\setcounter{chapter}{0}
\chapter{Les puissances}
\label{chap:puissances}

\begin{exointro}{Collège Alain Fournier, Bordeaux}
La distance Terre-Soleil est égale à $149,597\times10^{6}$ km.

La distance Terre-Lune est égale à \numprint{384400} km.

La distance Mars-Soleil est au moins égale à 206,6 millions de kilomètres.
\begin{questions}
\item Donner la notation scientifique des trois distances (exprimées en km) données dans l'énoncé.
\item Donner un ordre de grandeur de ces trois distances.
\item Entre Mars et la Terre, quelle planète est la plus éloignée du Soleil ?
\end{questions}
\end{exointro}
 
 \qrset{height=1cm,version=5}
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\hspace{1em}\begin{minipage}[t]{10cm}
\textbf{\textit{Vous pouvez accéder au site officiel de Prepamath en 
scannant ce QR Code.}}\end{minipage}

\section{Règles de calculs}
\enlargethispage*{2em}

\begin{defin}[exposant entier positif]
Soit $a$ un nombre réel non nul, et soit $n$ un entier strictement positif.

On définit le nombre $a^n$ (lire : \og $a$ \emph{exposant} $n$ \fg) par :
\[
a^n=\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a \times a}_{n\text{ facteurs}}
\]
\end{defin}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $5^3=5\times 5\times 5=125$.
\item $(-2)^6 = (-2) \times (-2)\times (-2)\times (-2)\times 
(-2)\times (-2) = 64.$

Le nombre \og $-2$\fg{} est multiplié par lui-même $6$ fois.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\enlargethispage*{1cm}

\begin{attention}
Ne pas confondre : 

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$, qui correspond au carré de 
$(-3)$, et :

$-3^2 = -(3\times 3) = -9$, qui est l'opposé du carré de 
$3$.
\end{attention}

\begin{defin}[exposant entier négatif]
Soit $a$ un nombre réel non nul, et soit $n$ un entier positif.

Le nombre $a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$. Ainsi :
\begin{align*}
a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.
\end{align*}
\end{defin}

\vspace*{-30pt}\text{}

\begin{Exemples}
% \begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$ ;
\item $10^{-3}=\dfrac{1}{10^3}=\dfrac{1}{\numprint{1000}}$.
\end{itemize}
% \end{multicols}
\end{Exemples}

\begin{anecdote}
Le philosophe et mathématicien français René Descartes (1596-1650) 
est à l'origine de la notation des puissances sous forme d'exposants.
\end{anecdote}

\begin{props}[règles de calcul sur les puissances]\label{chap:puissances-prop-regles-calcul}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et soient $m$ et $n$ deux entiers relatifs. Alors,
\begin{itemize}
\item $a^m\times a^n=a^{m+n}$

\item $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

\item $\big(a^m\big)^n=a^{m\times n}$

\item $(a\times b)^n=a^n \times b^n$

\item $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item[1)] \'Ecrire sous la forme $a^n$, où $n$ est un nombre entier 
relatif :
\begin{itemize}
\item $4^{-3} \times 4^{12} = 4^{-3+12} = 4^9$ ;
\item $\dfrac{7^8}{7^{10}} = 7^{8-10} = 7^{-2}$ ;
\item ${(3^5)}^{-3} = 3^{5\times (-3)} = 3^{-15}$.
\end{itemize}
\item[2)] Donner le résultat sous forme décimale ou fractionnaire :
\begin{itemize}
\item $(2\times 9)^2 = 2^2\times 9^2 = 4\times 81 = 324$ ;
\item $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2^3}{3^3} = 
\dfrac{8}{27}$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{Exemples}


\begin{anecdote}[le gogol]
En 1938, le mathématicien Edward Kasner a eu l'idée d'utiliser le 
nombre $10^{100}$ dans son livre \og \textit{Mathematics and the 
Imagination}\fg{} pour illustrer la différence entre un nombre grand 
et l'infini, en le nommant gogol.

C'est en référence à ce nombre que les créateurs de Google ont nommé 
leur célèbre moteur de recherche, voulant \og organiser l'immense 
volume d'information disponible sur le Web\fg{}.
\end{anecdote}

\begin{aretenir}
Quel que soit le nombre non nul $a$ :
\[
a^0=1 \qquad \text{et}\qquad a^1=a.
\]
\end{aretenir}

\section{Notation scientifique}

\begin{defin}[notation scientifique]
La \emph{notation scientifique} d'un nombre décimal strictement positif est la seule écriture de la forme $a \times 10^n$ où :
\begin{itemize}
\item $a$ est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (10 non compris);
\item $n$ est un entier relatif.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{Exemples}[et contre-exemples]
\begin{itemize}
\item $1,201\times10^8$ est une notation scientifique car $1\leqslant 
1,201 < 10$ ;
\item $9,99\times10^{-9}$ est une notation scientifique car 
$1\leqslant9,99<10$ ;
\item $0,54\times10^3$ n'est pas une notation scientifique car 
$0,54<1$ ;
\item $152,486\times10^{-3}$ n'est pas une notation scientifique car 
$152,486\geqslant10$.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\enlargethispage{5mm}


\begin{methode}[obtenir une notation scientifique]\label{chap:puissances-methode-notation-scientifique}
\begin{itemize}
\item \textit{Premier cas : nombre supérieur à 10,}

par exemple \numprint{256800000}.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{(a)}] On commence par mettre la virgule après le premier chiffre non nul (ici, après \og 2 \fg) en laissant tous les chiffres, même les \og 0 \fg.

0n obtient : 2,56800000.

\item[\textbf{(b)}] Ensuite, on compte le nombre de chiffres qu'il y a après la virgule (y compris les \og 0 \fg) pour savoir l'exposant de 10.

Ici, il y a 8 chiffres après la virgule, donc la notation 
scientifique de \numprint{256800000} est : $2,568\times10^8$.
\end{enumerate}

\Break

\item \textit{Deuxième cas : nombre compris entre 0 et 1,}

par exemple \numprint{0,00054}.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{(a)}] On commence par mettre la virgule après le premier chiffre non nul (ici, après \og 5 \fg) en laissant les \og 0 \fg{} et en laissant aussi la première virgule.

On obtient : 0,0005,4.

\item[\textbf{(b)}] Ensuite, on compte le nombre de chiffres qu'il y a entre les deux virgules ; cela va donner l'exposant de 10 (en n'oubliant pas de mettre un signe \og $-$ \fg{} devant). Puis on enlève la première virgule.

Ici, il y a 4 chiffres entre les deux virgules (\og 0005 \fg), donc 
la notation scientifique de \numprint{0,00054} est : 
$5,4\times10^{-4}$.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{methode}

\section{Préfixes usuels}

Le tableau ci-dessous reprend les préfixes à connaître, ainsi que les 
puissances de dix qui leur sont associées.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}M{1cm}|c|c|c|} \hline
\tabulartitle & Préfixes & Symboles & Désignation \\ \hline
$10^9$ & giga & G & un milliard \\ \hline
$10^6$ & méga & M & un million \\ \hline
$10^3$ & kilo & k & un millier \\ \hline
$10^{-3}$ & milli & m &un millième \\ \hline
$10^{-6}$ & micro & $\rm\mu$ & un millionième \\ \hline
$10^{-9}$ & nano & n & un milliardième \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{Exemples}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $1$ kg $=10^3$ g $=\text{\numprint{1000}}$ g ;
\item $5$ $\rm\mu$m $=5\times 10^{-6}$ m 
$=\text{\numprint{0,000005}}$ m.
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{Exemples}

\enlargethispage*{1cm}

\section{Ordre de grandeur}

Selon le contexte dans lequel on travaille, on peut utiliser deux types d'ordre de grandeur.

\begin{itemize}
\item $\numprint{89240000}=8,924\times10^7$ et $8,924\approx9$ (si on donne l'arrondi à l'entier le plus proche).

Ainsi, $9\times10^7$ est un ordre de grandeur de \numprint{89240000}.

\item On peut aussi écrire que $8,924\approx10$ (si l'on souhaite arrondir à la puissance de 10 la plus proche).

Alors, $\numprint{89240000}\approx10\times10^7=10^{1+7}=10^8$.

On peut alors dire que $10^8$ est un ordre de grandeur de $\numprint{89240000}$.
\end{itemize}

\section{Priorités opératoires}
\enlargethispage*{2em}

\begin{prop}
Pour effectuer un calcul sans parenthèses avec des puissances, on effectue d'abord les puissances, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.
\end{prop}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
9-5\times3^3 & = 9-5\times27\qquad&\quad\text{car }3^3=27\\
						 & = 9-135&\quad\text{car }5\times27=135\\
						 & = -126.
			\end{aligned}$

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
\big(8-2^5\big)\times4 
& = (8-32)\times4&\quad\text{car }2^5=32\\
& = -24\times4&\quad\text{car }8-32=-24\\
& = -96.
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{Exemples}

\enlargethispage*{1cm}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Distance Terre-Soleil (en km) :

\begin{align*}
149,597\times10^{6} & = 
\numprint{1,49597}\times10^2\times10^6\\
& = \numprint{1,49597}\times10^{2+6}\\
& = \numprint{1,49597}\times10^{8}.
\end{align*}

\Par

Distance Terre-Lune (en km) : 

\[
\numprint{384400} = 3,844\times10^5.
\]

\Par

Distance Mars-Soleil (en km) :

\begin{align*}
206,6\text{ millions} & = 206,6 \times 10^6\\
& = 2,066\times10^2\times10^6\\
& = 2,066\times10^8.
\end{align*}

\item Un ordre de grandeur de la distance Terre-Soleil est $1,5\times10^8$ km car $\numprint{1,49597}\approx1,5$.

Un ordre de grandeur de la distance Terre-Lune est $4\times10^5$ km car $\numprint{3,844}\approx4$.

Un ordre de grandeur de la distance Mars-Soleil est $2\times10^8$ km car $\numprint{2,066}\approx2$.
\Break
\item \begin{methode}
Pour comparer deux nombres en notation scientifique :
\begin{itemize}
\item on commence par comparer les exposants des \og 10 \fg;
\item si les exposants sont égaux, on compare les coefficients des puissances de 10.
\end{itemize}
\end{methode}

Ici, les exposants des \og 10 \fg{} sont tous les deux égaux à 8; il faut donc comparer les coefficients des puissances de 10 : $2,066>\numprint{1,49597}$ donc $2,066\times10^8>\numprint{1,49597}\times10^8$.

Par conséquent, la distance Mars-Soleil est plus grande que la distance Terre-Soleil et donc Mars est plus éloignée du Soleil que la Terre.
\end{questions}
\end{solintro}
