheter cette piscine.
\end{corrigebb}

\thumb
\AfficheCorrigeBB
