\chapter{Suites numériques}

\section{Raisonnement par récurrence}

\begin{exointro}{Lycée Notre-Dame de Boulogne, Boulogne-Billancourt}
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul:
\[
\sum_{p=1}^n \dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{n}{n+1}.
\]
\end{exointro}

\begin{prop}[principe de récurrence]
Soit $\mathcal {P}_n$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$. Si:
\begin{itemize}
\item pour un entier $n_0$, $\mathcal {P}_{n_0}$ est vraie (initialisation),
\item pour tout naturel $k \geqslant n_0$, le fait que $\mathcal {P}_k$ soit vraie implique que $\mathcal {P}_{k+1}$ est vraie (hérédité),
\end{itemize}
alors $\mathcal {P}_n$ est vraie pour tout $n$ supérieur à $n_0$.
\end{prop}

\begin{Remarque}
comme $\mathcal {P}_k \Rightarrow \mathcal {P}_{k+1}$, on dit que la propriété est \textit{héréditaire}.
\end{Remarque}

\begin{defin}
Une \textit{démonstration par récurrence} est une démonstration dans laquelle on\linebreak utilise le principe de récurrence.
\end{defin}

\begin{aretenir}
Une démonstration par récurrence comporte impérativement deux étapes :\linebreak initialisation et hérédité.
\end{aretenir}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation :} pour $n=1$, on a $\displaystyle\sum_{p=1}^1\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{1}{1\times(1+1)}=\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$. Donc $\displaystyle\sum_{p=1}^1\dfrac{1}{p(p+1)}=\dfrac{1}{1+1}$; l'égalité est donc vraie.

\item \emph{Hérédité :} soit $k$ un entier non nul arbitrairement fixé; supposons l'égalité vraie au rang $k$: 
\[ 
\sum_{p=1}^k\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{k}{k+1}.
\]
On veut montrer que l'égalité est vraie au rang $(k+1)$, soit : 
\[
\sum_{p=1}^{k+1}\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{k+1}{k+2}.
\]

En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a :

\begin{align*}
\sum_{p=1}^{k+1}\dfrac{1}{p(p+1)}
&=\sum_{p=1}^{k}\dfrac{1}{p(p+1)} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\\
& =  \dfrac{k}{k+1} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\\
& = \dfrac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}\\
& = \dfrac{k+1}{k+2}.
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
L'égalité est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{solintro}


\section{Limite d'une suite}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{exointro}{Lycée Virlogeux, Riom}
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ dans chacun des cas suivants :
\begin{questions}
\item
Pour tout $n$ de $\N$, $u_n = n - n^2$.
\item
Pour tout $n$ de $\N$, $u_n = n\big[3-\sin(n)\big]$.
\item
Pour tout $n$ de $\N^*$, $u_n = \dfrac{1+\cos(n)}{n}$.
\end{questions}
\vspace*{-5mm}
\end{exointro}

\subsection{Définitions}

\begin{defin}[suite convergente]
On dit que la suite $(u_n)$ \textit{converge} vers un réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang:
\[
\forall\varepsilon>0,\ \exists\; n_0\in\N,\ n\geqslant n_0 \Rightarrow |u_n-\ell| < \varepsilon.
\]

On écrit alors : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$.
\end{defin}

\begin{Remarque}
si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors on dit que $u_n$ tend vers $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{Remarque}

\begin{Exemple}la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n=\dfrac{1}{n}$ converge vers 0, car tout intervalle ouvert contenant $0$ contient $\dfrac{1}{n}$ à partir d'un certain rang. 
\end{Exemple}

\begin{defin}[limite infinie d'une suite]
On dit que la limite de $(u_n)$ est $+\infty$ (respectivement $-\infty$) si pour tout réel $A$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n \geqslant A$ (resp. $u_n \leqslant A$):
\[
\forall A\in\R,\ \exists\; n_0\in\N,\ n\geqslant n_0 \Rightarrow u_n \geqslant A\text{ (resp. $u_n\leqslant A$)}.
\]
\end{defin}

\begin{Exemple}
en posant $u_n=n^2$, quel que soit le réel positif $A$, si $n\geqslant\sqrt{A}$ alors $n^2 \geqslant A$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=+\infty$.
\end{Exemple}


\begin{defin}[suite divergente]
On dit que la suite $(u_n)$ \textit{diverge} quand elle ne converge pas.
\end{defin}

\begin{Exemple}
la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\cos(n)$ diverge car ses valeurs varient entre $-1$ et $1$.
\end{Exemple}

\subsection{Des limites de référence}

\begin{prop}
Soit $p$ un entier strictement positif. 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^p}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0\qquad;\qquad \lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}n^p=+\infty.
\]
\end{prop}

\newpage

\subsection{Limite et comparaison}

\subsubsection{Théorèmes fondamentaux}

\begin{thm}[théorème de comparaison]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites, et soit $n_0$ un entier naturel.
\begin{itemize}
\item Si, pour tout $n \geqslant n_0$, $v_n \geqslant u_n$ avec $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors  $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

\item Si, pour $n\geqslant n_0$, $v_n \leqslant u_n$ avec $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$.
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant n$. Alors, d'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
\item Soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant-n^2$. Alors, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-\infty$.
\end{itemize}
\end{Exemples}


\begin{thm}[théorème d'encadrement (théorème des gendarmes)]
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites, soit $\ell$ un nombre réel et soit $n_0$ un entier naturel. Si, pour tout $n\geqslant n_0$, $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$, et si $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=\ell$ alors  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.
\end{thm}


\begin{Exemple}soit $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n\geqslant1$,
\[
\dfrac{1}{n^2} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}.
\]
$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$ donc d'après le théorème des gendarmes, 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0.
\]
\end{Exemple}



\subsubsection{Comportement à l'infini de (q$^\text{n}$)}

\begin{prop}[inégalité de Bernoulli]
Pour tout réel $x>-1$ ($x\neq0$) et pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
\[ 
(1+x)^n \geqslant 1 + nx.
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{prop}
Soient $q$ un nombre réel et $n$ un entier naturel.
\begin{itemize}
\item Si $q > 1$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
\item Si $q = 1$, alors $q^n = 1$.
\item Si $-1 < q < 1$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$.
\item Si $q < -1$, alors $(q^n)$ n'a pas de limite en $+\infty$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}
Toute suite géométrique de raison $q$ telle que $\lvert q \rvert < 1$ converge vers 0.
\end{prop}

\subsection{Suite majorée ou minorée}


\begin{defins}
\begin{itemize}
\item Une suite $(u_n)$ est dite \emph{majorée} s'il existe un réel $M$ tel que : 
\begin{center}
pour tout $n\in\N$, $u_n\leqslant M$.
\end{center}

\item Une suite $(u_n)$ est dite \emph{minorée} s'il existe un réel $m$ tel que :
\begin{center}
pour tout $n\in\N$, $m\leqslant u_n$.
\end{center}

\item Une suite est dite \textit{bornée} si elle est majorée et minorée.
\end{itemize}
\end{defins}

\begin{Exemple}on considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=1+\dfrac{1}{n}$.
\begin{itemize}
\item  Pour tout entier  naturel $n$ non nul, $\dfrac{1}{n}\leqslant1$ donc $u_n\leqslant1+1$, soit $u_n\leqslant2$.

\Par


La suite $(u_n)$ est donc majorée par 2.

\item De plus, $\dfrac{1}{n}>0$ pour tout entier naturel $n$ non nul donc $u_n>1$.

\Par

La suite $(u_n)$ est donc minorée par 1.

\item La suite $(u_n)$ est minorée et majorée; elle est donc bornée.
\end{itemize}
\end{Exemple}
%
\begin{thm}[théorème de convergence des suites monotones]
Toute suite croissante et majorée converge.

Toute suite décroissante et minorée converge.

Toute suite monotone et bornée converge.
\end{thm}




\subsection{Opérations et limites}

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites, $\ell$ et $\ell'$ représentent des réels.

Dans les tableaux suivants, \og F.I. \fg{} signifie : \og Forme Indéterminée \fg. Ce sont des cas où l'on ne peut pas conclure immédiatement quant à la valeur de la limite. Dans de tels cas, il est nécessaire de transformer l'écriture.


\subsubsection{Somme et produit}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Zc|}}
\hline\tabulartitle 
 $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n + v_n)$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)$ \\
\hline

$\ell$ & $\ell'$ & $\ell + \ell'$ & $\ell \times \ell'$ \\\hline
 
$\ell > 0$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$ \\\hline
  
$\ell < 0$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} -\infty \\ +\infty \end{array}$ \\\hline
 
$ 0$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
		& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
		& F.I. \\\hline
 
$+\infty$ & $+\infty $ & $+\infty$ & $+\infty$ \\\hline

$+\infty$ & $-\infty $ & F.I. & $-\infty$ \\\hline

$-\infty$ & $-\infty $ & $-\infty$ & $+\infty$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsubsection{Quotient}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{Zc|}}
\hline\tabulartitle
 $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ 
& $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ \\\hline

$\ell$ & $\ell' \ne 0$ & $\dfrac{\ell}{\ell'}$  \\\hline

$\ell > 0$ 	& $\begin{array}{rl}0^+ (0 \text{ en restant positif}) \\0^- (0 \text{ en restant négatif}) \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$ \\\hline
 
$\ell < 0$ 	& $\begin{array}{rl}0^+ (0 \text{ en restant positif}) \\0^- (0 \text{ en restant négatif}) \end{array}$
			& $\begin{array}{rl} -\infty \\ +\infty \end{array}$ \\\hline 
 
$0$ & $0$ & F.I. \\\hline
 
$\ell$ 	& $\begin{array}{rl} +\infty \\ -\infty \end{array}$
		& $\begin{array}{rl} 0 \\ 0 \end{array}$ \\\hline
 
$+\infty$ & $+\infty$ & F.I. \\\hline

$+\infty$ & $-\infty$ & F.I. \\\hline

$-\infty$ & $-\infty$ & F.I. \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}n = \lim\limits_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}(n-n^2)$ est une forme\linebreak indéterminée du type \og $\infty-\infty$ \fg.

Pour lever cette indétermination, on factorise par le terme de plus haut degré, donc ici par $n^2$:
\[
u_n=n^2\left(\dfrac{1}{n}-1\right).
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{n}-1\right)=-1$.

Ainsi, par produit:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty.
\]


\item $u_n = n\big[3-\sin(n)\big]$. Le facteur $3-\sin(n)$ n'a pas de limite en $+\infty$. Cependant, on sait que pour tout entier naturel $n$:
\begin{align*}
-1\leqslant \sin(n) \leqslant 1 & \iff -1\leqslant-\sin(n)\leqslant 1\\
& \iff 2 \leqslant 3-\sin(n) \leqslant 4\\
& \iff 2n \leqslant \underbrace{n\big[3-\sin(n)\big]}_{u_n}\leqslant 4n.
\end{align*}
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}2n=+\infty$ et $u_n \geqslant 2n$ donc d'après le théorème de\linebreak comparaison,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty.
\]
\begin{methode}
Dans les situations où interviennent les fonctions sinus et cosinus, pensez aux encadrements $-1\leqslant \cos(n)\leqslant 1$ et $-1\leqslant\sin(n)\leqslant 1$.
\end{methode}

\item Pour tout $n\in\N^*$, 
\begin{align*}
-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 & \iff 0 \leqslant 1 + \cos(n) \leqslant 2\\
& \iff 0 \leqslant \dfrac{1+\cos n}{n} \leqslant \dfrac{2}{n}.
\end{align*}

Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2}{n}=0$ donc d'après le théorème des gendarmes, 
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0.
\]
\end{questions}
\end{solintro}

%
%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\endinput
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
